2001至2011年度广东高考理科数学卷及其官方标准答案

2001年高考数学广东卷（理科）

说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟．

参考公式：

三角函数的积化和差公式

1sin?cos??[sin(???)?sin(???)]

21 cos?sin??[sin(???)?sin(???)]

21 cos?cos??[sin(???)?cos(???)]

21sin?sin???[cos(???)?cos(???)]

2正棱台、圆台的侧面积公式 S台侧=

1 (c′+c)l2

其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长 台体的体积公式 V台体=(S??13S?S?S)h

其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．不等式

x?1＞０的解集为 x?3B．｛ｘ｜ｘ＞３｝ D．｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝

A．｛ｘ｜ｘ＜１｝

C．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝

2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是 Ａ．３π

2

Ｂ．３3π

Ｃ．6π Ｄ．９π

3．极坐标方程?cos2??1所表示的曲线是 A．两条相交直线

B．圆

C．椭圆

D．双曲线

4．若定义在区间(?1,0)内的函数f(x)?log2a(x?1)满足f(x)?0，则a的取值范围是

11] Ｃ．（，＋∞） 2215．已知复数ｚ＝2?6i，则arg是

z A．（０，

Ｂ．（０，

A．

1） 2Ｄ．（０，＋∞）

? 3Ｂ．

?5? Ｃ． 36 Ｄ．

11?6

6．函数y?2?x?1(x?0)的反函数是

1，x?(1,2) x?11 Ｂ．y??log2，x?(1,2)

x?11 Ｃ．y?log2，x?(1,2]

x?11 Ｄ．y??log2，x?(1,2]

x?1?7．若０＜α＜β＜，sin??cos??a,sin??cos??b则

4 A．ａ＞ｂ Ｂ．ａ＜ｂ Ｃ．ab?1

A．y?log2

Ｄ．ab?2

8．在正三棱柱ABC—A１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝2ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为 A．60°

Ｂ．９０°

Ｃ．4５°

Ｄ．120°

9．设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题

①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)?g(x)单调递增； ②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)?g(x)单调递增； ③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)?g(x)单调递减； ④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)?g(x)单调递减其中，正确的命题是

A． ①③ Ｂ．①④ Ｃ．②③

2

Ｄ．②④

10．对于抛物线y?4x上任意一点Q，点P(a,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a的取值范围是 A．（－∞,０） B．（－∞,２） C．［０,２］ D．（０,２） 11．一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．

若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 A．P３＞P２＞P１ Ｂ．P３＞P２＝P１

C．P３＝Ｐ２＞Ｐ１ Ｄ．P３＝P２＝P１

12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为 A．２６ Ｂ．２４ Ｃ．２０ Ｄ．１９

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组 成共有 种可能(用数字作答) x2y2??1的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点14．双曲线

916P到ｘ轴的距离为 15．设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ＝ 16．圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)

求函数y?(sinx?cosx)?2cosx的最小正周期． 18．(本小题满分12分)

已知等差数列前三项为a,4,3a，前n项的和为Sn,Sk?2550． (Ⅰ)求a及ｋ的值； (Ⅱ)求lim(n??22111????) S1S2Sn19．(本小题满分12分)

如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD中， ∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD， SA＝AB＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝

1． 2(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积；

(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值． 20．(本小题满分12分)

２

设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm，画

面的宽与高的比为λ（λ＜１)，画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈[,]，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小? 21．(本小题满分14分)

2334x2?y2?1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相 已知椭圆2

交于A、B两点，点C在右准线l上，且ＢＣ∥x轴求证直线AC经过线段EF的中点． 22．(本小题满分14分)

设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x?1对称．对任意x1,x2?[0,]，都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2)，且f(1)?a?0． (Ⅰ)求f(),f()； (Ⅱ)证明f(x)是周期函数； (Ⅲ)记an?f(2n?

