高三文科数学一轮复习第三节函数的单调性与最值

第三节 函数的单调性与最值

[知识梳理]

1．函数的单调性 (1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．

[温馨提示] (1)函数的单调性只能在其定义域内讨论，所以求函

数单调区间必须先求函数的定义域．

(2)一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．如

1

函数y＝x的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．

(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数．如

1

函数y＝x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，但在定义域上不具有单调性．

(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N?M.如

函数f(x)＝2x＋1在(1，＋∞)上是单调递增函数，但它的单调递增区间是(－∞，＋∞)．

2．函数的最值

[小题速练]

1．下列函数中，在(0，＋∞)上是减函数的是( ) A．y＝x 1

C．y＝x B．y＝lnx D．y＝2x

[解析] 对于选项A，函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数；对于选项B，函数y＝lnx在(0，＋∞)上是增函数；对于选项C，函数y＝1

x在(0，＋∞)上是减函数；对于选项

D，函数y＝2x在(0，＋∞)上是增函数．故选C. [答案] C

x

2．f(x)＝在( )

1－x

A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数 C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数

x1

[解析] f(x)的定义域为{x|x≠1}．又f(x)＝＝－1，根据

1－x1－x1

函数y＝－x的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数．

[答案] C

3．如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则( )

A．a＝－2 C．a≤－2

B．a＝2 D．a≥2

?a－1?

[解析] 由－3≥1，得a≤－2.

[答案] C

4．函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是________．

[解析] f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y＝lgu在(0，＋∞)上为增函数，u＝x2在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，故f(x)在(－∞，0)上单调递减．

[答案] (－∞，0)

x

5．(2016·北京卷)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________．

x－1x1

[解析] 易得f(x)＝＝1＋，

x－1x－1

当x≥2时，x－1>0，易知f(x)在[2，＋∞)是减函数， 1

∴f(x)max＝f(2)＝1＋＝2.

2－1[答案] 2

考点一 函数单调性的判断——冷考点

ax

判断函数f(x)＝2(其中a>0)在x∈(－1,1)上的单调性．

x－1[解] 解法一(定义法)：设－1

x1－1x22－1

2

ax1x22－ax1－ax2x1＋ax2＝ 2?x2－1??x－1?12

a?x2－x1??x1x2＋1?＝. 2?x2－1??x－1?12∵－1

22

∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x1－1)(x2－1)>0.

因此当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，

即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(－1,1)上为减函数． 解法二(导数法)：

a?x2－1?－2ax2－a?x2＋1?f ′(x)＝＝2.

?x2－1?2?x－1?2又a>0，所以f ′(x)<0，

所以函数f(x)在(－1,1)上为减函数．

判断函数单调性的方法

(1)定义法：设区间D为f(x)的定义域或其子区间．

(2)导数法：求导→判断导数正负→得结论.

[跟踪演练]

a

用定义法讨论函数f(x)＝x＋x(a>0)的单调性．

[解] 函数的定义域为{x|x≠0}．任取x1，x2∈{x|x≠0}，且x1

?则f(x1)－f(x2)＝x1＋x－x2－x＝＝(x1－x2)1－xx?. x·x?12?1212

a

令x1＝x2＝x0,1－x2＝0可得到x0＝±a，这样就把f(x)的定义域分

0

为(－∞，－a]，[－a，0)，(0，a]，[a，＋∞)四个区间，下面讨论它的单调性．

若0aa

所以x1x2－a<0.所以f(x1)－f(x2)＝x1＋x－x2－x＝

12

?x1－x2??x1x2－a?

>0， x1·x2

即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0，a]上单调递减．

同理可得，f(x)在[a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－a]上单调递增，在[－a，0)上单调递减．

故函数f(x)在(－∞，－a]和[a，＋∞)上单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．

考点二 求函数的单调区间——常考点

(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区

间是( )

A．(－∞，－2) C．(1，＋∞)

B．(－∞，1) D．(4，＋∞)

(2)函数y＝|x2－4x＋3|的单调递增区间是________． [思路引导] (1)先求定义域，再利用复合函数单调性来求． (2)作出y＝|x2－4x＋3|的图象．

[解析] (1)由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2

－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)，选D.

