相关系数显著性检验的几何意义

相关系数显著性检验的几何意义

维普资讯

第3 0卷第4期20 0 7年 8月

南京气象学院学报Jun l f nigIstt ee r l y o ra o j ntue ofM to o og Na n i—

VO . 0 No. 13 4

Au 2 0 g. 0 7

—

相关系数显著性检验的几何意义姚菊香王盘兴鲍学俊卢楚翰，,,(. 1南京信息工程大学大气科学学院，江苏南京 2 0 4 2上海市气象信息传媒中心， 104;.上海 203 ) 00 0

摘要：几何学角度阐明了相关系数显著性检验的意义。对于来自正态分布的样本，用其距平序从利列对应的随机向量在高维空间中均匀分布的性质，母体无相关假定下，在用几何方法求得了显著性水平和样本容量 n下的临界相关系数的表达式，并验证了它等于由 t布求得的临界相关分系数 r,而给出了相关系数显著性检验的直观理解。 从 关键词：关系数；著性检验；相显几何意义中图分类号： 2 2 1 0 1 .文献标识码： 文章编号：0 02 2 ( 0 7 0 -5 60 A 10—0 2 2 0 ) 40 6 -5

G e m e rc M e n n ft e S g fc n e o t i a i g o h i n i a c i Te t o r e a i n Co f c e t s f Co r l to e i in YA u xa g, NG P nxn B e u L h—a O J—in WA a—ig, AO Xu - n, U C uh n j( . co l f t shr c ne, S Naj g 20 4 C ia 1S ho Amop ei Si csNUIT, ni 10 4, hn; o c e n2 S a g a Meeoo i l daC ne, h n h i 2 0 3 C ia . h n h i t lgc r a Me i e tr S a g a 0 0 0, hn )

Ab t a t An l sso o r l to o f ce ti d l e n t e s d h r-e m l t ra i s r c: a y i f c rea i n c e i in s wi ey us d i h t y ofs o tt r ci u ma e vai t on a d p e ito Th a i g o h i n fc nc e to o eai o f ce ti l cd td fom e me. n

r d ci n. e me n n ft e sg i a e t s fc r l t i on c e i n se u i ae r i go t rc a g e Ba e o t e c a a tr t a e so ha tc v c o s c re p n i g t e a omay s q e c i n l . s d n h r c e tt t c si e t r o s o d n o t n h h h h l e u n e of h a l swi a n m ld srb to u io ml iti u e i i i n i n s a e, u po i t t e s mp e t or a iti u i n, n f r y d srb t n t e h gh d me so p c s p sng t a h h h

h a lsc mefo id p n e tp r n p lt s t x rsi fci c lc e in t esmpe o r m n e e d n ae t o uain, ee pe s n o ria o f ce tr p o h o t i.

un e dr

h o d t so i i a e l v lO n a l a a iy n wa b an d by t t d fg omer t e c n i on f sgnfc c e e/a d s mp e c p ct s o ti e e me o s o e i i n h h ty. Th tt e r a h e uast e c i c lc re ai n c e ce t q l o t rt a o l t o f i n h i o i,

oba n d fo td sr u i sv l td. ti e r m - itb t on wa a i e da

S e i t ii e u d rt n i g o e sg fc c e to o eai n c e c e s g v n. o t n u tv n e sa d n ft i ni a e ts fc r l t o m inti i e h h i n o

Ke r s: o e ai n c f ce t sg i c c e t g o ti a i g y wo d c r lto oe i n;i n f a e ts; e me rc me n i i n n

0引言 在短期气候变化及其预测研究领域，于研究由

相关系数 r示成 n维欧氏空间 (为 )表记中两个

向量间夹角的余弦，几何学的角度改写了 r表从的达式，阐明了 r的几何意义。研究表明，

几何学角从度观察、理一系列气象学中的问题¨。,两个处 如 场之间相似性问题¨较之从统计学角度更为明 ,晰、洁。本文从几何学角度分析并阐明相关系数简显著性检验的意义。这种分析有助于对气象统计学问题的理解，从而提高解决短期气候异常分析和预测实际问题的能力。

