2013年中考数学试题分类汇编（圆）

1.如图是李大妈跳舞用的扇子，这个扇形AOB的圆心角∠O=120°，半径OA=3，则弧AB的长度为 2π （结果保留π）． 考点：弧 长的计算 分析： 根据弧长公式是l=，代入就可以求出弧长． 解答：解 ：∵这个扇形AOB的圆心角∠O=120°，半径OA=3， ∴弧AB的长度为：故答案为：2π．

2.(2013凉山州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为 ．

=2π．

考点：扇形面积的计算；勾股定理；相切两圆的性质． 专题：计算题．

分析：根据题意，可得阴影部分的面积等于圆心角为90°的扇形的面积． 解答：解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴AB=10，

∴扇形的半径为5， ∴阴影部分的面积=

=

π．

点评：解决本题的关键是把两个阴影部分的面积整理为一个规则扇形的面积． 3.（2013?天津）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为 55 （度）．

考点：切 线的性质． 分析：首 先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案． 解答：解 ：连接OA，OB， ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， 即∠PAO=∠PBO=90°， ∴∠AOB=360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO=360°﹣90°﹣70°﹣90°=110°， ∴∠C=∠AOB=55°． 故答案为：55． 点评：此 题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

4.如图，?ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，∠ADC=54°，连接AE，则∠AEB的度数为（ ）

A． 36° B． 46° C． 27° D． 63° 考点： 圆周角定理；平行四边形的性质． 分析： 根据BE是直径可得∠BAE=90°，然后在?ABCD中∠ADC=54°，可得∠B=54°，继而可求得∠AEB的度数． 解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=54°， ∴∠B=∠ADC=54°， ∵BE为⊙O的直径， ∴∠BAE=90°， ∴∠AEB=90°﹣∠B=90°﹣54°=36°． 故选A． 点评： 本题考查了圆周角定理及平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行四边形的性质得出∠B=∠ADC．

5.(2013?宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为 10π ．

考点： 扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系． 专题： 综合题． 分析： 根据弦AB=BC，弦CD=DE，可得∠BOD=90°，∠BOD=90°，过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，在四形OFCG中可得∠FCD=135°，过点C作CN∥OF，交OG于点N，判断△CNG、△OMN为等腰直角三角形，分求出NG、ON，继而得出OG，在Rt△OGD中求出OD，即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可． 解答： 解： ∵弦AB=BC，弦CD=DE， ∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点， ∴∠BOD=90°， 过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G， 则BF=FG=2，CG=GD=2，∠FOG=45°， 在四边形OFCG中，∠FCD=135°， 过点C作CN∥OF，交OG于点N， 则∠FCN=90°，∠NCG=135°﹣90°=45°， ∴△CNG为等腰三角形， ∴CG=NG=2， 过点N作NM⊥OF于点M，则MN=FC=2， 在等腰三角形MNO中，NO=MN=4， ∴OG=ON+NG=6， 在Rt△OGD中，OD=即圆O的半径为2故S阴影=S扇形OBD=故答案为：10π． ， =10π． ==2， 点评： 本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大．

6.(2013山东滨州，4，3分)如图，在⊙O中圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的大小为 A．156° B．78° C．39° D．12°

【答案】 C.

7.如图5，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A(0,1)，过点P(0,-7)的直线l与⊙B相交于C、D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有（ ）个。 A.1 B.2 C.3 D.4

( CD=8,9,10 )

8.如图，在△ABC中，AB=2，AC=，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则∠BAC的度数是 105 度．

