杭州电子科技大学03高等数学竞赛试题及参考解筨

2003高等数学竞赛试题及参考解筨

一、选择题（40分）

1. 设xn?zn?yn，且lim(yn?xn)?0，则limzn（ C ）

n??n??(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在； (D) 一定不存在. 2. 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则（ A ）

(A) 当f(x)为奇函数时,F(x)必为偶函数； (B) 当f(x)为偶函数时,F(x)必为奇函数； (C) 当f(x)为周期函数时,F(x)必为周期函数； (D) 当f(x)为单调增函数时,F(x)必为单调增函数. 3. 设a?0，f(x)在(?a,a)内恒有f\(x)?0且|f(x)|?x2，记I?(A) I?0;

(B) I?0;

(C) I?0;

?a?af(x)dx，则有（ B ）

(D) 不确定.

4. 设f(x)有连续导数，且f(0)?0,f'(0)?0，F(x)?是同阶无穷小，则k?（ B ）

(A) 4； (B) 3； 5.

?x0当x?0时，F'(x)与xk(x2?t2)f(t)dt，

(C) 2； (D) 1.

?x2y,x2?y2?0?22设f(x,y)??x?y，则f(x,y)在点(0,0)（ D ）

?,x2?y2?0?0(A) 不连续； (B) 连续但偏导数不存在；

(C) 可微； (D) 连续且偏导数存在但不可微.

????????6. 设a?i?j,b??2j?k，则以向量a、b为边的平行四边形的对角线的长度为（ A ）

(A)

3,11；

(B) 3, 11； (C) 3,10； (D) 2,11.

2xdx?ydy?kx2?y27. 设L1与L2是包含原点在内的两条同向闭曲线，L2在L1的内部，若已知??L（k为常数），则有??L2xdx?ydy（ D ）

1x2?y22(A) 等于k； (B) 等于?k； (C) 大于k； (D) 不一定等于k，与L2的形状有关. 8. 设

?n?0?anx在x?1处收敛，则

n?an(x?1)n在x?0处（ D ） n?1n?0?(A) 绝对收敛； (B) 条件收敛； (C) 发散； (D) 收敛性与an有关.

9. 设A为m?n矩阵，B为n?m矩阵，若m?n，则齐次线性方程组(AB)X?0（ C ）

(A) 无解；

(B) 只有零解； (C) 有非零解； (D) 可能有解，也可能无解.

?x1?x10. 设Mi(xi,yi,zi)(i?1,2,?,n)是空间n(n?4)个相异的点，记A??2????xnM1,M2,?,Mn共面的充分必要条件是（ D ）

y1y2?ynz11?z21??，则????zn1?(A) 秩(A)=1;

n??(B) 秩(A)=2;

x2n?1?ax2?bxx2n?1(C) 秩(A)=3; (D) 秩(A)=2或秩(A)=3.

x?1x??1二、（8分）设f(x)?lim都存在.

(n?N)，试确定a、b的值，使limf(x)与limf(x)解：当|x|?1时，limx2n?limx2n?1?0，故f(x)?ax2?bx；

n??n??当|x|?1时，f(x)?1 xx??1??1x??1,?x,??f(x)??ax2?bx,?1?x?1,?1?,x?1,?x?a?0，b?1。

limf(x)??1,x??1?limf(x)?a?b,a?b?1

x?1?limf(x)?a?b,x?1?limf(x)?1,a?b?1三、（8分）设F(x)是f(x)的一个原函数，且F(0)?1,F(x)f(x)?cos2x，求

??0|f(x)|dx.

解：F?(x)?f(x)，F(x)F?(x)?cos2x，?F(x)F?(x)dx??cos2xdx

F2(x)?sin2x?C，由F(0)?1知C?1，F(x)?1?sin2x?|cosx?sinx|， |cos2x||cos2x?sin2x||f(x)|???|cosx?sinx|

|F(x)||cosx?sinx|???00|f(x)|dx??4(cosx?sinx)dx???(sinx?cosx)dx?(2?1)?(1?2)?22.

4?四、（10分）设??{(x,y,z)?R3|?a2?x2?y2?z?0,a?0}，S为?的边界曲面外侧，计算

I???Saxdydz?2(x?a)ydzdxx?y?z?1222

?x2?y2?a2解：S1:z??a?x?y（下侧），S2:?（上侧），????0，

z?0?S2222?