(2)先作出函数y＝x2－4x＋3的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方，可得函数的图象如图所示．由图可知，函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)．

[答案] (1)D (2)[1,2]，[3，＋∞)

[拓展探究] (1)在本例(1)中若将f(x)＝ln(x2－2x－8)改为y＝loga(x2－2x－8)，则其单调递增区间为________________．

(2)若将本例(2)中的函数变为“y＝x2－4|x|＋3”，则结果如何？ [解析] (2)作出函数y＝x2－4|x|＋3的图象，如图所示．由图可知，函数的增区间为[－2,0]，[2，＋∞)．

[答案] (1)当01

时，单调递增区间为(4，＋∞) (2)[－2,0]，[2，＋∞)

确定函数单调区间的4种方法

[跟踪演练]

1．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( ) A．(－∞，0) C．[0，＋∞) [解析] y＝|x|(1－x)

1????0，B.2? ?

?1?D.?2，＋∞? ?

?

??x?1－x?，x≥0，＝? ??－x?1－x?，x<0

2?－x＋x，x≥0，?＝?2 ?x－x，x<0，?

1?21?

?x－2?＋，x≥0，?－?4??＝?1?1?

?x－?2－，x<0.???2?4

画出函数的草图，如图．

1??

?由图易知原函数在0，2?上单调递增，故选B. ??[答案] B

2．(2017·河南中原名校第一次质检)函数y＝log1 (－x2＋x＋6)的

2

单调增区间为( )

?1?

?A.2，3? ??

1??

?B.－2，2? ??

?1??D.2，＋∞? ??

C．(－2,3)

[解析] 由－x2＋x＋6>0，得－2

2

调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2,3)上的减区间．

利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2,3)上的减

?1??区间为2，3?，故选A. ??

[答案] A

考点三 利用单调性求最值——常考点 (1)(2017·丽水一模)已知函数

x，x>1，?log1

f(x)＝?3

?－x2＋2x，x≤1，

则

f(f(3))＝________，函数f(x)的最大值是________．

x2＋2x＋a

(2)已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)． x1

①当a＝2时，求函数f(x)的最小值；

②若对任意x∈[1，＋∞), f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围． [解析]

1 x，x>1，?log3

(1)①由于f(x)＝?

?－x2＋2x，x≤1，

所以f(3)＝log1 3＝－1，

3

则f(f(3))＝f(－1)＝－3，

②当x>1时，f(x)＝log1 x是减函数，得f(x)<0，

3

当x≤1时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(－∞，1]上单调递增，则f(x)≤1，综上可知，f(x)的最大值为1.

11

(2)①解法一：当a＝2时， f(x)＝x＋2x＋2， 任取1≤x1

1??1

则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋?2x－2x?

?12?

?x1－x2??2x1x2－1?＝. 2x1x2

∵1≤x11，∴2x1x2－1>0. 又x1－x2<0，∴f(x1)

解法二：当x≥1时，f ′(x)＝1－2x2>0，∴f(x)在[1，＋∞)单调递增．

7

∴f(x)在[1，＋∞)的最小值为f(1)＝2. x2＋2x＋a2

②在区间[1，＋∞)上， f(x)＝>0恒成立?x＋2x＋a>0x恒成立．

设g(x)＝x2＋2x＋a，则g(x)在[1，＋∞)上的最小值φ(a)>0. g(x)＝(x＋1)2＋a－1，

对称轴为x＝－1，且开口向上， 所以g(x)在[1，＋∞)上递增，

所以g(x)在[1，＋∞)上的最小值为g(1)＝3＋a， 由3＋a>0，得a>－3.

7

[答案] (1)－3 1 (2)①2 ②a>－3

(1)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，

则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．

(2)分段函数的值域是每一段上值域的并集． (3)恒成立问题通常转化为函数的最值问题．

[跟踪演练]

1．函数y＝x＋x－1的最小值为________．

[解析] 函数的定义域为{x|x≥1}，又y＝x＋x－1在[1，＋∞)上单调递增，∴y≥1，即函数的最小值为1.

