安徽省亳州市涡阳四中2012-2013学年高二数学下学期期末考试文试题（含解析）新人教A版

2012-2013学年安徽省亳州市涡阳四中高二（下）期末数学试卷（文

科）参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意.） 1．（5分）已知复数z=

，则复数z在复平面内对应的点在（ ）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 考点： 复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义． 专题： 计算题． 分析： 根据复数代数形式的运算进行化简，然后利用几何意义可得答案． 解答： 解：z==，对应的点为（，），位于第一象限， 故选A． 点评： 本题考查复数代数形式的运算及其几何意义，属基础题． 2

2．（5分）（2011?北京）已知全集U=R，集合P={x|x≤1}，那么?UP=（ ） A． （﹣∞，﹣1] B． [1，+∞） C． [﹣1，1] D． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 考点： 补集及其运算． 专题： 计算题． 分析： 先求出集合P中的不等式的解集，然后由全集U=R，根据补集的定义可知，在全集R中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可． 2解答： 解：由集合P中的不等式x≤1，解得﹣1≤x≤1， 所以集合P=[﹣1，1]，由全集U=R， 得到CUP=（﹣∞，1）∪（1，+∞）． 故选D 点评： 此题属于以不等式的解集为平台，考查了补集的运算，是一道基础题． 3．（5分）（2011?浙江模拟）阅读下面的程序框图，则输出的S=（ ）

1

A． 14 B． 20 C． 30 D． 55 考点： 程序框图． 专题： 计算题． 分析： 经分析为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足跳出的条件时即可输出s的值． 解答： 解：∵S1=0，i1=1； S2=1，i2=2； S3=5，i3=3； S4=14，i4=4； S5=30，i=5＞4 退出循环， 故答案为C． 点评： 本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题． 4．（5分）（2010?温州一模）已知a，b是实数，则“a=1且b=1”是“a+b=2”的（ ） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 计算题． 分析： 利用等式的性质判断出“a=1且b=1”成立，一定能推出“a+b=2”成立，通过举例子判断出若“a+b=2”成立，推不出“a=1且b=1”成立，利用充要条件的有关定义得到结论．

2

解答： 解：若“a=1且b=1”成立，一定能推出“a+b=2”成立， 所以“a=1且b=1”是“a+b=2”的充分条件； 反之，若“a+b=2”成立，例如a=3，b=﹣1，推不出“a=1且b=1”成立， 所以“a=1且b=1”是“a+b=2”的不必要条件； 所以“a=1且b=1”是“a+b=2”的充分不必要条件； 故选A． 点评： 判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先判断前者是否推出后者，后者是否推出前者，据充要条件的有关定义进行判断． 5．（5分）椭圆 A． 的离心率为（ ） B． C． D． 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题． 222分析： 根据椭圆的标准方程后，找出a与b的值，然后根据a=b+c求出c的值，利用离心率公式e=，把a与c的值代入即可求出值． 解答： 解：由椭圆的标准方程则c=，得到a=2，b=1， ． ，所以椭圆的离心率e==故选A． 点评： 此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道基础题． 6．（5分）在等比数列{an}中，若a2+a3=4，a4+a5=16，则a8+a9=（ ） A． 128 B． ﹣128 C． 256 D． ﹣256 考点： 等比数列的性质． 专题： 计算题． 24分析： 将已知两等式相除，利用等比数列的性质化简，求出q的值，将所求式子提取q，利2用等比数列的性质变形后，将q的值及a4+a5=16代入计算，即可求出值． 解答： 解：∵a2+a3=4①，a4+a5=16②， ∴=4==q=4， 2则a8+a9=q（a4+a5）=16×16=256． 故选C 点评： 此题考查了等比数列的性质，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键． 7．（5分）（2010?马鞍山模拟）函数

的零点所在的大致区间是（ ）

3

A． （1，2） B． （e，3） C． （2，e） D． （e，+∞） 考点： 函数零点的判定定理． 专题： 计算题． 分析： 本题考查的是零点存在的大致区间问题．在解答时可以直接通过零点存在性定理，结合定义域选择适当的数据进行逐一验证，并逐步缩小从而获得最佳解答． 解答： 解：函数的定义域为：（0，+∞），有函数在定义域上是递增函数，所以函数只有唯一一个零点． 又∵＜0， ∴函数f（x）=的零点所在的大致区间是（2，e）． ，，∴f（2）?f（e）故选C 点评： 本题考查的是零点存在的大致区间问题．在解答的过程当中充分体现了定义域优先的原则、函数零点存在性定理的知识以及问题转化的思想．值得同学们体会反思． 2

