辽宁省沈阳市东北育才学校2018 - 2019学年高二数学下学期期中试题理

辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高二数学下学期期中试题

理

考试时间120分钟 试卷满分120分 一．选择题（共12小题） 1．(3?i)?（ ）

A．?8?6i B．8?6i C．8?6i D．?8?6i 2．复数z?23?i，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（ ） 1?iA．?1 B．?2 C．?i D．?2i 3．下列求导计算正确的是（ ）

lnx'lnx?1log2e' B． )?(logx)?22xxx'x'x1C．(2)?2 D．(xsinx)?cosx

ln2A．(4．记I为虚数集，设a、b?R,x、y?I．则下列类比所得的结论正确的是（ ） A．由a?b?R，类比得x?y?I B．由a?0，类比得x?0 C．由(a?b)?a?2ab?b，类比得(x?y)?x?2xy?y D．由a?b?0?a??b，类比得x?y?0?x??y 5．下列表述正确的是（ ） ①归纳推理是由特殊到一般的推理； ②演绎推理是由一般到特殊的推理；

③类比推理是由特殊到一般的推理；④分析法是一种间接证明法； ⑤若z?C，且|z?2?2i|?1，则|z?2?2i|的最小值是3． A．①③④ B．②③④ C．①②④⑤ D．①②⑤

22222222lnx在点(1,0)处的切线与直线x?ay?1?0垂直，则a?（ ）A．?2 x?111B．2 C．? D．

226．设曲线y?7．某个班级组织元旦晚会，一共准备了A、B、C、D、E、F六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排A或B，最后一个节目不能排A，且C、D要求相邻出场，则不同的节目

- 1 - / 22

顺序共有（ ）种

A．72 B．84 C．96 8．用数学归纳法证明“4使用归纳假设，对4A．16(4C．(422k?12n?1 D．120

?3n?1(n?N*)能被13整除”的第二步中，当n?k?1时为了

2k?1?3k?2变形正确的是（ ）

?3k?1)?13?3k?1 B．4?42k?9?3k

2k?1?3k?1)?15?42k?1?2?3k?1 D．3(42k?1?3k?1)?13?42k?1

859．(2x?x?1)的展开式中x的系数是（ ）

A．-1288 B．1280 C．1288 D．﹣1280

10．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ） A．C?C1050510 B．

105C50?C101052552 C．C50?C10?A2 D．C50?C45?A2 211．函数f(x)是定义在区间(0,??)上的可导函数，其导函数为f'(x)，且满足

f'(x)?2(x?2018)f(x?2018)3f(3)的解集为（ ） f(x)?0，则不等式?x3x?2018A．{x|x??2015} B．{x|x??2015}

C．{x|?2018?x?0} D．{x|?2018?x??2015}

12．若函数f(x)?ax?2x?x?1在(1,2)上有最大值无最小值，则实数的取值范围为（ ） A．a??32355353 B．a?? C．??a?? D．??a?? 433434二．填空题（共4小题） 13．(x?26)的展开式中，常数项为 ． x2n?114．将数列{3}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，

则第100组中的第一个数是 ． 15．定积分

?(011?(x?1)2?x)dx等于 ．

2x16．已知函数f(x)?(x?a)?(e?)，若存在x0，使得f(x0)?为 ．

- 2 - / 22

ae24，则实数a的值2e?1三．解答题（共6小题）

17．（10分）已知复数z?1?mi（i是虚数单位，m?R），且z?(3?i)为纯虚数（z是z的共轭复数）．（1）设复数z1?m?2i，求|z1|； 1?ia?i2017（2）设复数z2?，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

z18．（12分）（1）用分析法证明：6?22?5?7；

（2）用反证法证明：2，3，5，不能为同一等差数列中的三项．

19．（12分）已知数列{an}满足：nan?1?(n?2)(an?1)，且a1?6． （1）求a2,a3,a4的值，并猜想{an}的通项公式； （2）试用数学归纳法证明上述猜想． 20．（12分）已知函数f(x)?lnx． x（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）已知a、b?R，a?b?e（其中e是自然对数的底数），求证：b?a． 21．（12分）（1）设(3x?1)展开式中的各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若A?B?272，求展开式中的x项的系数．