[答案] 1

?1，x≤－1，

2．函数f(x)＝?x

?－?x－1?2＋2，x>－1

的最大值为________．

1

[解析] 当x≤－1时，函数f(x)＝x为减函数，所以f(x)在x＝－1处取得最小值，此时－1≤f(x)<0；当x>－1时，易知函数f(x)＝－(x－1)2＋2在x＝1处取得最大值，为f(1)＝2.故函数f(x)的最大值为2.

[答案] 2

考点四 函数单调性应用——热考点

角度解读：函数单调性的应用常以基本初等函数为载体，利用单调性求最值，比较函数值的大小，解不等式求参数．考查学生数形结合思想、转化与化归思想的应用，综合分析问题的能力．在高考中常以选择题、填空题出现，难度中等． 角度1：比较大小

(2017·哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对

?1?

称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f?－2?，b

??

＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为( )

A．c>a>b C．a>c>b

B．c>b>a D．b>a>c

?

?

??

?1??5?

[解析] 因f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f?－2?＝f?2?.

由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．

?5?5

∵1<2<2f?2?>f(e)，∴b>a>c.

??

[答案] D 角度2：解函数不等式

??1??

已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f??x??

????

的取值范围是( )

A．(－1,1) C．(－1,0)∪(0,1)

B．(0,1)

D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

??1??

[解析] 由f(x)为R上的减函数且f??x??

????

1?????>1，得??x??x≠0，

??|x|<1，即? ?x≠0.?

∴－1

角度3：利用函数的单调性求参数

2??－x＋4x，x≤4，

设函数f(x)＝?若函数y＝f(x)在区间(a，

?log2x，x>4.?

a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，1] C．[4，＋∞)

B．[1,4]

D．(－∞，1]∪[4，＋∞)

[解析] 作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4，故选D.

[答案] D

(1)单调性定义的两种变式

设任意x1，x2∈[a，b]，且x1

f?x1?－f?x2?

①>0(<0)?f(x)在[a，b]上是增(减)函数．②(x1－x2)[f(x1)

x1－x2

－f(x2)]>0(<0)?f(x)在[a，b]上是增(减)函数

(2)函数单调性应用的常见类型及方法： ①比较大小

比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

②解不等式

在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

③利用单调性求参数

视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．

[跟踪演练]

1．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是( )

?1??A.－4，＋∞? ???1??C.－4，0? ??

?1?

?B.－4，＋∞? ???1??D.－4，0? ??

[解析] 当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；

1

当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－a， 因为f(x)在(－∞，4)上单调递增， 11

所以a<0，且－a≥4，解得0>a≥－4. 1

综上所述得－4≤a≤0. [答案] D

3??x，x≤0，

2．已知函数f(x)＝?若f(2－x2)>f(x)，则实数x

??ln?x＋1?，x>0，

的取值范围是( )

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C．(－1,2) D．(－2,1)

[解析] ∵当x＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x≤0时，函数f(x)＝x3为增函数，当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)也是增函数，∴函数f(x)是定义在R上的增函数．因此，不等式f(2－x2)>f(x)等价于2－x2>x，即x2＋x－2<0，解得－2

[答案] D

抽象函数单调性的再研究

素养解读：对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比f?x1?较f(x1)－f(x2)与0的大小，或与1的大小．有时根据需要，需作

f?x2?x1适当的变形：如x1＝x2·x或x1＝x2＋x1－x2等．

2

已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1；

②当x>0时，f(x)>－1.

(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数． (2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.

[切入点] (1)由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1对任意x、y都成立，通过赋值所求联系起来，创造使用定义证明单调性的条件．(2)将所求不等式转化为函数值间的关系，从而利用单调性脱去“f”，解关于x的不等式．

[关键点] (1)准确赋值；(2)将不等式右边的4转化为函数值，从而将不等式转化为函数值关系．

抽象函数与不等式问题的答题策略

抽象函数单调性证明只能用定义证明．

已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，对定义域内的任意x1、x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时， f(x)>0.

(1)求证：f(x)是偶函数；

(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数． [证明] (1)因对定义域内的任意x1、x2都有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， 令x1＝x，x2＝－1， 则有f(－x)＝f(x)＋f(－1)．

又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f(1)． 再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，从而f(－1)＝0， 于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．

?x2???x2??

?＝f(x1)－?f?x1?＋f???(2)设0

?

1?

??1??

