黄江熳论文：固定式喷灌系统节水策略研究

山东财经大学

本科毕业论文(设计)

题目： 固定式喷灌系统节水策略研究

学 院 数学与数量经济学院 专 业 信息与计算科学 班 级 2008级1班 学 号 20080534134 姓 名 黄江熳 指导教师 张 慧

山东财经大学教务处制 二Ｏ一二年五月

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固定式喷灌系统节水策略研究

摘 要

喷灌是喷洒灌溉的简称。它是借助一套专门设备，将具有压力的水通过喷头喷到空中散成水滴降落田间地头，供给农作物水分的一种先进的灌溉方式。喷灌有三要素：喷灌强度、喷灌均匀度和喷灌雾化指标。喷灌雾化指标取值一般用喷头工作压力水头与喷头喷嘴直径之比来表示，我们主要考虑怎样排布喷头能使喷灌均匀度以及喷灌强度（还与喷头水量分布特性有关）达到理想的效果。喷头布置得过密导致投资增加，并且也浪费水资源；过稀又使水量供给不足，还会出现喷洒不到的地方。本文详细研究了固定式喷灌系统喷头的排布问题。根据分析和计算，结合经济效益，得到如下结论：当喷头采用等边三角形排布，且喷头间距是喷水半径的1.24倍时有极均匀的喷灌效果，喷灌均匀系数为0.9555。

关键词：喷灌；三要素；喷头排布；喷灌均匀度

The Study of Water-Saving Strategy of Fixed Sprinkler System

ABSTRACT

The sprinkler irrigation is the abbreviation of the spray irrigation. It is through a set of specialized equipment, let the pressure water spray through the nozzle into the air and scattered into the water droplets landing fields, and it is an advanced irrigation method of supplying crop water. The sprinkler irrigation has three elements: sprinkler irrigation strength, sprinkler irrigation uniformity and sprinkler irrigation atomization indicators. The sprinkler irrigation atomization indicator is the ratio of work pressure nozzle head to nozzle and nozzle diameter generally. We mainly consider how to row the nozzles that can make sprinkler irrigation uniformity and sprinkler irrigation strength achieve the desired effect. It will lead to increasing investment and wasting water if the sprinkler heads are too close, On the other hand it will result in supplying water insufficiently, still the unsprayed areas can appear. In this paper the sprinkler arrangement of fixed sprinkler system is researched in details. According to the analysis and calculation, combining with economic benefits, we obtain the result that when the distance among sprinklers is 1.24 times radius, and sprinkler arrangement is equilateral triangle mode, it has an excellent irrigation effect and the uniformity coefficient is 0.9555.

Keywords：sprinkler irrigation; three elements; nozzle arrangement; the uniformity of sprinkler irrigation

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目 录

一、引 言 .......................................................................................................................................................... 1 二、基本假设 ...................................................................................................................................................... 1 三、符号说明 ...................................................................................................................................................... 2 四、问题分析 ...................................................................................................................................................... 2 五、模型的建立与求解 ...................................................................................................................................... 4

（一）情形一：（二）情形二：

3?s?23 ............................................................................................................... 6 323?s?1 ................................................................................................................. 10 3（三）分析比较 ........................................................................................................................................ 13 六、模型的优点与改进 .................................................................................................................................... 14 七、附 录 ........................................................................................................................................................ 15

附录1： ..................................................................................................................................................... 15

附录2： ..................................................................................................................................................... 15 附录3： ..................................................................................................................................................... 15 附录4： ..................................................................................................................................................... 16 附录5： ..................................................................................................................................................... 17 附录6： ..................................................................................................................................................... 17 八、参考文献 .................................................................................................................................................... 17 九、致 谢 ........................................................................................................................................................ 18

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一、引 言

水是哺育人类的乳汁。没有水的哺育，就没有生命的繁衍；没有水的世界，将是死亡的世界。地球上因为有了水，才变得生机勃勃。然而，由于种种原因，一方面人类对水的需求与日俱增，另一方面人为的浪费，还有就是人们对水资源的污染，使水资源不断枯竭。水资源危机已成为21世纪人类面临的最为严峻的现实问题之一。