对象间关系的复杂性，量分析工作仍只能在线性大相关的层面进行¨。 4。气象上，在研究青藏高原地表温度对华北汛期降水变化的影响 j中国西南汛期、降水的振动和分布及其与印度洋海温异常的关系、华北夏季降水与哈得孙湾海冰的关系 J西、北地区东部夏季温度特征及与热带 S T的相关关 SA

系时，都用到线性相关的分析方法。在线性相关分析中，关系数的显著性检验是据样本相关系数相 r计母体相关与否的方法。对此，计学教科估统

1 r的几何实质 由文献[21]知，机变量 x, 1—3可随 y的一对容量为 n的样本

书

已有严格论证和系统介绍。王盘兴等¨将

收稿日期：0 60 -0改回日期：0 70 -9 20 -62; 2 0 -32

基金项目：国家自然科学基金重点资助项目(0 3 0 8 46 3 1 )作者简介：姚菊香 (9 0 )女， 18一，江苏通州人，助教，硕士，研究方向：短期气候预测， y o 2 .on j a@16 cr. x

相关系数显著性检验的几何意义

维普资讯

第 4期

姚菊香，:关系数显著性检验的几何意义等相f Y,: 1,…, ,fi 2, n,

57 6

( 2,显著性检验的统计意义¨ .按文献[]当样本 ( )自于正态无相关母体 9, 1来 X,, Y时其样本相关系数 r的概率密度函数为() 3, r:! ()1 T

可看作中的一对随机向量x -= ( 1 2… )= ( 1 2 x, Y Y

根据文献[8, 1]它们可分解为=x+, Y=+Y。

( 1一r n Z-( 2 In 1一z一 d - 4 2 )丁 z 1。

() 9

-0

式中：值向量，均的每个分量为

作变换

吉，夕 y 音 r。距平向量， Y的每个分量为= f, Yf Y一 一 f。

( 4 )() 5,、

f≥,可得 t的概率密度函数为1 1 1

() 1 0’

由文献[ 2可知，, )=0 ( Y )=, 1] ( ,, 0故 j -, Yj -。又由于，与中的幺向量 e=( 11…1 )共线，故，在中垂直于 e的子空间 Y落一

”而

\ 2’ 2, 1十 J

( n

( ) 1 1

1空间);维中它们的交角=(,的余弦为 Y),

则t服从自由度为 n一 2的学生氏 t布]分。在给定显著性水平 o(通常是一个小量， o:0 0, t它如 t . 1 0 0 ),对样本容量 n可由 g的概率分布函数 .5下针，P Il )=O计算出 t临界值 t并据 ( 0) (≥f t, t的 1.

Y的相关系数，即

r=CSX,。 O( Y )定义标准化向量’,

() 6

,

’

。。

() 7

式求得 r的临界值=.

标准化使 l l= l l I 1 1 j=1故，的矢端均 ,

t 2二 l n(一2)+,

( 2 1)

落在

中单位半径球面 (维数为 n一 );其 2上而标 r=c s2, ) o( 。 () 8

准化不改变 X,的方向， Y 故得 r的另一表达式： 图 1分别给出了中，的分解及 Y

它使P( rI r )=o I≥ a t。.

(3 1)

因为 o是小量，在一次试验中出现 l l r. t故 ≥ 0 r 是小概率事件。根据实际推断原理 若在一次试 m,验中出现 I l a则可在显著性水平 o下否定“ ≥r r t样b

(

)中， , ) Y ( 的交角，的余弦即为 r。

,

\

一

图 1相空间中， Y的分解的几何示意图(折线：向量垂直；弧线：向量交角 )aE;. . b ( )Fi Ge m erc g a o he d c m p ii a i a e s a e g.1 o ti r ph f r t e o oston of ndY n ph s p c

( lo a l e r h— g;r: g f n r c o f etr) o p y nl i:g t l ac a l o t s t no c s n i a e n n e ie e i v o a;. . b

( ) E

相关系数显著性检验的几何意义

维普资讯

58 6

南京气象学院学报

第3 0卷

本 ( )自无相关母体”假设，断母体相关； 1来的判反之， I I 0,肯定“本 ( )自无相关母若，<r.则 . 样 1来体”,判断母体不相关。

3,显著性检验的几何意义从几何角度看，当样本 ( )自正态母体 x, 1来 y时，随机向量 ( 是 Y)中各向同性的向量。 中所有方向上的 (各向同性是指它出现在 Y)

