线性代数_北京邮电(戴斌祥_主编)习题答案(1、2、3、4、5)

习题一

（A 类）

1. 求下列各排列的逆序数.

(1) 341782659； (2) 987654321；

(3) n (n 1)…321； (4) 13…(2n 1)(2n )(2n

2)…2. 【解】

(1) τ(341782659)=11;

(2) τ(987654321)=36;

(3) τ(n (n 1)…3〃2〃1)= 0+1+2 +…+(n 1)=(1)2

n n -; (4) τ(13…(2n 1)(2n )(2n 2)…2)=0+1+…+(n 1)+(n 1)+(n 2)+…+1+0=n (n

1).

2. 求出j ，k 使9级排列24j157k98为偶排列。

解：由排列为9级排列，所以j,k 只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j 的逆序为1，5的逆序数为0，k 的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j 的逆序为0，5的逆序数为1，k 的为4，不符合题意.

所以j=3、k=6.

3. 写出4阶行列式中含有因子2234a a 的项。

解：D 4=1234()11223344(1)j j j j j j j j a a a a τ-

由题意有：232,

4.j j == 故1234141243243241

j j j j j j ?==??

D 4中含的2234a a 项为：(1243)(3241)1122344313223441(1)(1)a a a a a a a a ττ-+-

即为：1122344313223441a a a a a a a a -+

4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？

（1）233142561465a a a a a a ；

解：233142561465142331425665a a a a a a a a a a a a =

因为(431265)6τ=，(431265)6(1)

(1)1τ-=-=

所以该项带正号。

（2）324314516625a a a a a a

解：324314516625142532435166a a a a a a a a a a a a = 因为(452316)8τ=，(452316)8(1)(1)1τ-=-= 所以该项带正号。

5. 用定义计算下列各行列式.

(1)

0200001030000004； (2)12

30

0020

3045

00

1

. （3）01000

0200

001000

n n

-

【解】(1) D =(1)

τ(2314)

4!=24; (2) D =12.

（3）由题意知：12231,,112

10

n n

n ij a a a n a n a -=??=???

?=-??=?=?? 其余

所以

12()112233(2341)1223341,11

1(1)(1)(1)

123(1)(231)1

(1)!

n j j j n j j j njn

n n n n n n D a a a a a a a a a n n n n n τττ---=-=-=-?????-?=-=-?

6. 计算下列各行列式.

(1)

21

41

3121

1232

5062

-----； (2) ab

ac ae bd cd de bf

cf ef

-------； (3)100110011001a b c d ---； (4)

123

42341341241

23

.

【解】(1) 12506231

21012

325062

r r D +---=--; (2) 111

4111111

D abcdef abcdef --==------;

210110111(3)(1)111011001011;

b c D a a b cd c c d d d d

abcd ab ad cd --?--?=+-=+++--????=++++ 3212211331421441210

23410234102341034101130113(4)160.104120222004410

1

2301110004r r c c r r c c r r r r c c r r D -+-+-++---====------- 7. 证明下列各式. (1) 22

322()1

11a ab b a a b b a b +=-； (2) 22222

2222

22222

22(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++； (3) 23

2

232232

111()111a a a a b b ab bc ca b b c c c c =++ (4) 20000()0000n n a

b a

b D ad b

c c

d c d ==-

；

(5)

1

211

111111111

1

1n

n

i i i i n

a a a a a ==++??=+ ???+∑∏

. 【证明】(1)

13

23

2

23()()()2()2001

()()()()()2()21

c c c c a b a b b a b b a b a b b a b a b b a b a b b

a b a b a b a b --+--=--+--+=

=-=-=--左端右端.

