1997-2006年数学分析

上海大学1997年度攻读硕士学位研究生

入学考试试题

1. 计算下列极限：

2n?1?3n?1（1）limnn

n???2?3（2）lim(1?x??23x?) xx21?cosx2（3）lim2

x?0xsinx22. 研究函数f(x)?limxn?22?x2n2nn???,(x?0)的连续性.若有间断点，讨论是何种间断点.

3. 求下列函数的导数或偏导数： （1）y?ax?xa?xx?aa a?0 求（2）y?1?lnx1?x2dy. dx 求

dy. dx(,,)yyxz?(,,)zzxy(,?)（3）设x?xyz为由方程F(x,y,z)?0所定义的函数，求

?x?y?z,,. ?y?z?x4. 求下列积分： （1）?lnxdx.

x1?lnx233（2）?x5(1?2x)dx.

3f?(x)(x?1)2(x?1)（3）设f(x)?，求. 23??11?f(x)x(x?2)5. 设f(x)在[0,1]上连续，求证：?xf(sinx)dx?0??2?0?f(sinx)dx，并计算??0xsinxdx.

1?cos2x6. 证明下列函数项级数在所给区间内一致收敛. （1）?（2）??x ???x??? 421?nxn?1sinxsinnx 0?x?2n

n?xn?1? 1

(?1)n?17. 将函数f(x)?x展成余弦级数，并计算?. 2nn?12?8. 利用交换积分顺序的方法计算I??10xb?xadx a?0,b?0. lnx9. 设?AB为连接A(1,?)和B(2,3)的某一曲线，又设?AB与直线AB包围的面积为k，计算

y1dx?(x?)dy. 2?xx?AB10. 证明题：

（1） 有数列{xn}，若limxn?a，求证：limn???x1?x2???xn?a.

n???n（2） 设函数f(x)在开区间(a,b)上连续，且f(a?0)和f(b?0)均存在，求证：f(x)在开区间(a,b)上有界.

上海大学1998年度攻读硕士学位研究生

入学考试试题

1?1. 已知x1???0,xn?(xn?1?) n?2,3,?，证明：数列{xn}存在极限，并求之.

2xn?12. 已知?an收敛(an?0)，证明：?n?1??n?1an也收敛. n3. 把f(x)?x在[??,?]上展成Fourier级数.

1???xsin4. 设f(x)??x??0x?0x?0 (??1)，求f(x)在x?0处的左、右导数f??(0)和f??(0).

b5. 设f(x)在[a,b]上非负连续，且不恒等于零，求证：?f(x)dx?0.

a1?11?6. 验证开区间集?但它的任意有限个开集都不能覆盖(0,). ,?覆盖了开区间(0,2)，

2?n?2n?7. 已知f(x)在(0,a)内可导，f(0)?0，f?(x)在(0,a)内单调增加，证明：内单调增加. 8. 求极限lim?x?0f(x)也在(0,a)xx?b??x?b与，其中[]为取整数，a?0,b?0. lim?????x?0a?x??a?x2

9. 利用极坐标计算二重积分??x2?y2dxdy，其中D由y?2x?x2和y?x围成.

D10. 如果对于任何数列{xn}，limxn???都有limf(xn)?A，那么一定有limf(x)?A.

n??n??x???上海大学1999年度攻读硕士学位研究生

入学考试试题

?1,x为有理数1. 设f(x)?x?D(x)，其中?为实数，D(x)??，讨论?为何值，在点x?0处，

?0,x为无理数（1）f(x)连续；（2）f(x)可导.

2. 叙述并证明：limf(x)存在且有限的充要条件（柯西收敛原理）.

x???3. 求柱面x2?y2?x含在球面x2?y2?z2?1内的面积.

4. 已知平面曲线y?f(x)在曲线上的点(x,y)处的切线斜率k?max(1,x)，并且此曲线经过点(0,0)，求此曲线方程. 5. 求?e?xdx.

0??26. p?0,q?0，讨论级数

1?11111???????? 2q3p4q(2n?1)p(2n)q的绝对收敛、条件收敛及发散性.

7. 证明级数?x(1?x)在[0,1]上一致收敛，并且?xn(1?x)2n?n2nn?1n?1?x(2??x)18. 在[0,2?]上展开f(x)?为傅立叶级数，并求?2.