我国是一个干旱缺水严重的国家。淡水资源总量为28000亿立方米，占全球水资源的6％，仅次于巴西、俄罗斯和加拿大，居世界第四位，但人均只有2200立方米，仅为世界平均水平的1／4、美国的1／5，在世界上名列121位，是全球13亿人均水资源最贫乏的国家之一。扣除难以利用的洪水泾流和散布在偏远地区的地下水资源后，我国现实可利用的淡水资源量则更少，仅为11000亿立方米左右，人均可利用水资源量约为900立方米。

怎样合理利用水资源，成为人们日益关注的话题。

缓解缺水状况无外两种方式，一是开源，二是节流。开源是一个巨大而又复杂的整体工程，节流则需从小处着眼，汇涓流而成大海。土地喷灌是一个长期大量的用水项目，目前有移动水车浇灌和固定喷水龙头旋转喷浇两种方式。移动水车主要用于道路两侧狭长绿地的浇灌，固定喷水龙头主要用于公园，小区，广场等观赏性绿地。观赏性绿地的草根很短，根系寻水性能差，不能蓄水，故喷水龙头的喷浇区域要保证对绿地的全面覆盖。据观察，绿地喷水龙头分布方式和喷射半径的设定具有较大的随意性。本文考虑如何排布喷头以及如何确定喷射半径从而在保证全面覆盖率的前提下使水分喷洒的更均匀。

二、基本假设

1) 在整个喷灌过程中，不考虑风的影响； 2) 所喷灌的土地平坦，没有地势的起伏；

3) 所喷灌的土地足够大，不考虑边界上的水量分布；

4) 只考虑固定旋转式喷灌系统，每个喷头喷出的水洒落在以喷头为圆心的圆域；

5) 在适当的工作压力下，每个喷头喷出的水量随着与喷头支架底部的距离的均匀增加而均匀减少，即水量是距离的一次减函数（如下图）；

图 1 单个喷头土壤中的水分分布

6) 水滴到地面后，不考虑落地点周围泥土对它的吸收，只作为落地点的灌溉量(即水深)考虑； 7) 所有喷头规格相同，即每个喷头在土壤中的水分分布相同； 8) 所有喷头不能跨喷头喷洒。

1

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三、符号说明

s 间距，即相邻两个喷头间的水平距离； r 单个喷头的射程；

d 地面上一点(x，y)到某个喷头支架底部的水平距离；

?(x，y) 点(x，y)处的喷灌强度，喷灌强度是指单位时间内喷洒在地面上该点处的水的深度；

?sum 一块土地内的总喷灌量，即单位时间内喷洒到这块地面的所有水量之和；

? 平均灌溉强度，即一次喷洒中相同时段内各点喷灌强度的平均值，其值等于总喷灌量除以地块面

积；

?? 喷灌强度的平均偏差，即地面上各点喷灌强度与平均灌溉强度偏差的平均值；

k(s) 喷灌均匀系数，其中0?k(s)?1，反映了喷洒水量在灌溉面积上分布的均匀程度，其计算公式

为：

k(s)?1-??? （1）

r(s) 喷灌重叠系数，表示单位土地面积内平均需要的喷头个数，s越大，r(s)越小。r(s)的值等于所

有喷头在一个多边形中的所有喷洒面积之和除以单个喷头所能达到的喷灌面积，再除以多边形的面积。

四、问题分析

我们的目的是对定喷式系统（即在固定位置做定点旋转喷洒的灌溉系统），寻找一种较为合理的喷头分布方案，使用较少数目的喷头，使水量分布尽量均匀以促进植物生长，同时也可以节约水的消耗。（如果喷洒不均匀的话，就会导致有些地方喷洒的水量超过植物生长需要而造成浪费，因而均匀喷洒有利于节约水资源。）