(2) 32

21

3142

41

222

2-2-2

232

2

21

446921262144692126

0214469212621

4469

2126

c c c c c c c c c c a a a a a a b b b b b b c c c c c c

d d d d d d ---++++++++====++++++++左端右端. (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:

23232

3

23

11()()()()()()()(*)11x x x a a a f x x a x b x c a b a c b c b b b

c

c c =

=------

从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f (x )的x 的系数为

2

22

1()()()()(),11a a ab bc ac a b a c b c ab bc ac b b c c ++---=++

但对（*）式右端行列式按第一行展开知x 的系数为两者应相等，故

2

3112

32

3

1(1),11a a b b c c +- (4) 对D 2n 按第一行展开，得

22(1)2(1)2(1)00000

00

(),

n n n n a b a

b

a b

a b

D a

b

c d

c d

c d c d d

c a

d D bc D ad bc D ---=-=?-?=-

据此递推下去，可得

222(1)2(2)

112()()()()()()n n n n n n

D ad bc D ad bc D ad bc D ad bc ad bc ad bc ----=-=-==-=--=- 2().n n D ad bc ∴

=-

(5) 对行列式的阶数n 用数学归纳法.

当n =2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n 1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n 时结论也成立.

按D n 的最后一列，把D n 拆成两个n 阶行列式相加：

11221

12111110111

11110111111101

1

1

1

1

1

1

.

n n n

n n n a a a a D a a a a a a D ---++++=

++=+

但由归纳假设

11121111,n n n i i D a a a a ---=??

+= ???

∑

从而有

11211211121111

111111.

n n n n n i i n n n

n n i i i i i i D a a a a a a a a a a a a a a a ---=-===??

+=+ ?

??

?

???++== ? ?????∑∑∑∏

8. 计算下列n 阶行列式.

(1) 11

11

11n x x D x

=

(2) 1222

2222

2232222n D n

=

；

(3)000

000

000000n x y x y D x y

y x

= . (4)210001

21000

12000

00210

0012

n D =

.

【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x +(n 1),得

1111

1

[(1)]

,1

1n x D x n x

=+-

将第一行乘（1）后分别加到其余各行，得

1111110

[(1)](1)(1).001

n n x D x n x n x x --=+-=+---

(2) 21

311

1222210000101001002010002

n r r n r r r r D n ---=

-

按第二行展开222201002(2)!.0020

0002

n n =---

(3) 行列式按第一列展开后，得

1(1)(1)(1)10000000000

000(1)000

000000000(1)(1).

n n n n n n n n x y y x y x y D x y x y x y y x x y

x x y y x y +-+-+=+-=?+?-?=+-

(4) 21000200000100012100

121001210001200012000120000021000210002100012

00012

00012

n D =

=

+

122n n D D --=-.

即有 112211n n n n D D D D D D ----=-==-= 由 ()()()112211n n n n D D D D D D n ----+-++-=- 得 11,121n n D D n D n n -=-=-+=+. 9. 计算n 阶行列式.

1

2121

2

111n n n n

a a a a a a D a a a ++=

+

【解】各列都加到第一列，再从第一列提出1

1n

i

i a

=+

∑，得

232

32312

3

1

1111

1,1

1n n n

n i n i n

a a a a a a D a a a a a a a =+??=++ ???

+∑

将第一行乘（1）后加到其余各行，得

2

311

10

10011.0

0100

1

n n

n

n i i i i a a a D a a ==??=+=+ ???

∑∑

10. 计算n 阶行列式（其中0,1,2,,i a i n ≠= ）.

111

1123

222211

22

332222

1122

331

11

112

3n n n n n

n n n n n n

n n n n n n n n n n n n

a a a a a

b a b a b a b D a b a b a b a b b b b b ----------------=

.

【解】行列式的各列提取因子1

(1,2,,)n j a j n -= ,然后应用范德蒙行列式.

3121

232

2

2

2

3121

121231

1

113121231

1211111()().

n n n n n n n n n n n n n j i n n j i n i

j b b b b a a a a b b b b D a a a a a a a b b b b a a a a b b a a a a a ------≤<≤????????= ? ? ? ????????????????? ? ?

? ???

??

??

??

??

-= ???∏

11. 已知4阶行列式D 中第3列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为8，7，2，10，求行列式D 的值。

解：D=11

12142122

243132

34

41

42441201a a a a a a a a a a a a -，132333438,7,2,10M M M M ==== 4

333

11323334313132323333343434567(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)8(1)27(1)02(1)110

8141032.

i i i i D a M a M a M a M a M +=++++=-=-+-+-+-=-?-?+-??+-??+-??=---=-∑

12. 用克拉默法则解方程组.

