2017年电大经济数学基础形成性考核册答案 带题目

一、填空题： x?sinx1.limx?0x?___________________.答案：0

f(x)???x2?1,x?02.设??k,x?0，在x?0处连续，则k?________.答案：1 3.曲线y?x在(1,1)的切线方程是 .答案：

y?12x?12

4.设函数

f(x?1)?x2?2x?5，则f?(x)?____________.答案：2x x，则f??ππ5.设f(x)?xsin(2)?__________答案：?2

6.若?f(x)dx?2x?2x?c，则f(x)?___________________.答案：2xln2?2

7. ?(sinx)?dx?________.答案：sinx?c

218. 若?f(x)dx?F(x)?cF(1?x2，则?xf(1?x)dx? .答案：?2)?c

de9.设函数dx?1ln(1?x2)dx?___________.答案：0

P(x)?10. 若

?011x1?t2dt，则P?(x)?__________?.答案：

1?x2

??104?5?A??3?232?11.设矩阵???216?1??，则A的元素a23?__________________.答案：3

12.设A,B均为3阶矩阵，且

A?B??3，则

?2ABT=________. 答案：?72

13. 设A,B均为n阶矩阵，则等式(A?B)2?A2?2AB?B2成立的充分必要条件是 .案：AB?BA

14. 设A,B均为n阶矩阵，(I?B)可逆，则矩阵A?BX?X的解X?______________. 答案：

(I?B)?1A ???10?100?A???010?A???020??20???????1?00?1?15. 设矩阵?00?3?，则A?__________.答案：

??3??

f(x)?4?x?116.函数

In(x?1)的定义域为 答案：1＜x≤4且x≠2

答

2y?3(x?1)17. 函数的驻点是________，极值点是 ，它是极 值点.答案：x?1,x?1，小

18.设某商品的需求函数为q(p)?10e111?p2，则需求弹性

Ep? .答案：?2p

19.行列式

D??111?____________?1?11.答案：4

16??11?A??0?132????00t?10??，则t____时，方程组有唯一解.答案：??1 20. 设线性方程组AX?b，且

二、单项选择题：

sinx?12e

1. 函数x???，下列变量为无穷小量是（ C ） A．In(1?x) B．x/x?1 C．x2 D．x

2. 下列极限计算正确的是（ B ）A.x?0xlimx?1 B.x?0xlim?x?1 C.x?0limxsin1sinx?1lim?1x??xx D.

11ln101dxdxdxdxy?lg2xdy?2xxln10xx3. 设，则（ B ）．A． B． C． D．

4. 若函数f (x)在点x0处可导，则( B )是错误的 A．函数f (x)在点x0处有定义 B．D．函数f (x)在点x0处可微

11?1f()?x225.若x，则f'(x)?( B ）A．1/ x B．-1/x C．x D．x

116. 下列函数中，（ D ）是xsinx2的原函数． A．2cosx2 B．2cosx2 C．-2cosx2 D．-2cosx2

x?x0limf(x)?A，但A?f(x0) C．函数f (x)在点x0处连续

111dx?dxlnxdx?d()2xdx?d(2x)xC．ln27. 下列等式成立的是（ C）． A．sinxdx?d(cosx)B．D．x

8. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（C）．

xdxcos(2x?1)dxxsin2xdxx1?xdx2????A．， B． C． D．1?x

29. 下列定积分计算正确的是（D）．

?A．

1?12xdx?2? B．

16?1dx?15? C．??/2?/2sinxdx?0sinxdx?0?? D．

??10. 下列无穷积分中收敛的是（ B ）． A．1?????1????1xdxdxedxsinxdx?1x2 C．?0?1x B． D．

11. 以下结论或等式正确的是（ C ）．A．若A,B均为零矩阵，则有A?B

B．若AB?AC，且A?O，则B?C C．对角矩阵是对称矩阵 D．若A?O,B?O，则AB?O

12. 设A为3?4矩阵，B为5?2矩阵，且乘积矩阵ACB有意义，则C为（ A ）矩阵．

A．2?4 B．4?2

C．3?5 D．5?3

TT13. 设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ C ）． `

?1?1?1?1?1?1AB?BA(A?B)?A?B(A?B)?A?BA．， B． C． D．AB?BA

14. 下列矩阵可逆的是（ A ）．

??123???10?1??023??101??11??11A．??003???? B．???123?? C．???? D．??00?22?? ?222?A???333?15. 矩阵?444????的秩是（ B ）．A．0 B．1 C．2 D．3