（2）若(?2x)展开式前三项的二项式系数和等于79，求(?2x)的展开式中系数最大的项？

13nab12n12na(x2?1)x,g(x)?22．（12分）设函数f(x)?． exex（Ⅰ）求函数F(x)?x?2单调递减区间； g(x)（Ⅱ）若函数G(x)?f(x)?g(x)(a?0)的极小值不小于?3，求实数a的取值范围． 2e- 3 - / 22

2018-2019下学年度高二期中数学考试试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题） 1．（3﹣i）＝（ ） A．﹣8﹣6i

B．8+6i

2

2

2

C．8﹣6i D．﹣8+6i

【解答】解：（3﹣i）＝9﹣6i+i＝8﹣6i． 故选：C． 2．复数A．﹣1 【解答】解：∵

，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（ ）

B．﹣2 ＝

C．﹣i

，

D．﹣2i

∴复数z的虚部为﹣1． 故选：A．

3．下列求导计算正确的是（ ） A．

B．

C． D．（xsinx）′＝cosx

，C选项应为2ln2，

x【解答】解：A选项应为

D选项应为sinx+xcosx．

故选：B．

4．记I为虚数集，设a，b∈R，x，y∈I．则下列类比所得的结论正确的是（ ） A．由a?b∈R，类比得x?y∈I B．由a≥0，类比得x≥0

C．由（a+b）＝a+2ab+b，类比得（x+y）＝x+2xy+y D．由a+b＞0?a＞﹣b，类比得x+y＞0?x＞﹣y

【解答】解：A：由a?b∈R，不能类比得x?y∈I，如x＝y＝i，则xy＝﹣1?I，故A不正确；

2

2

2

2

2

2

2

2

B：由a2≥0，不能类比得x2≥0．如x＝i，则x2＜0，故B不正确； C：由（a+b）2＝a2+2ab+b2，可类比得（x+y）2＝x2+2xy+y2．故C正确；

- 4 - / 22

D：若x，y∈I，当x＝1+i，y＝﹣i时，x+y＞0，但x，y 是两个虚数，不能比较大小．故D错误

故4个结论中，C是正确的． 故选：C．

5．下列表述正确的是（ ） ①归纳推理是由特殊到一般的推理； ②演绎推理是由一般到特殊的推理； ③类比推理是由特殊到一般的推理； ④分析法是一种间接证明法；

⑤若z∈C，且|z+2﹣2i|＝1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3． A．①②③④

B．②③④

C．①②④⑤

D．①②⑤

【解答】解：归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，故①正确； 演绎推理是由一般到特殊的推理，故②正确； 类比推理是由特殊到特殊的推理，故③错误； 分析法是一种直接证明法，故④错误；

|z+2﹣2i|＝1表示复平面上的点到（﹣2，2）的距离为1的圆，|z﹣2﹣2i|就是圆上的点，到（2，2）的距离的最小值，就是圆心到（2，2）的距离减去半径，即：|2﹣（﹣2）|﹣1＝3，故⑤正确 故选：D． 6．设曲线y＝A．﹣2

在点（1，0）处的切线与直线x﹣ay+1＝0垂直，则a＝（ ）

B．2 C．﹣

D．

【解答】解：由题意得，

＝（x＞0），

∵在点（1，0）处的切线与直线x﹣ay+1＝0垂直， ∴

＝﹣a，解得a＝

，

故选：C．

7．某个班级组织元旦晚会，一共准备了A、B、C、D、E、F六个节目，节目演出顺序第一个

- 5 - / 22

节目只能排A或B，最后一个节目不能排A，且C、D要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（ ）种 A．72

