费业泰误差理论与数据处理课后答案全

《误差理论与数据处理》练习题

参考答案

第一章 绪论

1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？

【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的

绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa）。

相对误差=

?0.3?100%??0.3% 100.52

2

1

2

1

2

1-9 使用凯特摆时，g由公式g=4π（h+h）/T给定。今测出长度（h+h）为（1.04230±0.00005）m，振动时间T为（2.0480±0.0005）s。试求g及其最大相对误差。如果（h+h）测出为（1.04220±0.0005）m，为了使g的误差能小于0.001m/s，T的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h+h）的平均值为1.04230（m），T的平均值为2.0480（s）。

1

2

2

1

2

4?2由g?2(h1?h2),得：

T4?22g??1.04230?9.81053(m/s) 22.0480当(h1?h2)有微小变化?(h1?h2)、T有?T变化时，令h?h1?h2 g的变化量为：

?g?g4?28?2?g??(h1?h2)??T?2?(h1?h2)?3(h1?h2)?T?(h1?h2)?TTT?4?2?T[?(h?h)?(h1?h2)]122TT2

?g?g4?28?2?g??h??T?2?h?3h?T?h?TTT

24?2?T?2(?h?h)TTg的最大相对误差为：

?g?g4?2T4?22?T2[?h?Th]4?2?[?h?2?Th]?h2?TTT??24?2hhT T2(h?h)T212?0.000052?(?0.0005)?[?]?100%??0.054%1.042302.0480如果(h1?h2)测出为（1.04220±0.0005）m，为使g的误差能小于0.001m/s2，即：?g?0.001

4?22?T(h1?h2)]?0.001 也即 ?g?2[?(h1?h2)?TT4?22?T?0.0005??1.04220?0.00122.04802.0480T ?0.0005?1.01778?T?0.00106求得：

?T?0.00055(s)

1-10. 检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点的

示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？

【解】 引用误差＝示值误差／测量范围上限。所以该电压表的引用误差为：

rm??Um2??2% 由于： 2%<2.5% Um100所以该电压表合格。

1－13 多级弹导火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.lkm，优秀射手能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高? 解：

多级火箭的相对误差为： 0.1?0.00001?0.001%

10000

射手的相对误差为： 1cm0.01m??0.0002?0.002%

50m50m 1

多级火箭的射击精度高。

o

附加1－1 测得某三角块的三个角度之和为18000’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解：

绝对误差等于： 180o00?02???180o?2??相对误差等于：

2??2??2???＝?0.00000308641?0.000031%

180o180?60?60??

648000??2

第二章 误差的基本性质与处理

2-2. 试述单次测量的标准差?和算术平均值的标准差??，两者物理意义和实际用途有何

x不同？ 【解】

单次测量的标准差?表征同一被测量n次测量的测量值分散性的参数，可作为测量列中单次测量不可靠性的评定标准。???12??22????n2n 算术平均值的标准差??是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数，可

x作为算术平均值不可靠性的评定标准???x?n 在n次测量的等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的量次数n愈大时,算术平均值愈接近被测量的真值，测量精度也愈高。

1，当测n2-3. 试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在??2?,?2??中的概

??率。 【解】（1）误差服从正态分布时

P(?2?)?1?2???2??2?e??2(2?2)d??2?2??2?0e??2(2?2)d?

?,??t?,经变换上式成为： 引入新变量t:t??P(?2?)?2?2??e0t?t22dt?2?(t)?2?0.4195?0.84?84%

（2）误差服从反正弦分布时

因反正弦分布的标准差为：??a2，所以区间??2?,?2?????a,a?,

?? 3

故: P(?2?)???1?a21a??2?ad??1

（3） 误差服从均匀分布时

因其标准差为：??a，所以区间??2?,?2???????3???22?a,a?，故 33?P(?2?)?1??2a32?a3112d???2?a?0.82?82% 2a2a32-4. 测量某物体重量共8次，测得数据（单位为g）为236.45，236.37，236.51，236.34，236.39，

236.48，236.47，236.40，求其算术平均值及其标准差。

【解】①选参考值x0?236.00，计算差值?xi?xi?236.00、?x0和残差?vi等列于表中。

18或依算术平均值计算公式，n=8，直接求得： x??xi?236.43(g)

8i?1②计算标准差：用贝塞尔公式计算：???vi?1n2in?1?0.0251?0.06(g) 8?1??x??n?0.06?0.02 82－6 测量某电路电流共5次，测得数据(单位为mA)为168.41，168.54，168.59，168.40，

