北京市海淀区2013-2014学年高一上学期期末统考数学试题(WORD精校版)

海淀区高一年级第一学期期末练习

数 学 2014.1

学校 班级 姓名 成绩

本试卷共100分.考试时间90分钟.

一.选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集U {1,2,3,4},A {1,2},B {2,3},则 ( ðUA ) B （ ） A.{2,3} B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4}

2.代数式sin120 cos210 的值为 （ ）

A.

331

B. C. D.

4424

3.已知向量a (1,1),b (x2,x 2), 若a,b共线,则实数x的值为 （ ） A. 1 B.2 C.1或

2 D. 1或2 4.

函数f(x)

1

的定义域为 （ ）

lgx 1

A.(0, ) B.(0,1) (1, ) C.(1, ) D.(0,10) (10, ) 5.如图所示,矩形ABCD中,AB 4, 点E为AB中点,

D

C

若DE AC,则|DE| （ ）

A

B

E5

A. B. 3 D.2

1

6.函数f(x) x log4x的零点所在的区间是 （ ）

411

A.(0,) B.(,1) C.(1,2) D.(2,4)

22

π

7.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(,π)上为减函数的是 （ ）

2

A.y 2|sinx| B.y sin2x C.y 2|cosx| D.y cos2x

8.已知函数f(x)

|x| a

,则下列说法中正确的是 （ ）

|x a|

A.若a 0，则f(x) 1恒成立 B.若f(x) 1恒成立，则a 0

C.若a 0，则关于x的方程f(x) a有解 D.若关于x的方程f(x) a有解，则0 a 1

二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上. 9. 已知角 的顶点在坐标原点，始边在x

轴的正半轴，终边经过点(1,,则 cos ____.

10.比较大小：sin1 cos1(用“ ”,“ ”或“ ”连接). 11.已知函数f(x) 1 3x,x ( ,1),则f(x)的值域为BP

1

12.如图，向量BP BA, 若OP xOA+yOB, 则x y ____.

4

13.已知sin tan 1，则cos ____. 14.已知函数f(x) sin

O

A

πx，任取t R，记函数f(x)在区间[t,t 1]上的最大值为Mt,最小值为 mt，2

记h(t) Mt mt. 则关于函数h(t)有如下结论： ①函数h(t)为偶函数； ②函数h(t

)的值域为[1

； 2

③函数h(t)的周期为2；

13

④函数h(t)的单调增区间为[2k ,2k ],k Z.

22

其中正确的结论有____________.（填上所有正确的结论序号）

三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分10分）

已知函数f(x) x2 bx c，其中b,c为常数. （Ⅰ）若函数f(x)在区间[1, )上单调，求b的取值范围；

（Ⅱ）若对任意x R，都有f( 1 x) f( 1 x)成立，且函数f(x)的图象经过点(c, b)，

求b,c的值.

16.（本小题满分12分）

已知函数f(x) sin(2x ).

3

（Ⅰ）请用“五点法”画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调递增区间；

（Ⅲ）当x [0,]时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x的值.

2

17.（本小题满分12分）

已知点A( 1,0),B(0,1)，点P(x,y)为直线y x 1上的一个动点.

O

1

y1

x

（Ⅰ）求证： APB恒为锐角；

（Ⅱ）若四边形ABPQ为菱形，求BQ AQ的值.

18.（本小题满分10分）

已知函数f(x)的定义域为[0,1]，且f(x)的图象连续不间断. 若函数f(x)满足：对于给定的m（m R且0 m 1），存在x0 [0,1 m]，使得f(x0) f(x0 m)，则称f(x)具有性质P(m).

11

（Ⅰ）已知函数f(x) (x )2，x [0,1]，判断f(x)是否具有性质P()，并说明理由；

23

1 4x 1, 0 x , 4

13

（Ⅱ）已知函数 f(x) 4x 1, x , 若f(x)具有性质P(m)，求m的最大值；

44

3

4x 5, x 1. 4

（Ⅲ）若函数f(x)的定义域为[0,1]，且f(x)的图象连续不间断，又满足f(0) f(1)，

1

求证：对任意k N*且k 2，函数f(x)具有性质P().

k

海淀区高一年级第一学期期末练习

数 学

参考答案及评分标准 2014．1

一、选择题（本大题共8小题,每小题4分,共32分）

二、填空题（本大题共4小题,每小题4分）

9．

1 21 2

10． 11. ( 2,1)