B．84

C．96

D．120

【解答】解：．按照第一个节目分两类：

①排A，将C，D捆绑在一起当一个元素，共4个元素作全排列，有AA＝48种； ②排B，将C，D捆绑在一起当一个元素，共4个元素作全排列，有48种， 其中A排最后一个节目的有AA＝12，故共有48﹣12＝36种， 根据分类加法计数原理得不同的节目顺序共有48+36＝84种． 故选：B．

8．用数学归纳法证明“4归纳假设，对4A．16（4

2k﹣1

2k+1

2n﹣1

+3（n∈N）能被13整除”的第二步中，当n＝k+1时为了使用

n+1*

+3变形正确的是（ ）

k+1

k+2

+3）﹣13×3

kk+1

B．4×4+9×3 C．（4

2k﹣1

2k

2k﹣1

+3）+15×4

k+1

k+1

+2×3

2k﹣1

k+1

D．3（4

2k﹣1

+3）﹣13×4

2k﹣1

【解答】解：假设n＝k时命题成立．即：4当n＝k+1时，4故选：A．

2k+1

+3被13整除．

2k﹣1

k+1

+3＝16×4

k+22k﹣1

+3×3＝16（4

k+1

+3）﹣13×3．

k+1k+1

9．（2x﹣x+1）的展开式中x的系数是（ ） A．-1288

5

285

B．1280

5

2

C．1288

3

2

2

D．﹣1280

5

【解答】解：x可能是（﹣x），（2x）（﹣x），（2x）（﹣x），（﹣x）表示在8个式子中5个选（﹣x），其余3个选出1，系数为（﹣1）

2

5

?1＝﹣56； （2x）（﹣x）表示在

?2?

（﹣1）?1

3

4

323

8个式子中1个选2x，其余7个中3个选（﹣x），其余选1，系数为＝﹣560；

（2x）（﹣x）表示在8个式子中2个选2x，其余6个中一个选（﹣x），其余选1，系数为

?2?

2

222

（﹣1）?1＝﹣672，所以将（2x﹣x+1）展开合并同类项之后的式子中x的系

5285

数是﹣56﹣560﹣672＝﹣1288． 故选：A．

- 6 - / 22

10．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ）

A．C．

B．D．

【解答】解：由题意，先分组，可得同的选派法有故选：A．

，

，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不

11．函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f'（x），且满足f'（x）+f（x）＞0，则不等式A．{x|x＞﹣2015} C．{x|﹣2018＜x＜0}

2

的解集为（ ）

B．{x|x＜﹣2015} D．{x|﹣2018＜x＜﹣2015}

【解答】解：根据题意，设g（x）＝xf（x），（x＞0），

则导数g′（x）＝（x）′f（x）+xf′（x）＝xf′（x）+2xf（x）；

函数f（x）在区间（0，+∞）上，满足f'（x）+f（x）＞0，则有xf′（x）+2xf（x）＞0，

则有g′（x）＞0，即函数g（x）在区间（0，+∞）上为增函数；

?（x+2018）fx+2018）＜3f（3）?g（2018）＜g（3），

2

2

2

2

2

2

则有0＜x+2018＜3，

解可得：﹣2018＜x＜﹣2015；

即不等式的解集为{x|﹣2018＜x＜﹣2015}； 故选：D．

12．若函数f（x）＝ax+2x+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，则实数a的取值范围为（ ） A．a＞﹣

B．a2

3

2

C．﹣ D．

【解答】解：f′（x）＝3ax+4x+1，x∈（1，2）．

a＝0时，f′（x）＝4x+1＞0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．

- 7 - / 22

a≠0时，△＝16﹣12a．

由△≤0，解得值，舍去．

由△＞0，解得a＜（a≠0），由f′（x）＝0，解得x1＝当

，x2＝

．

，此时f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极

时，x1＜0，x2＜0，因此f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递

增，无极值，舍去．

当a＜0时，x1＞0，x2＜0，∵函数f（x）＝ax+2x+x+1在（1，2）上有最大值无最小值， ∴必然有f′（x1）＝0，∴1＜解得：

＜a＜﹣．

＜a＜﹣．

＜2，a＜0．

3

2

综上可得：故选：C．

二．填空题（共4小题） 13．解：（x﹣＝2， 可得常数项14．将数列{3

?4＝60，

n﹣1

）的展开式的通项公式为Tr+1＝

6

（﹣2）?x?