4

168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。 解：

I?5?Ii?15i5?168.49(mA)

??5?(Ii?1i?I)?0.08 ???x?n5?1?I)?0.08?0.04 52??3?(Ii?15i5?12??0.08?0.05 R?0.6745???0.02

x34??5?(Ii?1i?I)5?14??0.08?0.06 T?0.7979???0.03

x52—7 在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据(单位为mm)为20．0015，

20.0016，20.0018，20.0015，20.0011。若测量值服从正态分布，试以99％的置信概率确定测量结果。 解：

n①求算术平均值

li

x?i?1?20.0015mm n②求测量列单次测量的标准差

?用贝塞尔公式计算：???vi?1n26?10?8??2.55?10?4mm n?142i用别捷尔斯公式计算：?'?1.253③求算术平均值的标准差

?vi?1nin(n?1)?1.2530.0008?2.24?10?4mm 5?42.55?10?4?x??＝1.14?10?4mm

n5? 5

2.24?10?4?x'??＝0.0001

n5?'④求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差

做法1 ：

因n＝5 较小，算术平均值的极限误差应按t分布处理。 现自由度为：ν＝n－1＝4； α＝1－0.99＝0.01， 查 t 分布表有：t?＝4.60 单次测量的极限误差：

?limx??t????4.60?2.55?10?4?1.173?10?3?1.17?10?3mm

算术平均值的极限误差：

?limx??t??x??4.60?1.14?10?4?5.24?10?4mm

⑥写出最后测量结果 L?x??limx?20.0015?5.24?10?4mm做法2 ：

因假设测量值服从正态分布，并且置信概率P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查正态分布积分表，得置信系数 t?2.6 单次测量的极限误差：

???limx??t????2.60?2.55?10?4?6.63?10?4?0.00066

算术平均值的极限误差：

?limx??t??x??2.60?1.14?10?4?2.964?10?4?0.0003

⑥写出最后测量结果

L?x??limx??20.0015?0.0003?mm

2－10 用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ＝0.001mm，若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm，而置信概率P为0.95时，应测量多少次？ 解：根据极限误差的意义，有

?t?x??t根据题目给定得已知条件，有

?n?0.0015

tn

?0.0015?1.5

0.0016

查教材附录表3有

若n＝5，v＝4，α＝0.05，有t＝2.78，

tn?2.785?2.78?1.24 2.236若n＝4，v＝3，α＝0.05，有t＝3.18，

tn?3.184?3.18?1.59 2即要达题意要求，必须至少测量5次。

2-11 已知某仪器测量的标准差为0.5μm。①若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为26.2025mm，试写出测量结果。②若重复测量10次，测得值（单位为mm）为26.2025，26.2028，26.2028，20.2025，26.2026，26.2022，20.2023，26.2025，26.2026，26.2022，试写出测量结果。③若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中10次重复测量的测量值，写出上述①、②的测量结果。 解：① 单次测量的极限误差以3σ计算:

?limx??3???3?0.5??1.5(?m)??0.0015(mm)

所以测量结果可表示为：26.2025±0.0015 (mm) ② 重复测量10次，计算其算术平均值为：x??xi?110i?26.2025(mm)

取与①相同的置信度，算术平均值的标准差: ?x??n?0.0005＝1.58?10-4mm 10?limx??3?x??3?1.58?10-4?4.74?10-4?5?10-4mm

则测量结果为：x?3?x?26.2025?0.0005 (mm)

③ 若无该仪器测量的标准差资料，则依10次重复测量数据计算标准差和表示测量结果。选参考值x0?26.202，计算差值?xi?xi?26.202、?x0和残差vi等列于表中。

7

用贝塞尔公式计算：???vi?1n42?10?8??2.2?10?4mm n?110?12i2.2?10?4?＝0.00007mm 算术平均值的标准差：?x?n10?取与①相同的置信度，则测量结果为：xi?3? 此时①的测量结果为

26.2025?3?0.00022?26.2025?0.00066?26.2025?0.0007(mm)；

②的测量结果为

26.2025?3?0.00007?26.2025?0.00021?26.2025?0.0002 (mm).

