南昌大学理工班选拔考试试卷及答案

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数 学 试 卷

学院：___________姓名：____________编号：___________总分：_____________

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设22+-=z z z f )(，且),()(R y x yi x i f ∈+=+1，则)(i f -1等于 ( )

(A)yi x +

(B)yi x --

(C)yi x +- (D)yi x -

2．若x x x f 1

)(-=，则方程x x f =)4(的根是 （ ）

(A) 21 (B)－2

1

(C)2

(D)－2

3．设函数1221,0

(),,0

x x f x x x -?-≤?

=??>?若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是 （ ）

(A)（－1，1）

(B)（－1，+∞）

(C)（－∞，－2）∪（0，+∞）

(D)（－∞，－1）∪（1，+∞）

4．若,cos sin ,cos sin ,4

0b a =+=+<<<ββααπ

βα则

（ ）

(A)a <b

(B)a >b

(C)ab <1

(D)ab >2

5．已知曲线C 的方程为1||2

+=x x y ，则曲线C 的大致图象是 ( )

6．设有不同的直线a 、b 和不同的平面a 、β、γ，给出下列三个命题：

（1）若α//a ，α//b ，则b a //。 （2）若α//a ，β//a ，则βα//。

（3）若γα⊥,γβ⊥，则βα//。

其中正确的个数是 （ ）

(A)0． (B)1． (C)2． (D)3．

7．在等差数列｛ａｎ｝中，ａ１＝

25

1，从第10项开始比1大，记t S a n n n n =+∞→)(1

lim 2，则t 的取值范围

是 （ ）

(A)754 t (B)253758≤t (C)253754 t (D)503

754≤

t 8．已知直线1)0(02

2

=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为|a |，|b|，|c|的三角形

（ ） (A)是锐角三角形 (B)是直角三角形 (C)是钝角三角形 (D)不存在 9．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，过点E 作一条直线与直线A 1D 1和AB 都相交，则这样的直线 ( ) (A) 有三条 ( B ) 有两条 （A ） （B ） （C ） （D ）

百度文库 - 让每个人平等地提升自我 2 (C ) 仅有一条 ( D ) 不存在

10．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，即可浴用，浴用时，已知每分钟放水34升，

在放水的同时按9

10毫升／秒２的匀加速自动注水(即t 分钟自动注水22t 升).当水箱内的水量达到最小值时，放水程度自动停止，现假定每人洗浴用水量为65升，则该热水器一次至多可供 （ ）

(A)3人洗浴 (B)4人洗浴 (C)5人洗浴 (D)6人洗浴

11．已知A 箱内有红球1个和白球(n +1)个，B 箱内有白球(n -1)个（ｎ∈Ｎ*，且ｎ≥２）．现随意从A 箱

中取出3个球放入B 箱，将B 箱中的球充分搅匀后，再从中随意取出3个球放入A 箱，则红球由A 箱移入到B 箱，再返回到A 箱中的概率等于 ( )

(A) D.1 2)(n 9C. 2n 3B. 122

+++n 12．已知'(3)2,32,f f 则323()lim 3

x x f x x 的值为 ( ) (A) －4 (2)0 (C)8 (D)不存在

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．

13．不等式组??

???≤+≥≥600y x y x 表示的平面区域内的整点（横纵坐标均为整数的点）的个数为___________个。

14．仓库有一种堆垛方式，如图（3）所示，最高一层2盒，第二层6盒，第三层12

盒，第四层20盒，……请你写在堆放层数n a 与盒数n 的一个关

系 .

15．在某次数学考试中，学号为)4,3,2,1(=i i 的同学的考试成绩}93,90,88,87,85{)(∈i f ，且满足)4()3()2()1(f f f f <<≤，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况有 ________种．

16．直角三角板在平面α上的射影可以是________________________(写出所有你认为可能情况的序号)． ①一点 ② 线段 ③ 直角三角形 ④锐角三角形 ⑤钝角三角形

三、解答题：本大题共6小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(6分)已知AB AB AB AC BA BC CA CB ?=?+?+?，试判断ABC ?的形状

18．(5分)一批零件有5个合格品及2个次品，安装机器时，从这批零件中任意取出1个，如果每次取出

的次品不再放回去，已知取得合格品之前取出的次品数为ξ，求

(Ⅰ)ξ的概率分布； (Ⅱ)E ξ.

