七年级数学竞赛第6讲 高斯函数
更新时间:2024-03-09 19:29:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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七年级数学竞赛第6讲:高斯函数
一、内容提要
1.设x是实数,不大于x的最大整数叫做x的整数部分,记作?x?,?x??x??x?称为x的小数部分;例如:?,2?2?1。 ?3.2??3,?3.2??0.2,??1.3???2,??1.3??0.7,??2??1??2.?x?与?x?具有如下基本性质:
(1)对于任何实数x,有x??x???x?,其中0??x??1。 (2)当?x??0时,x为整数;当x为整数时,?x??0。
(3)当0?x?1时,?x??0;反之,当?x??0时,0?x?1。 (4)对于任何实数x,有?x??x??x??1,x?1??x??x。 3.基本思路是寻求不等关系“n?x?n?1,某个整数n”,确定?x?,进而顺利解决问题。
二、例题精讲:
【例1】(五羊杯竞赛题)若21111?3?4?????15?s,则?s?= 。 223242152
1.(2012年上海新知杯竞赛)把所有除以4余2或者3的正整数从小到大排成一行,S(n)为前n个之和.求
?S???S???S?????123S2013
?
【例2】(重庆市竞赛题)若?x??5,?x?、?y?、?z?分别表示不超过x、y、z的最大整数,?y???3,?z???2,
则?x?y?z?可以取值的个数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4
1.?x?、?y?、?z?分别表示不超过x、y、z的最大整数,若?x??5,?y???3,?z???1, 求?x?y?z?的值。
2.(第33届美国数学竞赛题)设?x?表示不超过x的最大整数,又设x,y满足方程组
??y?2?x??3,如果x不是整数,那么x?y是( ) ???y?3?x?2??5A、一个整数 B、在4与5之间 C、在-4与4之间 D、在15与16之间 E、16.5
??2?x??y??23.(山东省竞赛题)设x,y满足方程组?,求?x?y?的值。
??3?x?2??y?16
【例3】(2000全国联赛)正整数n小于100,并且满足等式?????????n,其中?x?
236表示不超过x的最大整数。这样的正整数n有( )个。
A、2 B、3 C、12 D、16
1.(2002江苏竞赛)?x?表示不超过x的最大整数,如?3.2??3。已知正整数n小于2002,且??????,
?3??6?2则这样的n有 个。
【例4】(全国初中数学联赛题)解方程:?3x?1??2x?
1.(上海市竞赛题)解方程:?2x???3x??8x?
?n??n??n????????n??n?n1。 27。 2?x??y???z???0.9(1)?【例5】(华罗庚杯少年数学邀请赛试题)已知x,y,z满足??x???y??z?0.2(2),
?(3)??x??y??z??1.3求x、y、z的值。
三、能力训练:
1.(第17届希望杯)以下四个结论中,正确的是( )
A、?a????a??0 B、?a????a??0或1 C?a????a??0 D?a????a??0或?1
2.(2006希望杯)对于数x,符号?x?表示不超过x的最大整数。例如?3.14??3,
??7.59???8,则满足关系式??
3x?7??4的x的整数值有( ) ??7?A、6个 B、5个 C、4个 D、3个
3.若规定:?x?表示不大于x的最大整数,如?5??5,??2.4???2;?x?表示大于x的最小整数,如?3??4,
??2.4???2。则使等式2?x???x??15成立的整数x? 。
4.(2004年希望杯)规定?a?表示不超过a的最大整数,当x??1时,代数式2mx3?3nx?6
的值为16,则??2m?n???3??( ) A、?4 B、?3 C、3 D、4
5.(2004年希望杯)设?x?表示不超过x的最大整数,如?3.14??3,??2.7???3,??1?2?2?3?????200?320??0?41002( )
A、1001 B、2003 C、2004 D、1002 6.(重庆市竞赛题)若??x?1?100??????x?2??99??100?????????x?100????x?1??356,则x可能 取值为( )
A、3.54 B、3.55 C、3.44 D、3.45
7.求小于1000既不能被5整除,又不能被7整除的正整数的个数。
8.(第19届希望杯)设f(x)?x?1x?1,求?f(2)???f(3)???????f(100)?的值。
9.(第19届五羊杯)解方程:?3.8x???3.8?x?1(x为自然数)。
4??4,则
?10.(重庆市竞赛题)解方程:|x|?2?x??4?x??8?x??16?x??58?0。
??a??n???n?????;其中n为正整数,a为正实数.
11.设P(n)=??2?????(1)若P(5)=5,求a的取值范围; (2)求证:P(n)>a?1
12.从某地区七年级抽取一个班学生的期末考试数学成绩,已知该班有学生49人,成绩xi 是整数,且
1?xi?100(i?1,2,3,?,49),该班学生数学平均分为x,且有唯一的一个众数a,设y?a?x,
试问:当y达到最大值时,?y?的值是多少?(?y?表示不超过y的最大整数)
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