概率相等， ( )端均匀出现在 矢

中单位半径

超球球面 (的维数为 n一 )。图 2给出了 n= 它 2上 3时， N(, )由 0 1随机试验给出的 10个和的图 0像，它们直观显示了上述几何性质。 当正态母体 x。 y无相关时， ( ) Y ( ) 与 取

向(置 )关。若在位无匀取向，在

中取为极轴，即为 …a

中单位半径超球球面的北极点；在

中均

1

中单位半径超球球面上均匀取位。

{ n,, l2.目 T ( 7 J r n丁 4一

f需 i0,为数 s-0,奇； nd z ~"￣) !0…… !J 一”一 ’

对于给定的小量及样本容量 n上述几何均匀性，

将使出现在单位半径超球球上 0 北极区≤0。的或 Y出现在 中 0∈[,’] 0 0。角域内的概率，于等中≤。的极冠区单位半径球面面积 ( ) 与半球球面面积 ( t 之比， S)即(。, S,)

( J‘_, u’ ) { - 。 ( . ‘凡 8丢 3‘【‘2 1 n’ 2手)一

=:

P 0≤0≤ 0 )= o￣/ )^一1=。 (4 (’ ÷牛 。 1) r 2上式已考虑了“

,

,为偶数。 z

中超球对 0:a 2的对称点， x/只ra O ' n~ 。 sn伽 j

给出了超球“半球”分。因为是一个小量，北部故

j落在 0∈[ 0]或“落在 0 的极冠， 0,” ≤0次抽样中出现与否，断正态母体 X,判 Y是否相

l 3, ’

S -; ',奇； '41 z数 i一' n 3为” 1( l一 ) !’~, ! ~。

区”是一个小概率

事件；实际推断原理，据它在按可一

2

a

●

b●/’ .,0 l● . . 5 。●

.

●

.

1

.

.

1 .。 .‘l’ ’』’} ‘. . 。一’ ' .‘ .\‘ .:\。

.

0

. 05

o0

05

10,

/、‘

’

-一 o5

\

。 j

●

● --●

一.

1O. .

图 2由 N(,)机试验产生的 10个 ( )j ( ) n= ) 0 1随 0 a、 b ( 3Fg2 10 ( ) s n b s rd cdb eN(, )r dm s i. 0 a d( ) o ue yt O 1 a o t t a p h n e

相关系数显著性检验的几何意义

维普资讯

第 4期

姚菊香，:关系数显著性检验的几何意义等相

59 6

式中： !为双阶乘号，规定 01=1=1 21 !并 1 1 1, 1 =

取位；,相关，若 Y无由弧A绕一周构成的极冠区面积与该半球面积之比.

2。对=0 0、 . 1和一些 n值，积分方程 .5 0 0从

(9中解得 0 1)表 1。

并据 (6式求得 r 1)

.

,

结果列于

=。。,得 .5求。

0 o【。 )4≈ 1 . 5 8 2。, )4=0 9 0 0= r )4 ro【 5 . 5 o【 5。

。

表 1几何分析求得的…及 r… Ta l 0 be 1.

a nd,.

o t ndf m q ai s 1 ) ba e o E ut n ( 9 i r o

5小结 相关系数分析在短期气候变化及预测研究中有着广泛应用，文从几何学角度阐明了相关系数显本

n a d( 6, se t ey 1 )r pc vl e i

著性检验的意义。对来自正态分布的样本，用其利距平序列对应的随机向量在高维空间中散布均匀的性质，在母体无相关假定下，几何方法求得了显著用性水平和样本容量 n下的临界相关系数 r的表 达式，验证了它等于由 t布求得的临界相关系并分数 r从而给出了相关系数显著性检验的直观理 解。

