7-6计数方法与技巧综合 题库版

计数方法与技巧综合

知识框架图 7-6-1归纳法 7-6-2整体法 7-6 计数方法与技7 计数综合 巧综合 7-6-3对应法 7-6-3-1图形中的对应关系 7-6-3-2数字问题中的对应关系 7-6-3-3对应与阶梯型标数法 7-6-3-4不完全对应关系 7-6-4递推法

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．

教学目标

例题精讲

模块一、归纳法

从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系． 【例 1】 （难度等级※※）一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直

线最多分这个平面为多少部分?

【解析】 方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表：

由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n条直线时，最多可将

n?n?1?平面分成2+2+3+4+…+n=+1个部分． 2方法二：如果已有k条直线，再增加一条直线，这条直线与前k条直线的交点至多k个，因而至多被分成k+1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k+1个部分．于是3条直线至多将平面分为4+3=7个部分，4条直线至多将平面分为7+4=11个部分，5条直线至多将平面分为11+5=16个部分．

k?k?1?一般的有k条直线最多将平面分成：1+1+2+…+k=+1个部分，所以五条直线可以分平面为162个部分．

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【巩固】（难度等级※※）平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内

部分成几部分？

【解析】 假设用ak表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数，这里k＝0，1，2，……

a0＝1

a1=a0+1＝2 a2=a1＋2=4 a3=a2＋3=7 a4=a3+4＝11 ……

故5条直线可以把圆分成16部分，100条直线可以把圆分成5051部分

【例 2】 （难度等级 ※※）平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？ 【解析】 先考虑最简单的情形．为了叙述方便，设平面上k个圆最多能将平面分割成ak个部分．

12124361234785

从图中可以看出，a1?2，a2?4?2?2?1，a3?8?4?2?2，a4?14?8?2?3，…… 可以发现ak满足下列关系式：ak?ak?1?2?k?1?．

实际上，当平面上的(k?1)个圆把平面分成ak?1个区域时，如果再在平面上出现第k个圆，为了保证划分平面的区域尽可能多，新添的第k个圆不能通过平面上前?k?1?个圆之间的交点．这样，第k个圆与前面?k?1?个圆共产生2?(k?1)个交点，如下图：

6879451231112131410

这2?(k?1)个交点把第k个圆分成了2?(k?1)段圆弧，而这2?(k?1)段圆弧中的每一段都将所在的区域一分为二，所以也就是整个平面的区域数增加了2?(k?1)个部分．所以，ak?ak?1?2?k?1?． 那么，a10?a9?2?9?a8?2?8?2?9?a7?2?7?2?8?2?9 ?

?a1?2?1?2?2?...?2?7?2?8?2?9

?2?2??1?2?...?7?8?9??92．

故10个圆最多能将平面分成92部分．

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【例 3】 10个三角形最多将平面分成几个部分？ 【解析】 设n个三角形最多将平面分成an个部分．

n?1时，a1?2；

n?2时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有2?3?6（个）交点．这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即a2?2?2?3．

n?3时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4?3?12（个）交点，从而平面也增加了12个部分，即：a3?2?2?3?4?3．

…… 一般地，第n个三角形与前面?n?1?个三角形最多有2?n?1??3个交点，从而平面也增加2?n?1??3个部分，故an?2?2?3?4?3??2?n?1??3?2???2?4?2?2?n?1????3?3n?3n?2；

特别地，当n?10时，a10?3?102?3?10?2?272，即10个三角形最多把平面分成272个部分．

【例 4】 （难度等级※※）一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？

【解析】 一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，

这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分．

同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分(如下图，标

有数字9的部分)．还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分．

第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小

线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3×4=12个部分．而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分． 所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26．

【小结】n个图形最多可把平面分成部分数：

n??n?1?直线：1?；

2圆：2?n??n?1?；

三角形：2?3?n??n?1? ； 长方形：2?4?n??n?1?．

【例 5】 （难度等级※※）在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分? 【解析】 先考虑圆．1个圆将平面分成2个部分．这时增加1个圆，这个圆与原有的1个圆最多有两个交点，