要使水量分布均匀，除了喷头的工作压力、风向、风速、地势等因素外（这里我们忽略这些因素的影响），喷头的规律排布是很重要的（便于分析、管理）。为了节省投资，要求尽可能减少喷头的个数，也就是说要尽量减少重叠的区域（几个喷头重复喷洒的地方），因为减少重叠区域可以减少喷头安装的数量，从而节约成本。如果将喷头看作是一些点，那么规律排布就意味着用线段将其连接得到的几何图形是一些有规律的图形，这些图形紧密排列并覆盖着整块土地。

这里我们选取基本图形为三角形，则各种排布如下图：

2

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图 2 各种三角形排布

通过观察我们发现，图2（c）和（d）的顶点分布是一样的，都为等边三角形；图2（b）中顶点分布为矩形；图2（e)中顶点分布为正方形（图2（f））。为了便于分析，我们以等腰三角形作为讨论对象。那么等腰三角形有哪些限制条件呢？分析下图3:

图 3 等腰三角形的分析

3

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在等腰三角形ABC中，AB?AC，AO?BO?CO?r，即O为三角形ABC外心，由于不能跨喷头喷灌，则要求：

1?sin2????BC?2r?sin2??r?2 解得：??2??2?

即：??63?AB?2r?cos??r?cos??1?2?也就是说，等腰三角形中顶角的取值范围为：(—等边三角形来进行分析。

?2?63,)。不失一般性，我们选取特殊的等腰三角形—

五、模型的建立与求解

以下我们来计算喷头按正三角形排布的?sum，?，??和k(s)。

根据假设，单个喷头的水量分布在越接近喷头的地方水量越大，即越接近喷头喷灌强度越高并呈线

性变化趋势，因而单个喷头下的喷灌强度?可以认为是距离d的线性减函数，可以记为：

?d??(x,y)??0??1-r??,??0?d?r （2）

这里的?0为喷头处的喷灌强度，也就是单个喷头所能达到的对某个点的最大喷灌量。由于射程是固定的，不失一般性，我们可将射程r看做1个单位，又因为?0只是作为系数，不影响实际计算结果，为简单起见，我们也将其视为1个单位，于是喷灌强度的计算公式（2）可以简化为：

?(x,y)?1-d,0?d?1 （3）

显然，要使一块土地上的每一点都能被喷灌到的话，正三角形内部必定有重叠喷洒的区域，因而我们建模的重点应该放在对重叠区域的研究上。正三角形各种情形如下图4。

4

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(g)

23?s?1 35

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(h) s?1

图 4 喷头距离s与喷灌射程的关系（其中阴影部分为喷灌次数最多的区域）

为使正三角形中重叠区域不至于过多，显然应该要求间距s?1。在图4（h）中，三角形顶点为摆放喷头的地点，由于s?1时，地块上所有的点都出现重复喷灌，这显然不符合我们减少喷头个数的本意，不符合实际需求。另一方面，如图4（a），（b），（c)所示，为了植物的生长需要又不能出现灌溉不到的地方，所以又应要求s?3，于是s的取值范围应满足1?s?3。通过比较图4的八个图形，可

知图4（e），（g）是我们研究的重点。

（一）情形一：3?s?23 3由于等边三角形具有对称性，我们可以将图4中的（e）进行划分，如下图：

图 5

3?s?6

23 3山东财经大学学士学位论文

当喷头位于正三角形的三个顶点上时，由图5可以直接求出喷头按三角形排列的重叠系数

r(s)?23。由于图5具有完全对称性，因而我们只需研究它的阴影部分直角三角形OAB的平均灌溉23s强度，即可得到整个三角形的平均灌溉强度，为此我们建立如图6所示的直角坐标系：

图 6

3?s?23时平均灌溉强度取样分析图 3上图中的直角三角形OAB被两段圆弧分割成了D1，D2，D3三个小区域，其中区域D1只受到喷头O的喷洒，则由公式（3）可知，在该区域上的点(x，y)处，其喷灌强度为：

?1(x，y)?1-d?1-x2?y2

对于区域D2上的点，其同时受到喷头O和O2的喷洒，所以其上每一点的喷灌强度为喷头O作用的喷灌强度1-加上喷头O2作用的喷灌强度1-(x-s)2?y2，即D2上每一点的喷灌强度为： x2?y2，

?2(x，y)?2-x2?y2-(x-s)2?y2

区域D3上的点同时受到喷头O，O1和O2的喷洒，其上的喷灌强度等于这三个喷头各自作用产生的喷灌强度之和，即：

?3(x，y)?3-x2?y2-(x-s)2?y2-(x-)2?(y?