8．（5分）抛物线y=x上的一动点M到直线l：x﹣y﹣1=0距离的最小值是（ ） A． B． C． D． 考点： 直线与圆锥曲线的关系． 22分析： （法一）对y=x求导可求与直线x﹣y﹣1=0平行且与抛物线y=x相切的切线方程，然后利用两平行线的距离公司可得所求的最小距离d 2（法二）设抛物线上的任意一点M（m，m），由点到直线的距离公司可求M到直线x﹣y﹣1=0的距离d===，由二次函数的性质可求M到直线x﹣y﹣1=0的最小距离 2解答： 解：（法一）对y=x求导可得y′=2x 令y′=2x=1可得 2∴与直线x﹣y﹣1=0平行且与抛物线y=x相切的切点（，），切线方程为y﹣即x﹣y 由两平行线的距离公司可得所求的最小距离d=（法二）设抛物线上的任意一点M（m，m） 2= M到直线x﹣y﹣1=0的距离d=== 4

由二次函数的性质可知，当m=时，最小距离d== 故选A 点评： 本题考查直线的抛物线的位置关系的应用，解题时要注意公式的灵活运用，抛物线的基本性质和点到线的距离公式的应用，考查综合运用能力 9．（5分）将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动，则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为（ ） A． B． C． D． 考点： 计数原理的应用． 专题： 概率与统计． 分析： 求出将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组及甲、乙两名同学分在同一小组的方法数，即可求概率． 解答： 解：将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组，共有=3种方法，甲、乙两名同学分在同一小组，共有1种方法 所以甲、乙两名同学分在同一小组的概率为 故选C． 点评： 本题考查概率的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 10．（5分）过双曲线

（a＞0，b＞0）左焦点F1，倾斜角为30°的直线交双曲线

右支于点P，若线段PF1的中点在y轴上，则此双曲线的离心率为（ ） A． B． C． 3 D． 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 设F1（﹣c，0），P（x0，y0），依题意可求得直线PF1的方程为：y=（x+c），△MF1O为直角三角形，经分析知OM为直角三角形PF1F2的中位线，从而可求得|PF1|与|PF2|，利用双曲线定义及离心率公式即可求得答案． 解答： 解：设F1（﹣c，0），P（x0，y0）， 依题意，直线PF1的方程为：y=∵M为线段PF1的中点， ∴=0，m=． （x+c），设直线PF1与y轴的交点为M（0，m）， 5

∴x0=c， ∴y0=（x0+c）=c，m=c． ∵△MF1O为直角三角形，∠PF1O=30°， ∴|MF1|=2|OM|=2m=c； 又M为线段PF1的中点，O为F1F2的中点， ∴OM为直角三角形PF1F2的中位线， ∴|PF1|=c，|PF2|=c， c， ． ∴2a=|PF1|﹣|PF2|=∴其离心率e==故选D． 点评： 本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义，求得|PF1|与|PF2|是关键，考查作图、分析、与运算能力，属于中档题． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置．） 11．（5分）已知f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，则f（x）的定义域是 [﹣1，4] ． 考点： 函数的定义域及其求法． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由已知f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，可得﹣1≤x+1≤4，从而求得f（x）的定义域． 解答： 解：∵已知f（x+1）的定义域为[﹣2，3]，∴﹣1≤x+1≤4， 则f（x）的定义域为[﹣1，4]， 故答案为[﹣1，4]． 点评： 本题主要考查求抽象函数的定义域的方法，属于基础题． 12．（5分）（2010?东城区二模）命题“?x0∈R， ?x∈R，2＞0 ．

6

x

”的否定是

考点： 命题的否定． 专题： 阅读型． 分析： 利用含量词的命题的否定形式：将?改为?，将结论否定，写出命题的否定． 解答： 解：据含量词的命题的否定形式得到： 命题“?x0∈R，x”的否定是 “?x∈R，2＞0” x故答案为“?x∈R，2＞0” 点评： 本题考查含量词的命题的否定形式是：“?”与“?”互换，结论否定． 13．（5分）用反证法证明命题“若a、b∈N，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是 a、b都不能被2整除 ． 考点： 反证法． 专题： 证明题． 分析： 先写出要证明题的否定，即为所求． 解答： 解：根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a，b都不能被2整除”， 故答案为：a、b都不能被2整除． 点评： 本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题． x﹣1