4n?1n??2. 11上海大学2000年度攻读硕士学位研究生

入学考试试题

1. 设yn?x1?2x2???nxna，若limxn?a，证明：（1）当a为有限数时，limyn?；（2）

n??n??2n(n?1)n??当a???时，limyn???.

ni()fx1?? 2. 设f(x)在[0,1]上有二阶导数（端点分别指左、右导数），f(0)?f(1)?0，且m]1,0[ 3

，证明：maxf??(x)?8.

[0,1]?1p?,当x=q(q?0,p,q互质整数)3. 证明：Riemann函数R(x)??q 在[0,1]上可积.

?0,当x为无理数?4. 证明：lim??t?0tf(x)dx??f(0)，其中f(x)在[?1,1]上连续.

?1t2?x21n??15. 设an?ln(1?(?1)p)，讨论级数?an的收敛性.

nn?2??6. 设???0f(x)dx收敛且f(x)在[0,??]上单调，证明：limh?f(nh)???h?0n?1??0f(x)dx.

x2y27. 计算曲面x?y?z?a包含在曲面2?2?1 (0?b?a)内的那部分的面积.

ab22228. 将函数f(x)?x在[0,2?]上展成Fourier级数，并计算级数?sink的值. kk?1??上海大学2001年度攻读硕士学位研究生

入学考试试题

1. 计算下列极限、导数和积分：

（1） 计算极限lim?(x)；

x?01x（2） 计算?(x)??x20(t?1)?t,. f(t)dt的导函数??(x)，其中f(t)??2t?1,(t?1)??11?I?dx. arctan(2tanx)???（3） 已知?，求积分2?01?sin2x??sinx2（4） 计算f(t)?式）.

x2?y2?z2?t2???(xyz)2dxdydz (t?0)的导数f?(t)（只需写出f?(t)的积分表达

2. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导.若f(a)f(b)?0且f(a?b)?0，试证明必存在2??(a,b)使得f?(?)?0. 3. 令F(x,y)?y?xey?1

111311（1） 证明：F(x,)?0,x?(?,)；F(x,)?0,x?[?,].

2121221212

4

（2） 证明：对任意的x?(?y(x).

1113,)，方程F(x,y)?0在y?(,)中存在唯一的解121222（3） 计算y?(0)和y??(0). 4. 一致连续和一致收敛性

（1） 函数f(x)?x3在[0,1]上是一致连续的，对??10?2，试确定??0，使得当

0?x1?x2?1且x1?x2??时有x13?x23?10?2.

n2x2?1,x?[0,1],n?1,2,?，证明：fn(x)在[0,1]上是内闭一致收敛的，（2） 设fn(x)?32?nx但不是一致收敛的.

5. 曲线积分、格林公式和原函数

（1） 计算第二型曲线积分I?12?xdy?ydx??(L)x2?y2，其中L是逐段光滑的简单闭曲线，原

点属于L围成的内部区域，(L)的定向是逆时针方向. （2） 设p(x,y),q(x,y)除原点外是连续的，且有连续的偏导数.若

?a?

?p?q?,(x,y)?(0,0) ?y?x?b?

?x?cost， (0?t?2?) ??(L)pdx?qdy?c?0 其中(L)的参数方程是?y?sint?证明：存在连续可微函数F(x,y),(x,y)?(0,0)，使得

?Fcy?Fcx?p(x,y)?,?q(x,y)? ?x2?x2?y2?y2?x2?y2上海大学2002年度攻读硕士学位研究生

入学考试试题

1. 求?和?使得当x???时，无穷小量x?1?x?1?2x等价于无穷小量?x?. 2. 求椭圆Ax2?2Bxy?Cy2?1所围成的面积S，其中A?0,AC?B2?0,A,B,C均为常数.

a0?3. 试给出三角级数??(ancosnx?bnsinnx)中系数的计算公式（不必求出具体值），使

2n?1

5

得该级数在[0,1]一致收敛到x2，并说明理论依据.

x?e?sinx,当x??时4. 证明：f(x)??，函数在(??,??)上一致收敛.

??x??,当x??时5. 设f(x)在[0,1]上有连续的导函数f?(x)，f(0)?0，证明：?f2(x)dx?01112f?(x)dx. ?026. 证明：当x?1,y?1时有不等式：(x2?y2)2?2?y2?x2.