2-13 测量某角度共两次，测得值为α1=24°13’36”，α2=24°13’24”，其标准差分别为σ1=3.1”，σ2=13.8”，试求加权算术平均值及其标准差。

【解】已知各组测量的标准差，可确定各组的权。

p1:p2?12?12?2:1?1111:?:?19044:961 223.113.89.61190.44取： p1?19044,p2?961

选取?0?24?13'36''，可由公式直接计算加权算术平均值和标准差：

8

???0??p?ii?1mmi?24?13'36''??pi?119044?0?961?(12'') 19044?961i?24?13'35.4''加权算术平均值的标准差的计算，先求两测量结果的残余误差：

v1?0.6'',v2??11.4''

算术平均值的标准差为：

?x??pvi?1m2ixim(m?1)?pii?119044?0.62?961?(?11.4)2??6.6''

(2?1)(19044?961)2-15. 试证明n个相等精度测得值的平均值的权为n乘以任一个测量值的权。

【证明】因为等精度测量，可设n个测得值的标准差均为?，且其算术平均值的标准差为：?x??n

又设各测量值的权相等，即：p1?p2?????pi?????p0。n个相等精度测得值的平均值的权为px，则：n个相等精度测得值的平均值的权px与各测得值的权

pi(i?1,2...n)的比为px:pi?1?x2?i2:1???n1:?n:1

?px?npi

2-17 对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，试判断该测量列中是否存在系统误差。 解：先计算算术平均值：x?14.96。各测量数据的残余误差分别为：

v1??0.26v6??0.36v2?0.04v7??0.06v3?0.24v8??0.16v4??0.16v9?0.14v5?0.54v10?0.04

① 根据残余误差观察法：计算出的残余误差符号正负个数相同，且无显著变化规律，

9

测定h的误差应为：

?h??12.511??0.142cm 22?V/?h1.41??r3-10 假定从支点到重心的长度为L的单摆振动周期为T，重力加速度可由公式 ?g出。若要求测量的相对标准差g

g

T?2?Lg给?0.1%，试问按等作用原则分配误差时，测量L和T的相对标准差应该是多少？ 解：由重力加速度公式，T?2? g得， 4?2LT?g2L

4?2Lg?2T

因为， ?g4?2?2?LT

2?g8?L??3 ?TT

因为测量项目有两个，所以n?2。按等作用原理分配误差，得 4?2L?g1?gT2?gg?gL1?g?L?????L22?g4?4?ggn2222?L?L1?g1???0.1%?0.07072%L2g2 20

同理，

4?2L?T?g1?gT3?gT2?T?gg?gT1?g?T???????????T222n?g28?L28?L28?L22g22g?T?1?g1|T|???0.1%?0.03536%T22g22 综上所述，测量L和T的相对标准差分别是 0.07072%和0.03536%。

第四章 测量不确定度

评定与表示测量不确定度的步骤可归纳为

1） 分析测量不确定度的来源，列出对测量结果影响显著的不确定度分量。 2） 评定标注不确定度分量，并给出其数值ui 和自由度vi 。 3） 分析所有不确定度分量的相关性，确定各相关系数ρij 。

4） 求测量结果的合成标准不确定度，则将合成标准不确定度uc 及自由度v .

5） 若需要给出展伸不确定度，则将合成标准不确定度uc 乘以包含因子k，得展伸不确定度U=kuc 。

6）给出不确定度的最后报告，以规定的方式报告被测量的估计值y及合成标准不确定度uc 或展伸不确定度U，并说明获得它们的细节。 根据以上测量不确定度计算步骤。

4—1 某圆球的半径为r，若重复10次测量得r±σr =(3.132±0.005)cm，试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度，置信概率P=99％。 【解】①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度

已知圆球的最大截面的圆周为：D?2??r

??D?2其标准不确定度应为：u????r???r?2?2??2?r2?4?3.141592?0.0052

＝0.0314cm

确定包含因子。查t分布表t0.99（9）＝3.25，及K＝3.25 故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为：

