高中数学圆锥曲线知识点总结
更新时间:2023-04-08 13:28:01 阅读量: 实用文档 文档下载
高中数学圆锥曲线知识
点总结
TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线:
在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系:若曲线C 的方程是f(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上?f(x 0,y 0)=0;点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上?f(x 0,y 0)≠0。
两条曲线的交点:若曲线C 1,C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1,C 2的交点?{
),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解,两
条曲线就有n 个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。 二、圆:
1、定义:点集{M ||OM |=r },其中定点O 为圆心,定长r 为半径.
2、方程:(1)标准方程:圆心在c(a,b),半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2
圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2 (2)一般方程:①当D 2+E 2-4F >0时,一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为)2
,2
(E D --半径是2
422F
E D -+。配方,将方程
x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+
2D )2+(y+2
E
)2=4
4F
-E D 22+
②当D 2+E 2-4F=0时,方程表示一个点(-
2D ,-2
E
); ③当D 2+E 2-4F <0时,方程不表示任何图形.
(3)点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为
(x 0,y 0),则|MC |<r ?点M 在圆C 内,|MC |=r ?点M 在圆C 上,|MC |>r ?点M 在圆C 内,其中|MC |=2020b)-(y a)-(x +。
(4)直线和圆的位置关系:①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与圆相交?有两个公共点;直线与圆相切?有一个公共点;直线与圆相离?没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定:(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离22B A C
Bb Aa d +++=与半径r 的大小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义:
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e >0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l 称为准线,正常数e 称为离心率。当0<e <1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e >1时,轨迹为双曲线。
【备注1】双曲线:
⑶等轴双曲线:双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线,其渐近线方程为
x y ±=,离心率2=e .
⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫
做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-22
22b y a x 与λ-=-2222b
y a x 互为共轭双曲线,它们
具有共同的渐近线:
02
22
2=-
b
y a
x . ⑸共渐近线的双曲线系方程:
)0(2
22
2≠=-
λλb
y a
x 的渐近线方程为
02
22
2=-
b
y a
x 如
果双曲线的渐近线为0=±b y
a x 时,它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλb
y a x .
【备注2】抛物线:
(1)抛物线2y =2px(p>0)的焦点坐标是(2
p ,0),准线方程x=-2
p ,开口向右;抛物线2y =-2px(p>0)的焦点坐标是(-2
p ,0),准线方程x=2
p ,开口向左;抛物线2x =2py(p>0)的焦点坐标是(0,2p ),准线方程y=-2
p ,开口向上;
抛物线2x =-2py (p>0)的焦点坐标是(0,-2
p ),准线方程y=2
p ,开口向下.
(2)抛物线2y =2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离2
0p x MF +=;抛物线2y =-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F 的距离02
x p
MF -=
(3)设抛物线的标准方程为2y =2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为2
p ,顶点到准线的距离2
p ,焦点到准线的距离为p.
(4)已知过抛物线2y =2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A 、B 两点,则线段AB 称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长AB =21x x ++p 或
α
2
sin 2p AB =(α为直线AB 的倾斜角),2
21p y y -=,2,41221p x AF p x x +==(AF 叫做焦半径). 五、坐标的变换:
(1)坐标变换:在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. (2)坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。
(3
)坐标轴的平移公式:设平面内任意一点M ,它在原坐标系xOy 中的坐标是9x,y),在新坐标系x ′O ′y ′中的坐标是),(''y x .设新坐标系的原点O ′在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k),则 k
y y h x x +=+=''或
k
y y h x x -=-=''
叫做平移(或移轴)公式.
(4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:
六、椭圆的常用结论:
1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.
2. PT 平分△PF1F2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b
+=.
6. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外,则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、
P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是
00221x x y y
a b
+=. 7. 椭圆22
221x y a b
+= (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任
意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为1
2
2tan 2
F PF S b γ
?=.
8. 椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)的焦半径公式
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.
10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.
11.AB 是椭圆22
221x y a b
+=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则
2
2OM AB
b k k a ?=-,即0
202y a x b K AB -=。 12.若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内,则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
+=+; 【推论】:
1、若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y
x y a b a b
+=+。椭圆22221x y a b +=(a >b >o )的两个顶点为
1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨
迹方程是22
221x y a b
-=.
2、过椭圆22
221x y a b
+= (a >0, b >0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互
补的直线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且20
20
BC
b x k a y =(常数). 3、若P 为椭圆22
221x y a b
+=(a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是
焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则
tan t 22
a c co a c αβ
-=+.