成为2条弧，每条弧将平面的一部分一分为二，增加了2个部分，所以2个圆最多将平面分成4个部分．当有3个圆时，第3个圆与原有的2个产生4个交点而增加4个部分，所以3个圆最多将平

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面分成8个部分．

同样的道理，5个圆最多将平面分成22个部分．

再考虑直线．直线与每个圆最多有2个交点，这样与5个圆最多有10个交点．它们将直线分成11条线段或射线，而每条线段又将平面的一部分一分为二，2条射线增加了一部分，因此5个圆和1条直线最多可将平面分成32个部分．

【例 6】 在一个西瓜上切6刀，最多能将瓜皮切成多少片？

【解析】 将西瓜看做一个球体，球体上任意一个切割面都是圆形，所以球面上的切割线是封闭的圆周，考虑

每一次切割能增加多少瓜皮片．当切1刀时，瓜皮被切成两份，当切第2刀时，由于切割线相交，所以瓜皮被切成4分，……，切第n次时，新增加的切割线与原来的切割线最多有2?n?1?个交点．这

些交点将第n条切割线分成2?n?1?段，也就是说新增加的切割线使瓜皮数量增加了2?n?1?，所以在西瓜上切6刀，最多能将瓜皮切成1?1?2?1?2?2?2?3?2?4?2?5?32片．

【例 7】 在一大块面包上切6刀最多能将面包切成多少块．（注：面包是一个立体几何图形，切面可以是任

何方向） 【解析】 题目相当于6个平面能将空间划分为多少个部分．

通过找规律来寻找递推关系，显然的1个平面能将空间划分成2块，2个平面能将空间划分成4 块，3个平面能将空间划分成8个平面，当增加到第四个平面时，第四个平面这能将原来空间中的8个部

分中的其中几个划分．如图：

注意到第四个平面与其他三个平面相交形成3条直线，这三条直线将第四个平面分割成7个部分，而每一部分将原来三个平面划分的8个空间中的7个划分成两份，所以4个平面能将空间划分成8?7?15个部分．

同样的第五个平面与前四个平面分别相交成4条直线，这四条直线能将第5个平面分割成1?1?2?3?4?1个部分，每一部分都划分原空间中的某一区域，所以第五个平面能使空间中的区1域增加到15?11??26个部分．

当增加到6个平面时，第六个平面共被划分成1?1?2?3?4?5?16个部分，所以第6个平面能将空间中的区块数增加到26?16?42个部分． 所以6刀能将面包切成42块．

模块二、整体法

解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系．

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【例 8】 （难度等级 ※※※）一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为

顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?

【解析】 方法一：归纳法

如下图，采用归纳法，列出1个点、2个点、3个点…时可剪出的三角形个数，需剪的刀数．

不难看出，当正方形内部有n个点时，可以剪成2n＋2个三角形，需剪3n+l刀，现在内部有1996

个点，所以可以剪成2×1996+2=3994个三角形，需剪3×1996+1=5989刀．

方法二：整体法．

我们知道内部一个点贡献360度角，原正方形的四个顶点共贡献了360度角，所以当内部有n个点时，共有360n+360度角，而每个三角形的内角和为180度角，所以可剪成(360n+360)÷180=2n+2个三角形．

2n+2个三角形共有3×(2n+2)=6n+6条边，但是其中有4条是原有的正方形的边，所以正方形内部的

三角形边有6n+6—4=6n+2条边，又知道每条边被2个三角形共用，即每2条边是重合的，所以只用剪(6n+2)÷2＝3n+1刀．

本题中n=1996，所以可剪成3994个三角形，需剪5989刀．

【巩固】在三角形ABC内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角

形？

【解析】 整体法．100个点每个点周围有360度，三角形本身内角和为180度，所以可以分成

?360?100?180??180?201个小三角形．

【例 9】 在一个六边形纸片内有60个点，以这60个点和六变形的6个顶点为顶点的三角形，最多能剪出

_______个．

【解析】 设正六边形内有n个点，当n?1时有6个三角形，每增加一个点，就增加2个三角形，

n个点最多能剪出6?2?n?1??2?n?2?个三角形．

n?60时，可剪出124个三角形．

注：设最多能剪出x个小三角形，则这些小三角形的内角和为180?x．换一个角度看，汇聚到正六边形六个顶点处各角之和为4?180?，故这些小三角形的内角总和为60?360??4?180?．于是180?x?60?360??4?18，解得?0x?124．