考点：切线的性质考点：切线的性质 [来源:学科网][来源:学科网]分析：首分析： 先通过作辅助线构建直角三角形，然后解直角三角形即可．首先通过作辅助线构建直角三角形，然后解直角三角形即可． 解答：解解答： ：设圆与解：设圆与 BC切于点BC切于点D，连接D，连接AD， AD， 则AD⊥则BCAD；⊥ BC； 在直角△在直角△ABD中ABDAB=2中，AB=2AD=1，，AD=1 ， ∴∠B=30∴∠°，B=30 °， 因而∠因而∠BAD=60BAD=60°， °， 同理，在直角△同理，在直角△ACD中，得ACD中，得到∠CAD=45到∠CAD=45°， °， 因而∠因而∠BAC的度数是BAC的度数是105°．105 °． 点评：运点评： 用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造 直角三角形解决有关问题．直角三角形解决有关问题． 9.（2013菏泽）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交 BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P． （1）求证：AP是⊙O的切线； （2）OC=CP，AB=6，求CD的长． 考点：切线的判定与性质；解直角三角形． 分析：（1）连接AO，AC（如图）．欲证AP是⊙O的切线，只需证明OA⊥AP即可； （2）利用（1）中切线的性质在Rt△OAP中利用边角关系求得∠ACO=60°．然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利用余弦三角函数的定义知AC=2，CD=4． 解答：（1）证明：连接AO，AC（如图）． ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC=∠CAD=90°． ∵E是CD的中点， ∴CE=DE=AE． ∴∠ECA=∠EAC． ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA． ∵CD是⊙O的切线， ∴CD⊥OC． ∴∠ECA+∠OCA=90°． ∴∠EAC+∠OAC=90°． ∴OA⊥AP． ∵A是⊙O上一点， ∴AP是⊙O的切线； （2）解：由（1）知OA⊥AP．

在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA， ∴sinP==， ∴∠P=30°． ∴∠AOP=60°． ∵OC=OA， ∴∠ACO=60°． 在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°， ∴AC==2， 又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°﹣∠ACO=30°， ∴CD===4． 点评：本题考查了切线的判定与性质、解直角三角形．注意，切线的定义的运用，解题的关键是熟记特殊角的锐角三角函数值． 10.如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2． （1）求线段EC的长；

（2）求图中阴影部分的面积．

考点：扇 形面积的计算；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质 分析：（ 1）根据扇形的性质得出AB=AE=4，进而利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案； （2）利用锐角三角函数关系得出∠DEA=30°，进而求出图中阴影部分的面积为：S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB求出即可． 解答：解 ；（1）∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2， ∴AB=AE=4， ∴DE=∴EC=CD﹣DE=4﹣2=2， ； （2）∵sin∠DEA==， ∴∠DEA=30°， ∴∠EAB=30°， ∴图中阴影部分的面积为： S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB ==﹣2﹣×2×2． ﹣ 点评：此 题主要考查了扇形的面积计算以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出DE的长是解题关键．

11.如图12，AB是⊙O的直径，经过圆上点D的直线CD恰使∠ADC=∠B. (1)求证：直线CD是⊙O的切线；

(2)过点A作直线AB的垂线交BD的延长线于点E，且AB=5 ，BD=2，求线段AE的长.

解：（1）证明：连结OD，OD=OB，∠ODB=∠B，

∠ADC=∠B，∠ODB=∠ADC； ∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=∠ADO+∠ODB=90 o，

∠ADO+∠ADC =90 o，∠ODC=90 o，OD⊥CD， ∴直线CD是⊙O的切线。

（2）AB=5 ，BD=2，DA=AB2-BD2 =1,

∵AE⊥AB，∠EAB=∠ADB=90 o，∠B=∠B，△EAB∽△ADB， AEABAB·DA5 = , AE= = . DADBDB25答：线段AE的长为 。

2

12.如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C． （1）证明PA是⊙O的切线； （2）求点B的坐标； （3）求直线AB的解析式．

【答案】（1）证明：依题意可知，A（0，2）

∵A（0，2），P（4，2）， ∴AP∥x轴 ．

∴∠OAP=90°，且点A在⊙O上， ∴PA是⊙O的切线；

（2）解法一：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点D， ∵PB切⊙O于点B，

∴∠OBP=90°，即∠OBP=∠PEC， 又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC． ∴△OBC≌△PEC． ∴OC=PC．

（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可） 设OC=PC=x，

则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x， 在Rt△PCE中，∵PC=CE+PE， ∴x=(4－x)+2，解得x=

