热学第三版答案

第一章 温度

1-1 在什么温度下,下列一对温标给出相同的读数：（1）华氏温标和摄氏温标；（2）华氏温标和热力学温标；（3）摄氏温标和热力学温标？

解：（1）

当 时，即可由 时

，解得

故在 （2）又

当 时 则即

解得： 故在 （3）

若

则有

时，

显而易见此方程无解，因此不存在

的情况。

1-2 定容气体温度计的测温泡浸在水的三相点槽内时，其中气体的压强为50mmHg。 （1）用温度计测量300K的温度时，气体的压强是多少？ （2）当气体的压强为68mmHg时，待测温度是多少？

解：对于定容气体温度计可知：

(1)

(2)

1-3 用定容气体温度计测得冰点的理想气体温度为273.15K，试求温度计内的气体在冰点时的压强与水的三相点时压强之比的极限值。

解：根据 已知 冰点

。

1-4 用定容气体温度计测量某种物质的沸点。 原来测温泡在水的三相点时，其中气体的压强

；当测温泡浸入待测物质中时，测得的压强值为

减为200mmHg时,重新测得

,当从

,当再抽出一些

测温泡中抽出一些气体,使 气体使

减为100mmHg时,测得 .试确定待测沸点的理想气体温度.

解：根据

从理想气体温标的定义：

时,T约为400.5K亦即沸点为400.5K.

依以上两次所测数据,作T-P图看趋势得出

题1-4图

1-5 铂电阻温度计的测量泡浸在水的三相点槽内时，铂电阻的阻值为90.35欧姆。当温度计的测温泡与待测物体接触时，铂电阻的阻值为90.28欧姆。试求待测物体的温度，假设温度与铂电阻的阻值成正比，并规定水的三相点为273.16K。 解：依题给条件可得

则

故

，

1-6 在历史上，对摄氏温标是这样规定的：假设测温属性X随温度t做线性变化 即，并规定冰点为 设 解：

和

，汽化点为

。

分别表示在冰点和汽化点时X的值，试求上式中的常数a和b。

由题给条件可知 由（2）-（1）得

将（3）代入（1）式得

1-7 水银温度计浸在冰水中时，水银柱的长度为4.0cm；温度计浸在沸水中时，水银柱的长度为24.0cm。 （1） 在室温

时，水银柱的长度为多少？

（2） 温度计浸在某种沸腾的化学溶液中时，水银柱的长度为25.4cm，试求溶液的温度。 解：设水银柱长 与温度 成线性关系：

当 代入上式 当

，

时，

（1）

（2）

1-8 设一定容气体温度计是按摄氏温标刻度的，它在冰点和汽化点时，其中气体的压强分别为

和

。

时，待测温度是多少？

），气体的压强是多少？

（1）当气体的压强为

（2）当温度计在沸腾的硫中时（硫的沸点为 解：解法一 设P与t为线性关系： 由题给条件可知：当

时有

当

时得：

由此而得（1）

（2）

时

解法二 若设t与P为线性关系 利用第六题公式可得：

由此可得：（1） （2）

时

时

1-9 当热电偶的一个触点保持在冰点，另一个触点保持任一摄氏温度t时，其热电动势由下式确定：

式中

，由于T、M不变

根据方程 有

，而

1-16 截面为 的粗细均匀的U形管，其中贮有水银，高度如图1-16所示。今将左侧的上端封闭年，将其右侧与真空泵相接，问左侧的水银将下降多少？设空气的温度保持不变，压强

题1-16图

解：根据静力平均条件，右端与大气相接时，左端的空气压强为大气压；当右端与真空泵相接时，左端空气压强为

（两管水银柱高度差）

设左端水银柱下降

即

整理得 ：

常数

（舍去）

1-17 图1-17所示为一粗细均匀的J形管，其左端是封闭的，右侧和大气相通，已知大气压强为 ，今从J形管右侧灌入水银，问当右侧灌满水银时，左侧水银柱有多高，设温度保持不变，空气可看作理想气体。

