ch4_中值定理及应用习题课(1)

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第四章 中值定理及应用 习题课

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一、主要内容洛必达法则 Cauchy 中值定理F(x) = x

00,1∞,∞0 型0 型 0 ∞ 型 ∞y 令 = fg 对 取 数

∞ ∞型1 g 1 f f g= 1 g 1 f

0 ∞型f g= f 1g

Lagrange 中值定理 中值定理

f (a) = f (b)

Rolle 定理

导数的应用 单调性,极值与最值, 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘。 图形的描绘。2

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1、罗尔中值定理尔 Rolle) 定 罗 ( olle) 理 如 函 f (x)在 区 果 数 闭 间 [a,b]上 续 在 区 (a,b)内 导 且 区 端 连 , 开 间 可 , 在 间 点 函 值 等 即f (a) = f (b),那 在a,b) 的 数 相 ， 末 ( 内 少 一 ξ(a < ξ < b),使 函 f (x) 在 至 有 点 得 数 该 点 导 等 零 的 数 于 ， f ' (ξ) = 0 即

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2、拉格朗日中值定理格 日 Lagrange) 值 理 如 函 f (x) 中 定 拉 朗 ( Lagrange) 果 数 在 区 [a,b]上 续 在 区 (a,b)内 导 那 闭 间 连 , 开 间 可 , 在 至 有 点 使 式 末 (a,b)内 少 一 ξ(a < ξ < b), 等f (b) f (a) = f ' (ξ)(b a) 成 . 立

有限增量公式. 有限增量公式

y = f ′( x 0 + θ x ) x (0 < θ < 1).增量 y的精确表达式 .4

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推论 如果函数 f ( x )在区间 I上的导数恒为零 , 那末f ( x )在区间 I上是一个常数 .

3、柯西中值定理F 西 Cauchy) 值 理 如 函 f (x) 及 (x) 中 定 柯 ( Cauchy) 果 数

[a,b]上 续 在 区 (a,b)内 导 且 ' (x) 闭 间 在 区 连 , 开 间 可 , F( 在a,b)内 一 处 不 零 那 在a,b) 内 少 每 点 均 为 ， 末 ( 至

一 ξ 等 有 点 (a < ξ < b),使 式 f (a) f (b) f ' (ξ) = ' 成 . 立 F(a) F(b) F (ξ)5

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4、洛必达法则0 ∞ 1. 型及 型未定式 0 ∞0

定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则

20.

0 ∞ , ∞ ∞ ,00 ,1∞ , ∞ 0型未定式

关键: 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ( 0 ), ( ∞ ) .0

∞

注意：洛必达法则的使用条件 注意：洛必达法则的使用条件.6

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6、导数的应用 (1) 函数单调性的判定法定理

上连续， 设函数y = f ( x )在[a, b]上连续，在 ( a, b )内

可导. 1 如果在( a, b )内f ′( x ) > 0,那末函数 y = f ( x )在0

[a, b]上单调增加； 上单调增加； 20 如果在( a, b )内f ′( x ) < 0,那末函数 y = f ( x )在 [a, b]上单调减少.7

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(2) 函数的极值及其求法定义设 数 (x)在 间a,b) 有 义 x0是a,b) ( 函 f 区 ( 内 定 , 内一 点 的 个 , 果 在 点 一 邻 , 于 邻 内 如 存 着 x0的 个 域对 这 域 的 任 点 ,除 点 0外 f (x) < f (x0)均 立就 何 x 了 x , 成 , 称 f (x0)是 数 (x) 一 极 值 函 f 的 个 大 ; 果 在 点 一 邻 , 于 邻 内 如 存 着 x0的 个 域对 这 域 的 何 x 了 x , 任 点 ,除

点 0外 f (x) > f (x0)均 立就 成 , 称 f (x0)是 数 (x) 一 极 值 函 f 的 个 小 .8

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极值,使函数取得 函数的极大值与极小值统称为极值 函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得 极值的点称为极值 极值点 极值的点称为极值点. 极值是函数的局部性概念: 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 极小值可能大于极大值. 值,极小值可能大于极大值 极小值可能大于极大值 定理(必要条件) 定理(必要条件) 设f (x)在 x0 处 有 数且 , 点 具 导 ,且 x 取 极 ,那 在 0处 得 值那 必 f '(x0) = 0. 末 定 定义 使导数为零的点 (即方程 f ′( x ) = 0的实根 )叫