（1）1212450,37 2.x x x x +=??-=? （2）123121

32,21,4.x x x x x x x -+=??+=??-=? (3) 12312341234234 5,2 1, 2 2, 23 3.x x x x x x x x x x x x x x ++=??+-+=??+-+=??++=? (4) 121232343454556 1, 56 0, 56 0, 560, 5 1.

x x x x x x x x x x x x x +=??++=??++=??++=?+=??

【解】（1）因为1212

450372x x x x +=??-=? D =45

4337=--；D 1=

051027=--；D 2=40832= 所以1212108,.4343

D D x x D D ====- （2）因为123121

32214x x x x x x x -+=??+=??-=? D =[1(1)]2,311

1111120

0315101

012r i i +-=--=-=--- D 1=21

10

01121

201201361401611-===-----

D 2=12

112111110011422141022

--=--==--- D 3=11211

212103

17104012

--=-= 所以 3121231347,,.555D D D x x x D D D ====-=

=- (3)方程组的系数行列式为

1

110111013113121110131180;1210521

211012112301401230123

D -------=====≠----- 123451101510

11112111

18;36;22111211

312303

2311501115

2111

211136;18.1221

121201330123D D D D --====---====-- 故原方程组有惟一解，为

312412341,2,2, 1.D D D D x x x x D D D D

========- 1234512345(4)665,1507,1145,703,395,212.

15072293779212,,,,.66513335133665

D D D D D D x x x x x ===-==-=∴==-==-= 13. λ满足什么条件时，线性方程组1231231

2321,2,4553x x x x x x x x x λλ+-=??-+=??+-=?有唯一解？

解：D =[32(1)]2

1

211110455450c λλλλλ---=-- =1(1)

(1)(54)45λλλλ--=-?+

要使方程组有唯一解，必须D 0≠，于是：(1)(54)0λλ-?+≠ 解得：1241,

5

λλ≠≠- 当λ不等于1，45-时，方程组有唯一解。 14. λ和μ为何值时，齐次方程组

1231231

230,0,20x x x x x x x x x λμμ++=??++=??++=?

有非零解?

【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式

1

1

0,11121λμμ=

即

(1)0.μλ-=

故0μ=或1λ=时，方程组有非零解.

15. 求三次多项式230123()f x a a x a x a x =+++，使得

(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.f f f f -====

【解】根据题意，得

0123012301230123(1)0;

(1)4;

(2)2483;

(3)392716.

f a a a a f a a a a f a a a a f a a a a -=-+-==+++==+++==+++=

这是关于四个未知数0123,,,a a a a 的一个线性方程组，由于 012348,336,0,240,96.D D D D D ====-=

故得01237,0,5,2a a a a ===-=

于是所求的多项式为

23()752f x x x =-+

（B 类）

1. 已知n 阶行列式D 的每一列元素之和均为零，则D = 。

解： 令 D =

1112111211

1222212[1(1)]21222212222,3,,121

2

n n n n n nn

r i n n i n

n n nn

n n nn

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +=+++++++++=

=

212221

20

000n n n nn

a a a a a a =

2.D

3. 写出行列式D 4=512312123122x x x x x x 的展开式中包含3x 和4

x 的项。

解：令D 4=512312123122x x x x x x =

111213142122

2324313233344142

43

44

a a a a a a a a a a a a a a a a =

12341234

()11223344(1)j j j j j j j j j j j j a a a a τ-∑

比较可得：只有当12341234j j j j =时，才能出现4

x 项，当12342134,4231j j j j =时，为3

x 项，故4D 中含4

x 项为：4

10x +

含3

x 项为：(2134)(4231)31221334414223341(1)(1)5a a a a a a a a x ττ-+-=-。

4. 已知4阶行列式D 4=

1

2343

344

15671122

，试求41424344A A A A +++，其中4(1,2,3,4)j A j =为行列式D 4的第4行第j 列的元素的代数余子式。

解：因为D 4=

12343

34415671

12

2

所以4142434412343

34415671

111A A A A +++=

[1(1)]412,3,41123

123

3011

(1)0111

456

456

1000

c i i +-+===- [41(4)]

