第3讲 实内积空间

第3讲 实内积空间

内容：1. 实内积空间

2. 正交基及正交补与正交投影 3. 内积空间的同构 4. 正交变换与对称变换

在线性空间中，元素（向量）之间的运算仅限于元素（向量）的线性运算．但是，如果以向量作为线性空间的一个模型，则会发现向量的度量(即长度)与向量间的位置关系在线性空间的理论中没有得到反映，而这些性质在许多实际问题中却是很关键的．因此，将在抽象的线性空间中引进内积运算，导出内积空间，并讨论正交变换与正交矩阵及对称变换与对称矩阵．

§1 内积空间

在解析几何中，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的数量积来表示，而向量的数量积具有以下的代数性质：对称性(?,?)?(?,?)；可加性 (???,?)?(?,?)?(?,?)；齐次性

(k?,?)?k(?,?),?k?R；非负性

(?,?)?0，当且仅当

??0时,(?,?)?0．以数量积为基础,向量的长度与夹角可表示为：

??(?,?)，cos??,???(?,?)．可见数量积的概念蕴涵着长度???与夹角的概念，将该概念推广至抽象的线性空间．

定义1.1 设V是实线性空间，若对于V中任意两个元素（向量）?和?，总能对应唯一的实数，记作(?,?)，且满足以下的性质：

(1) 对称性 (?,?)?(?,?) (2) 可加性 (???,?)?(?,?)?(?,?) (3) 齐次性 (k?,?)?k(?,?),?k?R

(4) 非负性 (?,?)?0，当且仅当??0时，(?,?)?0． 则称该实数是V中向量?和?的内积．

称内积为实数的实线性空间V为欧几里得(Euclid)空间，简称为欧氏空间．称定义了内积的线性空间为内积空间．

例1.1 在

n维向量空间

Rn中,任意两个向量：

??(x1,x2,?,xn)T，??(y1,y2,?,yn)T，若规定：

(?,?)?x1y1?x2y2???xnyn??xkyk??T?，

k?1n则容易验证,这符合内积的定义，是Rn中向量?和?的内积．另外，若规定:(?,?)??kxkyk，k?0，同样可验证，这也

k?1n是Rn中向量?和?的内积．

由此可见，在同一个实线性空间的元素之间，可以定义不同的内积，即内积不是唯一的．从而，同一个实线性空间在不同内积下构成不同的欧氏空间．

例1.2 在?a,b?上连续的实函数的实线性空间C?a,b?中，

对任意函数f(x),g(x)?C?a,b?，定义：(f,g)??f(x)g(x)dx，则可以

ab证明这是C?a,b?上f(x)与g(x)的一种内积．

欧氏空间V中的内积具有如下的性质： (1) (o,?)?(?,o)?0,???V (2) (?,k?)?k(?,?),??,??V,?k?R (3) (?,???)?(?,?)?(?,?),??,?,??V (4) (?kixi,?ljyj)???kilj(xi,yj)

i?1j?1j?1i?1nnnn事实上，由定义1.1有：(o,?)?(0?,?)?0(?,?)?0；

(?,k?)?(k?,?)?k(?,?)?k(?,?)； (?,???)?(???,?)?(?,?)?(?,?)?(?,?)?(?,?)；

因此,性质(1)至(3)成立，再结合数学归纳法容易验证性质(4)也成立．

定义1.2 设?是欧氏空间V中的任一元素（向量），则非负实数(?,?)称为元素（向量）?的长度或模，记作?．称长度为1的元素（向量）称为单位元素（向量），零元素（向量）的长度为0．

由定义1.2易知，元素（向量）的长度具有下列性质： (1) k??k??,?k?R,???V

1(2) 当??o时,

???1,即

1?（向量）．通?是一个单位元素

常称此为把非零元素（向量）?单位化．

定理1.1 (Cauchy-Schwarz不等式)． 设?,?是欧氏空间V中的任意两个元素（向量），则不等式(?,?)????，对??,??V均成立，并且当且仅当?与?线性相关时，等号成立．

证明：当?与?至少有一个是零元素（向量）时，结论显然成立．现在设?,?均为非零元素（向量），则

(?,?)(?,?)?(?,?)??0， (???,???)?(?,?)?(?,?)(?,?)(?,?)2因此有

?(?,?)?2?(?,?)(?,?)，

即(?,?)????．而且当且仅当??(?,?)?，即?与?线性相关

(?,?)时，等号成立．

定义1.3 设x与y是欧氏空间V中的任意两个元素（向量），则称??arccos(x,y)为x与y的夹角，记作?x,y?,即

xy(x,y)?x,y????arccos,(0??x,y???)．

xy例1.3 试证明欧氏空间V中成立三角不等式

x?y?x?y,?x,y?V．

证明 因x?y2?(x?y,x?y)由Cauchy?Schwarz不等式，有

?(x,x)?2(x,y)?(y,y)，

x?y?x?2(x,y)?y?x?2xy?y?(x?y)2，

22222即有 x?y?