2

2

2

2

2

2

5，???????? 4分 253=， 221113156∵OB·BC=OC·BD，即×2×=××BD，∴BD=． 2222225∴BC=CE=4－

∴OD=OB2?BD2=4?由点B在第四象限可知B（

368=， 25586，?）； 55

解法二：连接OP，OB，作PE⊥x轴于点E，BD⊥y轴于点D， ∵PB切⊙O于点B

∴∠OBP=90°即∠OBP=∠PEC． 又∵OB=PE=2，∠OCB=∠PEC， ∴△OBC≌△PEC．

∴OC=PC（或证Rt△OAP≌△OBP，再得到OC=PC也可） 设OC=PC=x，

则有OE=AP=4，CE=OE－OC=4－x， 在Rt△PCE中，∵PC=CE＋PE, ∴x=(4－x)+2，解得x=∴BC=CE=4－

2

2

2

2

2

2

5，???????????? 4分 253=， 22∵BD∥x轴， ∴∠COB=∠OBD， 又∵∠OBC=∠BDO=90°，

∴△OBC∽△BDO， ∴

OBCBOC==， BDODBO352即=2=2． BDBD286∴BD=，OD=．

55由点B在第四象限可知B（

86，?）； 55（3）设直线AB的解析式为y=kx+b，

?b?2,86?由A（0，2），B（，?），可得?86；

55k?b???5?5解得??b?2,∴直线AB的解析式为y=－2x+2．

?k??2,【考点解剖】 本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积法求边长、点的坐标、待定系数法求函数解析式等．

【解题思路】（1） 点A在圆上，要证PA是圆的切线，只要证PA⊥OA（∠OAP=90°）即可，由A、P两点纵坐标相等可得AP∥x轴，所以有∠OAP+∠AOC=180°得∠OAP=90°；（2） 要求点B的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B到x轴、y轴的距离，自然想到构造Rt△OBD，由PB又是⊙O的切线，得Rt△OAP≌△OBP，从而得△OPC为等腰三角形，在Rt△PCE中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出关于CE的方程可求出CE、OC的长，△OBC的三边的长知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得点B的坐标；（3）已知点A、点B的坐标用待定系数法可求出直线AB的解析式． 【解答过程】 略.

【方法规律】 从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法.

【关键词】 切线 点的坐标 待定系数法求解析式

13.（2013?珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A （1）求证：BC为⊙O的切线；

（2）求∠B的度数．

考点： 切线的判定与性质；菱形的性质． 分析： （1）连结OA、OB、OC、BD，根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根据菱形的性质得BA=BC，然后根据“SSS”可判断△ABC≌△CBO，则∠BOC=∠OAC=90°，于是可根据切线的判定方法即可得到结论； （2）由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB，则∠AOB=∠COB，由于菱形的对角线平分对角，所以点O在BD上，利用三角形外角性质有∠BOC=∠ODC+∠OCD，则∠BOC=2∠ODC， 由于CB=CD，则∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根据∠BOC+∠OBC=90°可计算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC计算即可． 解答： （1）证明：连结OA、OB、OC、BD，如图， ∵AB与⊙切于A点， ∴OA⊥AB，即∠OAB=90°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BA=BC， 在△ABC和△CBO中 ， ∴△ABC≌△CBO， ∴∠BOC=∠OAC=90°， ∴OC⊥BC， ∴BC为⊙O的切线； （2）解：∵△ABC≌△CBO， ∴∠AOB=∠COB， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BD平分∠ABC，CB=CD， ∴点O在BD上， ∵∠BOC=∠ODC+∠OCD， 而OD=OC， ∴∠ODC=∠OCD， ∴∠BOC=2∠ODC， 而CB=CD， ∴∠OBC=∠ODC， ∴∠BOC=2∠OBC， ∵∠BOC+∠OBC=90°， ∴∠OBC=30°， ∴∠ABC=2∠OBC=60°． 点评： 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了全等三角形相似的判定与性质以及菱形的性质．

14..如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．

（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线； （2）若tan∠F=，CD=a，请用a表示⊙O的半径；

（3）求证：GF﹣GB=DF?GF． 圆的综合题 几何综合题． （1）根据等边对等角可得∠OAB=∠OBA，然后根据OA⊥CD得到∠OAB+∠AGC=90°推出∠FBG+∠OBA=90°，从而得到OB⊥FB，再根据切线的定义证明即可； （2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ACF=∠F，根据垂径定理可得CE=CD=a，连接OC，设圆的半径为r，表示出OE，然后利用勾股定理列式计算即可求出r； （3）连接BD，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠DBG=∠ACF，然后求出∠DBG=∠F，从而求出△BDG和△FBG相似，根据相似三角形对应边成比例列式表示出BG，然后代入等式左边整理即可得证． （1）证明：∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∵OA⊥CD， ∴∠OAB+∠AGC=90°， 又∵∠FGB=∠FBG，∠FGB=∠AGC， ∴∠FBG+∠OBA=90°， 即∠OBF=90°， ∴OB⊥FB， ∵AB是⊙O的弦， ∴点B在⊙O上， ∴BF是⊙O的切线； （2）解：∵AC∥BF， ∴∠ACF=∠F， 22