5511123

11

(1)011(1)(1)36

036

r +-+=

-=------(6(3)) 3.=----=

5. 解方程12222121211111

1

0.n n n

n n

n a a a a a a x a a a =

解：因D =12

1211111112121212(1)(1)1111111

110111

10111n n n n n n n n n n n n

n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a x a a a x a a a ------+?+---=---

=122

111121

11111(1)

111n n n n n n n n

a a a x a a a +---?-------

+

12222121111212111111111

n n n n n n n

n

n

n n n

a a a a a a a a a a a a ---?---------

故由D =0可得：

1

(1)n x +=-1222212111121212111121111111111

11111111n n n n n n n n n n n n

n n n n n n n

a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---?---?---------------

因为

121211

1

11

1

1

2

1

2

1

11111111111

n n n n n n n n n

n

a a a a a a a

a a a

a a ---------=---

=1()n i j j i n

V a a ≤<≤=

-∏

所以(1)

x =-1222212121111111

()

n n n

n

n

n i j j i n

a a a a a a a a a a a ≤<≤-------∏

6. 求出使一平面上三个点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件. 【解】设平面上的直线方程为

ax +by +c =0 (a ,b 不同时为0)

按题设有

11223

30,0,0,

ax by c ax by c ax by c ++=??

++=??++=? 则以a ,b ,c 为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为

11223

31101

x y x y x y = 上式即为三点112233(,),(,),(,)x y x y x y 位于同一直线上的充分必要条件.

习题 二 （A 类）

1. 1. 设A =121221211234??????????，B =432121210101??

??--????--??

， （1） 计算3A -B ，2A +3B ；

（2） 若X 满足A +X =B ，求X ；

（3） 若Y 满足（2A -Y ）+2（B -Y ）=0，求Y .

解：（1）3A -B =3636636333912??????????-432121210101????--????--??=1315828237913-??????????

。

2A +3B =242442422468??????????+1296363630303????--????--??=14138725252165????--??????

。 （2）因A +X =B ，则X =B -A ，即

X =432121210101????--????--??-121221211234???????

???=311140401335-????--????----??。 （3）因为（2A -Y ）+2（B -Y ）=0，所以3Y =2A +2B ，即

Y =23（A +B ）=23（432121210101????--?

???--??+121221211234??????????）=55332020231133??

?????????

=1010

22334

40033222

23

3??

???

??????

???????

。

2. 计算下列矩阵的乘积.

（1）[]11321023????

-??-??????=； （2）

500103120213????

????-????????????

； （3） []32123410????

????????

； （4）

()11

121311

2

321

22

23231

32

333a a a x x x x a a a x a a a x ????

????????????????

； （5） 1112132122

2331

32

33100011001a a a a a a a a a ????????????????????

； （6） 1

2101031010101210

02100230

00

30003????????-?

???????

-????

-????

. 【解】

(1) 32103210;6420963

0-??

??--?

???

-?

?-??

(2)531??

??-????-??

; (3) (10);

(4) 332

2211122233312211213311323322311()()()ij i

j i j a x a x a x a a x x a a x x a a x x a x x ==++++++++=∑∑

(5)111212132122222331323233a a a a a a a a a a a a +????+????+??; (6) 1252012400430009????-????-??-??

. 3. 设111111111????=-????-??A ，121131214????=-??????

B ， 求(1)2-AB A ;(2) -AB BA ；(3) 22()()-=-A+B A B A B 吗?

【解】(1) 2422;400024????-=??????AB A (2) 440;531311??

??-=--????--??

AB BA (3) 由于AB ≠BA ,故(A +B )(A

B )≠A 2B 2.

4. 举例说明下列命题是错误的. (1) 若2=A O ， 则=A O ； (2) 若2=A A ， 则=A O 或=A E ；

(3) 若AX =AY ，≠A O ， 则X =Y .

