时间序列分析方法 (刘金全)

时间序列分析讲义

Time Series Analysis

吉林大学商学院刘金全

时间序列分析原来是“概率论与数理统计”领域当中的一个重要分支，其中有国际著名的学术杂志“时间序列分析”。由于在过去的二十几年当中，时间序列分析方法在经济学的定量分析当中获得了空前的成功应用，因此所出现的“时间序列计量经济学”已经成为了“实证宏观经济学”的同意语或者代名词。由此可见，作为宏观经济研究，甚至已经涉及到微观经济分析，时间序列分析方法是十分重要的。

时间序列分析方法之所以在经济学的实证研究中如此重要，其主要原因是经济数据大多具有时间属性，都可以按照时间顺序构成时间序列，而时间序列分析正是分析这些时间序列数据动态属性和动态相关性的有力工具。从一些典型的研究案例中可以看出，时间序列分析方法在揭示经济变量及其相关性方法取得了重要进展。

目前关于时间序列分析的教科书和专著很多。仅就时间序列本身而言的理论性论著也很多，例如本课程主要参考的Hamilton的“时间序列分析”，以及Box和Jankins的经典性论著“时间序列分析”；近年来出现了两本专门针对经济学和金融学所编写的时间序列专著，这也是本课程主要参考的教材。另外需要注意的是，随着平稳性时间序列方法的成熟和解决问题所受到的局限性的暴露，目前研究非平稳时间序列的论著也正在出现，其中带有结构性特征的非平稳时间序列分析方法更是受到了广泛重视。

本课程将介绍时间序列分析的基本方法，预计讲授时间为54学时。本课程将布置一定的作业，并且进行笔试。

主要参考书目：

[1] Box, G. E. P. and Jenkins, G. M., Time Series Analysis: Forecasting and Control, Holden Day, 1976.

[2] Enders W., Applied Econometric Time Series, John Wiley & Sons, Inc., 1995.

[3] Mill, T. C., The Econometric Modelling of Financial Time Series, second edition, Cambridge University Press, 1999.

[4] 李子奈, 叶阿忠, 高等计量经济学, 清华大学出版社, 2000年.

[5] Hargreaves, C. P., Nonstationary Time Series Analysis and Cointegration, Oxford University Press, 1994.

[6] Kim, C. J. and Nelson, C. R., State-Space Models with Regime Switching: Classical and Gibbs-Sampling Approaches with Applications. The MIT Press, 1999.

[7] Banerjee, A., Dolado, J. J. and Hendry, D. F., Cointegration, Error Correction and the Economic Analysis of Non-Stationary Data, Oxford University Press, 1993.

[8] Hendry, D. F., Dynamic Econometrics, Oxford University Press, 1995.

[9] Barnett, W. A., Kirman, A. P. and Salmon, M., eds., Nonlinear Dynamics and Economics, Cambridge University Press, 1996.

[10] Harvey, A. C., Forecasting Structural Time Series Models and the Kalman Filter, Cambridge University Press, 1989.

第一章 差分方程

差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。

§1.1 一阶差分方程

假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程：

t t t w y y ++=-110φφ (1.1) 在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。

例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为：

ct bt t t t r r I m m 019.0045.019.072.027.01--++=-

上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。

1.1.1 差分方程求解：递归替代法

差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。

由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程： 0=t ：01100w y y ++=-φφ

1=t ：10101w y y ++=φφ

t t =：t t t w y y ++=-110φφ

依次进行叠代可以得到：

1011211010110101)()1()(w w y w w y y ++++=++++=--φφφφφφφφ

0111122113121102)1(w w w y y φφφφφφφ++++++=-

i t

i i t t i i t w y y ∑∑=-=++=0111010φφφφ (1.2)

上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。上述通过叠代将t y 表示为前期变量和初始值的形式，从中可以看出t y 对这些变量取值的依赖性和动态变化过程。

1.1.

2. 差分方程的动态分析：动态乘子(dynamic multiplier)

在差分方程的解当中，可以分析外生变量，例如0w 的变化对t 阶段以后的t y 的影响。假设初始值1-y 和t w w ,,1 不受到影响，则有：

t t w y 10

φ=?? (1.3) 类似地，可以在解的表达式中进行计算，得到：

j t

j t w y 1φ=??+ (1.4) 上述乘子仅仅依赖参数1φ和时间间隔j ，并不依赖观测值的具体时间阶段，这一点在任何差分方程中都是适用的。

例1.2 货币需求的收入乘子 在我们获得的货币需求函数当中，可以计算当期收入一个单位的变化，对两个阶段以后货币需求的影响，即：

t

t t t t t t t I w I w w m I m ??=?????=??++2122φ 利用差分方程解的具体系数，可以得到：

19.0=??t

t I w ，72.01=φ 从而可以得到二阶乘子为：

098.02=??+t

t I m 注意到上述变量均是对数形式，因此实际上货币需求相对于两个阶段以前收入的弹性系数，这意味着收入增长1%，将会导致两个阶段以后货币需求增加0.098%，其弹性是比较微弱的。