7

s23s2)2

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喷灌强度反映了每个点处获得水量的大小，因而将?1(x，y)，?2(x，y)，?3(x，y)分别在相应区域作二重积分并再相加，就可以得到在直角三角形OAB上的总水量：

?sum?????i(x,y)d?i

i?1Di3由于被积函数?i(x，y)和积分区域Di中都含有参数s，所以直接计算上述积分很困难，但是仔细观察图5后可以发现，图形具有对称性，在一个正三角形区域上的喷灌量（指三个喷头喷在这个正三角形上的总水量，即图5中圆心角为60°的三个相同扇形区域上喷出水量的总和）恰好等于一个喷头在半个圆域上喷出的水量，而所研究的直角三角形OAB上的总水量就可以通过下面的办法来计算：

11?22?sum??1(x,y)dxdy?(1?x?y)dxdy? （4）

????12x2?y2?112x2?y2?136用总喷灌水量?sum除以直角三角形OAB的面积，可得直角三角形OAB上的平均灌溉水量，即平均灌溉强度为：

242?????2 （5）

2sum3s3s3现在来求直角三角形OAB上的喷灌强度的平均偏差??，即地面上每点处的喷灌强度偏离?的平均值。由于地面上每点的喷灌强度与平均值?的偏离值为

?(x,y)-?，加上绝对值是为了统一正偏离

和负偏离，因而，三角形OAB上所有点偏离值之和为二重积分

??sum?????i(x,y)-?d?i，

i?1Di3再除以直角三角形OAB的面积就可得平均偏离强度：

243????(x,y)-?d?i （6）

2???i3si?1Di把（5）和（6）代入（1）中就可得喷灌均匀系数：

8

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k(s)?1?3????1?36?(x,y)-?d? （7） ????iii?1Di3将（7）中二重积分

????(x,y)-?d?ii?1Dix30i展开得：

?????s?10dx?1?x2?y2?dx?dx?dx?0x31?(x?s)21?(x?s)22?dy?23s32?dy?23s32?dy?23s32?dy?23s33s?12?3s24s?13s?12?3s24s?1s23s?12?3s24s23s?12?3s241?x2?y2?2?x2?y2?(x?s)2?y2?

3ss?1?(x?)22202?x2?y2?(x?s)2?y2?3?x2?y2?(x?s)2?y2?dx?x33ss?1?(x?)222s23s22?dy(x?)?(y?)?2223s3接下来的问题就是如何确定s的值使得在喷头不是太多的情况下均匀系数k(s)尽量达到最大。虽然得到了均匀系数的表达式（7），但（7）是包含有未知参数s的非常复杂的二重积分，很难直接得到显示表达式，也很难利用微积分中最大值和极值的方法来求解，这时我们利用数学软件MATLAB来进行数值计算。我们定步长为0.02，首先可以得到下表（源代码见附录1，2）：

s 1.16 1.18 1.2 1.22 1.24 1.26 1.28 1.3 k(s) 0.9518 0.953 0.9543 0.9552 0.9555 0.9545 0.952 0.9474 s 1.32 1.34 1.36 1.38 1.4 1.42 1.44 1.46 表 1

k(s) 0.9403 0.9301 0.9169 0.9026 0.8875 0.8716 0.855 0.8379 s 1.48 1.5 1.52 1.54 1.56 1.58 1.6 1.62 k(s) 0.8201 0.8019 0.7833 0.7644 0.7451 0.7257 0.706 0.6862 s 1.64 1.66 1.68 1.7 1.72 1.74 k(s) 0.6663 0.6463 0.6263 0.6063 0.5864 0.5665 3?s?23情况下的离散均匀系数 3然后，用数学软件画出的k(s)在s?[23，3]之间的变化曲线如图7所示（源代码见附录3）： 39