16. 下列函数在指定区间(??,??)上单调增加的是（B）．A．sinx B．e xC．x 2 D．3 –17. 设

f(x)?1x，则f(f(x))?（ C ）． A．1/x B．1/ x 2 C．x D．x 2

11x?x18. 下列积分计算正确的是（A）．A．?ex?e?x?12dx?0e?e B．??12dx?0

1C．

?1-1xsinxdx?0 D．

?-1(x2?x3)dx?0

19. 设线性方程组Am?nX?b有无穷多解的充分必要条件是（ D ）． A．r(A)?r(A)?m B．r(A)?n C．m?n D．r(A)?r(A)?n

??x1?x2?a1?x2?x3?a20. 设线性方程组?2?x1?2x2?x3?a3，则方程组有解的充分必要条件是（ C ）．

A．a1?a2?a3?0 B．a1?a2?a3?0 C．a1?a2?a3?0 D．?a1?a2?a3?0 三、解答题 1、计算极限

（1）解：

limx2?3x?21lim(x?1)(x?2)limx?21x?1x2?1??2= x?1(x?1)(x?1)=x?1x?1=2 x2（2）解：

lim?5x?61lim(x?2)(x?3)limx?31x?2x2?6x?8?2= x?2(x?2)(x?4)=x?2x?4=-2 1?x?11lim1?x?1lim?11（3）解：limx?0x??2=s?0(1?x?1)x=s?01?x?1=－2 x

35?xx224x2?3x?51lim3??2lim2?xx （4）解：x??3x?2x?43=s??1?sm3x~3xlimsm3xlim3x3sin3x3lim?x?0sin5x5∵x?0时，sm5x~5x ∴x?0sm5x=x?05x=5 （5）解：

limx2?4limx2?4(6)解：x?2sin(x?2)=x?2x?2=x?2(x+2)=4

lim2.计算下列不定积分

3()xe?C(3)xx33x3e()dxdxln?C?x?eee（1）== =ln3?1

1（2）

?(1?x)2x2?12XX2dx?(??)dx2xXXX==

4x332?2x552?C

x2?4x2(x?2)(x?2)dx(x?2)dxdx??2x?C??x?22x?2（3）=== 1111dxd(1?2x)ln1?2x??21?2x21?2x（4）=-=-+C

111222222222(2?x)dx(2?x)d(2?x)(2?x)?Cx2?xdx???223（5）===

113（6）

?sinxxdx=Z?sinxdx=－2cosx?C

（7）

?xsinxxxxxxdxxdcos?2cosdx?4sm?C??2=-22=-2xcos22=-2xcos22

（8）?ln(x?1)dx=?ln(x?1)d(x?1)=（x+1）ln(x+1)-?(x?1)dln(x?1)=(x+1)ln(x+1)-x+c

3.计算下列定积分。

（1）

??

2?11?xdx1x

??1(1?x)dx??1(x?1)dx==（x-

122x21x2)?(?x)12?1215=2+2= 2

2

（2）

1

12211exx?e?eddx?1=e?e x=x2=13edlnxe(1?lnx)d(lnx?1)2(1?lnx)dx??1x1?lnx=11?lnx=1==4-2=2

（3）

?e31e3131?2121112122?xsm2x?sm2xdxcos2x1xdsm2x?2xcos2xdx?2?2242000?（4）0=0===2

?1???（5）

?e1222eex21eexe2x2ee2x2xe2e1e?1lnx???dx???dx?(?)xlnxdx?1lnxd112x=241=212=2x=244=4 =

44?xdx?xedx(1?xe)dx?0??0（6）0=

4?x44?x4?xe??ed(?x)4?4e?4?e?x4?x00?0?xde

0=4?4e?4?e?4?1=5?5e?4 =4==

4?x1?xsin?b,x?0?x?f(x)??a,x?0?sinxx?0?x?4、．设函数，

问：（1）当a,b为何值时，f(x)在x?0处有极限存在？（2）当a,b为何值时，f(x)在x?0处连续.