题1-17图

解：设从J形管右侧灌满水银时，左侧水银柱高为h。假设管子的直径与 忽略不计，因温度不变，则对封闭在左侧的气体有：

相比很小，可

而

（S为管的截面积）

解得：

（舍去）

1-18 如图1-18所示，两个截面相同的连通管，一为开管，一为闭管，原来开管内水银下降了 ，问闭管内水银面下降了多少？设原来闭管内水银面上空气柱的高度R和大气压强为

，是已知的。

题1-18图

解：设截面积为S，原闭管内气柱长为R大气压为P闭管内水银面下降后，其内部压强为。对闭管内一定质量的气体有：

以水银柱高度为压强单位：

取正值，即得

1-19 一端封闭的玻璃管长 ，贮有空气，气体上面有一段长为 的水银柱，将气柱封住，水银面与管口对齐，今将玻璃管的开口端用玻璃片盖住，轻轻倒转后再除去玻璃片，因而使一部分水银漏出。当大气压为

时，六在管内的水银柱有多

长？解： 题1-19图

，以水银柱高度表示压强，

设在正立情况下管内气体的压强为

倒立时，管内气体的压强变为 ，水银柱高度为

由于在倒立过程温度

不变，

解之并取 的值得

，温度为

时的密度。

1-20 求氧气在压强为 解：已知氧的密度

1-21 容积为 为

的瓶内贮有氢气，因开关损坏而漏气，在温度为

时，气压计的读数

。过了些时候，温度上升为

，气压计的读数未变，问漏去了多少质量的氢。

解：当 时，容器内氢气的质量为：

当

故漏去氢气的质量为

时，容器内氢气的质量为：

1-22 一打气筒，每打一次可将原来压强为

的空气压缩到容器内。设容器的容积为

容器内的空气温度为

解：打气后压强为：

有空气，设所需打气次数为

，压强为

，温度为 ，体积

，问需要打几次气，才能使

。

，题上未说原来容器中的气体情况，可设原来容器中没，则

得：

次

1-23 一气缸内贮有理想气体，气体的压强、摩尔体积和温度分别为 、 和 ，现将气缸加热，使气体的压强和体积同时增大。设在这过程中，气体的压强 和摩尔体积 满足下列关系式： （1）求常数 （2）设 解：根据

其中

，将结果用

为常数 ，

和普适气体常数

表示。

，当摩尔体积增大到 理想气体状态方程

时，气体的温度是多高？ 和过程方程

有

（1）

（2） 而

为分子热运动的动能，则平衡后氦气的温度和压强将各增大多少？ 解：由于容器以速率v作定向运动时，每一个分子都具有定向运动，其动能等于

1当容器停止运动时，分子定向运动的动能将转化为分子热运动的能量，mv2，

2313每个分子的平均热运动能量则为KT?mv2?KT1

222mv2?v2T2?T1??3K3R ∴△T= ?344?10?4?10??6.42K3?8.31 因为容器内氦气的体积一定，所以

P2PP?P?P1 ?1?2?T2T1T2?T1?T故△P=

PM1V?RT1 ?T，又由P1?T1MRT1/V

得：P1??∴△P=

MR?T0.05?0.082?6.42??6.58?10?1（atm ） ?3?V4?10?102-10 有六个微粒，试就下列几种情况计算它们的方均根速率：

(1)

六个的速率均为10m/s；

(2) 三个的速率为5m/s,另三个的为10m/s； (3) 三个静止，另三个的速率为10m/s。 解：（1）

V2?6?102?10m/s 63?102?3?52?7.9m/s

63?102?7.1m/s 6 （2）

V2? （3）

V2?2-11 试计算氢气、氧气和汞蒸气分子的方均根速率，设气体的温度为300K，已知氢

气、氧气和汞蒸气的分子量分别为2.02、32.0和201。

VH2?解：

23RT?H2?

3?3.81?300?2.02?10?3V02?237?105?1.9?103m/s3?8.31?300?4.83?102m/s ?332?103?8.31?300?1.93?102m/s ?3201?10V

2Hg?2-12 气体的温度为T = 273K,压强为 P=1.00×10atm,密度为ρ=1.29×10g

(1) 求气体分子的方均根速率。

(2) 求气体的分子量，并确定它是什么气体。 解：（1）

-2-5

V2?3RT??3P??485m/s

（2）??m=28.9

PNA?RT??28.9?10?3kg/mol?28.9g/mol nP该气体为空气

2-13 若使氢分子和氧分子的方均根速率等于它们在月球表面上的逃逸速率，各需多高的温

度？

解：在地球表面的逃逸速率为 V地逸=

2gR地?2?9.8?6370?103?1.12?104m/s

在月球表面的逃逸速率为 V月逸=

2g月R月??2?0.17g地?0.27R地53

2?0.17?9.8?0.27?6.370?10?2.4?10m/sV2又根据

?3RT?