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10.950.90.85均匀系数 k(s)0.80.750.70.650.60.551.11.21.31.4间距 s1.51.61.71.8

图 7

3?s?23情况下均匀系数变化图 3 从表1及图7可以看出，当间距s?1.24时k(s)有最大值95.55%。

（二）情形二：

23?s?1 3由于等边三角形具有对称性，我们可以将图4中的（g）进行划分，如下图：

图 8

23?s?1 310

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当喷头位于O、O1~O56个顶点上时，由图8易知三角形OO1O2的重叠系数也为r(s)?23。同23s理，我们只需研究它的阴影部分直角三角形OAB的平均灌溉强度，即可得到整个三角形的平均灌溉强度，为此我们建立如图9所示的直角坐标系：

图 9

23?s?1时平均灌溉强度取样分析图 3上图中的直角三角形OAB被三段圆弧分割成了D其中D1，D2，D3，D1，D2，D34四个小区域，三个区域的喷灌强度与情形一相同，区域D4上的点同时受到喷头O，O1，O2和O3的喷洒，其上的喷灌强度等于这四个喷头各自作用产生的喷灌强度之和，即：

?4(x，y)?4-x2?y2-(x-s)2?y2-s23s2s23s2

(x-)?(y?)-(x-)?(y?)2222喷灌强度反映了每个点处获得水量的大小，因而将?1(x，y)，?2(x，y)，?3(x，y)和?4(x，y)分别在相应区域作二重积分并再相加，就可以得到在直角三角形OAB上的总水量：

?sum?????i(x,y)d?i

i?1Di4易知，?sum?2?、??，从而可得平均偏离强度： 363s23? 11

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244????(x,y)-?d?i （8）

2???i3si?1Di把（5）和（8）代入（1）中就可得喷灌均匀系数：

k(s)?1?4????1?36?(x,y)-?d? （9） ????iii?1Di4将（9）中二重积分

????(x,y)-?d?展开得：

iii?1Di?????s?10dx?x302?1?x?y?2dy?3s3223s?12?3s24s?13s?12?3s24s?1s?4?3s223s?12?3s24s?4?3s23s?12?3s242dx?dx?dx?0x31?(x?s)21?(x?s)21?x2?y2?222?dy?23s3222?2?x?y?(x?s)?y?2dy?3s32?2?x?y?(x?s)?y?2dy?3s322223ss?1?(x?)2220dx?x33ss?1?(x?)2223?x2?y2?(x?s)2?y2?s23s22?dy?(x?)?(y?)?2223s34?x2?y2?(x?s)2?y2?

?s2s?4?3s22dx?s3s1?(x?)2?220s23s2(x?)?(y?)?22s23s22?(x?)?(y?)?2223s3dy??

s2s?4?3s22dx?s3s1?(x?)2?22x33?x2?y2?(x?s)2?y2?s23s22?dy(x?)?(y?)?2223s312

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利用数学软件MATLAB来进行数值计算。我们定步长为0.01，可以得到下表（源代码见附录1，4）：

s 1 1.01 1.02 1.03 k(s) 0.9654 0.9639 0.9624 0.9611 s 1.04 1.05 1.06 1.07 表 2

k(s) 0.9598 0.9587 0.9576 0.9566 s 1.08 1.09 1.1 1.11 k(s) 0.9556 0.9545 0.9531 0.9521 s 1.12 1.13 1.14 1.15 k(s) 0.9514 0.9511 0.9512 0.9514 23?s?1情况下的离散均匀系数 323)之间的变化曲线如图10所示（源代码见附录5）： 3然后，用数学软件画出的k(s)在s?[1,