模块三、对应法

将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是

相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．

一、图形中的对应关系

【例 10】 （难度等级 ※※※）在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有

多少种不同的方法？

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【解析】 注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法．

第1步：找对应图形 每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．

第2步：明确对应关系 从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．

第3步：计算对应图形个数 由于在 8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点， 第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有49×4=196（种）．

评注:通过上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候,可考虑采用相等的原则,把问题转化成求另一个集合的元素个数．

【例 11】 （难度等级 ※※※）在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白

色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？

【解析】 首先可以知道题中所讲的1?3长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不

能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中． 下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的1?3长方形(一横一竖)；第二种情况，位于边上的黑色方格只能对应一个1?3长方形． 由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有18?2?12?48个这样的长方形．

本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个1?3长方形，所以棋盘上横、竖共有1?3长方形6?8?2?96个．由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为96?2?48个．

【巩固】 （难度等级 ※※）用一张如图所示的纸片盖住6?6方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放

置方法？

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【解析】如图，将纸片中的一个特殊方格染为黑色，下面考虑此格在6?6方格表中的位置．易见它不能位于

四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的4?4正方形内的某格时，纸片有4种不同的放法，共计4?4?4?64种；若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时，纸片的位置随之确定，即只有1种放法，此类放法有4?4?16种． 所以，纸片共有64?16?80种不同的放置方法．

【例 12】 （难度等级 ※※）图中可数出的三角形的个数为 ． 【解析】 这个图不像我们以前数三角形那样规则，粗看似乎看不出其中的规律，不妨我们取出其中的一个三

角形，发现它的三条边必然落在这个图形中的三条大线段上，而每三条大线段也正好能构成一个三角形，因此三角形的个数和三条大线段的取法是一一对应的关系，图中一共有8条大线段，因此有

C83?56个三角形．

【例 13】 如图所示，在直线AB上有7个点，直线CD上有9个点．以AB上的点为一个端点、CD上的点为

另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB与CD之间的交点数．

ABCD

【解析】 常规的思路是这样的：直线AB上的7个点，每个点可以与直线CD上的9个点连9根线段，然后再

分析这些线段相交的情况．

如右图所示，如果注意到下面这个事实：对于直线AB上的任意两点M、N与直线CD上的任意两点P、Q都可以构成一个四边形MNQP，而这个四边形的两条对角线MQ、NP的交点恰好是我们要计数的点，同时，对于任意四点(AB与CD上任意两点)都可以产生一个这样的交点，所以图中两条线段的交点与四边形有一一对应的关系．

这说明，为了计数出有多少个交点，我们只需要求出在直线AB与CD中有多少个满足条件的四边形MNQP就可以了！从而把问题转化为： 在直线AB上有7个点，直线CD上有9个点．四边形MNQP有多少个？其中点M、N位于直线AB上，点P、Q位于直线CD上．

这是一个常规的组合计数问题，可以用乘法原理进行计算：由于线段MN有C72?21种选择方式，线段PQ有C92?36种选择方式，根据乘法原理，共可产生21?36?756个四边形．因此在直线AB与CD之间共有756个交点．

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二、数字问题中的对应关系

【例 14】 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？ 【解析】 由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从0～9中任意选取的4个数字，它

们的大小关系也是明确的，那么由这4个数字只能组成1个符合条件的四位数(题目中要求千位比百位大，所以千位不能为0，本身已符合四位数的首位不能为0的要求，所以进行选择时可以把0包含在内)，也就是说满足条件的四位数的个数与从0～9中选取4个数字的选法是一一对应的关系，