7. 设f(x)在(a,b)上连续，并且一对一（即当x1,x2?(a,b)，且x1?x2时有f(x1)?f(x2)），证明：f(x)在(a,b)上严格单调.

上海大学2003年度攻读硕士学位研究生

入学考试试题

1. 证明和计算：

（1） 对于任意a?0，证明：limna存在，并求之.

n???1n?（2） 设xn?a?1?k,(??0,n?1,2,?)，证明：limxn存在并求之.

n???nk?12. 判别下列结论是否正确，正确者请证明，错误者也请证明或给出反例：

（3） 存在级数?un使得当n???时， un不趋于0，但?un收敛.

n?1n?1????（4） ?sin2xdx是收敛的.

0??（5） lim?e?xsinnxdx?0（此题只需指明理论依据）.

n????1123. 计算：

（6） ??Sxdydz?ydzdx?zdxdy22S，其中为曲面：1?z?x?y,(z?0)的上侧. 22232(x?y?z)1. 2k?1k??（7） 将把f(x)?x在[??,?]上展成Fourier级数，并由此计算?4. 证明：

（8） 设函数f(x,y)?xy，证明：它在(0,0)连续且有偏导数fx(0,0),fy(0,0)，但是

f(x,y)在(0,0)不可微.

6

（9） 设函数f(x)在[0,1]上Riemann可积，证明：f2(x)在[0,1]上也是Riemann可积. （10）当x?0时，证明：ln(1?x)1x?1.

（11）设函数f?(x)在[0,a]上连续，其中a?0.证明：

f(0)?a1af(x)dx??0f?(x)dx a?0yzx（12）设函数F(u,v,w)有连续的偏导数，证明曲面F(,,)?0上各点的切平面都交

xyx于一点，并求出交点坐标.

2（13）设闭曲线L:Ax2?2Bxy?Cy2?1，其中A?0,AC?B均为常数.记?0,A,B,C(x1,y1)和(x2,y2)分别表示曲线的最高点和最低点，证明：y1y2?0.

（14）如果函数列fn(x),n?1,2,??，在[0,1]上一致收敛，证明：{fn(x)}在[0,1]上一

致有界，即：存在M?0，使得fn(x)?M，对?x?[0,1],?n成立.进一步问，如果函数列在[0,1]上点点收敛，结论是否成立，请证明你的结论. （15）设函数f(x)在[0,??]上连续，?n???0??0g(x)dx绝对收敛，证明：

lim?nf(??x)g(x)dx?f(0)g(x)dx 2?0n上海大学2004年度攻读硕士学位研究生

入学考试试题

1. 判别数列{sn}是否收敛，其中sn??(k?1n11?)，证明你的结论. 2k3k?12. 在[0,1]区间上随机地选取无穷多个数构成一个数列{an}，请运用区间套定理或有限覆盖定理证明该数列{an}必有收敛子列.

13. 设函数f(x)在[0,1]上连续，f(0)?f(1)，证明方程f(x)?f(x?)在[0,1]上一定有根.

34. 证明Darboux定理：设f(x)在(a,b)上可微，x1,x2?(a,b)，如果f?(x1)f?(x2)?0，则在

x1与x2间存在一点?，使得f?(?)?0.

5. 给出有界函数f(x)在闭区间[a,b]上Riemann可积的定义，并举出一个[a,b]上有界但是

7

不可积的函数例子，并证明你给的函数不是Riemann可积的.

6. 闭区间[a,b]上的连续函数f(x)，如果积分?f(x)?(x)dx?0对于所有具有连续一阶导

ab数并且?(a)??(b)?0的函数?(x)都成立，证明：f(x)?0.

sinxdx的收敛性和绝对收敛性，证明你的结论. 0x1xcost?8. 证明：lim?22dt?.

x?0?0x?t27. 判别广义积分???(?1)n?19. 计算：?.

n?02n?1??10.试将函数f(x)?x在[0,?]展成余弦级数，并计算：

1?111?????? 22235(2k?1)n???11.函数列fn(x),n?1,2,??在[0,1]上连续且对任意的x?[0,1]，fn(x)????f(x).问

f(x)是否也在[0,1]上连续，证明你的结论.