limlimsinx1??x?1 解：x?0f(x)= x?0(sinx+b)=b x?0f(x)= x?0limlim(1)要使f(x)在x=0处有极限，只要b=1，

limlim??x?0x?0（2）要使f(x)在x=0处连续，则f(x)= =f(0)=a 即a=b=1时，f(x)在x=0处连续

5、计算函数的导数或微分：

122x2x2?xlogyy?x?2?logx?22 （1），求 解：y＇=2+2xlog+ a(cx?d)?(ax?b)cad?bcax?by?22?(cx?d)(cx?d)ycx?d (2) ，求 解：y＇==

y?(3)

3x?5，求y? 解：y＇=[(3x?5)1?121]＇=-2(3x?5)?323·（3x-5）＇=－2(3x?5)?32

11xy?x?xe(4) ，求y? 解：y＇=2x－（ex+xex）=2x－ex－xex

axy?esinbx，求dy 解：∵y＇=aeaxsinbx+beaxcosbx=eax(asmbx+bcosbx) (5)

∴dy=eax(asmbx+bcosbx)dx

12(6) y?e?xx，求dy 解： ∵y＇=－x1xe1x3+2x1212 ∴dy=(－xe1x3+2x)dx

(7) y?e?xx，求dy 解：∵y＇=－2xsinx+2xe

1x?1?x2 ∴dy=(2xe?x21－2x sinx)dx

ny?sinx?sinnx，求y? 解：∵y＇=nsinn－1x+ncosnx∴dy=n(nsinn－1+ cosnx)dx (8)

122?yy?ln(x?1?x)x?1?x(9) ，求 解：∵y＇=

(1?2x21?x2=1?x2 ∴

)1dy?1dx21?x

y?2（10）

cot1x?1?3x2?2xxy?2xot?1xx112?x16?2111?31?5cot212xy??2csc?2ln?x2?x6x26x，求y? 解：

6、下列各方程中y是x的隐函数，试求y?或dy

22x?y?xy?3x?1，求dy （1）

y?2x?3解：方程两边对x求导得2x+2yy＇-y-xy＇+3=0 (2y-x)y＇=y－2x－3 y＇=2y?x y?2x?3dx2y?x∴dy=

xysin(x?y)?e?4x，求y? (2)

解：方程两边对x求导得：Cos(x+y)·(1+y＇)+exy(y+xy＇)=4 [cos(x+y)+xexy]y＇=4－cos(x+y)－yexy

4?cos(x?y)?yexyxycos(x?y)?xey＇=

7. 求下列函数的二阶导数：

2y?ln(1?x)，求y?? （1）

12x2??(1?x)?21?X2 解：∵y＇=1?x1(1?X2)?2X?2X2(1?X2)2XY???()??2221?X(1?X2)2(1?X) =

y?1?xx，求y??及y??(1) 解：

y??(?321x?x（2）

1)??(x?x)??xx=2?1212?321?x2?12

y???(?1x2?32?1x2?12)?3x=4?52?1x4

y??(1)?31??144

??21??01???2?0?1?1?2?1?1?0??12??53??10??5?0?3?15?1?3?0??35??=?? ???=?8、计算.（1）??02??11??0?1?2?00?1?2?0??00??0?3??00??0?1?3?00?1?3?0??00??=?? ???=?（2）??3??0???1254?????1????2?=??1?3?2?0?5?(?1)?4?2?=?0? （3）

45?23???124??245??7197??2?1???122??143???610??7120???1120???????????1?32??0?4?7?????3?2?14?? ???23?1????3?27??=?（4）?7?5??5152??7?219?4?7?612?0??112?00?????0?3?4?2?7?7??=???3?2?14?? =??23?1??123??，B??112?A??111???????0?11???011??，求AB。 9、设矩阵：

23?1解：

?A?110?13?111(1)?(2)0?2210?1212331?0?2210011233?2B?112?02011?2

?AB?A?B?0

?124??A??2?1????110??，确定?的值，使r(A)最小。 10、设矩阵：

?1?124??2?1???7?4???1?110????解：A=

2??1124??0?0??要使r（A）最小。

719??????此时r(A)?224只需4

?2?532?5?854A???1?742??4?11211、求矩阵1?3??0??3?的秩。

24231??2?532?5?8543?????4?1123???3??00001?3??3??0?

?2?5331??2?53?5?8543?(2)?(2)?5?85????1?7420???4?11???4?1123??4?11A=?∴r(A)=3

12、求下列阵的逆矩阵：

?1?1?32???3?A???301????1?1??1?1?解：[A?1]=?（1））

?3012100??1?32100??0?97310?1010???????1001???0?4310?1??