百度文库 - 让每个人平等地提升自我 3

19．(9分)如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别

是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G.

（Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.

20．(8分)已知函数()f x 在(1,1)-上有定义，1)21(-=f 且满足,(1,1)x y ∈-有)1(

)()(xy

y x f y f x f ++=+． （1）证明：f （x ）在（－1，1）上为奇函数； （2）对数列,12,21211n

n n x x x x +==

+求)(n x f ； （3）求证.252)(1)(1)(121++->+++n n x f x f x f n

21．(8分)设3()f x ax x =+恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求出这三个单调区间。

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22．(10分)点P （x ，y ）到定点F （3，0）和定直线x=1的距离分别为d 1、d 2，且2d 1+d 2=5。 (1)求动点P 的轨迹方程，并且画出此方程的曲线C

(2)若动点Q （x ，y ）在曲线C 上运动，试问Q 在什么情况下，|QF|取最大值、最小值？并求出此最大值或最小值。 答案

二、填空题：

13．28

14。)1(+=n n a n 15。15

16。②③④⑤

三、解答题：

17.()0AB AB AB AC CB CA CB AB AB CA CB

CA CB CA CB

ABC ?=++?=?+?∴?=∴⊥∴?解:为直角三角3分

4分5形

分

6分

18．（Ⅰ）ξ

3分

百度文库 - 让每个人平等地提升自我 5 (Ⅱ)Ｅξ＝０×75＋１×215＋２×211 4分 ＝3

1 5分

19．（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角.

设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，

112211,,,,,,.1,1, 3.3

1262,32,22,23, 3.

62sin 3

2arc 234D E CC A B DC ABC CDEF DE G ADB G DF EFD EF FG FD FD EF FD ED EG FC CD AB A B EB EG EBG EB A B ABD ⊥∴?∴∈=?==∴?=====∴∠=∴分别是的中点又平面为矩形

连结是的重心在直角三角形中

于是与平面所成的是分角分分

（Ⅱ）连结A 1D ，有E AA D AED A V V 11--=5分

,,,F AB EF EF ED AB ED =?⊥⊥又

AB A ED 1平面⊥∴, 设A 1到平面AED 的距离为h ，6分

则ED S h S AB A AED ?=???1 3

621=K A . 故A 1到平面AED 的距离为362.9分

20．（1）令,0==y x 则0)0(),0()0(2=∴=f f f 1分

令,x y -=则)()(,0)0()()(x f x f f x f x f -=-∴==-+ 为奇函数. 2分 （2）1)21()(1-==f x f ， ),(2)()()1()12()(21n n n n n n n n

n n x f x f x f x x x x f x x f x f =+=?++=+=+3分 )}({.2)

()(1n n n x f x f x f 即=∴+是以－1为首项，2为公比的等比数列． .2)(1--=∴n n x f 4分 （3）)21

21211()(1)(1)(11221-++++-=+++n n x f x f x f ,2212)212(21121111->+-=--=---=--n n n 6分

而 ,2212)212(252-<+--=++-=++-n n n n 7分

.2

52)(1

)(1)(121++->+++∴n n x f x f x f n 8分 21．解：f ˊ(x ˊ)=3ax 2+1 1分

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6 若a > 0，则f ˊ(x)>0, x ∈(-∞,+∞)此时(x)只有一个单调区间，矛盾3分

若a=0，则f(x)=x ，此时f(x)也只有一个单调区间，矛盾 4分 若a<0，则)31

)(31

(3)('a x a x a x f ---+= 6分

综上可知，a<0时，)(x f 恰有三个单调区间，其中减区间为)31

,(a ---∞,),31

(+∞-a 增区间为)31

,31

(a a --- 8分

22．①依题意|

1|)3(222221-++-=+x y x d d 1分

所求曲线方程为 ?????????<=+-≥=+-)1(,)37()314()316()1(,134

)2(2

2222

2x y x x y x 3分 图略5分 ②若Q 在C 1上，25||max =

QF ，此时2

3,1±==y x ， 1||min =QF ，此时x=4，y=07分

若Q 在C 2上，25||max =QF ，此时2

3,1±==y x ， 37||max =QF ，此时0,3

2==y x 9分 综上所述，当Q 坐标为)23,1(±时，25||max =QF ，当Q 坐标为（4，0）时，1||min =QF 10分

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