12.设函数f(x,y)?x3?y3?3xy，请在平面上每一点指出函数增加最快的方向，并计算出在该方向的方向导数.

13.求解Viviani问题，即计算球体x2?y2?z2?a2被柱面x2?y2?ax所截出的那部分体积. 14.曲面积分?Lxdx?ydy是否与路径无关，其中曲线L不过原点.证明你的结论. 22x?yx???x???15.设函数f(x)可微，若f(x)?2f?(x)????0，证明：limf(x)?0.

2005年上海大学研究生试题

1．

f'(x)?0,求lim设函数f(x)在(0,?)内连续,limx??x??f(x). x2.设函数f(x)在[0,2]上f(x)?1,f''(x)?1,求证:f'(x)?2.3.若???0x??f(x)dx收敛,limf(x)?0一定成立吗?举例或说明理由.n2005

2005k20054.求证:lim[?f()]n?e?0x??nk?15.证明:???0lnf(x)dx.

xe?axdx在0?a0?a???上一致收敛,但在0?a???上不一致收敛 8

6.给出在I上一致收敛的定义,并证明g(x)=x(x-1)在[1,??)上一致收敛.7.limx??x2?x?1?ax?b?0,求a,b的值.8.f(x)?{1x?[??,0]0x?(0,?],展成Fourier级数,并证明?=4?sin3?sin(2n?1)??sin1+3??2n?1????.9.求??x2dydz?y2dzdx?z2dydx,?:(x?a)2?(y?b)2?(z?c)2?R2外侧.10.Ax2?By2?Cz2?0是椭圆方程,求证:椭圆的长半抽l?1k.其中k是方程k2?ACCk2?B?0的最小根.11.lim(a?2a2???nan1?a2???aa1x??n)?a,证明:limx??n存在,并求之.?a112.f(x)???xsinx?0,问a:?x?0x?0在什么范围内f(x)在x?0可导,在什么范围内f(x)在x?0连续13.f(x)?lnx??ef(x)dx,求?e11f(x)dx.14.已知f(x),g(x)在[a,b]上连续,f(x)?0,g(x)不变号,求lim?bnn??af(x)g(x)dx.

15.f(x)在I上连续,Fx1(x)?f(x),Fn?1(x)?1Fn(t)dt(n?1).求证:?Fn(x)?在I上一致收敛.2006上海大学数学分析真题

总共15道题，每题15分。 21． 求极限 limxsinx?e?x?14 x?x02． 求和

1111?4?4?7?7?10???1(3n?2)?(3n?1)?? 3．y?y(x)由方程ex?y?xy?e确定的，求y?y(x)的图形在（0，程。

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）处的切线方

1?4．求定积分

x?cosxdx 2?1?sinx??225．展开f(x)???|x| (???x??) 并求?1 2k?1(2k?1)?6．已知a,b,c为正，求f(x?y?z)?ax?by?cz在x2?y2?z2?1的最小值与最大值 7．xn?1?xn(1?xn) 0?x1?1 证：?xn?收敛并求值。

8．f(x)在?a,b?上有定义且在每一点有极限，证f(x)在?a,b?上有界。 9．f(x),y(x)在???， ???一致收敛，证f(x)?y(x)与f(x)g(x)是否一致收敛。10.求z=x2?y2三个坐标平面x2?y2?4所围的体积

xdy?ydxx2y211.??x2?y2 4?9?1 xb?xa12.求?dx 0lnx113．条件没记下来，证：f(1)?0;f(?)??f'(?)?0 14．f(x)在(0,1]单调,且广义积分?011nkf(x)dx收敛,证lim?f()存在（这是以前一个原n??nnk?1题，卷子上就这个题有点难）

15.设un(x),vn(x)在(a,b)连续,un(x)?vn(x)对?n成立,若?vn(x)在(a,b)点点收敛于一个连续函数,n?1?证:?un(x)也必点点收敛于一个连续函数.n?1?这年分析还是很简单，今年什么情况就不知道了，但要是还是15道题还是很好对付的。上面很多是计算的，计算你们应该没什么问题，下面就是把象15题那样的证明题做下了，再就是完备定理了，这里应该今年有题。这个我也不是很知道，我去打听下出卷子谁出，这个估计就有点知道，不过这个学校一般不告诉外人的。

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