定义1.1 在一阶线性差分方程中，下述乘子系列称为t y 相对于外生扰动t w 的反应函数：

j t

j t j w y L 1φ=??=+， ,1,0=j (1.5) 显然上述反应函数是一个几何级数，其收敛性依赖于参数1φ的取值。

(1) 当101<<φ时，反应函数是单调收敛的；

(2) 当011<<-φ时，反应函数是震荡收敛的；

(3) 当11>φ时，反应函数是单调扩张的；

(4) 当11-<φ时，反应函数是震荡扩张的；

可以归纳描述反应函数对于参数的依赖性：当1||1<φ时，反应函数是收敛的；当1||1>φ时，反应函数是发散的。

一个特殊情形是11=φ的情形，这时扰动将形成持续的单一影响，即t w 的一个单位变化将导致其后任何时间j t y +的一个单位变化：

1≡??=+t

j t j w y L ， ,1,0=j 为了分析乘子的持久作用，假设时间序列t y 的现值贴现系数为β，则未来所有时间的t y 流贴现到现在的总值为：

∑∞

=+0j j t j y β (1.6) 如果t w 发生一个单位的变化，而t s w s >,不变，那么所产生的对于上述贴现量的影响为边际导数：

∑∑∑∞=∞=+∞=+-==??=??00011/)(j j j j t j t j j t j t j

w y w y φβφβββ，1||<φβ

上述分析的是外生变量的暂时扰动，如果t w 发生一个单位的变化，而且其后的t s w s >,也都发生一个单位的变化，这意味着变化是持久的。这时持久扰动对于)(j t +时刻的j t y +的影响乘数是：

0111111φφφ+++=??++??+??-+++++ j j j

t j t t t t j t w y w y w y (1.7) 当1||1<φ时，对上式取极限，并将其识为扰动所产生的持久影响：

11111)(lim φ-=??++??+??+++++∞→j t j t t t t

j t j w y w y w y (1.8) 例1.3 货币需求的长期收入弹性 在例1.1中我们已经获得了货币的短期需求函数，从中可以求出货币需求的长期收入弹性为：

68.072

.0119.0=-=?=t t t t t t dI dw dw dm dI dm 这说明收入增加1%最终将导致货币需求增加0.68%，这是收入对于货币需求反馈的持久影响效果。

如果换一个角度考察扰动的影响，那么我们需要分析一个单位的外生扰动对于t y 以后路径的累积影响，这时可以将这种累积影响表示为：

φ-=??∑∞=+110j t

j t w y (1.9) 由此可见，如果能够估计出差分方程中的系数，并且了解差分方程解的结构，则可以对经济变量进行稳定性的动态分析。另外，我们也发现，内生变量对外生变量反应函数的性质比较敏感地依赖差分方程中的系数。

§1.2 p 阶差分方程

如果在方程当中允许t y 依赖它的p 阶前期值和输入变量，则可以得到下述p 阶线性差分方程(将常数项归纳到外生变量当中)：

t p t p t t t w y y y y ++++=---φφφ 2211 (1.10) 为了方便起见，将上述差分方程表示成为矩阵形式：

t t t v F +=-1ξξ (1.11) 其中：

????????????????=+---121p t t t t t y y y y ξ，????????????????=-0001000000100011321

p p F φφφφφ，???????

?????????=000 t t w v 其实在方程(1.11)所表示的方程系统当中，只有第一个方程是差分方程(1.10)，而其余方程均是定义方程：

j t j t y y --=，p j ,,2,1 =

将p 阶差分方程表示成为矩阵形式的好处在于，它可以进行比较方便的叠代处理，同时可以更方便地进行稳定性分析。另外，差分方程的系数都体现在矩阵F 的第一行上。

进行向前叠代，可以得到差分方程的矩阵解为：

t t t t t t v v F v F v F F +++++=---+1111011 ξξ (1.12) 利用)(t j i f 表示矩阵t F 中第i 行、第j 列元素，则方程系统(1.12)中的第一个方程可以表示为：

t t t t p t p t t t w w f w f w f y f y f y f y ++++++++=---+-+-+1)1(111)1(110)(11)1(12)1(121)1(11 (1.13) 需要注意，在p 阶差分方程的解中需要知道p 个初值：),,,(21p y y y --- ，以及从时刻0开始时的所有外生变量的当前和历史数据：),,,(10t w w w 。