∴T??v23R

当TH2=

V2?1.12?104m/s时，则其温度为

22?10?3?（1.12?104） ?3?8.31?H2?v地逸23R?1.01?104KTO2=

?O2?v地逸23R232?10?3?（1.12?104） ?3?8.31?1.6?105K当

V2?2.4?103m/s时

222?10?3?（2.4?103）?TH2= 3R3?8.31?4.6?102K?H2?v月逸TO2=

?O2?v月逸23R232?10?3?（2.4?103） ?3?8.31?7.4?103K

2-14 一立方容器，每边长1.0m，其中贮有标准状态下的氧气，试计算容器一壁每秒受到的

氧分子碰撞的次数。设分子的平均速率和方均根速率的差别可以忽略。 解：按题设v?V2?3RT??3?8.3?273?461米/秒

32?10?3设标准状态下单位容器内的分子数为n，将容器内的分子按速度分组，考虑速度为vi

的第i组。说单位体积内具有速度vi的分子数为ni，在时间内与dA器壁相碰的分子数为ni·vixdt·dA，其中vix为速度vi在X方向上的分量，则第i组分子每秒与单位面积器壁碰撞次数为ni·vix，所有分子每秒与单位面积器壁碰撞次数为：

D??nviiix1?n?nivix2ivx21/n?2?nv?niiiixi1nnvx?22n?v223?即D?

n233RT?

在标准状态下n=2.69×10m

25-3

∴

D?123?2.69?1025?3?8.81?273 32?10?3?3.58?1027(s?1)

2-15 估算空气分子每秒与1.0cm墙壁相碰的次数，已知空气的温度为300K，压强为1.0atm，

平均分子量为29。设分子的平均速率和方均根速率的差别可以忽略。 解：与前题类似，所以每秒与1cm的墙壁相碰次数为：

2

2

D??n23?3RT?P?KTS3RT?S

123??3.59?1023S?1

2-16 一密闭容器中贮有水及饱和蒸汽，水的温度为100℃，压强为1.0atm，已知在这种状

态下每克水汽所占的体积为1670cm，水的汽化热为2250J/g （1） 每立方厘米水汽中含有多少个分子？ （2） 每秒有多少个水汽分子碰到水面上？

（3） 设所有碰到水面上的水汽分子都凝结为水，则每秒有多少分子从水中逸出？ （4） 试将水汽分子的平均动能与每个水分子逸出所需能量相比较。 解：（1）每个水汽分子的质量为：m?3

?N0

每cm水汽的质量M?3

1 vn?NM?0mv?

则每cm水汽所含的分子数

3

?2?1026m?3（2）可看作求每秒与1cm水面相碰的分子数D，这与每秒与1cm器壁相碰的分子数方法相同。

在饱和状态n不变。

2

2

D?123nvs?2123n?s3RT?

?4.15?1023(个）（3）当蒸汽达饱和时，每秒从水面逸出的分子数与返回水面的分子数相等。 （4）分子的平均动能

??3KT 2?7.72?10?21(J)每个分子逸出所需的能量

E?Lm?2250??N0?6.73?10?20(J)

显而易见E??，即分子逸出所需能量要大于分子平均平动能。

2-17 当液体与其饱和蒸气共存时，气化率和凝结率相等，设所有碰到液面上的蒸气分子都

能凝结为液体，并假定当把液面上的蒸气分子迅速抽去时液体的气化率与存在饱和蒸气

-6

时的气化率相同。已知水银在0℃时的饱和蒸气压为1.85×10mmHg，汽化热为80.5cal/g，问每秒通过每平方厘米液面有多少克水银向真空中气化。 解：根据题意，气化率和凝结率相等

-6

P=1.85×10mmHg

-4-2

=2.47×10Nm

气化的分子数=液化的分子数=碰到液面的分子数N，由第14题结果可知：

N?123nvs?2123n?s3RT?

