专题三 统计初步与概率初步

很好

考点一、平均数

1、平均数的概念

专题三 统计初步与概率初步

1

(x1 x2 xn)叫做这n

（1）平均数：一般地，如果有n个数x1,x2, ,xn,那么，x n个数的平均数，x读作“x拔”。 （2）加权平均数：如果n个数中，

x1出现f1次，x2出现f2次， ，xk出现fk次（这里

，那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为f1 f2 fk n）

xf x2f2 xkfkx 11，这样求得的平均数x叫做加权平均数，其中f1,f2, ,fk叫做

n权。

2、平均数的计算方法

（1）定义法当所给数据x1,x2, ,xn,比较分散时，一般选用定义公式：

x

1

(x1 x2 xn) n

（2）加权平均数法：当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：

x

x1f1 x2f2 xkfk

，其中f1 f2 fk n。

n

（3）新数据法：当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：x x' a。 其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，x'1 x1 a，x'2 x2 a， ，

1

(x'1 x'2 x'n)是新数据的平均数（通常把x1,x2, ,xn,叫做原n

数据，x'1,x'2, ,x'n,叫做新数据）。

x'n xn a。x'

考点二、统计学中的几个基本概念

1、总体：所有考察对象的全体叫做总体。 2、个体：总体中每一个考察对象叫做个体。

3、样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 4、样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。

5、样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。

6、总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。

考点三、众数、中位数

1、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

考点四、方差

1、方差的概念：在一组数据x1,x2, ,xn,中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“

s2”表示，即

1

s2 [(x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2]

n

2、方差的计算

1

[(x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2] n

212222

（2）简化计算公式（Ⅰ）：s [(x1 x2 xn) nx]也可写成

n

（1）基本公式：s

2

很好

21222

s [(x1 x2 xn)] x

n2

此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。 （3）简化计算公式（Ⅱ）：

2122s2 [(x'1 x'2 x') nx'] 2n

n

当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据x'1 x1 a，x'2 x2 a， ，x'n xn a，那么，s

2

2122

[(x'1 x'2 x')] x' 2nn

此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。 （4）新数据法：

原数据x1,x2, ,xn,的方差与新数据x'1 x1 a，x'2 x2 a， ，x'n xn a的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得x'1,x'2, ,x'n,的方差就等于原数据的方差。 3、标准差

方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即

1

[(x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2] n

考点五、频率分布 s s2

1、频率分布的意义:在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。

2、研究频率分布的一般步骤及有关概念: （1）研究样本的频率分布的一般步骤是： ①计算极差（最大值与最小值的差） ②决定组距与组数 ③决定分点

④列频率分布表 ⑤画频率分布直方图

（2）频率分布的有关概念 ①极差：最大值与最小值的差

②频数：落在各个小组内的数据的个数

③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。

考点六、确定事件和随机事件

1、确定事件:

必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。 2、随机事件：

在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。

考点七、随机事件发生的可能性

一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。

对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。

很好

考点八、概率的意义与表示方法

1、概率的意义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率

n

会稳定在某个常m

数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。

2、事件和概率的表示方法：一般地，事件用英文大写字母A，B，C， ，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P

考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系

1、确定事件概率：（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1 （2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0 2、确定事件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小

1概率的值

不可能发生 必然发生

事件发生的可能性越来越大

考点十、古典概型

1、古典概型的定义

某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。 2、古典概型的概率的求法

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=

m n

考点十一、列表法求概率

1、列表法：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

2、列表法的应用场合：当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。

考点十二、树状图法求概率

1、树状图法：就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。

2、运用树状图法求概率的条件：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

考点十三、利用频率估计概率

1、利用频率估计概率

在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。 3、随机数

在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。

训练题

1、（2007安徽）下列调查工作需采用的普查方式的是 【 】 A.环保部门对淮河某段水域的水污染情况的调查 B.电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查 C.质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查 D.企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查

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2、（2007福建晋江）要了解一个城市的气温变化情况，下列观测方法最可靠的一种方法是（ ）

A．一年中随机选中20天进行观测； B．一年中随机选中一个月进行连续观测； C．一年四季各随机选中一个月进行连续观测；D．一年四季各随机选中一个星期进行连续观测。