10?9?8?74那么满足条件的四位数有C10??210个．

4?3?2?1

【巩固】 （难度等级 ※※※）三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？ 【解析】 相当于在10个数字中选出3个数字，然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种．实

际上，前铺中每一种划法都对应着一个数．

【例 15】 数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，1?2，2?1，1?1?1．问：1999表示

为一个或几个正整数的和的方法有多少种？

【解析】 我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填

上“＋”号．例如对于数3，上述4种和的表达方法对应：1 1 1，1?1 1，1 1?1，1?1?1． 可见，将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间是一一对应的关系，而每一个空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号2种可能，因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有2?2??2?21998种．

1998个2相乘

【例 16】 （2008年国际小学数学竞赛）请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？ 【解析】 五位数共有90000个，其中3的倍数有30000个．可以采用排除法，首先考虑有多少个五位数是3

的倍数但不含有数码3.

首位数码有8种选择，第二、三、四位数码都有9种选择．当前四位的数码确定后，如果它们的和除以余数为0，则第五位数码可以为0、6、9；如果余数为1，则第五位数码可以为2、5、8；如果余数为2，则第五位数码可以为1、4、7.可见只要前四位数码确定了，第五位数码都有3种选择，所以五位数中是3的倍数但不含有数码3的数共有8?9?9?9?3?17496个． 所以满足条件的五位数共有30000?17496?12504个．

三、对应与阶梯型标数法

【例 17】 游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元

的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？

【解析】 与类似题目找对应关系．

要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人数多，先将拿1元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在下图中，每条小横线段代表1元钱的小朋友，每条小竖线段代表2元钱的小朋友，因为从A点沿格线走到B点，每次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下图中从A到B有多少种不同走法．使用标数法，可求出从A到B有42种走法．

B145212534242142891445111111

但是由于10个小朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿2元的小朋友，5个

8

A?120种排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120种排法，所以共有5！?5！?14400种排人共有5！队方法．

这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有42?14400?604800(种)．

【例 18】 （2008年第一届“学而思杯”五年级试题）学学和思思一起洗5个互不相同的碗，思思洗好的碗

一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有 种不同的摞法．

【解析】 我们把学学洗的5个碗过程看成从起点向右走5步（即洗几个碗就代表向右走几步），思思

拿5个碗的过程看成是向上走5步（即拿几个碗就代表向上走几步），摞好碗的摞法，就代表向右、向上走5步到达终点最短路线的方法.由于洗的碗要多余拿的碗，所以向右走的路线要多余向上走的路线，所以我们用下面的斜三角形进行标数，共有42种走法，即代表42种摞法.

B421414941422814515212A11315

【例 19】 (第七届走美试题)一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列，现在

他们要变成并列的2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有 种不同排法．

2、3、4、5、6、7、8，【解析】 首先，将8人的身高从低到高依次编号为1、现在就相当于要将这8个数填到一个4?2的方格中，要求每一行的数依次增大，每一列上面的要比下面的大．

2、3、4、5、6、7、8依次往方格中填，按照题目规则，很容易就发现：第二行填的的数字的下面我们将1、个数永远都小于或等于第一行数字填的个数．也就是说，不能出现下图这样的情况．

而这个正好是“阶梯型标数”题型的基本原则．于是，我们可以把原题转化成：

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在这个阶梯型方格中，横格代表在第一行的四列，纵格代表第二行的四列，那么此题所有标数的方法就相当于从A走到B的最短路线有多少条． 例如，我们选择一条路线：

它对应的填法就是：．

最后，用“标数法”得出从A到B的最短路径有14种，如下图：

【巩固】将1~12这12个数填入到2行6列的方格表中，使得每行右边比左边的大，每一列上面比下面的大，

共有多少种填法？

【解析】 根据对应关系，再运用阶梯型标数法画图如下：

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