?1?32100??100113??113????010237??237???0?97310???????001349????001349?? ∴A-1=??349?? ?30???13?6?3100??1001??13?6?3???4?2?1010???010?2?7?1???4?2?1?????????211001?12?11??2??0010? ?．解：[A?1]=?（2）A =?30??1??2?7?1????012?? ∴A-1=??12??12?A??,B???23?35????，求解矩阵方程XA?B 13、设矩阵设矩阵

?x1X???x3解：设x2??x1?3x22x1?5x2??12?由XA?B即????23?x4?x?3x2x?5x434??? ??3?x1?1,x2?0x1?3x2?1即 2x1?5x2?2

3x4?x3?2x3??1?10????11?5x?2x?3x?143? 4 ∴X=?14、求解下列可分离变量的微分方程：

dy1xyx?yxx?e?edy?edxx?yedy?fedy?y?e?（1）解：dx e -e-y=ex+C 即 ex+e-y=C

dyxex?22x3ydy?xe2xdx3y?dx y3=xex-ex+C (2)解：3ydy=xedx ?15、求解下列一阶线性微分方程：

（1）

y??2y?(x?1)3x?1解：方程对应齐次线性方程的解为：y=C(X+1)2

由常数高易法，设所求方程的解为：y=C(x)(x+1)2

代入原方程得 C＇（x）(x+1)2=(x+1)3 C＇(x)=x+1

x2?x?c2 C(x)= x2?x?C)(x_?1)2故所求方程的通解为：（2

(2）

y??y??(x)dx?p(x)dx?2xsin2xy?e?(x)edx?C?x解：由通解公式

??1,Q(x)?2xsm2x,代入方式得其中 P（x）=-x

1?dxx1??dx??xdx?C???2xsm2x?e?cnx??=elnx?2xsm2x?edx?C=x?2sm2xdx?C=cx-xcos2x

Y=e

????16、求解下列微分方程的初值问题：（1）y??ey2x2x?y,y(0)?0

12x1e?Cedy??edxy＇=e2x/ey 即eydy=e2xdx ? ey=2 将x=0,y=0代入得C=2 12x(e?1)为满足y(0)?0的特解y

∴e=2

x?xy?y?e?0,y(1)?0 （2）

解：方程变形得

yex1exyex?xdx?为一阶线性微分方程，其中P(x)?,Q(x)??edx?Cxxxxxy＇+x

1??dxx1代入方式得Y=e

xdx?ex?1???1e?lnxlnxxedx?Ceedx?C??????xx??=x??=

??edx?C?x1xce?xx 将x=1,y=0代入=

1xee?xx 为满足y（1）=0的特解。 得C=-e ∴y=

17、求解下列线性方程组的一般解： ?2x3?x4?0?x1???x1?x2?3x3?2x4?0?2x?x?5x?3x?0234（1）?1）

02?1?2?1??1?10??11?32???01?11??????2?15?3????0?110?? 解：系数矩阵：A2=?x1?x4?2x3∴方程组的一般解为：x2?x4?x3 其中x3、x4为自由未知量

?2x1?x2?x3?x4?1??x1?2x2?x3?4x4?2?x?7x?4x?11x?5234?1（2）

解：对增广矩阵作初等行变换将其化为阿梯形

16?10?55?3712?14212?142?????01?12?14255?????2?1111??0?53?7?3???05?373???0000—????05?373???00000???A=17?4115故方程组的一般解是：

416337?x3?x4?x3?x4555 X2=555，其中x3，x4为自由未知量。

4?5?3??5?0???

X1=

?x1?x2?5x3?4x4?2?2x?x?3x?x?1?1234??3x1?2x2?2x3?3x4?3?7x?5x2?9x3?10x4???18.当为何值时，线性方程组?1有解，并求一般解。

?1?1?54?2?13?1??3?2?23?—

解：A=?7?5?9102??1?1?011?????013??????02?542?2??1?1?54?0113?9?3?13?9?3??????0013?9?3?00??8????26?18??14?00000??要使方程组