x?y ．

§2 正交基及正交补与正交投影 1 正交基

定义2.1 设x,y是欧氏空间V中的任意两个元素（向量），如果(x,y)?0，则称元素（向量）x与y正交，记作x?y.．

由定义2.1易知，零元素（向量）与任何元素（向量）均正交．若x?o,由于(x,x)?0,所以非零元素（向量）不会与自身正交，即只有零元素（向量）才与自己正交．

例2.1 在R2中,对于任意两个向量x与y的内积，定义：(1)(x,y)1?xTy；(2) (x,y)?xTAy，其中A???11?．由此所得??12?的两个欧氏空间分别记为R12与R22，试判断向量x0?(1,1)T与

y0?(?1,1)T在R12与R22中是否正交？

1??1；?0(x,y)?(1,1)?002?1??1???1??1? ???1???1?0．2????解 由于 (x0,y0)1?(1,1)???故向量x与y在R12中正交,在R22中不正交．

说明：两元素（向量）正交与否由所在空间的内积确定． 此外，在欧氏空间V中也有勾股定理，即当x?y时,有

x?y?x?y222.可将其推广至多个元素（向量），即当?1,?2,?,?m两两正交时，有?1??2????m2??12??22????m2．

定义2.2 欧氏空间V中一组非零元素（向量），若两两正交，则称其为一个正交元素（向量）组．

定理2.1 若?1,?2,?,?m是欧氏空间V中一个正交元素（向量）组，则?1,?2,?,?m线性无关．

证明 设有一组数k1,k2,?,km,使k1?1?k2?2???km?m?o，在上式两边分别用?i(i?1,2?,m)作内积，可得 k(?1,?i)?k(?2,?i)???km(?m,?i)?0由于i?j时,(?i,?j)?0故可得ki(?i,?i)?0时, (?i,?i)?0, 从而有ki?0关．

推论：在n维欧氏空间中，正交元素（向量）组所含元素（向量）的个数不会超过n个．

定义2.3 在n维欧氏空间V中，由n个元素（向量）构成的正交元素（向量）组称为V的正交基；由单位元素（向量）组成的正交基叫作标准正交基．

定理2.2 (Schmidt正交化方法) 设?1,?2,?,?n是n维欧氏空间V的任意一个基，则总可将其进行适当运算后化为V的一个正交基，进而将其化为一个标准正交基．

证明 因为?1,?2,?,?m线性无关，所以?i?0首先, 取

?1??1；

(?1,?1),(i?1,2,?,m)，

(i?1,2,?,m)，又 ?i?0所以?1,?2,?,?m线性无(i?1,2?,m)，

(i?1,2,?,n)．

其次, 令?2??2?(?2,?1)?1，则可得两个正交元素（向量）

?1,?2；

再次, 令?3??3?(?3,?1)?1?(?3,?2)?2，则得到三个正交元素

(?1,?1)(?2,?2)（向量）?1,?2,?3.

依此进行下去，一般有

?i??i?(?i,?1)?1?(?i,?2)?2???(?1,?1)(?2,?2)(?i,?i?1)?i?1(i?2,3,?,n)

(?i?1,?i?1)这样得到V的一个正交基．再将其单位化，令

?i?1?i?i(i?1,2,?,n)，则可得V的一组标准正交基?1,?2,?,?n．

例2.1 在R4中,将基?1?(1,1,0,0)T,?2?(1,0,1,0)T,?3?(?1,0,0,1)T,

?4?(1,?1,?1,1)T,用Schmidt正交化方法化为标准正交基．

解 先正交化 令 ?1??1?(1,1,0,0)T;

?2??2?(?2,?1)?1?(1,?1,1,0)T;

(?1,?1)22?3??3?(?3,?1)(?,?)111?1?32?2?(?,,,1)T; (?1,?1)(?2,?2)333(?,?)(?4,?1)(?,?)?1?42?2?43?3?(1,?1,?1,1)T (?1,?1)(?2,?2)(?3,?3)?4??4?再单位化 令 ?1??2?1?11?1?(11,,0,0)T 2216,?16,26,0)T?21?2?(