2

∵CD=a，OA⊥CD， ∴CE=CD=a， ∵tan∠F=， ∴tan∠ACF=即=， =， 解得AE=a， 连接OC，设圆的半径为r，则OE=r﹣a， 在Rt△OCE中，CE+OE=OC， 即（a）+（r﹣a）=r， 解得r=a； 222222 （3）证明：连接BD， ∵∠DBG=∠ACF，∠ACF=∠F（已证）， ∴∠DBG=∠F， 又∵∠F=∠F， ∴△BDG∽△FBG， ∴=2， 即GB=DG?GF， 222∴GF﹣GB=GF﹣DG?GF=GF（GF﹣DG）=GF?DF， 22即GF﹣GB=DF?GF． 本题是圆的综合题型，主要考查了切线的证明，解直角三角形，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键，（3）的证明比较灵活，想到计算整理后得证是解题的关键．

15.（2013?天津）已知直线I与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥I于点D．

（Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．

考点：切 线的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系． 分析：（ Ⅰ）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°； （Ⅱ）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案． 解答：解 ：（Ⅰ）如图①，连接OC， ∵直线l与⊙O相切于点C， ∴OC⊥l， ∵AD⊥l， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OA=OC， ∴∠BAC=∠OCA， ∴∠BAC=∠DAC=30°； （Ⅱ）如图②，连接BF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB=90°， ∴∠BAF=90°﹣∠B， ∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°， 在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形， ∴∠AEF+∠B=180°， ∴∠B=180°﹣108°=72°， ∴∠BAF=90°﹣∠B=180°﹣72°=18°． 点评：此 题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

E是边BCRt△ABC中，?ABC?90°，16.如图，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，

的中点，连接DE．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

C （2）连接OC交DE于点F，若OF?CF，求tan?ACO的值．

D F E

证明：（1）连接OD、OE、BD． A B

O ?AB是⊙O的直径，??CDB??ADB?90°，

?E点是BC的中点，?DE?CE?BE． ?OD?OB，OE?OE，△?ODE≌△OBE． ??ODE??OBE?90°，?直线DE是⊙O的切线． （2）作OH⊥AC于点H，

C 由（1）知，BD⊥AC，EC?EB．

1AC． 2??CDF??OEF，?DCF??EOF．

?CF?OF，?△DCF≌△EOF，?DC?OE?AD． ?BA?BC，??A?45°． ?OH⊥AD，?OH?AH?DH．

OH1?CH?3OH，?tan?ACO??．

CH3?OA?OB，?OE∥AC，且OE?

D F H A

O

E

B

17.在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD. （1）如图5-1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；（6分）

（2）如图5-2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，请直接写出∠DCA的度数. （2分）

∵ OE⊥AC，∴AE=

图5-1

图5-2

（1） 过点O作AC的垂线交AC于E、交劣弧于F，由题意可知，OE=EF， ··········· 1分

1AC，································ 3分 2222在Rt△AOE中，AO?OE?AE，··························· 4分

12232∴r?1?(r)，∴r=. ······························ 6分

23（2）∠DCA=40°.

18.如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，若?BAC直于射线AM，垂足为点D．

（1）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

CAM，过点C作直线l垂

（2）若直线l与AB的延长线相交于点E，⊙O的半径为3，并且?CAB?30°. 求CE的长．

（1）解：直线CD与⊙O相切. ??????1分 理由如下：连接OC. ∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA ∵∠BAC=∠CAM ∴∠OCA=∠CAM ∴OC∥AM??????????3分 ∵CD⊥AM

E B O A

C

M D l E B O C M D l A

∴OC⊥CD ∴直线CD与⊙O相切. ??????????5分 （2）解： ∵?CAB?30° ∴∠COE=2∠CAB=60?

∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC·tan60?=33.??????????8分

o19.如图，在△ABC中，∠ACB=90， E为BC上一点，以CE为直径作⊙O,AB与⊙O相切于点D，连接CD,若BE=OE=2. （1）求证：∠A=2∠DCB；

（2）求图中阴影部分的面积（结果保留?和根号）.

COEBDA(1)证明：连接OD. ??(1分) ∵AB与⊙O相切于点D , ∴?ODB?90o，∴?B??DOB?90o. ∵?ACB?90o,∴?A??B?90o,∴?A??DOB ??(3分) ∵OC=OD, ∴?DOB?2?DCB.∴?A?2?DCB ??(4分) (2)方法一：在Rt△ODB中，OD=OE,OE=BE

OD1? OB2 ∴?B?30o,?DOB?60o ??6分

o∵ BD?OB?sin60?23 ∴ sin?B? ∴S?DOB? S扇形ODE11OD?DB??2?23?23 ??????(7分) 2260??OD22???

36032 ??????(9分)

?23??3S阴影=S?DOB?S扇形ODE方法二：连接DE,在Rt△ODB中，∵BE=OE=2 ∴DE?1OB?OE, 2∵OD=OE, ∴△DOE为等边三角形，即?DOB?60o ??(6分)

20.如图，△ABC内接于⊙O，?B?60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP?AC。

（1）求证：PA是⊙O的切线；（5分） （2）若PD?3，求⊙O的直径。（5分）

）证明：连接OA ???????1分

∵?B?60，∴?AOC?2?B?120． ??2分 又∵OA?OC，∴?OAC??OCA?30.

? 又∵AP?AC，∴?P??ACP?30，

???APDOCB(第23题)

∴?OAP??AOC??P?90， ??????4分 ∴OA?PA，

? ∴PA是⊙O的切线. ?????? 5分 （2）在Rt△OAP中， ∵?P?30?，

∴PO?2OA=OD?PD． ??????7分 又∵OA?OD， ∴PD?OA， ∵PD?3，

∴2OA?2PD?23． ∴⊙O的直径为23.

21.如图，在平面直角坐标系中，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，点P是AB的中点，连接PA，PB，PC．

（1）如图①，若∠BPC＝60°，求证：AC?3AP； （2）如图②，若sin?BPC??AA

PP OO B BC

第22题图② 第22题图①

）证明：∵弧BC＝弧BC，∴∠BAC＝∠BPC＝60°．

又∵AB＝AC，∴△ABC为等边三角形

∴∠ACB＝60°，∵点P是弧AB的中点，∴∠ACP＝30°，

24，求tan?PAB的值． 25C又∠APC＝∠ABC＝60°，∴AC＝3AP．

（2）解：连接AO并延长交PC于F，过点E作EG⊥AC于G，连接OC． ∵AB＝AC，∴AF⊥BC，BF＝CF．

∵点P是弧AB中点，∴∠ACP＝∠PCB，∴EG＝EF． ∵∠BPC＝∠FOC，

24． 25设FC＝24a，则OC＝OA＝25a， ∴OF＝7a，AF＝32a．

∴sin∠FOC＝sin∠BPC=

在Rt△AFC中，AC＝AF+FC，∴AC＝40a．

在Rt△AGE和Rt△AFC中，sin∠FAC＝

2

2

2

APGEOBFCEGFC， ?AEAC第22（2）题图EG24a，∴EG＝12a． ?32a?EG40aEF12a1∴tan∠PAB＝tan∠PCB=??．

CF24a2∴

22.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F.

（1）求证：DE为⊙O的切线. （2）求证：AB︰AC=BF︰DF.

（1）证明：连结DO、DA

∵AB为⊙O直径 ∴∠CDA=∠BDA=90° ∵CE=EA ∴DE=EA ∴∠1=∠4

∵OD=OA ∴∠2=∠3 ∵∠4+∠3=90° ∴∠1+∠2=90° 即：∠EDO=90°∴DE为⊙O的切线 ????3分 （2）∵∠3+∠DBA=90° ∠3+∠4=90°∴∠4=∠DBA

∵∠CDA=∠BDA=90°∴△ABD∽△CAD

∴

ABBD= ???5分 ACAD∵∠FDB+∠BDO=90° ∠DBO+∠3=90° 又∵OD=OB ∴∠BDO=∠DBO ∴∠3=∠FDB

∵∠F=∠F ∴△FAD∽△FDB

BDBF= ???8分 ADDF即：AB：AC=BF:DF ???9分 ∴

23.如图，AB是圆O的直径，AM和BN是圆O的两条切线，E是圆O上一点，D是AM上一点，连接DE并延长交BN于C，且OD//BE，OF//BN. （1）求证：DE是圆O的切线；

（2）求证：OF?