r6﹣3r，令6﹣3r＝0，求得r}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，

4950

则第100组中的第一个数是 3 ．

＝4950

4950

【解答】解：由题意，前99组数共包含1+2+3+…+99＝则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项，即3故答案为：3 15．定积分

（

（

﹣x）dx等于

．

4950

．

【解答】解：﹣x）dx＝

＝

dx﹣xdx＝

dx﹣

由y＝

dx﹣，

表示以（1，0）为圆心，半径r＝1的圆的，

，则函数y＝

- 8 - / 22

∴∴故答案为：

dx＝dx﹣＝

．

2

， ，

16．已知函数f（x）＝（x+a）+（e+），若存在x0，使得f（x0）

x2

，则实数a的

值为 ．

【解答】解：函数f（x）＝（x+a）+（e+），

函数f（x）可以看作是动点M（x，e）与动点N（﹣a，﹣）之间距离的平方， 动点M在函数y＝e的图象上，N在直线y＝x的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由y＝e得，y′＝e＝，解得x＝﹣1，

所以曲线上点M（﹣1，）到直线y＝x的距离最小，最小距离d＝

，

xxxx2x2

则f（x）≥，

，则f（x0）＝

，

根据题意，要使f（x0）≤

此时N恰好为垂足，由KMN＝＝﹣e，解得a＝．

故答案为：．

三．解答题（共6小题）

17．已知复数z＝1+mi（i是虚数单位，m∈R），且（1）设复数z1＝（2）设复数z2＝

，求|z1|；

，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

为纯虚数（是z的共轭复数）．

【解答】解：∵z＝1+mi，∴＝1﹣mi．

∴?（3+i）＝（1﹣mi）（3+i）＝（3+m）+（1﹣3m）i． 又∵?（3+i）为纯虚数，

- 9 - / 22

∴，解得m＝﹣3．

∴z＝1﹣3i． （1）z1＝∴|z1|＝

；

＝﹣﹣i，

（2）∵z＝1﹣3i， ∴z2＝

＝

，

又∵复数z2所对应的点在第一象限， ∴

，解得：a＞．

18．【解答】证明（1）要证明只要证只要证（只要证13+2只要证

2

2；

2）＞（13+2

，

2，

），

2

即证 42＞40． 而 42＞40 显然成立，故原不等式成立 （2）证明：假设

，

，

为同一等差数列的三项，

则存在整数m，n满足

md① nd②

①×n﹣②×m得：

2

2

nm（n﹣m）

两边平方得：3n+5m﹣2mn＝2（n﹣m）2

左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数 所以，假设不正确． 故

19．已知数列{an}满足：nan+1＝（n+2）（an﹣1），且a1＝6． （1）求a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式； （2）试用数学归纳法证明上述猜想．

，

，

不能为同一等差数列中的三项

- 10 - / 22

解：（1）由递推公式可得a2＝15，a3＝28，a4＝45，可猜想an＝（n+1）（2n+1）＝2n+3n+1． （2）下面用数学归纳法证明猜想成立． ①当n＝1时，猜想显然成立；

②假设n＝k（k≥1，k∈N+）时猜想成立，即则n＝k+1时，由kak+1＝（k+2）（ak﹣1）可得（k+2）（2k+3）＝2（k+1）+3（k+1）+1， 即：当n＝k+1时，猜想也成立， 由①②可知，当n∈N+时，an＝2n+3n+1． 20．已知函数

．

2

2

2

，

＝

＝

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b＞a． 【解答】解：（1）∴当x＞e时，当0＜x＜e时，