?3.49?1014(个）则每秒通过1cm液面向真空气化的水银质量

2

M?mN??N0N?201?3.49?1014236.022?10

?1.16?10?7(g)

-1

2-18 已知对氧气，范德瓦耳斯方程中的常数b=0.031831mol，设b等于一摩尔氧气分子体

积总和的四倍，试计算氧分子的直径。

解：b?4NO?4d?()2 32d?33b2?NO∴?2.93?10?8(cm)

?2.93?10?10(m)

2-19 把标准状态下224升的氮气不断压缩，它的体积将趋于多少升？设此时的氮分子是一

个挨着一个紧密排列的，试计算氮分子的直径。此时由分子间引力所产生的内压强约为

2-2-1

多大？已知对于氮气，范德瓦耳斯方程中的常数a=1.390atm﹒lmol，b=0.039131mol。

解：在标准状态西224l的氮气是10mol的气体，所以不断压缩气体时，则其体积将趋于10b，即0.39131，分子直径为：

d?33b2?NO

?3.14?10?8(cm)内压强P内=

a1.39??907.8atm V20.039132注：一摩尔实际气体当不断压缩时（即压强趋于无限大）时，气体分子不可能一个挨一

个的紧密排列，因而气体体积不能趋于分子本身所有体积之和而只能趋于b。

2-20 一立方容器的容积为V，其中贮有一摩尔气体。设把分子看作直径为d的刚体，并设想分子是一个一个地放入容器的，问：

（1） 第一个分子放入容器后，其中心能够自由活动的空间体积是多大？ （2） 第二个分子放入容器后，其中心能够自由活动的空间体积是多大？ （3） 第NA个分子放入容器后，其中心能够自由活动的空间体积是多大？ （4） 平均地讲，每个分子的中心能够自由活动的空间体积是多大？

由此证明，范德瓦耳斯方程中的改正量b约等于一摩尔气体所有分子体积总和的四倍。 解：假定两分子相碰中心距为d，每一分子视直径为d的小球，忽略器壁对分子的作用。

3

（1） 设容器四边长为L，则V=L，第一个分子放入容器后，其分子中心与器壁的距离

应?d3

，所以它的中心自由活动空间的体积V1=（L-d）。 2（2） 第二个分子放入后，它的中心自由活动空间应是V1减去第一个分子的排斥球体积，

即：

V2?V1?4?d2 34?d2 3(3)第NA个分子放入后, 其中心能够自由活动的空间体积:

VA?V1?(NA?1)(4) 平均地讲，每个分子的中心能够自由活动的空间为：

V??1444{V1?(V1??d3)?(V1?2??d3)???[V1?(NA?1)?d]}NA33314{NAV1??d3[1?2?3????(NA?1)]}NA3N?14?d3A32?V1?因为L?d，NA?1，所以

V?V?N44d?d3?A?V?4NA??()3 3232容积为V的容器内有NA个分子，即容器内有一摩尔气体，按修正量b的定义，每个分子自由活动空间V?V?b，与上面结果比较，易见：

b?4NA?4d?()3 32即修正量b是一摩尔气体所有分子体积总和的四倍。

第 三 章 气体分子热运动速率和能量的统计分布律

3-1 设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数Ni 速率Vi（m/s） 试求(1)平均速率V；（2）方均根速率V 解：（1）平均速率：

22 1.00 4 2.00 6 3.00 8 4.00 2 5.00 （3）最可几速率Vp

V?2?1.00?4?2.00?6?3.00?8?4.00?2?5.00?3.182?4?6?8?2(m/s)

(2) 方均根速率

V2??NiVi2?3.37?Ni(m/s)

3-2 计算300K时，氧分子的最可几速率、平均速率和方均根速率。

VP?解：

2RT???2?8.31?300?395m/s32?10?3

V?8RT???8?8.31?300?446m/s3.14?32?10?3 ?3?8.31?300?483m/s?332?10

V23RT?