0.9680.9660.9640.962均匀系数 k(s)0.960.9580.9560.9540.9520.9511.05间距 s1.11.15

图 10

23?s?1情况下均匀系数变化图 3结合表2和图10可以看出，当间距s越接近1时，喷灌均匀系数k(s)越大。

（三）分析比较

我们将情形一与情形二综合起来，可以得到k(s)在s?[1,代码见附录6）。

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3]之间的变化曲线如下图11所示（源

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10.950.90.85均匀系数 k(s)0.80.750.70.650.60.5511.11.21.31.4间距 s1.51.61.71.8

图 11

3?s?1情况下均匀系数变化图

从图11中可以看出，当s取1时，k(s)有最大值96.54%，当s取1.24时，k(s)有极大值95.55%。为了能减少喷头的个数（也就是增大s），我们取间距s?1.24，即喷头间距为其射程的1.24倍，此时重叠系数r(s)?0.751。

六、模型的优点与改进

喷灌问题实质上是一个多目标规划问题。比如，它可以描述为在满足作物生长所需要水分的条件下如何排布喷头才能达到重叠区域少、喷灌均匀系数高且节约用水的目的。本文没有沿着规划问题的思路去建模，而是把喷头的排布问题归结为在一定条件下求三角形的最佳边长问题，为了能规律排布，我们首先将范围确定在等腰三角形之内，然后选择其中的等边三角形作为研究对象。在所得到的结论中，喷灌均匀系数高达90%以上，是一个令人鼓舞的结果。对于农业和园林技术工作者具有较高的参考价值，因为它远远大于水利部规定的节水喷灌技术标准(水利部农村水利司有关文件规定在设计风速下喷灌均匀系数不低于75%即可、国家《喷灌工程技术规范》要求，喷灌均匀系数一般不低于75%)。

不过，我们考虑的是一种较理想的情况，而对于实际问题来说，喷头究竟应该如何排布还需要考虑风向、风速、蒸发、地势、边角以及水在土壤中的渗透等因素。这些因素及其变化都会影响和制约着喷灌均匀系数的大小，从而影响喷头间距的大小。因而宜在夜间风力小时进行喷灌；同时，对于周边喷灌，安装半圆形或扇形喷头，可以进一步提高水资源的利用效率，达到节约用水的目的。

我们的模型是以等边三角形为对象进行讨论的，其实，可以在等腰三角形中将顶角设为变量（范围为(?2?63,，进而分析哪种等腰三角形效果最好，同理，也可以将直角三角形中某一锐角设为变量，)）

进而分析哪种直角三角形效果最好，更一般的，可以设一般三角形的两个角为变量，从而得出最一般的结论。在这些方面，我们将继续努力，展开讨论和研究。

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七、附 录

附录1：

%M函数dblquad2.m

function S=dblquad2(fun,a,b,clo,dhi,n) if nargin<6,n=100;end x=linspace(a,b,n+1); S=0; for i=1:n

S=S+dblquad(fun,x(i),x(i+1),feval(clo,(x(i)+x(i+1))/2),feval(dhi,(x(i)+x(i+1))/2)); end

附录2：

%M脚本文件（求点） close all;clear;clc; n=20; s=1.74;

fun1=inline('abs(1-sqrt(x.^2+y.^2)-2*pi/(3*1.74^2*sqrt(3)))','x','y'); a1=0;b1=s-1;clo1=inline('0');dhi1=inline('x/sqrt(3)'); t1=dblquad2(fun1,a1,b1,clo1,dhi1,n);

a2=b1;b2=(3*s-sqrt(12-3*s^2))/4;clo2=inline('sqrt(1-(x-1.74)^2)','x');dhi2=dhi1; t2=dblquad2(fun1,a2,b2,clo2,dhi2,n);

fun2=inline('abs(2-sqrt(x.^2+y.^2)-sqrt((x-1.74).^2+y.^2)-2*pi/(3*1.74^2*sqrt(3)))','x','y'); a3=a2;b3=b2;clo3=inline('0');dhi3=clo2; t3=dblquad2(fun2,a3,b3,clo3,dhi3,n);