?x2?

＝－f?x?，

?1?

?x2?x2由于01，从而f?x?>0，

?1?1

故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)

课时跟踪训练(六)

[基础巩固]

一、选择题

1．(2016·北京卷)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( )

1

A．y＝

1－xC．y＝ln(x＋1)

B．y＝cosx D．y＝2－x

1

[解析] 函数y＝，y＝ln(x＋1)在(－1,1)上都是增函数，函数

1－x

?1?

y＝cosx在(－1,0)上是增函数，在(0,1)上是减函数，而函数y＝2＝?2?

??

－x

x

在(－1,1)上是减函数，故选D.

[答案] D

2．已知函数f(x)＝x2－2x－3，则该函数的单调递增区间为

( )

A．(－∞，1] C．(－∞，－1]

B．[3，＋∞) D．[1，＋∞)

[解析] 设t＝x2－2x－3，由t≥0， 即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.

所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数 t＝x2－2x－3的图象的对称轴为x＝1，所以函数t在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．

[答案] B

3．下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)时，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0”的是( )

1

A．f(x)＝2 C．f(x)＝2x

B．f(x)＝x2－4x＋4 D．f(x)＝log1 x

2

[解析] (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0等价于x1－x2与f(x1)－f(x2)正负号相同，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．显然只有函数f(x)＝2x符合，故选C.

[答案] C

1

4．函数f(x)＝的最大值是( )

1－x?1－x?

4A.5 3C.4 14

[解析] 由f(x)＝1?23≤3， ?

?x－?＋

2?4?4

则[f(x)]max＝3，故选D. [答案] D

5B.4 4D.3

5．(2017·东北三校联考(一))设函数f(x)＝x2＋(a－2)x－1在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a的最小值为( )

A．－2 C．1

B．－1 D．2

a－2[解析] 由题意得≤2，解得a≥－2，所以实数a的最小值

－2为－2.

[答案] A

6．(2017·德州市模拟)设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f?x?＋f?－x?f(1)＝0，则不等式>0的解集为( ) x

A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)

[解析] 因为函数f(x)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0，所以函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，且f(－1)＝0.

f?x?＋f?－x?2f?x?f?x?

由>0，可得x>0，即x>0， x

当x<0时，f(x)<0，即f(x)0时，f(x)>0，即f(x)>f(1)，解得x>1.

f?x?＋f?－x?

故不等式>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． x[答案] A 二、填空题

117．函数f(x)＝在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是3，则x－1a＋b＝________.

[解析] 易知f(x)在[a，b]上为减函数，

?f?a?＝1，∴?1?f?b?＝3，

[答案] 6

?即?11?b－1＝3，

1

＝1，a－1

??a＝2，∴?∴a＋b＝6. ??b＝4.

8．函数y＝log1 |x－3|的单调递减区间是________．

2

[解析] 函数的定义域为{x|x≠3}．令u＝|x－3|，则在(－∞，3)1

上u为x的减函数，在(3，＋∞)上u为x的增函数．又∵0<2<1，∴在区间(3，＋∞)上，y为x的减函数．

[答案] (3，＋∞)

ax＋1

9．若函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是单调递增函数，则

x＋2实数a的取值范围是________．

ax＋1a?x＋2?＋1－2a

[解析] 解法一：f(x)＝＝

x＋2x＋21－2a

＝＋a. x＋2

任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1

则f(x1)－f(x2)＝－

x1＋2x2＋2?1－2a??x2－x1?＝. ?x1＋2??x2＋2?

ax＋1

∵函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是递增的，

x＋2∴f(x1)－f(x2)<0.

∵x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0， 1

∴1－2a<0，a>2，

?1???. ，＋∞即实数a的取值范围是2??

a?x＋2?＋1－2a1－2a

解法二：f(x)＝＝a＋，

x＋2x＋2∵f(x)在(－2，＋∞)上单调递增， 1

∴1－2a<0，∴a>2. ?1??[答案] 2，＋∞? ??