1212141)，求lim(lnan)．

n??2n

参考答案

一、选择题

1．C 2．A 3．D 4．A 5．B 6．A 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．D 二、填空题

13．4900 14．165 15．1 16．2n(n-1) 三、解答题

17．解：ｙ=y?(sinx?cosx)2?2cos2x

＝1?sin2x?2cos2x

＝sin2x?cos2x?2 ＝2sin(2x??4)?2 所以最小正周期Ｔ＝π． 18．解：(Ⅰ)设该等差数列为{an}， 则a1?a,a2?4,a3?3a,Sk?2550． 由已知有a+3a=2×４，解得首项a1?a?2，

公差d?a2?a1?2． 代入公式Sk(k?1)k?k?a1?2?d得k?2?k(k?1)2?2?2550 ∴ｋ２

＋ｋ－２５５０＝０

解得k=50,k=-51(舍去)

∴a=2,k=50． (Ⅱ)由S(n?1)n?n?a1?n2?d得Sn?n(n?1)， 1S?1???1?1?1???11S2Sn1?22?3n(n?1)

?(11-12)?(11112-3)???(n-n?1) ?1?1n?1 ?lim1n??(S?1???1)?lim(1?1)?1 1S2Snn??n?1 19．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是 M1底面=

2(BC?AD)?AB 8分

10分 2分 6分 9分 12分

５分

=

1?0.53?1? 2分 24∴四棱锥S—ABCD的体积是

1131V??SA?M底面??1?? 4分

3344(Ⅱ)延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱 6分 ∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ

∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ

∵ＳＡ⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线．

又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影， ∴CS⊥ＳＥ，

所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 10分 ∵ＳＢ＝SA2?AB2?2,BC?1,BC?SB

∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝

BC2? SB22 12分 2２

即所求二面角的正切值为

20．解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ，则λｘ＝４８４０ 1分 设纸张面积为S，则有

２

Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3分 将ｘ＝

2210?代入上式得

Ｓ＝５０００＋４４10(8??5?) 5分

当８??555,即??(?1)时，S取得最小值，

88?此时，高：ｘ＝

4840??88cｍ，

5?88?55ｃｍ 8分 82323如果λ∈［,］，可设??1??2?，则由S的表达式得

3434宽：λｘ＝

Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４10(8?1?5?1?8?2?55?2)

=4410(?1??2)(8??11?2) 10分

由于?1?2?255?,故8??0 38?1?2因此Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＜０，

23,］内单调递增． 34223从而，对于λ∈［,］，当λ＝时，S（λ）取得最小值

334所以S（λ）在区间［

答：画面高为88ｃｍ、宽为５５ｃｍ时，所用纸张面积最小；如果要求λ∈［当λ＝

23,］,342时，所用纸张面积最小． 12分 321．证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F(1，0)，

右准线方程为ｘ＝２，点E的坐标为(2，0)，EF的中点为N(，0) 3分

若AB垂直于x轴，则A（１，ｙ１），Ｂ（１，－ｙ１），Ｃ（２，－ｙ１），

∴AC中点为N(，0)，即AC过EF中点N．

若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BC∥x轴知点B不在x轴上，故直线AB的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０．

记A（ｘ１，ｙ1）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），则C（２，ｙ２）且ｘ１，

3232ｘ２满足二次方程

x2?k2(x?1)2?1 2即（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２（ｋ２－１）＝０， ∴１０分

又ｘ２１＝２－２ｙ２１＜２，得ｘ１－≠０，

32ｘ１

＋ｘ２

＝

4k22(k2?1),x1x2? 221?2k1?2k

故直线AN，CN的斜率分别为

ｋ１＝

y1x1?32?2k(x1?1)y k2?2?2k(x2?1)

32x1?32?2(x1?1)?(x2?1)(2x1?3)

2x1?3∴ｋ１－ｋ２＝２ｋ·∵（ｘ１－１）－（ｘ２－１）（２ｘ１－３） ＝３（ｘ１＋ｘ２）－２ｘ１ｘ２－４ ＝

1[12k2?4(k2?1)?4(1?2k2)]?0 21?2k∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故A、C、N三点共线． 所以，直线

AC

经过线段

EF

的中点

N． 14分

22．(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，所以

1］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x２）, 2xxxxf(x)?f(?)?f()?f()?0,x?[0,1]222211111?f(1)?f(?)?f()?f()?[f()]2

22222111111f()?f(?)?f()?f()?[f()]2244444f(1)?a?0， 3 分

11∴f()?a2,f()?a4 6分

24 (Ⅱ)证明：依题设y?f(x)关于直线ｘ＝１对称， 故f(x)?f(1?1?x)， 即f(x)?f(2?x),x?R

又由f(x)是偶函数知f(?x)?f(x)，x?R，

11

∴f(?x)?f(2?x)，x?R，

将上式中?x以x代换，得f(x)?f(x?2)，x?R

这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期． 10分 （Ⅲ）解：由(Ⅰ)知f(x)?0，ｘ∈［０，１］ ∵f(1)?f(n?122n)?f[112n?(n?1)?2n] ?f(1)?f[(n?1)?1]??? 2n2n ?f(12n)?f(12n)???f(12n)?[f(1

n2n)]1f(12)?a2 1∴f(1)?a2n2n ∵f(x)的一个周期是2

1∴f(2n?1)?f(12n),因此an=a2n2n

∴lim(lna1n??n)?lim(n??2nlna)?0

12分

14分

2002年高考数学广东卷（理科）

第1卷(选择题 60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求的． （1）函数f(x)?