U＝Ku＝3.25×0.0314＝0.102

②求圆球的体积的测量不确定度 圆球体积为：V?4???r3 321

其标准不确定度应为：

??V?2u????r???r?2?4???r??222r?16?3.141592?3.1324?0.0052?0.616

确定包含因子。查t分布表t0.01（9）＝3.25，及K＝3.25 最后确定的圆球的体积的测量不确定度为

U＝Ku＝3.25×0.616＝2.002 4-3 测量某电路电阻R两端的电压U，由公式I?UR算出电路电流I。若测得

U??U?(16.50?0.05)V、R??R?(4.26?0.02)?，相关系数?UR??0.36，试求电

流I的标准不确定度。 【解】I?U/R

?I1??UR?IU??2?RR

UI?(?I22?I?I?I)?u?()2?R2?2?UR?u?R?U?R?U?R1U21U22??0.05??0.02?2?UR?0.05?0.02

R2R4RR2?0.024-6 某数字电压表的说明书指出，该表在校准后的两年内，其2V量程的测量误差不超过

-6-6

±(14×10 读数+1×10×量程)V，相对标准差为20％，若按均匀分布，求1V测量时电压表的标准不确定度；设在该表校准一年后，对标称值为1V的电压进行16次重复测量，得观测值的平均值为0.92857V，并由此算得单次测量的标准差为0.000036V，若以平均值作为测量的估计值，试分析影响测量结果不确定度的主要来源，分别求出不确定度分量，说明评定方法的类别，求测量结果的合成标准不确定度及其自由度。 【解】（1）测量误差 根据相对标准差为20% 由B类评定，根据??12(?uu?12.5，V服从均匀分布， )2且2V量程测量误差?(14?10读数?1?10?量程)，所以在区间（x-a,x+a）中

?6?6a?14?10?6?1?10?6?2?16?10?6?1.6?10?5a1.6?10?5?ux???9.24?10?6

33

22

一年后，对标称值为1V的电压进行16次重复测量

X?0.92857V??X?0.000036V

（2）不确定度评定

影响测量结果不确定度的主要来源： A 16次重复测量误差 B 电压表的示值误差 C 电压表的稳定度

A测量重复误差引起的不确定度

V?0.92857V??0.000036V

?V??16?0.000009V电压重复性引起的标准不确定度ux1属于A类评定

?ux1??V?9?10?6?9?V自由度：?1=16-1=15

B 标准电压表的示值误差引起的标准不确定度ux2 示值误差按均匀分布计算，属于B类评定

14?10?6?1ux2??8.08?10?63C 稳定度引起的标准不确定度ux3

自由度：?2=12()2u??1=12.5

2?(20%)电压表稳定度按均匀分布，属B类评定

1?10?6?2ux3??8.08?10?63合成标准不确定度

自由度：?3=12.5

uc?ux12?ux22?ux32?(9?10?6)2?(8.08?10?6)2?(1.15?10?6)2?28.0?10?6?28.0?V自由度：?c?ux14?1?uc4ux24?2?ux34?28.0?10?6?28.0?V

?34-9 用漏电测量仪直接测量正常使用中微波炉的泄漏电流，5次测量的平均值为0.320mA,平均值的标准差为0.001mA;已知漏电测量仪的示值误差范围为?5%,按均匀分布，取相对标准差为?10%;测量时环境温度和湿度的影响范围为?2%,按三角分布，其相对标准差

23

为?25%;试给出泄漏电流测量的不确定度报告（置信概率为99%）。 【解】

（1）不确定度评定

对泄漏电流测量不确定度影响显著的因素有： A 泄漏电流测量重复性引起的不确定度u1 B 示值误差引起的不确定度u2 C 环境温度与湿度引起的不确定度u3 求u1、u2、u3A测量重复误差引起的不确定度

u1????0.001mA?1?AV??5?1?4

示值误差（均匀分布）：

u2?a0.320?5%?mA?9.24?A33?2?2(1?u?2u2)21?50

2?(10%)2环境温度（三角分布）：

u3?a0.320?2%??2.61?10?3mA?2.61?A66?3?2(1?u?)231?8

2?(25%)2u3（2）不确定度合成

因不确定度各个分量相互独立，即?ij?0，合成的不确定度为：

uc?u12?u22?u32?12?9.242?2.612?9.65?V?0.00965mA

自由度：?c?u14?1?uc4u24?2?u34?57.1

?3根据“三分之一准则”，对标准不确定度进行修约得

uc?0.010mA?10?A

（3）展伸不确定度

24

取置信概率P?99%，?=57，查t分布表，得t0.99(57)?2.68，

? 泄漏电流测量的展伸不确定度为

U?kuc?2.68?9.65?25.862?0.025862mA

根据“三分之一准则”，对展伸不确定度进行修约得

U?0.026mA?26?A

（4）不确定度报告

1）用合成标准不确定度评定泄漏电流，则测量结果为：

I?0.320mAuc?10?A??57.1

2）用展伸不确定度评定泄漏电流，则测量结果为：

I?(0.320mA?0.026)mAP?0.99??57

25

第五章 最小二乘法原理

参数最小二乘法估计矩阵形式的简单推导及回顾： 由误差方程 V ? L?AXT

且要求VV最小，则：

VTV?(L?AX)T(L?AX)?(LT?XTAT)(L?AX)?LTL?LTAX?XTATL?XTATAX令其等于f(X),要f(X)最小，需其对应偏导为0：