a4=b2;b4=s/2;clo4=inline('0');dhi4=inline('sqrt(3)*1.74/2-sqrt(1-(x-1.74/2)^2)','x'); t4=dblquad2(fun2,a4,b4,clo4,dhi4,n);

fun3=inline('abs(3-sqrt(x.^2+y.^2)-sqrt((x-1.74).^2+y.^2)-sqrt((x-1.74/2).^2+(y-sqrt(3)*1.74/2).^2)-2*pi/(3*1.74^2*sqrt(3)))','x','y');

a5=b2;b5=b4;clo5=dhi4;dhi5=dhi1; t5=dblquad2(fun3,a5,b5,clo5,dhi5,n);

t=1-36*(t1+t2+t3+t4+t5)/pi; disp([s t]);

附录3：

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%M脚本文件（画图） close all;clear;clc;

x=[1.16,1.18,1.2,1.22,1.24,1.26,1.28,1.3,1.32,1.34,1.36,1.38,1.4,1.42,1.44,... 1.46,1.48,1.5,1.52,1.54,1.56,1.58,1.6,1.62,1.64,1.66,1.68,1.7,1.72,1.74]; y=[0.9518,0.953,0.9543,0.9552,0.9555,0.9545,0.952,0.9474,0.9403,0.9301,... 0.9169,0.9026,0.8875,0.8716,0.855,0.8379,0.8201,0.8019,0.7833,0.7644,... 0.7451,0.7257,0.706,0.6862,0.6663,0.6463,0.6263,0.6063,0.5864,0.5665]; plot(x,y,'k'); axis([1.1,1.8,0.55,1]); hold on;

plot(1.24,0.9555,'k*'); xlabel('间距 s'); ylabel('均匀系数 k(s)'); hold off;

附录4：

%M脚本文件（求点） close all;clear;clc; n=20; s=1.15;

fun1=inline('abs(1-sqrt(x.^2+y.^2)-2*pi/(3*1.15^2*sqrt(3)))','x','y'); a1=0;b1=s-1;clo1=inline('0');dhi1=inline('x/sqrt(3)'); t1=dblquad2(fun1,a1,b1,clo1,dhi1,n);

a2=b1;b2=(3*s-sqrt(12-3*s^2))/4;clo2=inline('sqrt(1-(x-1.15)^2)','x');dhi2=dhi1; t2=dblquad2(fun1,a2,b2,clo2,dhi2,n);

fun2=inline('abs(2-sqrt(x.^2+y.^2)-sqrt((x-1.15).^2+y.^2)-2*pi/(3*1.15^2*sqrt(3)))','x','y'); a3=b1;b3=b2;clo3=clo1;dhi3=clo2; t3=dblquad2(fun2,a3,b3,clo3,dhi3,n);

a4=b2;b4=(s-sqrt(4-3*s^2))/2;clo4=clo1;dhi4=inline('sqrt(3)*1.15/2-sqrt(1-(x-1.15/2)^2)','x'); t4=dblquad2(fun2,a4,b4,clo4,dhi4,n);

fun3=inline('abs(3-sqrt(x.^2+y.^2)-sqrt((x-1.15).^2+y.^2)-sqrt((x-1.15/2).^2+(y-sqrt(3)*1.15/2).^2)-2*pi/(3*1.15^2*sqrt(3)))','x','y');

a5=b2;b5=b4;clo5=dhi4;dhi5=dhi1; t5=dblquad2(fun3,a5,b5,clo5,dhi5,n);

a7=b4;b7=s/2;clo7=inline('sqrt(1-(x-1.15/2)^2)-sqrt(3)*1.15/2','x');dhi7=dhi1; t7=dblquad2(fun3,a7,b7,clo7,dhi7,n);

fun4=inline('abs(4-sqrt(x.^2+y.^2)-sqrt((x-1.15).^2+y.^2)-sqrt((x-1.15/2).^2+(y-sqrt(3)*1.15/2).^2)-sqrt((x-1.15/2).^2+(y+sqrt(3)*1.15/2).^2)-2*pi/(3*1.15^2*sqrt(3)))','x','y'); a6=b4;b6=s/2;clo6=clo1;dhi6=clo7; t6=dblquad2(fun4,a6,b6,clo6,dhi6,n);

t=1-36*(t1+t2+t3+t4+t5+t6+t7)/pi;