14．（5分）已知函数y=f（x）是定义在上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2﹣3，则f（f（1））= 1 ． 考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 函数的性质及应用． 2分析： 首先求出f（1）的值，然后利用函数的奇偶性的性质得到f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（2﹣1﹣3）=1． x﹣11﹣1解答： 解：因为当x＞0时，f（x）=2﹣3，所以f（1）=2﹣3=﹣2． 2﹣1则f（f（1））=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣（2﹣3）=1． 故答案为1． 点评： 本题考查了函数奇偶性的性质，考查了数学转化思想方法，是基础的运算题． 15．（5分）已知函数，对于下列命题：

①函数f（x）的最小值是0；

②函数f（x）在R上是单调递减函数； ③若f（x）＞1，则x＜﹣1；

④若函数y=f（x）﹣a有三个零点，则a的取值范围是0＜a＜1； ⑤函数y=|f（x）|关于直线x=1对称． 其中正确命题的序号是 ③④ ．（填上你认为所有正确命题的序号）．

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考点： 命题的真假判断与应用；函数单调性的性质． 专题： 常规题型． 2分析： ①由于x＞0时，y=﹣x+2x为开口向下的二次函数，故①错； 2②由于x＞0时，y=﹣x+2x在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，故②错； ③由于x＞0时，y=﹣x+2x≤1，故f（x）＞1，即是2，解出即可判断③的对错； ④由于函数y=f（x）﹣a有三个零点，即是f（x）=a有三个根，故需使a在函数函数y=f（x）的极大值与极小值之间即可； ⑤由于函数，显然函数y=|f（x）|的图象不为轴对称图形． 解答： 解：由于函数， 则当x≤0时，图象是由下移1个单位得到的； 当x＞0时，图象是开口向下，对称轴为x=1且最大值为1的二次函数图象．如图示 由图知，显然①②为假命题， ③由于x＞0时，y=﹣x+2x≤1，故f（x）＞1，即是2，解得x＜﹣1，故③对； ④由于函数y=f（x）﹣a有三个零点，即是f（x）=a有三个根，故需使a满足， 由图知，f（x）极小值=0，f（x）极大值=1，故实数a的范围是0＜a＜1； 8

⑤由于函数，显然函数y=|f（x）|的图象不为轴对称图形，故⑤为假命题． 故答案为 ③④． 点评： 本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了二次函数和分段函数的一些性质，我们可以根据函数的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分．写出详细的解答或证明过程） 16．（12分）已知向量

．

（Ⅰ）求函数f（x）的表达式，并指出其最大最小值；

（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=1，bc=8，求△ABC的面积S． 考点： 正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域． 专题： 计算题． 分析： （Ⅰ）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则表示出?，第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，提取后，再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，进而确定出函数f（x）的最大值及最小值； （Ⅱ）由f（A）=1，根据第一问化简得到的函数的解析式，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，由三角形为锐角三角形得到满足题意的A的度数，可得出sinA的值，再由bc的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积S． 解答： 解：（Ⅰ）∵， ∴f（x）=?=2sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x=）≤1， ； sin（2x﹣）， ，定义函数

∵﹣1≤sin（2x﹣∴f（x）的最大值为，最小值为﹣（Ⅱ）∵f（A）=1， ∴sin（2A﹣∴2A﹣∴A==或A=）=或2A﹣， =， ，又△ABC为锐角三角形， 9

则A=，又bc=8， =2． 则△ABC的面积S=bcsinA=×8×点评： 此题考查了平面向量的数量积运算，二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 17．（12分）某工厂有甲、乙两个生产小组，每个小组各有四名工人，某天该厂每位工人的生产情况如下表． 员工号 1 2 3 4 甲组 件数 9 11 1l 9 员工号 1 2 3 4 乙组 件数 9 8 10 9 （1）用茎叶图表示两组的生产情况；

（2）求乙组员工生产件数的平均数和方差；

（3）分别从甲、乙两组中随机选取一名员工的生产件数，求这两名员工的生产总件数为19的概率． （注：方差

，其中为x1，x2，?，

xn的平均数） 考点： 离散型随机变量的期望与方差；茎叶图． 专题： 应用题；概率与统计． 分析： （1）把两组数据的十位做茎，个位做叶，得到作出茎叶图． （2）由平均数的公式计算出乙组数据的平均值，再根据方差的公式分别计算出乙的方差． （3）记甲组四名员工分别为A1，A2，A3，A4，他们生产的产品件数依次为9，9，11，11；乙组四名员工分别为B1，B2，B3，B4，他们生产的产品件数依次为9，8，9，10．先列举出分别从甲、乙两组中随机选取一名员工，所有可能的结果的个数，然后求出选出的两名员工的生产总件数为19的基本事件的个数，由等可能事件的概率的求解公式即可 解答： 解：（1）茎叶图： ?（3分） （2）所以平均数为=； 10