致谢：吴诚鸥教授对此文提出了宝贵意见，致谢谨忱！

参考文献[]赵宗慈，学志， 1高罗勇， .等气候模式作年季预报

的几个问题

经与统计途径求得的相关系数临界值[比较，1 ) ( 5式成立。r著性检验的几何意义得到验显证。

[ . AS T c nclR p r,9 7 3 7 -0 R] L G, eh i eot19,:89 . a

[]王艳玲， 2郭品文.春季北方气旋活动的气候特征及与气温和降水的关系[]南京气象学院学报，0 5,8 3:9 .9 . J. 20 2 ( ) 3 13 7

对= . 5和 n=、, 3直观地给出了 r 00 34图显著性检验的几何意义。对 n= ( 3 )应在半圆 3图 a,

[]陈兵，品文， 3郭向渝川.夏季低空越赤道气流与 E O的关系 NS[]南京气象学院学报，0 5,8 1;64 . J. 20 2 ( ) 3 -3【 L h n yn Z o n J a l n . ta. e a a/n e e . 4J iC o g i, h u We,i Xi o g e 1 D c d l Itr c a o da a a i t n o e o e n t mp r t r n t mp c so l d v rai ft c a e e au e a d i i a t n c i t l o h s mae

弧

上均匀取位；若，无相关， . ),.

: .5, 00由

C C A) 5。, 5此求得 0o53=4. r oo 3=0 9 69=r【-。对， 【, .9 o) 5 3 z 4图 3 )应在 A为北极点的半球球面上均匀 ( b,,

[] Ad mo c,0 6 2 ( ):6 -8 . J . vAt sSi2 0,3 6 9 49 1 [ 余锦华，淑艳，健 .藏高原地表温度对华北汛期降水变 5]荣任青化的影响[]气象科学，0 5,5 6)5 956 J. 2 0 2 (:7 .8 .[ 晏红明， 6]肖子牛 .国西南汛期降水的振动和分布及其与印度中

=

:, A B

一

l

0

C

图 3,著性检验几何意义显

a n=:. 4 . 3 b n=a n=3: n:4 b..

Fi 3 Ge g om erc m e n n ft e sg fca ce ts ti a i g o h ini n e tof, i

相关系数显著性检验的几何意义

维普资讯

50 7

南京气象学院学报(I[]山东气象，0 3 2 ( )81 . I) J . 2 0,3 1:-2

第3 0卷

洋海温异

常的关系[]气象科学，0 12 ( )5 -3 J. 20,1 1:46 . 【]谢付莹，金海.北夏季降水与哈得孙湾海冰的相关分析 7何华[]南京气象学院学报，0 3,6 3:0 -1 . J. 20 2 ( )3 83 6 []王兰宁， 8田武文，祖英， .黄等西北地区东部夏季温度特征及与热带 S T的相关关系[]气象科学，0 0,0 1:32 . SA J. 20 2 ( )2— 9[] Fs .率论及数理统计[]王福保， .海：海科学 9 i zM概 M .译上上技术出版社，9 2 16 .

论变量线性相关系数的相互制约及其对多元线性回【4 王盘兴. l]归方程拟合优度的影响[]气象学报，9 64 1:08 . J. 18,4( ) 7 -1 [5] 1W a g P x n A p of lc l p t r ao u o f ii n: n a i g. ma o a at n a l g e c e fce t A n e n

to o i l igc clt nao l[] A t Me o ii, ol r s a n i uai n ma J . ca t r nc f dpy r o y e S a1 9 6 2: 2 -3 . 9 2, ( ) 3 5 3 1

[6王盘兴，刚，建新， .观测场时间序列两个统计量的 1]李王等原相似性讨论[]气象学报，9 8 5 ( ) 747 1 J. 19,6 6:6—5 . [7王盘兴， 1]李丽平，周伟灿.某些气象统计学问题的几何学分析

[O]复旦大学数学系 .率论与数理统计[]上海： 1 概 M .上海科学技术出版社 .9 1 16 .

盛骤，式千，承毅 .率论与数理统计[]北京：等教谢潘概 M .高育出版社，99 18.

[]气象教育与科技，0,3 1 1 . J. 2012 ( ):. 5[ 8洛伦茨. 1]大气环流的性质和理论[ .京大学地球物理系 M]北气象专业， .京：学出版社，9 6译北科 17 .[9华东师范大学数学系 .学分析：册[]3版 .京：等 1]数下 M .北高教育出版社，0 2 20.

[ 2王盘兴，丽平，春华 .象统计若干基本问题的几何实质 1]李周气

()J . I[]山东气象，0 2,2 4) 37 20 2 ( 4:_.[3王

盘兴，丽平，春华 .象统计若干基本问题的几何实质 1]李周气

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r8n4.html