所以： dTTTTTT f(X)??LA?LA?(AAX)?XAA?0dX TTTTTLA?XAAAL?AAX ?X?(ATA)?1ATL理论基础： ddf(X)]T Tf(X)=[dXdX

dd d[f(X)g(X)]=g(X)[f(X)]?f(X)[g(X)] dXdXdX 26

5-1 由测量方程

3x?y?2.9x?2y?0.9 x2?y3? 1试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。

【解】方法一（常规） 1、列出误差方程组

?v1?2.9?(3x?2y)??v2?0.9?(x?2y) ?v?1.9?(2x?3y)?3?V＝(2.9?(3x?y))2ii＝132?(0.9?(x?2y))2?(1.9?(2x?3y))2

分别对x,y求偏导，并令它们的结果为0

2((3x?y)?2.9)?3?2((x?2y)?0.9)?2((2x?3y)?1.9)?2?02((3x?y)?2.9)?2((x?2y)?0.9)?2?2((2x?3y)?1.9)?3?0即：?

?14x?5y?13.4

??5x?14y??4.6由上式可解得结果：x=0.9626 y=0.0152 2. 直接列表计算给出正规方程常数项和系数

i ai1 ai2 ai21 ai22 ai1ai2 li ai1li ai2li 1 2 3 3 1 2 1 -2 -3 9 1 4 1 4 9 3 -2 -6 -5 2.9 8.7 2.9 0.9 0.9 -1.8 1.9 3.8 -5.7 --- 13.4 -4.6 ? --- --- 14 14 可得正规方程

?14x?5y?13.4???5x?14y??4.6将x,y的结果代入分别求得：

?v1?2.9?(3?0.9626＋0.0152)＝?0.003??v2?0.9?(0.9626?2?0.0152)＝?0.0322?v?1.9?(2?0.9626－3?0.0152)＝0.0204?3

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?v32i?v12?v22?v32?(?0.003)2?(?0.0322)2?(0.0204)2得，

i?1?0.00146由题已知，n?3，t?2得

32i???v11.46?10?3n?t?3?2?0.0382 由不定乘数的方程组

??14d11?5d12?1 ?14d21?5d22?0 ??5d?11?14d12?0??5d21?14d22?1解得d11?0.0819d22?0.0819

?

?x??d11?0.03820.0819?0.0109?y??d22?0.03820.0819?0.0109方法二（按矩阵形式计算）：由误差方程

V?L?AX???v1?2.9?(3x?2y) ?v2?0.9?(x?2y)??v3?1.9?(2x?3y)上式可以表示为

??v1??l1??31??v???l?2??2????1?2???x??? 即 ?v???l3???y??3?3????2??v1??l1??31?V???v?2L?????l??2.9?2????0.9??A???1?2??v3????l3????1.9???2?3?????可得：X???x??1TT?1T?y???CAL?(AA)AL

式中：

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X????x??y??

C?1?(ATA)?1??31????312???????1?2???1?2?3??????23?????所以：

－1?14?5?1????14?5?514???514?1?145?1?145?

??145?171?145??????x?X????C?1ATL?y???2.9??2.9????1?145??312???1?47413?0.9?0.9? ?????????171?145??1?2?3?171?29?23?32????1.9???1.9??1?164.6??0.9626???＝?0.0152?2.6171?????即解得，??x?0.9626

?y?0.0152将最佳估计值代入误差方程可得，

?v1??l1??31??x???????V?L?AX??v2???l2???1?2????y???????vl2?3?3??3???

?2.9??31???0.0030????1?2??0.9626????0.0322???0.9?????0.0152????????1.9????2?3???0.0204???将计算得到的数据代入式中

???v131.46?10－3??0.0382 n?t3-22i，2)。 为求出估计量x,y的标准差，首先求出不定常数dij(i，j?1由已知，不定常数dij的系数与正规方程的系数相同，因而dij是矩阵C中各元素，即

?1?d11d12?1?145?C?1??? ???dd145171???2122?

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