?x1??7x3?5x4?1?x??13x3?9x4?3有解，则??8此时一般解为答案： ?2（其中x1,x2是自由未知量）。

?x1?x2?x3?1??x1?x2?2x3?2?x?3x?ax?b23?119．a,b为何值时，方程组

解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵：

1?1??1?1?11??1?1?1?1?1?1?11?22???02???02??11?11??????—?13??ab???04a?1b?1???00a?3b?3?? A=?由方程组解的判定定理可得当a=－3,b≠3时，秩（A）＜秩（A），方程组无解当a=－3,b=3时，秩（A）=秩（A）=2＜3，方程组无穷多解当a≠－3时，秩（A）=秩（A）=3，方程组有唯一解。 20、求解下列经济应用问题：

2（1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C(q)?100?0.25q?6q（万元）,

—

—

—

求：①当q?10时的总成本、平均成本和边际成本；②当产量q为多少时，平均成本最小？ 解：①当q=10时总成本C(%)=100+0.25×10+6×10=185（万元）平均成本C（q）

C(q)100?6??0.25q?18.5qq

2

—

边际成本函数为C＇（q）=0.5+6，当q=10时，边际成本为11。

100100——

②平均成本函数C（q）=0.25q+6+q 即求函数C（q）=0.25q+6+q的最小值 100?0时—

C＇（q）=0.25q，q=20且当q>20时，Cˊ(q)>0，q2<0时，Cˊ(q)<0

∴当q=20时，函数有极小值 即当产量q=20时，平均成本最小

2qC(q)?20?4q?0.01q（2）某厂生产某种产品件时的总成本函数为（元），单位销售价格为

p?14?0.01q（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少．

解：总收益函数R（q）=P%=(14-0。01q)q=14q- 0.01q

利润函数L(q)=R(q)-C(q)=-0.02q2+10q-20，10250时，L＇（q）<0，q<250时L＇（q）>0 故L（q）在q=250取得极大值为L（250）=1230

即产量为250中时，利润达到最大，最大值为1230。

（3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C?(q)?2q?40(万元/百台)．试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低． 解：由C＇（x）=2x+40 C（x）=x2+40x+C,当x=0时（cx）=36，故C=36 总成本函数：C（x）=x2+40x+36 C(4)=42+40×4+36=252(万元) C（6）=62+40×6+36=312（万元） 总成本增量：△C（x）=312-212=100(万元)

2

3636?40?2x?52x平均成本C（x）=x+40+x

36当旦仅当 x=x时取得最小值，即产量为6百台时，可使平均成本达到最低。

（4）已知某产品的边际成本C?(q)=2（元/件），固定成本为0，边际收益R?(q)?12?0.02q，求： ①产量为多少时利润最大？②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 解：收益函数R（x）=

2(12?0.02x)dx?12x?0.01x?C?当x=0时，R(0)=0即C=0

收益函数R（x）=12x-0.01x2(0

成本函数C（x）=2x+C x=0时，C(x)=0,故C1=0 成本函数C（x）=2x

利润函数L（x）=R(x)-L(x)=10x-0.01x L＇（x）=10-0.02x x=500时, L＇（x）>0

故L(x)在x=500时取得极大值产量为500件时利润最大，最大为2500元，

在此基础上再生产50件，即产量为550时，利润L（550）=2475，利润将减少25元。

四、证明题：

1、试证：若B1,B2都与A可交换，则B1?B2，B1B2也与A可交换。 证：B1、B2都与A可交换，即

B1A=AB1 B2A=AB2

（B1+B2）A=B1A+B2A=AB1+AB2 AA（B1+B2）=AB1+AB2 ∴（B1+B2）A=A（B1+B2）

（B1B2）A=B1（B2A）=B1（AB2）=（B2A）B2=AB1B2 即B1+B2、B1B2与A可交换。

TTTAA,AA是对称矩阵。 AA?A2、试证：对于任意方阵，，

证：（A+AT）T=AT+（AT）T=AT+A=A+AT

故A+AT为对称矩阵 （AAT）T=（AT）AT=AAT

TTTTTT

（AA）=A（A）=AA

3、设A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：AB?BA。 证：若AB为对阵矩阵，则（AB）T=BTAT=BA=AB ∵AB为几何对称矩阵

知AT=A BT=B 即AB=BA

反之若AB=BA （AB）T=BTAT=BA=AB即（AB）T=AB ∴AB为对称矩阵。

4、设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B设A为几何对称矩阵，即AT=A （B-1AB）T=BTAT（B-1）T

=BTAT（BT）T （∵B-1=BT） =B-1AB ∴B-1AB为对称矩阵

?1?BT，证明B?1AB是对称矩阵。

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