【解】

(1) 以三阶矩阵为例，取2001,000000??

??==??????

0A A ,但A ≠0 (2) 令110000001-??

??=??????

A ,则A 2=A ,但A ≠0且A ≠E (3) 令11021,=,0111210110??????

??????=≠=????????????-??????

A Y X 0 则AX =AY ,但X ≠Y .

5. 计算：

（1）3010001000??????????；（2）cos sin sin cos k θθθθ????-??（k 为正整数）； （3）101k

λ??????（k 为正整数）.

解：（1）3010001000??????????=010001000???????

???010001000??????????010001000??????????=001000000??????????010001000?????????? =33000000000?????=??????

O 。 （2）令D k =cos sin sin cos k θθθ

θ????-??（k 为正整数），则当k =2时， D 2=cos sin sin cos θ

θθθ????-??cos sin sin cos θθθθ????-??=cos 22sin cos 2sin cos cos 2θθθθθθ????-??

=cos 2sin 2sin 2cos 2θ

θθθ????-??

； 设D m =cos sin sin cos m m m m θθθθ????-??

成立，则 D m +1=cos sin sin cos m m m m θθθθ??

??-??cos sin sin cos θθθθ????-??

=cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos sin sin m m m m m m m m θθθθ

θθθθθθθθ

θθθθ-+????---?? =cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)m m m m θθθ

θ++????-++??. 故有：D k =cos sin sin cos k θθθ

θ????-??=cos sin sin cos k k k k θθθθ????-??. (3) 令D k =101k λ??????

（k 为正整数），则 当k =2时，有：

D 2=101λ??????101λ??????=1021λ?????

?；

假设D m =101m λ

??????=101m λ??????成立，则 D m +1=101m λ???

???101λ??????=10(1)1m λ????+??；

故有101k λ

??????=101k λ??????

。 6. 设a b c d b a d c c d a b d c b a ????--????--??--??

A =，求|A |. 解：由已知条件，A 的伴随矩阵为 22222222()()a b c d b a d c a b c d a b c d c d a b d

c b a *??

??--??-+++=-+++??--??--??A =A 又因为*

A A =A E ，所以有 22222()a b c d -+++A =A E ，且0

即 42222222224()()a b c d a b c d -++++++A =A A =A

E 于是有

22222()a b c d ==-+++A .

7. 已知线性变换

112112212321331233

232,3,232,2,45;3,x y y y z z x y y y y z z x y y y y z z =+=-+????=-++=+????=++=-+??

利用矩阵乘法求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换.

【解】已知

112233112233210,23241531

0,201013421124910116x y x y x y y z y z y z ????????????===-???????????

???????-????????????===????????????-??????-??

??==-????--??

X AY Y Bz X AY ABz z, 从而由123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换为

112321233

12342,1249,1016.x z z z x z z z x z z z =-++??=-+??=--+?

8. 设A ，B 为n 阶方阵，且A 为对称阵，证明：'B AB 也是对称阵.

【证明】因为n 阶方阵A 为对称阵，即A ′=A ,

所以 (B ′AB )′=B ′A ′B =B ′AB ,

故'B AB 也为对称阵.

9. 设A ，B 为n 阶对称方阵，证明：AB 为对称阵的充分必要条件是AB =BA .

【证明】已知A ′=A ,B ′=B ，若AB 是对称阵，即(AB )′=AB .

则 AB =(AB )′=B ′A ′=BA ,

反之，因AB =BA ,则

(AB )′=B ′A ′=BA =AB ,

所以，AB 为对称阵.

10. A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，证明：

(1) B 2是对称矩阵.

(2) AB BA 是对称矩阵，AB +BA 是反对称矩阵.

【证明】

因A ′=A ,B ′= B ,故

(B 2)′=B ′〃B ′= B 〃(B )=B 2;

(AB BA )′=(AB )′(BA )′=B ′A ′A ′B ′

= BA A 〃(B )=AB BA ;

(AB +BA )′=(AB )′+(BA )′=B ′A ′+A ′B ′

= BA +A 〃(B )= (AB +BA ).