1CD. 2O A D E F M B C N

证明：连接OE，AM是⊙O的切线，OA是⊙O的半径

∴?DAO?90° ∵AD∥BC

∴?AOD??OBE，?DOE??OEB ∵OB?OE ∴?OEB??OBE 在△AOD和△DOE中

?OA?OE???AOD??DOE ?OD?OD?∴△AOD≌△DOE

∴?DAO??DEO?90° ∴DE与⊙O相切 ······················· （3分） （2）∵AM和BN是⊙O的两切线 ∴MA?AB，NB?AB ∴AD∥BC

∵O是AB的中点，OF∥BN

11(AD?BC)且OF?(AD?BC) 22∵DE切⊙O于点E ∴DA?DE，CB?CE ∴DC?AD?CB

1 ∴OF?CD?ADE??CBF ················ （4分）

2∴OF∥

如图，△ABC中，以AB为直径的eO交AC于点D，

∠DBC＝∠BAC．

（1）求证：BC是eO的切线；

（2）若eO的半径为2，∠BAC＝30°， 求图中阴影部分的面积．

（1）证明： ?AB为eO直径，??ADB?90? ， ········· 1分 ??BAC??ABD?90? ， ················· 2分 ??DBC??BAC

??ABC=? ABD+?DBC=90?， ················ 3分 ?点B在eO上，? BC是eO的切线. ··········· 4分 （2）解：连接OD，??BAC?30o，则∠BOD＝2∠A=60°， ··· 5分 ?S阴=S扇?S?OBD ····················· 6分 ?602??4?3???3. 36032 ?阴影部分的面积为??3. ··············· 8分

3

24.如图，直线MN交⊙O于A、B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥

MN于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．

（1）证明：连接OD． ∵OA=OD

∴∠OAD=∠ODA ????????.1分 ∵∠OAD=∠DAE

∴∠ODA=∠DAE ????????..2分 ∴DO∥MN ???????????3分 ∵DE⊥MN

∴∠ODE=∠DEM =90°

即OD⊥DE ???????????4分 ∴DE是⊙O的切线 ??????? 5分 （2）解：连接CD．

∵∠AED=90°，DE=6，AE=3

C D O M E A B N ∴AD=35 ?????????????????????????????...6分 ∵AC是⊙O的直径

∴∠ADC=∠AED =90° ?????????????????????????..7分 ∵∠CAD=∠DAE

∴△ACD∽△ADE ???????????????????????????..8分 ∴

35ACADAC? 即 ?3AEAD35则AC=15 ????????????????????????????...9分

∴⊙O的半径是7.5cm． ?????????????????????????10分

25.（2013福州）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE= （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）求

的长．

考点：切线的判定；勾股定理的逆定理；弧长的计算；解直角三角形． 分析：（1）欲证明BC是⊙O的切线，只需证明OB⊥BC即可；

（2）首先，在Rt△AEM中，根据特殊角的三角函数值求得∠A=30°；

其次，利用圆心角、弧、弦间的关系、圆周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函数的定义求得ON=最后，由弧长公式l=

=

； 计算

的长．

解答：（1）证明：如图， ∵ME=1，AM=2，AE=，

222

∴ME+AE=AM=4，

∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°． 又∵MN∥BC，

∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC． 又∵OB是⊙O的半径， ∴BC是⊙O的切线；

（2）解：如图，连接ON． 在Rt△AEM中，sinA=∴∠A=30°． ∵AB⊥MN， ∴

=

，EN=EM=1，

=，

∴∠BON=2∠A=60°． 在Rt△OEN中，sin∠EON=∴ON=∴

=

， ?

=

．

，

的长度是：

点评：本题综合考查了切线的判定与性质、勾股定理的逆定理，弧长的计算，解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．

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