厦门大学本科课程教学大纲

厦门大学本科课程教学大纲

课程名称 课程代码 授课对象 课程类型 总学分 3 先修课程 微分几何 本科生三年级第一学期 专业课程 总学时 64 授课 64 讨论 英文 类别代号 适用年级 2016级 课程课型 理论课 实验/上机 实践 其他 MATH 数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程 一、课程简介 本课程是面向数学系本科生开设的几何类课程之一。经典微分几何的研究对象是三维空间中的曲线和曲面，现代微分几何的研究对象是微分流形。本课程介绍经典的微分几何，主要内容包括：曲线的局部理论、曲面的局部理论、标架与曲面论基本定理、曲面的内蕴几何学。同时，本课程将介绍一些整体微分几何的内容，如平面曲线的旋转指标定理、曲面的整体Gauss-Bonnet公式等。 二、培养目标 理解和掌握经典微分几何，即三维欧氏空间中曲线和曲面的微分几何的基本概念与基本方法。培养学生的几何直观和图形想象能力，从具体到抽象的能力，同时使学生初步接触到现代微分几何的基本思想和基本方法，为进一步学习微分流形，黎曼几何，以及其他数学课程提供坚实的基础。 三、教学方法 课堂讲授、课后作业，教学和练习相结合；以板书为主，多媒体教学为辅。

四、主要内容及学时安排 章（或节） 第一章 欧氏空间 主要内容 1.微分几何的历史简介 2.向量空间 3.欧氏空间 1.曲线的概念 第二章 曲线的局部理论 2.空间曲线 第六章 平面曲线的整体性质 4.曲线基本定理 5.平面曲线的整体性质 6. 习题课 1. 曲面的概念 2. 曲面的第一基本形式 3. 曲面的第二基本形式 第三章 曲面的局部理论 4. 法曲率与Weingarten变换 5. 主曲率与Gauss曲率 6. 曲面的一些例子 7. 习题课 1. 活动标架 2. 自然标架的运动方程 3. 曲面的结构方程、曲面的第四章 标架与曲面论的基本定理 存在唯一性定理 4. 正交活动标架 5. 曲面的结构方程（外微分法） 6. 习题课 12 12 8 学时安排 2 1. 曲面的等距变换 2. 曲面的协变微分 3. 测地曲率与测地线 第五章 曲面的内蕴几何 4. 测地坐标系 5 曲面上的Gauss-Bonnet 公式 6. 习题课 第七章 曲面的若干整体性质 1. 整体Gauss-Bonnet公式 2.常平均曲率曲面的刚性 16 14 第八章 其他话题和复习 3.极小曲面简介 合计 五、考核方式与要求 64 总评成绩的登记方式是百分制，总评成绩由期中成绩、期末成绩（笔试+口试），平时作业、考勤成绩按30%、50%、20%组成。 六、选用教材 彭家贵, 陈卿编著《微分几何》 高等教育出版社，2002. 1. Montiel and Ros. Curves and Surfaces, 2 edition, American Mathematical Society. 2009. 2. Wilhelm Klingenberg著; A Course in Differential Geometry. Springer. 1978. nd七、参考书目与文献 八、课程网站等支持条件 九、其它信息 大纲制定者： 杨波 大纲审定者： 大纲制定时间：

XMU Undergraduate Course Syllabus

Course name Differential Geometry Course code Programme Course type Filled out by department Category code MATH Semester Semester 1, Year 3 Tick a box Credit 3 Prerequisites □Basic Common Courses □General ?Lecture □Experiment Education Courses □Disciplinary Course □Skill-training □Practical General Courses ?Specialized Courses focus □Other Teaching Processes Tick a box Total Total learning hours=L+T+E+P+O Experiment Practical learning Lecture Tutorial Others hours 64 64 0 0 0 0 Mathematical Analysis, Linear Algebra, Elementary Geometry, Ordinary differential Equations 1.Course description This course is one of geometry courses facing to undergraduate student in mathematics. The research subject for classical differential geometry is curves and surfaces in Euclidean 3-spaces and the research subject for modern differential geometry is general manifolds. This course will focus on the classical one. The content includes the local theory of curves and surfaces, frames and fundamental theorem for curves and surfaces, intrinsic geometry of surfaces. The method for this courses is based on calculus. 2. Learning goals Understand and master the classical differential geometry, that is the basic concepts and methods in geometry of curves and surfaces in three-dimensional Euclidean space, and use this to solve some geometric problems. Train the students their capability of geometric and graphic imagination, from the concrete to the abstract. Meanwhile let the students feel the basic ideas and methods of modern differential geometry and lay a solid foundation for further study of modern mathematics and its applications. 3.Teaching approaches Lectures, Exercises, combination of teaching and exercising; Mainly blackboard-based teaching and multimedia teaching as supplement.

4. Content outline of the course Chapter(Section) Chapter 1 Euclidean spaces Chapter 2 Content 1. History of differential geometry 2. Vector spaces 3. Euclidean spaces 1. Concept of curves Learning hours 2 Local theory of curves 2. Curves in 3-space Chapter 6 Global property for planar curves 3. Fundamental theorem for curves 4. Global property for planar curves 5. Exercise 1. Concept of surfaces 2. First fundamental form Chapter 3 Local theory of surfaces 3. Second fundamental form 4. Normal curvature,Weingarten map 5. Principal curvature, Gauss curvature 6. Examples of surfaces 7. Exercise 1. Frames Chapter 4 Frames and 2. Basic equations for frames 3. Structure equations, 12 12 8 fundamental theorem Fundamental theorem for surfaces for curves and surfaces 4. Orthonormal frames 5. Exterior differential 6. Exercise 1. Isometry between surfaces Chapter 5 intrinsic geometry of surfaces 2. Covariant derivative 3. Geodesic, geodesic curvature 4. Geodesic coordinates 5. Gauss-Bonnet theorem 6. Exercise 14

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