，∴，∴函数，∴函数

在

上是单调递减．

ab在（0，e）上是单调递增．

．

b∴f（x）的增区间是（0，e），减区间是（2）证明：∵b＞0，a＞0∴要证：b＞a， 只需证：alnb＞blna． 只需证由（1）得函数∴当a＞b＞e时，有

．（∵a＞b＞e） 在

aba上是单调递减． ，即

．得证．

21．（1）设展开式中的各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若A+B＝

272，求展开式中的x项的系数． （2）若大的项？

【解答】解：（1）二项式的二项式系数之和为B＝2，

若A+B＝4+2＝272，∴2＝16，求得n＝4，

- 11 - / 22

nnnn展开式前三项的二项式系数和等于79，求的展开式中系数最

展开式中的各项系数之和为A＝（3+1）＝4，各项

nn故展开式中的x项为（2）若

?＝108x，故展开式中的x项的系数为108．

+

+

＝1+n+

＝

展开式前三项的二项式系数和等于79，即

79，求得n＝12， 故

＝

的展开的通项公式为Tr+1＝

?2

2r﹣12

?x，

r令，求得≤r≤，∵r为整数，∴r＝10，

故展开式系数最大的项为第11项，即 T11＝ 22．设函数

．

?2?x＝16896x．

81010

（Ⅰ）求函数单调递减区间；

，求实数a的取值范围．

（Ⅱ）若函数G（x）＝f（x）+g（x）（a≤0）的极小值不小于

【解答】解：（Ⅰ）由题可知，所以

由F'（x）＜0，解得

综上所述，F（x）的递减区间为（Ⅱ）由题可知（1）当a＝0时，

或

和，所以

．

．

．

，则G（x）在（﹣∞，1）为增函数，在（1，+∞）为

减函数，所以G（x）在R上没有极小值，故舍去；

（2）当a＜0时，由于a＜0，所以

，

，由G'（x）＝0得，

因此函数G（x）在（﹣∞，1）为增函数，在函数，

- 12 - / 22

为减函数，在为增

所以G（x）极小值＝

即．

令，则上述不等式可化为．

上述不等式①

设

为增函数．

，则，故h（t）在（1，+∞）

又h（2）＝0，所以不等式①的解为t≥2，因此＜0．综上所述a∈[﹣1，0）．

2018-2019下学年度高二期中数学考试试卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题） 1．（3﹣i）＝（ ） A．﹣8﹣6i

B．8+6i

2

2

2

，所以，解得﹣1≤aC．8﹣6i D．﹣8+6i

【解答】解：（3﹣i）＝9﹣6i+i＝8﹣6i． 故选：C． 2．复数A．﹣1 【解答】解：∵

，其中i是虚数单位，则复数z的虚部为（ ）

B．﹣2 ＝

C．﹣i

，

D．﹣2i

∴复数z的虚部为﹣1． 故选：A．

3．下列求导计算正确的是（ ）

- 13 - / 22

A． B．

C． D．（xsinx）′＝cosx

，C选项应为2ln2，

x【解答】解：A选项应为

D选项应为sinx+xcosx．

故选：B．

4．记I为虚数集，设a，b∈R，x，y∈I．则下列类比所得的结论正确的是（ ） A．由a?b∈R，类比得x?y∈I B．由a≥0，类比得x≥0

C．由（a+b）＝a+2ab+b，类比得（x+y）＝x+2xy+y D．由a+b＞0?a＞﹣b，类比得x+y＞0?x＞﹣y

【解答】解：A：由a?b∈R，不能类比得x?y∈I，如x＝y＝i，则xy＝﹣1?I，故A不正确；

2

2

2

2

2

2

2

2

B：由a2≥0，不能类比得x2≥0．如x＝i，则x2＜0，故B不正确； C：由（a+b）2＝a2+2ab+b2，可类比得（x+y）2＝x2+2xy+y2．故C正确；