4、设椭圆22221x y a b
+=(a >b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin sin sin c e a
αβγ==+. 5、若椭圆22221x y a b
+=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L ,则当0<e
1时,可在椭圆上求一点P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
6、P 为椭圆22221x y a b
+=(a >b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为椭圆内一定点,则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时,等号成立.
7、椭圆22
0022()()1x x y y a b
--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.
8、已知椭圆22221x y a b
+=(a >b >0),O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥.(1)22221111||||OP OQ a b +=+;(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;(3)OPQ S ?的最小值是2222a b a b
+. 9、过椭圆22221x y a b
+=(a >b >0)的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则
||||2PF e MN =. 10、已知椭圆22221x y a b +=( a >b >0) ,A 、B 、是椭圆上的两点,线段
AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则2222
0a b a b x a a
---<<.
11、设P 点是椭圆22221x y a b
+=( a >b >0)上异于长轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2) 122tan 2
PF F S b γ?=. 12、设A 、B 是椭圆22221x y a b
+=( a >b >0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是椭圆的半焦距离心
率,则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ
=-.(2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a γ?=-. 13、已知椭圆22221x y a b
+=( a >b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
七、双曲线的常用结论:
1、点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2、PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨
迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.
3、以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4、以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支)
5、若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)上,则过0P 的双曲线的切
线方程是
00221x x y y
a b
-=. 6、若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)外 ,则过Po 作双曲线的
两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是
00221x x y y
a b
-=. 7、双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >o )的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为双
曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为1
2
2t 2
F PF S b co γ
?=.
8、双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >o )的焦半径公式:(1(,0)F c - , 2(,0)F c )
当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-;当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--。
9、设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF.
10、过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF.
11、AB 是双曲线22
221x y a b
-=(a >0,b >0)的不平行于对称轴的弦,
M ),(00y x 为AB 的中点,则0202y a x b K K AB
OM =?,即0
20
2y a x b K AB =。
12、若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b
-=(a >0,b >0)内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b
-=-. 13、若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b
-=(a >0,b >0)内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b
-=-. 【推论】:
1、双曲线22221x y a b
-=(a >0,b >0)的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交双曲线于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程是22221x y a b
+=. 2、过双曲线22221x y a b
-=(a >0,b >o )上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点,则直线BC 有定向且2020
BC b x k a y =-(常数). 3、若P 为双曲线22221x y a b
-=(a >0,b >0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22
c a co c a αβ-=+(或tan t 22c a co c a βα-=+). 4、设双曲线22221x y a b
-=(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF 1F 2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin (sin sin )c e a
αγβ==±-.
5、若双曲线22221x y a b
-=(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为L ,则当1<e
1时,可在双曲线上求一点P ,使得PF 1是P 到对应准线距离d 与PF 2的比例中项.
6、P 为双曲线22221x y a b
-=(a >0,b >0)上任一点,F 1,F 2为二焦点,A 为双曲线内一定点,则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时,等号成立.
7、双曲线22221x y a b
-=(a >0,b >0)与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤.
8、已知双曲线22221x y a b
-=(b >a >0),O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动点,且OP OQ ⊥.
(1)22221111||||OP OQ a b
+=-;(2)|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a -;(3)OPQ S ?的最小值是22
22
a b b a -. 9、过双曲线22221x y a b
-=(a >0,b >0)的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P ,则||||2
PF e MN =. 10、已知双曲线22221x y a b
-=(a >0,b >0),A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x , 则220a b x a
+≥或220a b x a +≤-.
11、设P 点是双曲线22221x y a b
-=(a >0,b >0)上异于实轴端点的任一点,F 1、F 2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ
=-.(2) 122cot 2
PF F S b γ
?=. 12、设A 、B 是双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 分别是双曲线的半焦距
离心率,则有(1)22222|cos ||||s |
ab PA a c co αγ=-. (2) 2tan tan 1e αβ=-.(3) 22222cot PAB a b S b a
γ?=+. 13、已知双曲线22221x y a b
-=(a >0,b >0)的右准线l 与x 轴相交于点E ,过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.
14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
八、抛物线的常用结论:
①x c by ay =++2
顶点)244(2a
b
a b ac --.
②)0(22≠=p px y 则焦点半径2
P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2
P y PF +=.
③通径为2p ,这是过焦点的所有弦中最短的.
④px y 22
=(或py x 22
=)的参数方程为??
?==pt
y pt x 222
(或??
?==2
22pt
y pt
x )(t 为参数).
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