做函数 f ( x )的驻点.驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点9

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定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) ; x (1)如 x∈(x0 δ, x0),有f '(x) > 0 而 ∈(x0, x0 +δ ), 如 果 x 取 极 值 有f '(x) < 0, f (x)在 0处 得 大 . 则 ; x (2)如 x∈(x0 δ, x0),有f '(x) < 0 而 ∈(x0, x0 +δ ) 如 果 x 取 极 值 有f '(x) > 0, f (x)在 0处 得 小 . 则 x (3)如 当 ∈(x0 δ, x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符 , (x 如 果 x x 无 值 号 同则f (x)在 0处 极 . 相 ,则 定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 x 具 二 导 , 且f '(x0) = 0, f ''(x0) ≠ 0, 那 末 f ''(x0) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 , 数 当 '' x 取 极 值 (2)当f (x0) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . 10 , 数 当

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求极值的步骤: 求极值的步骤:(1) 求导数 f ′( x );

( 2) 求驻点和不可导点;( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在 该点的符号 , 判断极值点;(4) 求极值 .

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(3) 最大值、最小值问题 最大值、步骤: 步骤: 1.求驻点和不可导点 求驻点和不可导点; 求驻点和不可导点 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值 比 求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 求区间端点及驻点和不可导点的函数值 较大小,那个大那个就是最大值 那个大那个就是最大值,那个小那个就 较大小 那个大那个就是最大值 那个小那个就 是最小值; 是最小值 注意:如果区间内只有一个极值 则这个极值就 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值 最大值或最小值) 是最值 最大值或最小值

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(4) 曲线的凹凸与拐点定义 设 (x)在a,b) 连 ,如 对a,b) 任 f ( 内 续 果 ( 内 意 x1 + x2 f (x1) + f (x2) )< , 两 x1, x2,恒 点 有 f( 2 2 ( 那 称 (x)在a,b) 的 形 凹 ; 末 f 内 图 是 的果 ( 如 对a,b) 任 两 x1, x2,恒 内 意 点 有 x1 + x2 f (x1) + f (x2) )> , f( 2 2 那 称 (x)在a,b) 的 形 凸 ; 末 f ( 内 图 是 的13

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定理1 定理1 如 f (x)在a,b]上 续在a,b) 具 二 [ 果 连 , ( 内 有 阶数 在 内 导 ,若 (a,b) (1) f ′′(x) > 0,则 (x

)在a,b]上 图 是 的 [ 的 形 凹 ; f (2) f ′′(x) < 0,则 (x)在a,b]上 图 是 的 [ 的 形 凸 ; f

续 线 凹 的 界 称 曲 的 点 连 曲 上 凸 分 点 为 线 拐 .( 理 定 2 如 f (x)在 x0 δ, x0 +δ )内 在 阶 果 存 二 导

数, 则点( x0, f (x0)) 是拐点的必要条件是f "(x0) = 0.14

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方法1: 方法1: 设函数 f ( x )在x0的邻域内二阶可导 , 且f ′′( x0 ) = 0,

(1) x0两近旁 f ′′( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点; ( 2) x0两近旁 f ′′( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.方法2: 方法2: 设函数 f ( x )在x 0的邻域内三阶可导 ,

且f ′′( x 0 ) = 0, 而f ′′′( x 0 ) ≠ 0, 那末( x0 , f ( x 0 ))是 曲线y = f ( x )的拐点.15

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练习1、 1、 f ′( x 0 ) = 0 是可导函数 f ( x ) 在 x 0 点 处有极值的( 处有极值的( ). 充分条件； (A) 充分条件； (B) 必要条件 充要条件； (C) 充要条件； 条件. (D) 既非必要又非充 分 条件.

1' 函数f ( x )在x0 处可导，且取得极大值 ，则( ) 处可导， .( A) f ' ( x0 ) = 0; ( B ) f ' ' ( x0 ) > 0; (C ) f ' ' ( x0 ) = 0; ( D ) f ' ' ( x0 ) < 0.

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2、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小 值，则( ). 极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值； (A)极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值； 极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值； (B)极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值； 极大值不一定是最大值， (C)极大值不一定是最大值，极小值也不一定是 最小值； 最小值； (D)极大值必大于极小值 .

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3、 3、若在 ( a , b ) 内，函数 f ( x ) 的一阶导数 f ′( x ) > 0 , 在此区间内( 二阶导数 f ′′( x ) < 0 , 则函数 f ( x ) 在此区间内 ( ). 单调减少，曲线是凹的； (A) 单调减少，曲线是凹的； 单调减少，曲线是凸的； (B) 单调减少，曲线是凸的； 单调增加，曲线是凹的； (C) 单调增加，曲线是凹的； 单调增加，曲线是凸的. (D) 单调增加，曲线是凸的.

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求极限

1 ln cos x lim x→∞ 1 x2

P120 1(8)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r7ei.html