12．

13． 14．③④

说明：14题答案如果只有③ 或④，则给2分，错写的不给分

三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（本小题满分10分）

2

解：(I)因为函数f(x) x bx c，

b

2分 2

bb

因为函数f(x)在区间[ , )上单调递增，所以 1，

22

所以它的开口向上，对称轴方程为x

所以b 2 ………………………4分 （Ⅱ）因为f( 1 x) f( 1 x)，

所以函数f(x)的对称轴方程为x 1，所以b 2 ………………………6分 又因为函数f(x)的图象经过点(c, b)，所以有 c2 2c c

2 ………………………8分 即c2 3c 2 0，所以c 2或c 1 ………………………10分

16．（本小题满分12分） 解：（I） 令X 2x

1

，则x (X )．填表： 323

………………………2分

4分

2x 2k (k Z) ………………………6分 232

解得k x k (k Z)

1212

5

所以函数y sin(2x )的单调增区间为[k ,k ](k Z)

31212

（Ⅱ）令

2k

………………………8

分

（Ⅲ）因为x [0,]，所以2x [0, ]，(2x ) [ ,] 10分

2333

所以当2x

； ，即x 0时，y sin(2x )取得最小值333

当2x ，即x 时，y sin(2x )取得最大值1 ……………………12分

32123

17.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为点P(x,y)在直线y x 1上，所以点P(x,x 1) ………………………1分

所以PA ( 1 x,1 x),PB ( x,2 x)，

13

所以PA PB 2x2 2x 2 2(x2 x 1)=2[(x )2 ] 0 ………………………3分

24

PA PB

0 ………………………4分 所以cos PA,PB |PA||PB|

若A,P,B三点在一条直线上，则PA//PB，

得到(x 1)(x 2) (x 1)x 0，方程无解，所以 APB 0 5分 所以 APB恒为锐角. ………………………6分 （Ⅱ）因为四边形ABPQ为菱形，

所以|AB| |BP|

………………………8分

化简得到x2 2x 1 0，所以x 1，所以P(1,0) ………………………9分

设Q(a,b)，因为PQ BA，

a 0

所以(a 1,b) ( 1, 1)，所以 ………………………11分

b 1

BQ AQ (0, 2) (1, 1) 2 ………………………12分

18.（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）设x0 [0,1 ，即x0 [0,] 令f(x0) f(x0 ), 则(x0 ) (x0 解得x0

1323

1312

2

112 ) 32

12 [0,], 33

1

3

所以函数f(x)具有性质P() ………………………3分 （Ⅱ）m的最大值为首先当m

1 2

11时，取x0

22

111

则f(x0) f() 1，f(x0 m) f( ) f(1) 1

222

1

所以函数f(x)具有性质P() ………………………5分

2

1

假设存在 m 1，使得函数f(x)具有性质P(m)

2

1

则0 1 m

2

1

当x0 0时，x0 m (,1)，f(x0) 1,f(x0 m) 1，f(x0) f(x0 m)

2

1

当x0 (0,1 m]时，x0 m (,1]，f(x0) 1,f(x0 m) 1，f(x0) f(x0 m)

2

所以不存在x0 [0,1 m]，使得f(x0) f(x0 m)

所以，m的最大值为

1

………………………7分 2

（Ⅲ）任取k N*,k 2

设g(x) f(x ) f(x)，其中x [0,则有 g(0) f() f(0)

1kk 1

] k

1k

121g() f() f() kkk232g() f() f() kkk

g() f( ) f()

tktk1ktk

g(

k 1k 1

) f(1) f() kk

以上各式相加得：

1tk 1

g(0) g() ... g() ... g() f(1) f(0) 0

kkk1k 1i

当g(0),g(),...,g()中有一个为0时，不妨设为g() 0,i {0,1,2,...,k 1}，

kkk

ii1i

即g() f( ) f() 0

kkkk

1

则函数f(x)具有性质P()

k

1k 1

当g(0),g(),...,g()均不为0时，由于其和为0，则必然存在正数和负数，

kk

ij

不妨设g() 0,g() 0, 其中i j，i,j {0,1,2,...,k 1}

kk

由于g(x)是连续的，所以当j i时，至少存在一个x0 (,) （当j i时，至少存在一个x0 (,)） 使得g(x0) 0，

即g(x0) f(x0 ) f(x0) 0

所以，函数f(x)具有性质P() ………………………10分

ij

kk

ijkk

1k

1k

说明： 若有其它正确解法，请酌情给分，但不得超过原题分数.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r8di.html