???S?????????S1S2S1??axdydz?2(x?a)dzdx??????????22?a?1S1a?1?S?S12S111a3a2?? ??2?1a2????1axdydz?2(x?a)ydzdx?S1?S2?a?2(x?a)?dV ????1?1432?a4?(3a?2x)dV?3adV????a? ??????222223a?1?a?1?a?1a?111五、（10分）已知向量组?1,?2,?,?m线性无关，向量?1,?2,?,?s都可用?1,?2,?,?m表出，即

?i??cij?j (i?1,2,?,s)

j?1m求证：?1,?2,?,?s线性相关的充分必要条件是矩阵C?(cij)s?m的秩R(C)?s.

解：（?）设?1,?2,?,?s线性相关，则?不全为0的k1,k2,?,ks使

?m?m?s?k1?1?k2?2???ks?s?0，即?ki?i?0，?ki?i??ki??Cij?j?????kiCij??j?0

i?1i?1i?1??j?1?j?1?i?1sss??1,?2,?,?m线性无关，??kiCij?0i?1ss(j?1,2,?,m)，即

k1,k2,?,ks是齐次线性方程组?Cijyi?0的非零解，故R(C)?s。

i?1（?）设R(C)?s，则?Cjiiy?0有非零解，即?不全为0的k1,k2,?,ks使?kiCij?0成

i?1i?1ss?m?m?s?立，从而?ki?i??ki??Cij?j?????kiCij??j?0，故?1,?2,?,?s线性相关。

i?1i?1??j?1?j?1?i?1ss六、（10分）设n阶实对称矩阵的秩为r，且满足A2?A（称A为幂等矩阵），求：

（1）二次型XTAX的标准形；

（2）行列式|E?A?A2???An|的值，其中E为单位矩阵.

?1,?,?n解：使P?1AP?diag(?1,?2,?,?n)??，A?P?P?1，?A为实对称阵，??正交阵P，

为A的特征值。

（1）设?是A的任一特征值，则A????，A??A2???A???2?，?为对应特征向量，

????2???(1??)??0，??0或??1，即实对称幂等矩阵的特征值只取0或1。

由r(A)?r(?)?r，知?1,?2,?,?n中有r个1，n?r个0，适当排列P中列向量，可使

?E???r?00?2，其中Er为r阶单位矩阵，故二次型的标准形为y12?y2???yr2。 ?0?（2）由A2?A得Ak?A2Ak?2???A(k?2)，故

|E?A?A2???An|?|E?nA|?|E?P(n?)P?1|?|E?n?|?(1?n)r

七、（10分）已知x0?1，x1?111，x2?3，…，xn?1?3，…. x?4x1?4xn?430求证：（1）数列{xn}收敛；（2）{xn}的极限值a是方程x4?4x?1?0的唯一正根.

33xn?xn11?1解一：（1）?0?xn?1，xn?1?xn?3 ?3?33xn?4xn?1?4(xn?4)(xn?1?4)?22xn?xn?1xn?xnxn?1?xn?142nn?3xn?xn?116?3??3????xn?1?xn?2?????x1?x0 ?16??16?n2n??4?3??3?1?3?????1???； 又????收敛，??xn?1?xn收敛， 1655?16???n?0n?0?16????(xn?1?xn)收敛，又因Sn?xn?1?x0，故?xn?收敛。

n?0（2）令limxn?a，?0?xn?1，?a?0，且a?n??1，a4?4a?1?0，即a是3a?4x4?4x?1?0的根，令f(x)?x4?4x?1，x?(0,??)，f?(x)?4x3?4?0，f(0)??1，

x???limf(x)???，故f(x)?0根唯一。

解二：由已知x0?1，x1?111x??0.2495x?0.2490…，?0.2，…，3233x2?4x13?4x0?4由此可见，x0?x2，x1?x3 （用归纳法证明偶数项单调减少，奇数项单调增加）。