方差为s=2=?（6分） （3）记甲组四名员工分别为A1，A2，A3，A4，他们生产的产品件数依次为9，9，11，11；乙组四名员工分别为B1，B2，B3，B4，他们生产的产品件数依次为9，8，9，10． 分别从甲、乙两组中随机选取一名员工，所有可能的结果有16个，它们是： （A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）， （A3，B1），（A3，B2），（A3，B3），（A3，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4）． 用C表示：“选出的两名员工的生产总件数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为P（C）==．?（12分） 点评： 本题主要考查了由统计图表绘制茎叶图，及等可能事件的概率求解公式的应用． 2

18．（12分）已知函数f（x）=51nx+ax﹣6x（a为常数），且f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴． （1）求实数a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间． 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的综合应用． 分析： （I）利用导数的几何意义可得f'（1）=0，解出a即可； ′′′（II）利用导数的运算法则得出f（x），解出f（x）＞0或f（x）＜0，即可得出函数的单调区间． 解答： 2解：（Ⅰ）∵f（x）=5lnx+ax﹣6x，∴； 又∵f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴， ∴f'（1）=5+2a﹣6=0，得（Ⅱ）由（Ⅰ）知． ， ∴； 由f'（x）＞0得x＜1，或x＞5；由f'（x）＜0，1＜x＜5． ∴函数f （x） 的单调递增区间为 （0，1）和 （5，+∞），单调递减区间为 （1，5 ）． 点评： 熟练掌握导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义是解题的关键． 19．（13分）已知等差数列{an}和公比为q（q＞1）的等比数列{bn}满足：a1=b1=1，a2=b2，a5=b3．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）求数列{anbn}的前n项和为Sn． 考点： 等差数列与等比数列的综合．

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专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）利用等差数列、等比数列的通项公式，列出方程组，即可求出向量的通项； （2）利用错位相减法，即可求数列{anbn}的前n项和为Sn． 解答： 解：（1）设等差数列的公差为d，根据题意，得 ∴d=2，q=3或d=0，q=1（舍去） ∴2； n﹣1（2）Sn=1×1+3×3+5×3+?+（2n﹣1）?3① 2n﹣1n∴3Sn=1×3+3×3+?+（2n﹣3）?3+（2n﹣1）?3② 2n﹣1n①﹣②：﹣2Sn=1+2×（3+3+?+3）﹣（2n﹣1）?3② n∴Sn=（n﹣1）?3+1． 点评： 本题考查等差数列与等比数列的基本关系式，考查错位相减法的应用，考查计算能力，属于中档题． 2

20．（13分）（2011?辽宁）设函数f（x）=x+ax+blnx，曲线，y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线率为2． （Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）证明：f（x）≤2x﹣2． 考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 证明题；综合题． 分析： （Ⅰ）救出函数的导数，再利用f（1）=0以及f′（1）=2建立方程组，联解可得a，b的值； （Ⅱ）转化为证明函数y=f（x）﹣（2x﹣2）的最大值不超过0，用导数工具讨论单调性，可得此函数的最大值． 解答： 解： （Ⅰ）f'（x）=1+2ax+， 由已知条件得：，即 解之得：a=﹣1，b=3 2（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）知f（x）=x﹣x+3lnx， 2设g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x+3lnx，则 = 当时0＜x＜1，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0 所以在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减 ∴g（x）在x=1处取得最大值g（1）=0 即当x＞0时，函数g（x）≤0 ∴f（x）≤2x﹣2在（0，+∞）上恒成立 点评： 本题着重考查导数的几何意义，以及利用导数讨论函数的单调性，求函数的最值，是

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一道常见的函数题． 21．（13分）（2009?辽宁）已知，椭圆C过点A

，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值． 考点： 椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题． 专题： 计算题；压轴题． 分析： （Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程． （Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得，再点上，结合直线的位置关系进行求解． 解答： 解：（Ⅰ）由题意，c=1， 可设椭圆方程为解得b=3，2在椭圆， （舍去） 所以椭圆方程为（Ⅱ）设直线AE方程为：． ， 代入得 设E（xE，yE），F（xF，yF）， 因为点在椭圆上， 所以，． 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数， 在上式中以﹣K代K，可得， 13

所以直线EF的斜率 即直线EF的斜率为定值，其值为． 点评： 本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．

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