2013届福建省南安一中高三上学期期中考试数学(理)试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。

2．考生作答时，请将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 4．保持答题纸纸面清洁，不破损。考试结束后，本试卷自行保存，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡相应位置） 1．复数z

2

在复平面内对应的点位于（ ） 1 i

D．第四象限

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限

2．设全集U R，A {x|x 0}，B {x|x 1}，则A ðUB （ ）

A．{x|0 x 1} B．{x|0 x 1} C．{x|x 0} D．{x|x 1} 3．如果a b，则下列不等式成立的是（ ）

A．a lgx b lgx

B．ax2 bx2 C．a2 b2

D．a 2x b 2x

3

，则cos( 2 )=（ ）

257799

A． B． C． D．

25252525

4．已知sin(

)

5．“m 1”是“函数f(x) x x m有零点”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在等差数列{an}中，若a3 a5 2a10 4，则此数列的前13项的和等于（ ） A．8 B．13 C．16 D．26

A．

2

2 5 B． C．D． 633 6

8．已知函数y sinax b(a 0)的图象如图所示，则函数y loga(x b)的图象可能是（ ）

9．已知偶函数f(x)，且当x 0时，f(x) x lnx（e为自然对数的底数），则函数f(x)的零点不可能落在区间（ ）

A． 1,0 B． 0,1 C． , D． ,1 10．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则在1～100这100个数

中，能称为“和平数”的所有数的和是（ ） A．130

B．325

C．676 D．1300

1

e

11 ee 1 e

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡相应位置） 11．若a 0，且

a

xdx 1，则实数a的值是 ．

12

12．若y f(x)是奇函数，且当x 0时，f(x) 4x，则f( )

y 2,

13．已知变量x、y满足约束条件 x y 1,则z 3x y的最大值为 ．

x y 1,

14．已知直线x 2y 2与x轴、y轴分别交于A、B两点．若动点P(a,b)在线段AB上，

则ab的最大值为 ．

15．已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数，数列 xn 是一个公差为2的等差数列，且满

足f(x8) f(x9) f(x10) f(x11) 0，则x2012的值．

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．把答

案填在答题卡相应位置） 16．（本小题满分13分）

在锐角 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．向量m

1,cosB ，

n sinB,，且m n．

(Ⅰ)求角B的大小； (Ⅱ)若

ABC a 2，求b的值 17．（本小题满分13分）

已知数列 an 的前n项的和Sn n2 2n，数列 bn 是正项等比数列，且满足a1 2b1，

b3(a3 a1) b1,n N*．

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； (Ⅱ)记cn

1

anbn，求数列的前n项的和Tn． 3

1． 2

18．（本小题满分13分）

函数f(x) (sinx x)sinx

（Ⅰ）求函数f(x)的单调递减区间； （Ⅱ）将y f(x)的图象向左平移

3

个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍

（纵坐标不变）后得到的y g(x)的图象．若y

g(x)(x 0)的图象与直线y 点的横 坐标由小到大依次是x1,x2, ,xn, ,求数{xn}的前2n项的和． 19．（本小题满分13分）

交某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为每千克1.8元，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用（若n

天购买一次，需要支付n天的保管费），其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按每天10元支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每千克每天0.03元支付．

（Ⅰ）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用p是多少元？

（Ⅱ）若该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用．．．y（元）关于x的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少? ．．．．．．．．．

20．（本小题满分14分）

x2y2

椭圆E：2 2 1 a b 0 的一个焦点F1(

2,0)，点P在椭圆E上．

ab（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设点C的坐标为(1,0)，椭圆E的另一个焦点为F2．试问：是否存在椭圆上的点Q及以C为圆心的一个圆，使圆C与直线QF1,QF2都相切，如存在，求出Q点坐标及圆C的方程， 如不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数