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disp([s t]);

附录5：

%M脚本文件（画图） close all;clear;clc;

x=[1,1.01,1.02,1.03,1.04,1.05,1.06,1.07,1.08,1.09,1.1,1.11,1.12,1.13,1.14,1.15]; y=[0.9654,0.9639,0.9624,0.9611,0.9598,0.9587,0.9576,0.9566,0.9556,0.9545,... 0.9531,0.9521,0.9514,0.9511,0.9512,0.9514]; plot(x,y,'k');hold on;

plot(1,0.9654,'k*'); xlabel('间距 s'); ylabel('均匀系数 k(s)'); hold off;

附录6：

%M脚本文件（画图） close all;clear;clc;

x1=[1,1.01,1.02,1.03,1.04,1.05,1.06,1.07,1.08,1.09,1.1,1.11,1.12,1.13,1.14,1.15,1.16]; y1=[0.9654,0.9639,0.9624,0.9611,0.9598,0.9587,0.9576,0.9566,0.9556,0.9545,... 0.9531,0.9521,0.9514,0.9511,0.9512,0.9514,0.9518]; plot(x1,y1,'k'); hold on; plot(1,0.9654,'k*'); hold on;

x2=[1.16,1.18,1.2,1.22,1.24,1.26,1.28,1.3,1.32,1.34,1.36,1.38,1.4,1.42,1.44,... 1.46,1.48,1.5,1.52,1.54,1.56,1.58,1.6,1.62,1.64,1.66,1.68,1.7,1.72,1.74]; y2=[0.9518,0.953,0.9543,0.9552,0.9555,0.9545,0.952,0.9474,0.9403,0.9301,... 0.9169,0.9026,0.8875,0.8716,0.855,0.8379,0.8201,0.8019,0.7833,0.7644,... 0.7451,0.7257,0.706,0.6862,0.6663,0.6463,0.6263,0.6063,0.5864,0.5665]; plot(x2,y2,'k'); hold on;

plot(1.24,0.9555,'k*'); xlabel('间距 s'); ylabel('均匀系数 k(s)'); hold off;

八、参考文献

[1] 曾庆黎，曾文艺. 喷灌模型[J]. 数学的实践与认识，2004（4）：16-22 .

[2] 杨启帆，李浙宁，王聚丰，涂黎晖. 数学建模案例集[Ｍ]. 北京：高等教育出版社，2008 . [3] 胡良剑，孙晓君. MATLAB数学实验[Ｍ]. 北京：高等教育出版社，2010 .

[4] 山仑，黄占斌，张岁岐. 节水农业[Ｍ]. 北京：清华大学出版社，广州：暨南大学出版社，2000 . [5] 王雅玲. 绿地喷浇设施的节水构想[J]. 数学的实践与认识，2003（2）：13-16 . [6] 焦莹. 静园草坪灌溉系统的改进[J]. 数学的实践与认识，2000（2）：150-152 .

[7] 朱培勇，宋建成，张广生. 喷灌系统设计中的微积分模型[J]. 西南民族大学学报·自然科学版，2005（4）：495-497 .

[8] 李国，杨东升，张建航. 移动式喷灌系统优化设计的数学模型[J]. 大学数学，2008（2）：132-138 . [9] 杨睿. 均匀喷灌的最优策略[J]. 数学的实践与认识，2003（12）：15-22 .

[10] 水利部农村水利司编. 节水灌溉技术标准选编[M]. 北京：中国水利水电出版社，1988 .

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九、致 谢

山东财经大学09级计算机信息工程学院计算机科学与技术专业同兰涛同学用MATLAB为本文做了许多数值分析计算，谨此表示衷心的感谢。

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