D：若x，y∈I，当x＝1+i，y＝﹣i时，x+y＞0，但x，y 是两个虚数，不能比较大小．故D错误

故4个结论中，C是正确的． 故选：C．

5．下列表述正确的是（ ） ①归纳推理是由特殊到一般的推理； ②演绎推理是由一般到特殊的推理； ③类比推理是由特殊到一般的推理； ④分析法是一种间接证明法；

⑤若z∈C，且|z+2﹣2i|＝1，则|z﹣2﹣2i|的最小值是3． A．①②③④

B．②③④

C．①②④⑤

D．①②⑤

【解答】解：归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理，故①正确； 演绎推理是由一般到特殊的推理，故②正确； 类比推理是由特殊到特殊的推理，故③错误； 分析法是一种直接证明法，故④错误；

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|z+2﹣2i|＝1表示复平面上的点到（﹣2，2）的距离为1的圆，|z﹣2﹣2i|就是圆上的点，到（2，2）的距离的最小值，就是圆心到（2，2）的距离减去半径，即：|2﹣（﹣2）|﹣1＝3，故⑤正确 故选：D． 6．设曲线y＝A．﹣2

在点（1，0）处的切线与直线x﹣ay+1＝0垂直，则a＝（ ）

B．2 C．﹣

D．

【解答】解：由题意得，

＝（x＞0），

∵在点（1，0）处的切线与直线x﹣ay+1＝0垂直， ∴

＝﹣a，解得a＝

，

故选：C．

7．某个班级组织元旦晚会，一共准备了A、B、C、D、E、F六个节目，节目演出顺序第一个节目只能排A或B，最后一个节目不能排A，且C、D要求相邻出场，则不同的节目顺序共有（ ）种 A．72

B．84

C．96

D．120

【解答】解：．按照第一个节目分两类：

①排A，将C，D捆绑在一起当一个元素，共4个元素作全排列，有AA＝48种； ②排B，将C，D捆绑在一起当一个元素，共4个元素作全排列，有48种， 其中A排最后一个节目的有AA＝12，故共有48﹣12＝36种， 根据分类加法计数原理得不同的节目顺序共有48+36＝84种． 故选：B．

8．用数学归纳法证明“4归纳假设，对4A．16（4

2k﹣1

2k+1

2n﹣1

+3（n∈N）能被13整除”的第二步中，当n＝k+1时为了使用

n+1*

+3变形正确的是（ ）

k+1

k+2

+3）﹣13×3

kk+1

B．4×4+9×3 C．（4

2k﹣1

2k

2k﹣1

+3）+15×4

k+1

k+1

+2×3

2k﹣1

k+1

D．3（4

2k﹣1

+3）﹣13×4

- 15 - / 22

【解答】解：假设n＝k时命题成立．即：4当n＝k+1时，4故选：A．

2k+1

2k﹣1

+3被13整除．

2k﹣1

k+1

+3＝16×4

k+22k﹣1

+3×3＝16（4

k+1

+3）﹣13×3．

k+1k+1

9．（2x﹣x+1）的展开式中x的系数是（ ） A．-1288

5

285

B．1280

5

2

C．1288

3

2

2

D．﹣1280

5

【解答】解：x可能是（﹣x），（2x）（﹣x），（2x）（﹣x），（﹣x）表示在8个式子中5个选（﹣x），其余3个选出1，系数为（﹣1）

2

5

?1＝﹣56； （2x）（﹣x）表示在

?2?

（﹣1）?1

3

4

323

8个式子中1个选2x，其余7个中3个选（﹣x），其余选1，系数为＝﹣560；

（2x）（﹣x）表示在8个式子中2个选2x，其余6个中一个选（﹣x），其余选1，系数为

?2?

2

222

（﹣1）?1＝﹣672，所以将（2x﹣x+1）展开合并同类项之后的式子中x的系

5285

数是﹣56﹣560﹣672＝﹣1288． 故选：A．

10．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ）

A．C．

B．D．

【解答】解：由题意，先分组，可得同的选派法有故选：A．

，

，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不

11．函数f（x）是定义在区间（0，+∞）上的可导函数，其导函数为f'（x），且满足f'（x）+f（x）＞0，则不等式A．{x|x＞﹣2015} C．{x|﹣2018＜x＜0}