所以B 2是对称矩阵，AB BA 是对称矩阵，AB+BA 是反对称矩阵.

11. 求与A =1101??

????

可交换的全体二阶矩阵.

【解】设与A 可交换的方阵为a b c d ??

????

,则由

1101??????a b c d ??????=a b c d ??????1101??

????

,

得

a c

b d a a b

c

d c c d +++????

=????+????

.

由对应元素相等得c =0,d =a ,即与A 可交换的方阵为一切形如0

a

b a ??????的方阵，其中a,b 为任意数.

12. 求与A =100012012??

??????-??

可交换的全体三阶矩阵.

【解】由于

A =E +000002013??

??????-??

,

而且由

1

111

1122

22223

3

3333000000,002002013013a b c a b c a b c a b c a b c a b c ????????????????=????????????????--????????

可得

1

1122233

33

3323

23

230230

00

023222.023333c b c c

b c a b c c b c a a b b c c -????

????-=???

?????----????

由此又可得

1113232332322333230,230,20,30,2,3,232,233,

c b c a a a c b c b b b c c b c c c =-==-===--=-=-

所以

2311233230,

2,3.a a b c c b c b b ======-

即与A 可交换的一切方阵为1233

230

0203a b b b b b ??

??????-??

其中123,,a b b 为任意数. 13. 求下列矩阵的逆矩阵.

(1) 1225??????； (2) 123012001??

????

????； (3)121342541-????-????--??

； (4) 1

000120021301

21

4????????????

； 【解】

(1) 5221-????-??; (2) 121012001-??

??-??

????

; (3) 12601741632142-????--????--??; (4) 1

00011002211102

6315118

24

124??????-

????--??????--????

; 14. 利用逆矩阵，解线性方程组

1232312

1,221,2.x x x x x x x ++=??

+=??-=? 【解】因123111102211102x x x ??????

??????=???????????

?-??????,而1110022110≠- 故

1

1231110111112

2.02211

1301221102211

12x x x -?

???-

??

??????

????????????????==

=????????????---???????

?????-????????????-????

15. 证明下列命题：

(1) 若A ，B 是同阶可逆矩阵，则（AB ）*=B *A *

.

(2) 若A 可逆，则A *可逆且（A *）1=（A 1）*

.

(3) 若AA ′=E ,则（A *）′=(A *)1

.

【证明】（1） 因对任意方阵c ，均有c *c =cc *

=|c |E ,而A ,B 均可逆且同阶，故可得

|A |〃|B |〃B *A *=|AB |E (B *A *

)

=(AB ) *AB (B *A *)=(AB ) *A (BB *)A *

=(AB ) *A |B |EA *=|A |〃|B |(AB ) *

.

∵ |A |≠0,|B |≠0,

∴ (AB ) *=B *A *

.

(2) 由于AA *=|A |E ,故A *=|A |A 1,从而(A 1) *=|A 1|(A 1)1=|A |1

A . 于是

A * (A 1) *=|A |A 1〃|A |1A =E ,

所以

(A 1) *=(A *)1

.

(3) 因AA ′=E ，故A 可逆且A 1

=A ′.

由(2)(A *)1=(A 1) *,得

(A *)1=(A ′) *=(A *

)′. 16. 已知线性变换

112321233

12322,35,323,x y y y x y y y x y y y =++??=++??=++?

求从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换.

【解】已知

112233221,315323x y x y x y ????????????===??????????????????

X AY 且|A |=1≠0,故A 可逆，因而

1749,637324---??

??==-????-??

Y A X X 所以从变量123,,x x x 到变量123,,y y y 的线性变换为

112321233

123749,637,324,y x x x y x x x y x x x =--+??=+-??=+-?

17. 解下列矩阵方程.

(1) 12461321-????????????

X =； (2)211211************--????????=????????--????

X ； (3) 142031121101????????????---??????

X =； (4) 010100043100001201001010120-????????????=-????????????-??????

X . 【解】(1) 令A =1213??????;B =4621-??????.由于13211--??=??-??A 故原方程的惟一解为

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