3-3 计算氧分子的最可几速率，设氧气的温度为100K、1000K和10000K。

VP?解：

2RT?代入数据则分别为：

2V?2.28?10m/s PT=100K时

2V?7.21?10m/s PT=1000K时

3V?2.28?10m/s PT=10000K时

3-4 某种气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度T2时的平均速率，求T2/T1。

V解：因

2?3RT?V?

8RT2??

由题意得：

3RT

??8RT2??

3?∴T2/T1=8

3-5 求0℃时1.0cm3氮气中速率在500m/s到501m/s之间的分子数（在计算中可将dv近似地取为△v=1m/s）

解：设1.0cm3氮气中分子数为N，速率在500~501m/s之间内的分子数为△N，由麦氏速率分布律：

?V2m22KTN?4?()e?V2??V2?KT△ N=

3m ∵ Vp2=

2KT

，代入上式 m

4N

△N=?因500到501相差很小，故在该速率区间取分子速率V =500m/s，

?V?1V??2eVp2?V22Vp?V又

VP?2?8.31?273?402m/s28?10?3 △V=1m/s

v－

（ =1.24）代入计算得：△N=1.86×103N个 vp

3-6 设氮气的温度为300℃，求速率在3000m/s到3010m/s之间的分子数△N1与速率在1500m/s到1510m/s之间的分子数△N2之比。 解： 取分子速率为V1=3000m/s

V2=1500m/s, △V1=△V2=10m/s 由5题计算过程可得：

4N△V1=??V?1pV?2eVpV?2eVp22?V122Vp?V1

?V222Vp4N△N2=

??V?1p?V2

(V12)?eVp?(V12)Vp∴ △N/△N2=

V12?(Vp)()eVpV12

其中VP=

2?8.31?5733?2.18?102?10?3m/s

v1v2 =1.375， =0.687 vpvp

2?N11.3752?e?1.375??0.9692?0.6872?N20.687?e ∴

解法2：若考虑△V1=△V2=10m/s比较大，可不用近似法，用积分法求△N1，△N2

V22VP4N dN= △N1= △N2=

??Vp?3e?V2dV

?V2V1V4dN??dN??dN00V2V1

?V3dN??dN??dN00V4V3vi 令Xi= i=1、2、3、4利用16题结果:

vp

?Vi0dN?N[erf(xi)?2?2xie?xi2

N[erf(x2)?∴ △N1=

?xie2?x2]?N[erf(x1)?2?x1e22?x1] （1）

N[erf(x4)? △N2=

2?x4e?x4]?N[erf(x3)?2?x3e?x3] （２）

22RT其中VP=

??2.182?103m/s

x1?V1V?1.375x2?2?1.379VPVP V3V?0.687x4?4?0.6722VPVP

x3?查误差函数表得：

erf(x1)=0.9482 erf(x2)=0.9489

erf(x3)=0.6687 erf(x4)=0.6722 将数字代入（１）、（２）计算，再求得：

?N1?0.703?N2

3-7 试就下列几种情况，求气体分子数占总分子数的比率：

（1） 速率在区间vp～1.0vp1内

（2） 速度分量vx在区间vp～1.0vp1内

（3） 速度分量vp、vp、vp同时在区间vp～1.0vp1内

解：设气体分子总数为N，在三种情况下的分子数分别为△N1、△N2、△N3

（1） 由麦氏速率分布律：

△ N=

?V2V1dN??dN??dN00V2V1

xi?令v2=1.01vp，vi=vp，

vivpx1?，则

v1?1vpx2?，

v2?1.01vp，利用16题结果可得；

22?N122?x2?x1?erf(x2)?x2e?erf(x1)?x1eN??