2

的解集为（ ）

B．{x|x＜﹣2015} D．{x|﹣2018＜x＜﹣2015}

【解答】解：根据题意，设g（x）＝xf（x），（x＞0），

- 16 - / 22

则导数g′（x）＝（x）′f（x）+xf′（x）＝xf′（x）+2xf（x）；

函数f（x）在区间（0，+∞）上，满足f'（x）+f（x）＞0，则有xf′（x）+2xf（x）＞0，

则有g′（x）＞0，即函数g（x）在区间（0，+∞）上为增函数；

?（x+2018）fx+2018）＜3f（3）?g（2018）＜g（3），

2

2

2

222

则有0＜x+2018＜3，

解可得：﹣2018＜x＜﹣2015；

即不等式的解集为{x|﹣2018＜x＜﹣2015}； 故选：D．

12．若函数f（x）＝ax+2x+x+1在（1，2）上有最大值无最小值，则实数a的取值范围为（ ） A．a＞﹣

B．a2

3

2

C．﹣ D．

【解答】解：f′（x）＝3ax+4x+1，x∈（1，2）．

a＝0时，f′（x）＝4x+1＞0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a≠0时，△＝16﹣12a．

由△≤0，解得值，舍去．

由△＞0，解得a＜（a≠0），由f′（x）＝0，解得x1＝当

，x2＝

．

，此时f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递增，无极

时，x1＜0，x2＜0，因此f′（x）≥0，函数f（x）在x∈（1，2）内单调递

增，无极值，舍去．

当a＜0时，x1＞0，x2＜0，∵函数f（x）＝ax+2x+x+1在（1，2）上有最大值无最小值， ∴必然有f′（x1）＝0，∴1＜解得：

＜a＜﹣．

＜a＜﹣．

＜2，a＜0．

3

2

综上可得：故选：C．

二．填空题（共4小题） 13．解：（x﹣

）的展开式的通项公式为Tr+1＝

6

（﹣2）?x?

r6﹣3r，令6﹣3r＝0，求得r- 17 - / 22

＝2， 可得常数项14．将数列{3

?4＝60，

n﹣1

}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，

4950

则第100组中的第一个数是 3 ．

＝4950

4950

【解答】解：由题意，前99组数共包含1+2+3+…+99＝则第100组数中的第一个数应是原数列的第4951项，即3故答案为：3 15．定积分

（

（

＝

﹣x）dx等于

．

4950

．

【解答】解：﹣x）dx＝dx﹣xdx＝

dx﹣

由y＝∴∴故答案为：

dx﹣，

表示以（1，0）为圆心，半径r＝1的圆的， ， ，

，则函数y＝

dx＝dx﹣＝

．

2

16．已知函数f（x）＝（x+a）+（e+），若存在x0，使得f（x0）

x2

，则实数a的

值为 ．

【解答】解：函数f（x）＝（x+a）+（e+），

函数f（x）可以看作是动点M（x，e）与动点N（﹣a，﹣）之间距离的平方， 动点M在函数y＝e的图象上，N在直线y＝x的图象上， 问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离， 由y＝e得，y′＝e＝，解得x＝﹣1，