3．（2007安徽芜湖）筹建中的安徽芜湖核电站芭茅山厂址位于长江南岸繁昌县狄港镇，距离繁昌县县城约17km，距离芜湖市区约35km，距离无为县城约18km，距离巢湖市区约50km，距离铜陵市区约36km，距离合肥市区约99km．以上这组数据17、35、18、50、36、99的中位数为（ ）．

A．18 B．50 C．35 D．35.5C

4、92007广东韶关）2007年5月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31 35 31 34 30 32 31，这组数据的中位数、众数分别是（ ） A.32，31 B.31，32 C.31，31 D.32，35 5、（2007

A．27，28 B．27.5，28 C．28，27 D．26.5，27 6、（2007贵州贵阳）小明五次跳远的成绩（单位：米）是：3.6，3.8，4.2，4.0，3.9，这组数据的中位数是（ ） A．3.9米 B．3.8米 C．4.2米 D．4.0米 7、（2007广东梅州）下列事件中，必然事件是（ ） A．中秋节晚上能看到月亮 B．今天考试小明能得满分 C．早晨的太阳从东方升起 D．明天气温会升高 8、（2007湖北孝感）在李咏主持的“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖,参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻．有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（ ）B

A．

1125

B． C． D．

45918

2

9、（2007湖南怀化）已知甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差S甲 据的方差S乙

2

1

，乙组数12

1

则（ ）B 10

Ｂ．乙组数据比甲组数据的波动大 Ｄ．甲乙两组数据的波动大小不能比较

Ａ．甲组数据比乙组数据的波动大 Ｃ．甲组数据与乙组数据的波动一样大

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解答题

1、（2007福建晋江）老张要对某居住小区所聘用的物业管理公司的“服务质量”进行调查，他从不同住宅中随机选取300名入住时间较长的居民进行调查，并将得到的数据制成扇形统计图（如图所示）。

⑴在这个调查中，对“服务质量”表现“满意”的有人； ⑵请估计该社区2000名居民对“服务质量”表现为“基本满意” 以上的人数（包含“基本满意”、“满意”、“非常满意”）。

2、（2007福建龙岩）红星煤矿人事部欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行专业知识测试，成绩如下表所示；并依录用的程序，乙 甲 组织200名职工对三人进行民主评议投票推荐，三人得票率如图所示．（没34% 35% 有弃权票，每位职工只能投1票，每得1票记作1分）

丙 测试成绩（单位：分）

测试项目 31% 甲 乙 丙

74 67 专业知识 73 （第2题图）

（1）请填出三人的民主评议得分：甲得 分，乙得 分，丙得 分；

（2）根据招聘简章，人事部将专业知识、民主评议二项得分按6:4的比例确定各人成绩，成绩优者将被录用．那么 将被录用，他的成绩为 分． 3、（2007贵州贵阳）阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生．1995年联合国教科文组织把每年4月23日确定为“世界读书日”．图8是某校三个年级学生人数分布扇形统计图，其中八年级人数为408人，表（1）是该校学生阅读课外书籍情况统计表．请你根据图表中的信息，解答下列问题：

（1）求该校八年级的人数占全校总人数的百分率．（2分） （2）求表（1）中A，B的值．（4分）

（3）该校学生平均每人读多少本课外书？（2分） 图书种类 频数 频率

840 科普常识 B 816 0.34 名人传记

0.25 漫画丛书 A

144 0.06 其它

表（1）

图8

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4、（2007

班50频数分布直方图．如下所示： 组别 次数x 频数（人数） 80≤x 100 6 第1组 100≤x 120 8 第2组

9

a 120≤x 140 第3组

140≤x 160 18 第4组

160≤x 180 6 第5组

请结合图表完成下列问题： （1）表中的a ； 跳绳次数 （2）请把频数分布直方图补充完整；

（3）这个样本数据的中位数落在第 组；

（4）若八年级学生一分钟跳绳次数（x）达标要求是：x 120不合格；120≤x 140为合格；140≤x 160为良；x≥160为优．根据以上信息，请你给学校或八年级同学提一条合理化建议： ． 5、（2007浙江温州）一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同。

（1）从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？

（2）从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出球的都是白球的概率，并画出树状图。

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