查误差函数表：erf（x1）=0.8427 erf（x2）=0.8468

?N1?0.008N∴

（2） 由麦氏速率分布律：

2vxdNx?N?ve?1p?v2pdvx

?(vx2)vp?N2?∴

N?1v?ep?0v2dvx?N?1v?p?e0v1?(vx2)vpdvx

?N21?N??v2vp0vv1exp[?(x)2]d(x)?vpvp??v1vp0exp[?(vx2v)]d(x)vpvp

x?令

vxvpx1?，

v1?1vpx2x2?，

v2?1.01vp1

?N21??∴N利用误差函数：

?0e?x2dx???x10e?x2?dx

erf(x)?2??x0exp(?x2)dx

?N21?[erf(x2)?erf(x1)N21?[0.8468?0.8427]?0.21%2

x?（3）令

vxvp，由麦氏速度分布律得：

?22vx?v2y?vzdN313?v?peN??v2p?dvxdvydvz2

3x1?x1?N313x2?x2?()[?edx??edx]00N??N23?()?(0.002)3?0.8?10?8N

2

3-8根据麦克斯韦速率分布函数，计算足够多的点，以dN/dv为纵坐标，v为横坐标，作1摩尔氧气在100K和400K时的分子速率分布曲线。 解：由麦氏速率分布律得：

?v2dNm22KT?4?N()ev2dv2?KT

3m将π=3.14，N=NA=6.02×1023T=100K m=32×10-3代入上式得到常数：

mm4?NA()2eB?2?KT2KT A=

2dN?Ae?BV?V2∴dv （1）

3为了避免麻烦和突出分析问题方法，我们只做如下讨论： 由麦氏速率分布律我们知道，单位速率区间分布的分子数随速率的变化，必然在最可几速率处取极大值，极大值为：

y?令

2dN?Ae?BV?V2dv则

22dy?A[e?BV?2V?V2?e?BV(?2BV)]?0dv

得

V?VP?1B

又在V=0时，y=0，V→∞时，y→0

VP1?又

1?B12KT1mVP2?

1?B22KT2m

∵T1=100K＜T2=400K ∴

VP1＜

VP2 由此作出草图

13-9根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值v。

?11?f(V)dvv?0Vm2??2KT?4?()?eVdV02?KT??m2KTm?4?()(?)??e2KTV2?d(?V2)02?KTm2KT3m3mv2?4?(?mKT)?(?)?e2?KTm32?mV2?2KT0解：

3-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm的小圆孔，容器贮有100℃的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg。 （1） 求容器内水银蒸汽分子的平均速率。 （2） 每小时有多少克水银从小孔逸出？

2m4??KT?VV?8RT???8?8.31?3733.14?201?10?3

2?1.98?10(m/s)解：（1）

（2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子数为：

N?1nV?s?t4

11PVdnV??s??()24KT是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，2是小孔面积，其中4N?t=3600s，故

1P?V?s?t4KT，代入数据得：

N=4.05×1019（个）

M?mN??NA19201?10?3N??4.05?106.02?1023?2?1.35?10(g)∴

3-11如图3-11，一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强，分子数密度分别为p1、n1、p2、n2。两部分气体的温度相同，都等于T。摩尔质量也相同，均为μ。试证明：如隔板上有一面积为A的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为：

M??A(P1?P2)2?RT

证明：设p1＞p2，通过小孔的分子数相当于和面积为A的器壁碰撞的分子数。

从1跑到2的分子数：

N1?1n1V1?A?t4 1n2V2?A?t4

从2跑到1的分子数：

N2?实际通过小孔的分子数：（从1转移到2）

?N?N1?N2?1At(n1V1?n2V2)4

8RTPV?n?KT，因t=1秒，

T1=T2=T

??

M?m?n????∴

P218RTPAm(1?4??KTKT)(P1?P2)1?A4RT8RT???A(P1?P2)2?RT

若P2＞P1，则M＜0，表示分子实际是从2向1转移。

3-12 有N个粒子，其速率分布函数为

f(v)?dN?C(v0?v?0)Ndv

f(v)?0(v0?v)(1) 作速率分布曲线。

(2) 由N和v0求常数C。 (3) 求粒子的平均速率。 解：（1）

f(v)?C(v0?v?0)

f(v)?0(v0?v)

得速率分布曲线如图示

（2）∵∴

??0f(v)dv?1v0

??0f(v)dv?0?cdv?1c?

即

cv0?11v0

v? （3）

??0vf(v)dv?121cv0?v022

3-13 N个假想的气体分子，其速率分布如图3-13所示（当v＞v0时，粒子数为零）。（1）由N和V0求a。

（2）求速率在1.5V0到2.0V0之间的分子数。 （3） 求分子的平均速率。

解：由图得分子的速率分布函数：

VaVN (0?V?V0)

0aV?V?2V0 N (0)

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