设x2n?2?x2n，x2n?1?x2n?1。 x2n?1x32n?1?4?1x32n?1?4?x2n?2， x2n?1?11?3?x2n?3 x?4x2n?2?432n由0?xn?1知?x2n?、?x2n?1?收敛，令limx2n?a，limx2n?1?b；

n??n??由0?x2n?1，0?x2n?1?1，知0?a?1，0?b?1。

对x2n?1x32n?1?4两边取极限得a?13ab?4a?1 ① ，

b3?4对x2n?1?11两边取极限得，a3b?4b?1 ② b?33x2n?4a?4由①—②得ab(b2?a2)?4(a?b)?0，解得a?b?0

由a?b知?xn?收敛，且为方程x4?4x?1?0的根（再证唯一性）。

八、（12分）设f(x,y)在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证：

?f?f?y?x?ylim ?? dxdy??2?f(0,0) , 其中D为圆环域：?2?x2?y2?1 22??0x?yDx解一：令x?rcos?，y?rcos?，?f?f?x?f?y?f?f?f?f?f???cos??sin?，r?x?y。?r?x?r?y?r?x?y?r?x?y由已知当r?1时，f(cos?,sin?)?0，

I???Dxfx?yfyx2?y2rdxdy???D?f?rrdrd??2?d?1?fdr?2?f(rcos?,rsin?)|1d?

??0???r?0r22?0??2?0f(cos?,sin?)d???f(?cos?,?sin?)d?

?0?2?f(?cos?*,?sin?*)，?*?[0,2?]，故limI??2?f(0,0)

??0?f?f?yyf(x,y)xf(x,y)?Q?P?x?y解二：令P??22，Q?22，? ??x?yx?y?x?yx2?y2xx???D?f?f?y?x?y，L2为x2?y2??2（顺时针） dxdy，令L1为x2?y2?1（逆时针）22x?yL2??s,y??si? n?Pdx?Qdy???Pdx?Qdy L2:x??co?L1????yf(x,y)dx?xf(x,y)dy?yf(x,y)dx?xf(x,y)dy? ??L2L1x2?y2x2?y2L1????yf(x,y)dx?xf(x,y)dy??0?????L?2?1?yf(x,y)dx?xf(x,y)dy

2?2?2?10?(??sin?)(??sin?)??cos???cos??f(?cos?,?sin?)d?

??02?0f(?cos?,?sin?)d???2?limf(?cos?*,?sin?*)，?*?[0,2?]

xlim????0D?f?f?y?x?ydxdy??2?limf(?cos?*,?sin?*)??2?f(0,0)。 22??0x?y九、（12分）如图所示，有一圆锥形的塔，底半径为R，高为h(h?R)，现沿塔身建一登上塔

顶的楼梯，要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于xoy平面的直线的夹角为楼梯入口在点( R,0,0 ), 试求楼梯曲线的方程.

?，4解：设曲线上任一点为(x,y,z)，?h?zr?， hR??x?r(?)cos??(0???2?)， ?曲线参数方程为（*）?y?r(?)sin??h?z?h?r(?)?R??在点(x,y,z)的切向量为v??x?(?),y?(?),z?(?)?，垂线方向向量为k?(0,0,1)。 ??x?(?)?r?(?)cos??r(?)sin?????v?k?y?(?)?r?(?)sin??r(?)cos?，cos????4|v|?|k|?h?z?(?)??r?(?)?Rz?(?)x?(?)?y?(?)?z?(?)222，

12??2hr?(?)R2h22r?(?)?r(?)?2r?(?)R?Rh?R22，化简得

drRrdr?，由实际问题应?0， d??h2?R2d?Rh?R22?解得r?C1e，由??0，r?R得C1?R，故r?Re??，将此式代入参数方程

（*）即得楼梯曲线。

九、（12分）如图所示，有一圆锥形的塔，底半径为R，高为h(h?R)，现沿塔身建一登上塔

顶的楼梯，要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于xoy平面的直线的夹角为楼梯入口在点( R,0,0 ), 试求楼梯曲线的方程.

?，4解：设曲线上任一点为(x,y,z)，?h?zr?， hR??x?r(?)cos??(0???2?)， ?曲线参数方程为（*）?y?r(?)sin??h?z?h?r(?)?R??在点(x,y,z)的切向量为v??x?(?),y?(?),z?(?)?，垂线方向向量为k?(0,0,1)。 ??x?(?)?r?(?)cos??r(?)sin?????v?k?y?(?)?r?(?)sin??r(?)cos?，cos????4|v|?|k|?h?z?(?)??r?(?)?Rz?(?)x?(?)?y?(?)?z?(?)222，

12??2hr?(?)R2h22r?(?)?r(?)?2r?(?)R?Rh?R22，化简得

drRrdr?，由实际问题应?0， d??h2?R2d?Rh?R22?解得r?C1e，由??0，r?R得C1?R，故r?Re??，将此式代入参数方程

（*）即得楼梯曲线。

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