f(x) x alnx

a 12

，函数g(x) ax 9a 1． x

（Ⅰ）当a 3时，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）当a 4时，A ,3 ．

3（i）求函数

1

f(x)在A上的最大值；

（ii）若存在x1，x2 A，使得f(x1) g(x2) 6成立，求实数a的取值范围．

南安一中2012～2013学年度上学期期中考高三年数学科试卷参考答案

10．【解析】C．设两个连续偶数为2k 2和2k，则（2k 2） (2k) 4(2k 1)，故“和平

数”的特征是4的倍数，但不是8的倍数，故在1～100之间，能称为“和平数”的有

2

2

4 1,4 3,4 5,4 7, ，4 25，共13个，其和为4 1 25 13 676．

2

x2aa2a2

|0 1得a （负值舍去）11．【解析】a xdx ，由．

0222

a

1

1111

12．【解析】f() 42 2，又因为f( ) f()，所以f( ) 2．

2222

13．【解析】11．作出可行域，如图所示．目标函数变形为y 3x z，平移目标函数线，

y 2,

显然当直线经过可行域中A点时，z最大，由 得A(3,2)x y 1

zmax 3 3 2 11．

17．【解析】（Ⅰ）当n 1时，a1 S1 12 2 1 3； 1分

2

当n 2时，an Sn Sn 1 (n2 2n) (n 1) 2(n 1) 2n 1．

当n 1时，满足上式，故an 2n 1(n N*)． 3分

正项等比数列中，a1 2b1，即2b1 3，所以b1

3

． 4分

2

18．【解析】

（Ⅰ）f(x) (sinx x)sinx

11

sin2x xsinx

22

1 cos2x1 2x 2

221

42x cos2x sin(2x )．

26

分

分

令2k

3 2 5

2x 2k (k Z)，所以k x k (k Z) 26233

所以f(x)的单调递减区间为 k （Ⅱ）将f(x) sin(2x 得到f(x) sin[2(x 分

2 5

,k (k Z)． 6分 33

6

)的图象向左平移

3

个单位后，

) ] sin(2x ) cos2x． 7

362

再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到y g(x) cosx， 8

分解法一：若函数g(x) cosx(x

0)的图象与直线y 次是

x1、x2、 xn、 、x2n，则由余弦曲线的对称性，周期性可知，

x xx xx1 x2

,34 2 , ,2n 12n 2(n 1) , 10分 222

所以x1 x2 x2n 1 x2n (x1 x2) (x3 x4) (x2n 1 x2n)

2 6 10 (4n 2) 1 3 5 (2n 1) 2 12

分

n 1 (2n 1)

2

2 2n2 ． 13分

解法二：若函数g(x) cosx(x

0)的图象与直线y 是

x1、x2、 xn、 、x2n，则x1

分

由余弦曲线的周期性可知，

2 4

． 10,x2

33

x3 x1 2 ,x5 x1 4 , ,x2n 1 x1 2(n 1) ；

x4 x2 2 ,x6 x2 4 , ,x2n x2 2(n 1) .

11分

所以x1 x2 x2n 1 x2n (x1 x3 x2n 1) (x2 x4 x2n)

[nx1 2 4 2(n 1) ] [nx2 2 4 2(n 1) ]

n(x1 x2) [1 2 (n 1)] 4 12分

n(

2 4 (n 1)n ) 4 2n2 ． 13分

332

236

f(x)是(0,7]上的减函数， x

28265

当且仅当x 7时，f(x)有最小值； 10 403（元）

77

当0 x 7时，f(x) 370 分

当x 7时，f(x) 3x 当且仅当x

432144 321 3(x ) 321 393， xx

144

，即x 12时取等号． 10分 x5

因为393 403， 所以当x 12时 f(x)有最小值393元． 12

7

答：该厂12天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最小． 13

分

分

（Ⅱ）假设存在椭圆上的一点Q(x0,y0)，使得直线QF1,QF2与以C为圆心的圆相切， 则C到直线QF1,QF2的距离相等． 由于F1( 2,0),

F2(2,0)

所以直线QF1为y0x (x0 2)y 2y0 0，

直线QF2为y0x (x0 2)y 2y0 0． 8分

2

9分

化简整理，得8x0 40x0 32 8y0 0． 10分 因为点在椭圆上，所以x0 2y0 8，

解得x0 2 或 x0 8（舍） 12分 当x0 2时，y0 2，r 1，

2

2

2

所以椭圆上存在点Q，其坐标为(2,2)或(2, 2)，

使得直线QF1,QF2与以C为圆心的圆(x 1) y 1相切． 14分

2

2

(ii)对于函数g(x) ax 9a 1，由于a 0，所以g(x)在 ,3 上单调递减，

3

2

1

版权所:中有华源资库 wwwz.iuyank.cou

m

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r8vj.html