所以曲线上点M（﹣1，）到直线y＝x的距离最小，最小距离d＝

，

xxxx2x2

- 18 - / 22

则f（x）≥，

，则f（x0）＝

，

根据题意，要使f（x0）≤

此时N恰好为垂足，由KMN＝＝﹣e，解得a＝．

故答案为：．

三．解答题（共6小题）

17．已知复数z＝1+mi（i是虚数单位，m∈R），且（1）设复数z1＝（2）设复数z2＝

，求|z1|；

，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

为纯虚数（是z的共轭复数）．

【解答】解：∵z＝1+mi，∴＝1﹣mi．

∴?（3+i）＝（1﹣mi）（3+i）＝（3+m）+（1﹣3m）i． 又∵?（3+i）为纯虚数， ∴

，解得m＝﹣3．

∴z＝1﹣3i． （1）z1＝∴|z1|＝

；

＝﹣﹣i，

（2）∵z＝1﹣3i， ∴z2＝

＝

，

又∵复数z2所对应的点在第一象限， ∴

，解得：a＞．

18．【解答】证明（1）要证明只要证只要证（只要证13+2只要证

2

2；

2）＞（13+2

，

2，

），

2

- 19 - / 22

即证 42＞40． 而 42＞40 显然成立，故原不等式成立 （2）证明：假设

，

，

为同一等差数列的三项，

则存在整数m，n满足

md① nd②

①×n﹣②×m得：

2

2

nm（n﹣m）

两边平方得：3n+5m﹣2mn＝2（n﹣m）2

左边为无理数，右边为有理数，且有理数≠无理数 所以，假设不正确． 故

19．已知数列{an}满足：nan+1＝（n+2）（an﹣1），且a1＝6． （1）求a2，a3，a4的值，并猜想{an}的通项公式； （2）试用数学归纳法证明上述猜想．

解：（1）由递推公式可得a2＝15，a3＝28，a4＝45，可猜想an＝（n+1）（2n+1）＝2n+3n+1． （2）下面用数学归纳法证明猜想成立． ①当n＝1时，猜想显然成立；

②假设n＝k（k≥1，k∈N+）时猜想成立，即则n＝k+1时，由kak+1＝（k+2）（ak﹣1）可得（k+2）（2k+3）＝2（k+1）+3（k+1）+1， 即：当n＝k+1时，猜想也成立， 由①②可知，当n∈N+时，an＝2n+3n+1． 20．已知函数

．

2

2

2

，，不能为同一等差数列中的三项

，

＝

＝

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）已知a、b∈R，a＞b＞e（其中e是自然对数的底数），求证：b＞a． 【解答】解：（1）∴当x＞e时，当0＜x＜e时，

，∴，∴函数，∴函数

在

上是单调递减．

ab在（0，e）上是单调递增．

- 20 - / 22

∴f（x）的增区间是（0，e），减区间是（2）证明：∵b＞0，a＞0∴要证：b＞a， 只需证：alnb＞blna． 只需证由（1）得函数∴当a＞b＞e时，有

．（∵a＞b＞e） 在

abab．

上是单调递减． ，即

．得证．

21．（1）设展开式中的各项系数之和为A，各项的二项式系数之和为B，若A+B＝

272，求展开式中的x项的系数． （2）若大的项？

【解答】解：（1）二项式的二项式系数之和为B＝2，

若A+B＝4+2＝272，∴2＝16，求得n＝4，

nnnn展开式前三项的二项式系数和等于79，求的展开式中系数最

展开式中的各项系数之和为A＝（3+1）＝4，各项

nn故展开式中的x项为（2）若

?＝108x，故展开式中的x项的系数为108．

+

+

＝1+n+

＝

展开式前三项的二项式系数和等于79，即

79，求得n＝12， 故

＝

的展开的通项公式为Tr+1＝

?2

2r﹣12

?x，

r令，求得≤r≤，∵r为整数，∴r＝10，

故展开式系数最大的项为第11项，即 T11＝ 22．设函数

．

?2?x＝16896x．

81010

（Ⅰ）求函数单调递减区间；

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（Ⅱ）若函数G（x）＝f（x）+g（x）（a≤0）的极小值不小于，求实数a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）由题可知，所以

由F'（x）＜0，解得

综上所述，F（x）的递减区间为（Ⅱ）由题可知（1）当a＝0时，

或

和，所以

．

．

．

，则G（x）在（﹣∞，1）为增函数，在（1，+∞）

为减函数，所以G（x）在R上没有极小值，故舍去；

（2）当a＜0时，由于a＜0，所以

，

，由G'（x）＝0得，

因此函数G（x）在（﹣∞，1）为增函数，在函数，

所以G（x）极小值＝

为减函数，在为增

即．

令，则上述不等式可化为．

上述不等式①

设，则，故h（t）在（1，+∞）为增函数．

又h（2）＝0，所以不等式①的解为t≥2，因此，所以，解得﹣1≤a＜0．综上所述a∈[﹣1，0）．

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