（A）

? 2sin2x的最小正周期是 cos2x（B）? （C）2? 3x的距离是 3（D）4?

（2）圆(x－1)2＋y2=1的圆心到直线y=

（A）

1 2（B）

3 2（C）1 （D）3

（3）不等式(1＋x)(1－x)＞0的解集是

（A）｛x0≤x≤1｝ （C）｛x－1＜x＜1｝

（B）｛xx＜0 且x≠－1｝

（D）｛x x＜1且x≠－1｝

（4）在(0，2?)内，使sinx＞cosx成立的x取值范围为

（A）(（C）(

??5?，)∪(?，) 442

（B）(（D）(

?，?) 4

?5?，) 44?5?3?，?)∪(，) 442k1k1????（5）设集合M=?xx??,k?z?，N=?xx??,k?z?，则

2442???? （A）M=N （B）M?N （C）M?N （D）M∩N=?

（6）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么，这

个圆锥轴截面顶角的余弦值是

（A）

3 4（B）

4 5（C）

35（D）－

35（7）函数f(x)=xx?a＋b是奇函数的充要条件是

（A）ab=0

（B）a＋b=0

（C）a=b

（D）a2＋b2=0

（8）已知0＜x＜y＜a＜1则有

（A）loga(xy)＜0

（B）0＜loga(xy)＜1

(III)设bi为数列T(k)的第i项，Sn?b1?b2?求Sn，并求正整数m(m?1)，使得lim?bn，

Snn??nm存在且不等于零.

（注：无穷等比数列各项的和即当n??时该无穷等比数列前n项和的极限）

20、(本题12分)A是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数?(x)组成的集合：①对任意的

x?[1,2]，都有?(2x)?(1,2)；②存在常数L(0?L?1)，使得对任意的x1,x2?[1,2]，都有|?(2x1)??(2x2)|?L|x1?x2|.

(I)设?(2x)?31?x,x?[2,4] ，证明：?(x)?A

(II)设?(x)?A，如果存在x0?(1,2)，使得x0??(2x0)，那么这样的x0是唯一的； (III) 设?(x)?A，任取x1?(1,2)，令xn?1??(2xn)，n?1,2,任意的正整数p，成立不等式|xk?p

，证明：给定正整数k，对

Lk?1?xk|?|x2?x1|

1?L

2006年高考数学参考答案广东卷(B)

第一部分 选择题（50分）

?1?x?011、解：由????x?1，故选B.

3?3x?1?02、由z?2?0?z??2i?z??22i，故选D.

3、B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定

义域内不是奇函数,是减函数;故选A. 4、CD?CB?BD??BC?5、①②④正确，故选B. 6、?231BA，故选A. 2?5a1?20d?15?d?3，故选C.

?5a1?25d?307、f(x)?0的根是x?2，故选C

8、依题意可知 a?3,c?a2?b2?3?9?23，e?c23??2，故选C. a39、由??x?y?s?x?4?s交点为A(0,2),B(4?s,2s?4),C(0,s),C?(0,4)， ???y?2x?4?y?2s?4（1） 当3?s?4时可行域是四边形OABC，此时，7?z?8 （2） 当4?s?5时可行域是△OAC?此时，zmax?8 故选D.

10、由(1,2)?(p,q)?(5,0)得??p?2q?5?p?1, ??2p?q?0q??2??所以(1,2)?(p,q)?(1,2)?(1,?2)?(2,0),故选B.

第二部分 非选择题（100分）

二、填空题 11、lim(x??24111?)?lim? 2x??22?x2?x44?x33?S?4?R2?27? 212、d?33?R?