三、解答题

1

10．已知函数f(x)＝a－|x|. (1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． [解] (1)证明：当x∈(0，＋∞)时， 1

f(x)＝a－x，

设00，x2－x1>0，

1??1?11x2－x1?????a－a－f(x2)－f(x1)＝x2?－?x1?＝x1－x2＝x1x2>0， ?所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

11

(2)由题意a－x<2x在(1，＋∞)上恒成立，设h(x)＝2x＋x， 则a

h(x1)－h(x2)＝(x1－x2)?2－xx?.

?12?因为1

所以x1－x2<0，x1x2>1， 1

所以2－xx>0，

12所以h(x1)

所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 故a≤h(1)，即a≤3，

所以实数a的取值范围是(－∞，3]．

[能力提升]

???3a－1?x＋4a，x≤1，

11．已知f(x)＝?是(－∞，＋∞)上的减函

?logx，x>1.?a

数，那么a的取值范围是( )

A．(0,1)

?11?

C.?7，3? ??

1??

?B.0，3? ??

?1??? ，1D.7??

[解析] 据题意要使原函数在定义域R上为减函数，要满足3a－1<0，且0

?11?

范围为?7，3?，故选C.

??

[答案] C

f?x?

12．如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝x在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间13

I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝2x2－x＋2是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为( )

A．[1，＋∞) C．[0,1]

B．[0，3] D．[1，3]

123

[解析] 因为函数f(x)＝2x－x＋2的对称轴为x＝1，所以函数yf?x?13

＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，x＝2x－1＋2x，2

1313x－3

令g(x)＝2x－1＋2x(x≥1)，则g′(x)＝2－2x2＝2x2，

f?x?13

由g′(x)≤0得1≤x≤3，即函数x＝2x－1＋2x在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I为[1，3]．

[答案] D

??a，a≤b，13．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝?设函数

?b，a>b.?

f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．

[解析] 依据题意，作出函数h(x)的图象，如图 由图可知，当x＝2时，h(x)取得最大值1.

[答案] 1

14．已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________．

[解析] 因为函数f(x)＝lnx＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，

f(x2－4)

15．(2018·江苏徐州期中)已知a∈R，函数f(x)＝x|x－a|. (1)当a＝2时，写出函数y＝f(x)的单调递增区间； (2)当a>2时，求函数y＝f(x)在区间[1,2]上的最小值．

??x?x－2?，x≥2，[解] (1)当a＝2时， f(x)＝x|x－2|＝?

?x?2－x?，x<2.?

由图象可知，y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，[2，＋∞)． (2)因为a>2，x∈[1,2]，

a?a?

所以f(x)＝x(a－x)＝－x2＋ax＝－?x－2?2＋4.

??a3

当1<2≤2，即2

当2>2，即a>3时， f(x)min＝f(1)＝a－1.

2

??2a－4，2

∴f(x)min＝?

?a－1，a>3.?

a??

16．已知函数f(x)＝lg?x＋x－2?，其中a是大于0的常数．

??(1)求函数f(x)的定义域；

(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围． x2－2x＋aa

[解] (1)由x＋x－2>0，得>0， x

a>1时，x2－2x＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)， a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}，

01＋1－a}． a

(2)设g(x)＝x＋x－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，

2

ax－a

g′(x)＝1－x2＝x2>0恒成立，

a

∴g(x)＝x＋x－2在[2，＋∞)上是增函数． a???∴f(x)＝lgx＋x－2?在[2，＋∞)上是增函数． ??

a??a??∴f(x)＝lgx＋x－2在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg2. ??(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0， a

即x＋x－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立． ∴a>3x－x2，

3?29?

而h(x)＝3x－x＝－?x－2?＋4在x∈[2，＋∞)上是减函数，

??

2

∴h(x)max＝h(2)＝2.

∴a>2.

[延伸拓展]

?x1?

已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f?x?＝f(x1)－f(x2)，

?2?

且当x>1时，f(x)<0.

(1)求f(1)的值；

(2)证明：f(x)为单调递减函数；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值． [解] (1)令x1＝x2>0，

代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0. (2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)， x1且x1>x2，则x>1，

2

?x1?

由于当x>1时，f(x)<0，所以f?x?<0，

?2?

即f(x1)－f(x2)<0， 因此f(x1)

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．

?x1?

由f?x?＝f(x1)－f(x2)得，

?2?

?9?

f?3?＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1， ??

所以f(9)＝－2.

∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.

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