?3??4??31?3?(?121113T,,,)12121212121122?4?4?(,?,?,)T

则 ?1,?2,?3,?4 就是所要求的标准正交基．

例2.2 设?1,?2,?,?n是n维欧氏空间V的一个标准正交基，

x?x1?1?x2?2???xn?n，y?y1?1?y2?2??yn?n，则有

(x,y)?(?xi?i,?yj?j)??xiyii?1j?1i?1nnn．

在标准正交基下，V中任意两个元素（向量）的内积等于它们对应坐标的乘积之和．

定义2.4 设?1,?2,?,?n是n维欧氏空间V的一个基，x，y在其基下的坐标表示分别为

nnx?(x1,x2,?,xn)T，

y?(y1,y2,?,yn)T，

（x??xi?i，y??yi?i），则有

i?1i?1(x,y)?(?xi?i,?yj?j)??xi(?i,?j)yj??xigijyj?xTGy．

i?1j?1i?1j?1i?1j?1nnnn其中，G?G(gij)为n阶方阵，gij?(?i,?j),i,j?1,2,?,n．称G为度量矩阵，它为对称可逆矩阵． 2 正交补与正交投影

定义2.5 设W1和W2是欧氏空间V的两个子空间，若对任意的x?W1,y?W2总有(x,y)?0成立，则称W1与W2正交，记作

W1?W2.若对某个确定的x及任意的y?W，总有(x,y)?0 成立，

则称x与W正交，记作x?W．

例2.3 设W1??(x,y,0)x,y?R?,W2??(0,0,z)z?R? ,则容易

得W1和W2均为R3的子空间,且 W1?W2．

定理2.3 设W1,W2,?,Ws是欧氏空间V的子空间，且两两正交，则W1?W2???Ws是直和．

证明 设?i?Wi(i?1,2,?,s)且 ?1??2????s?o,分别用?i(i?1,2,?,s)在上式两边作内积，得(?i,?i)?0,即?i?oW1?W2???Ws是直和．

,即

定义2.6 设W1和W2是欧氏空间V的两个子空间，若且W1?W2?V，则称W1与W2互为正交补，记作W1?W2W1?W2，

W1?W2?V．

?或

定理2.4 欧氏空间V的任一个子空间W，都存在唯一的正交补W?．

证明 先证存在性．设?1,?2,?,?m是子空间W的一个标准正交基，则可以扩充为

V的一个标准正交基：

?1,?2,?,?m,?m?1,?,?n，显然：W??L(?m?1,?,?n)．

再证唯一性．设W1与W2都是W的正交补，则V?W?W1，

V?W?W2，令任意的x?W2,x?o,则 x?W,且(x,y)?0,?y?W,所

以x?W1 ,即W2?W1．同理有 W1?W2.因此得 W1?W2．

定理2.4既证明了欧氏空间中任意子空间的正交补是存在且唯一的，又给出了正交补的计算方法．另外，V中的任一向量x都可唯一地分解为

x?y?z,y?W,z?W?．

由此可引进正投影的概念．

定义2.7 设x是欧氏空间V中任意的一个元素（向量），

W是V的一个子空间，且x被分解为x?y?z,y?W,z?W?.,则称y元素（向量）为x元素（向量）在子空间W上的正投影(又称内投影)．显然(W?)??W，故z为元素（向量）x在W?上的正投影．

例2.4 设 W??(x,0,0)且x?R?,则W是R3的一个子空间，

它的正交补为W???(0,y,z)y,z?R?.若??(a,b,c)?R3,?在W

上的

正投影为(a,0,0),在W?上的正投影为(0,b,c).

§3 实内积空间的同构

定义3.1 设V与U是两个欧氏空间,若存在V到U的一个一一对应?,使

(1) ?(???)??(?)??(?),??,??V;?(?),?(?)?U (2) ?(k?)?k?(?),???V,?k?R;k?(?)?U (3) (?(?),?(?))?(?,?),??,??V;?(?),?(?)?U

则称?为V到U的一个同构映射，并称欧氏空间V与U同构．

同构作为欧氏空间的关系与线性空间的同构相同，因此有：同构的有限维欧氏空间必有相同的维数；任意一个n维欧氏空间均与Rn同构．

此外，欧氏空间的同构还具有以下性质：反身性:任意一个欧氏空间V均与自己同构；对称性:若V与V?同构,则V?与

V同构；传递性:若V与V?同构, V?与V??同构,则V与V??同构． 事实上，

(1) V到V的恒等映射是一个同构映射；

(2)设?是V到V?的同构映射，记??1为?的逆映射，则对

??,??V有

??1(?(?)??(?))???1(?(???))???????1(?(?))???1(?(?))， ??1(k?(?))???1(?(k?))?k??k??1(?(?))，

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