13、Tr?1?C11x(?)所以x的系数为(?2)511?r11?rr2x11?r11?r2r?11?(?2)11?rC11x?2r?11?5?r?8

11?r3C11?(?2)3C11??1320

14、f(3)?10，f(n)?三、解答题

n(n?1)(n?2)

615解：f(x)?sinx?sin(x??2)?sinx?cosx?2sin(x?2??2?; 12；

?4)

（Ⅰ）f(x)的最小正周期为T?（Ⅱ）f(x)的最大值为2和最小值?（Ⅲ）因为f(?)?337，即sin??cos?????①?2sin?cos???,即 4416sin2???7 1616解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为P(7)?0.2?0.2?0.04； (Ⅱ) ?的可能取值为7、8、9、10

P(??7)?0.04 P(??8)?2?0.2?0.3?0.32?0.21 P(??9)?2?0.2?0.3?2?0.3?0.3?0.32?0.39

P(??10)?2?0.2?0.2?2?0.3?0.2?2?0.3?0.2?0.22?0.36

?分布列为 ? P 7 8 9 10 0.04 0.21 0.39 0.36 (Ⅲ) ?的数学希望为E??7?0.04?8?0.21?9?0.39?10?0.36?9.07.

17、解：(Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,

∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角， 依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450. 即二面角B—AD—F的大小为450；

(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，?32，0），B（32，0，0）,D（0，?32，8），E（0，0，8），F（0，32，0）

所以，BD?(?32,?32,8),FE?(0,?32,8)

cos?BD,EF??BD?FE|BD||FE|BD

与

?0?18?64100?82EF

?82 10，则

设异面直线

所成角为?cos??|cos?BD,EF?|?82 1082 10直线BD与EF所成的角为arccos

3218解: (Ⅰ)令f?(x)?(?x?3x?2)???3x?3?0解得x?1或x??1

当x??1时,f?(x)?0, 当?1?x?1时,f?(x)?0 ,当x?1时,f?(x)?0

所以,函数在x??1处取得极小值,在x?1取得极大值,故

x1??1,x2?1,f(?1)?0,f(1)?4

所以, 点A、B的坐标为A(?1,0),B(1,4).

(Ⅱ) 设p(m,n)，Q(x,y)，PA?PB???1?m,?n???1?m,4?n??m2?1?n2?4n?4

y?m1y?n1?x?n??2??4? 所以又PQ的中点在y?2(x?4)上，所以kPQ??，??，

22x?m2?2?消去m,n得?x?8???y?2??9

22

?a1?a1?3?1?q?9??19解: (Ⅰ)依题意可知,?2??2

q??a1?81?3?2?51?q??2?(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an?3????3?n?1,所以数列T(2)的的首项为t1?a2?2,公差d?2a2?1?3,

1S10?10?2??10?9?3?155,即数列T(2)的前10项之和为155.

2?2?(Ⅲ) bi=ai??i?1??2ai?1?=?2i?1?ai??i?1?=3?2i?1????3?i?1??i?1?，

Sn4518n?27?2?n?n?1??2?n?n?1?，limm=limm? Sn?45??18n?27???????mmn??n??n2nn2n?3??3?nn当m=2时，lim

SnSn1=－，当m>2时，=0，所以m=2 limmn??nmn??2n20、解：对任意x?[1,2],?(2x)?31?2x,x?[1,2],33?所以?(2x)?(1,2) 对

任

意

的

?(2x)?35,1?33?35?2,

x1,x2?[1,2]，

，

|?(2x1)??(2x2)|?|x1?x2|23?1?2x1?2?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?，

23?0<

33?1?2x1?22?3?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?2所以

?1?2x1?,令

2?1?2x1??1?x2???1?x2?3

?2323?1?2x1?2?3?1?2x1??1?x2??3?1?x2?2=

L，

0?L?1，

|?(2x1)??(2x2)|?L|x1?x2|

所以?(x)?A

??(1,2),x0?x0?使得x0??(2x0),x0???(2x0?)则 反证法:设存在两个x0,x0由|?(2x0)??(2x0)|?L|x0?x0|，得|x0?x0|?L|x0?x0|，所以L?1，矛盾，故结论成立。

////x3?x2??(2x2)??(2x1)?Lx2?x1，所以xn?1?xn?Ln?1x2?x1

|xk?p?xk|??xk?pLk?1?xk?p?1???xk?p?1?xk?p?2????xk?1?xk??|x2?x1|

1?L?xk?p?xk?p?1?xk?p?1?xk?p?2??xk?1?xk?Lk?p?2x2?x1?Lk?p?3x2?x1+…

L

k?1LK?1x2?x1 x2?x1?1?L

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