由于差分方程的解具有时间上的平移性，因此可以将上述方程(1.12)表示为： j t j t t j t j t j j t v v F v F v F F +-++--+++++++=11111 ξξ (1.14) 类似地，表示成为单方程形式：

j t j t t j t j p

t j p t j t j j t w w f w f w f y f y f y f y +-++--+-+-++++++++++=1)1(111)1(11)(11)1(12)1(121)1(11 (1.15)

利用上述表达式，可以得到p 阶差分方程的动态反应乘子为：

)(11j t

j t j f w y L =??=+， ,1,0=j 由此可见，动态反应乘子主要由矩阵j F 的首个元素确定。

例1.4 在p 阶差分方程中，可以得到一次乘子为：

111)1(1111φ===??=+F f w y L t

t 二次乘子为：

221211)2(1121φφ+===??=+F f w y L t

t 虽然可以进一步通过叠代的方法求出更高阶的反应乘子，但是利用矩阵特征根表示则更为方便，主要能够更为方便地求出矩阵j F 的首个位置的元素。

根据定义，矩阵F 的特征根是满足下述的λ值：

0||=-p I F λ (1.16) 一般情况下，可以根据行列式的性质，将行列式方程转换为代数方程。

例1.5 在二阶差分方程当中，特征方程为：

01)(21221=--=--φλφλλ

φλφ 具体可以求解出两个特征根为：

()22111421φφφλ++=，()

22112421φφφλ+-= (1.17) 上述特征根的表达式在讨论二阶线性差分方程解的稳定性时，我们还要反复用到。 距阵F 的特征根与p 阶差分方程表达式之间的联系可以由下述命题给出：

命题1.1 距阵F 的特征根满足下述方程，此方程也称为p 阶线性差分方程的特征方程： 012211=--------p p p p p φλφλφλφλ

证明：根据特征根的定义，可知特征根满足：

0001

00000

10

1)(||1321=???

????

?

?????

???----=--λφφλφλφλφλ

p p p I F

对上述行列式进行初等变化，将第p 列乘以)/1(λ加到第1-p 列，然后将第1-p 列乘以)/1(λ加到第2-p 列，依次类推，可以将上述行列式方程变化为对角方程，并求出行列式值为：

012211=--------p p p p p φλφλφλφλ

这便是所求的p 阶线性差分方程的特征方程。 END 如果知道p 阶线性差分方程的特征方程及其特征根，不仅可以分析差分方程的动态反应

乘子，而且可以求解出差分方程解析解的动态形式。

1.2.1 具有相异特征根的p 阶线性差分方程的通解

根据线性代数的有关定理，如果一个方阵具有相异特征根，则存在非奇异矩阵T 将其化为对角矩阵，且对角线元素便是特征根：

1-Λ=T T F ，),,(1p diag λλ =Λ (1.18)

这时矩阵F 的乘级或者幂方矩阵可以简单地表示为：

11)(--Λ=Λ=T T T T F j j j ，),,(1j p j j diag λλ =Λ (1.19)

假设变量ij t 和ij t 分别表示矩阵T 和1-T 的第i 行、第j 列元素，则可以将上述方程利用矩阵形式表示为：

?

?

?

?

?

?

????

???????????

???

?????????????

???=pp p p p p p j p j

j

pp p p p p j t t t t t t t t t t t t t t t t t t F

2

1

2222112

112

12

122221

112

1100

000000

λλλ

从中可以获得：

j

p

p j j j p

p p j j j c c c t t t t t t F λλλλλλ+++=+++= 2211112211211111)(11)()()( (1.19)

其中：11j j j t t c =， ,1,0=j ，如此定义的序列具有下述约束条件(自行证明)：

121=+++p c c c (1.20)

具有上述表达式以后，在差分方程的解：

j

t j t t j t j p

t j p t j t j j t w w f w f w f y f y f y f y +-++--+-+-++++

++

+

+++=1

)1(111)1(11

)

(11

)1(12)1(121)1(11 (1.15)

中可以得到动态乘子为：

j

p

p j j j t

j

t j c c c f w y L λλλ+++==??=+ 2211)(11， ,1,0=j (1.21) 究竟系数序列j c 取值如何，下述命题给出了它的具体表达式。 命题1.2 如果矩阵F 的特征根是相异的，则系数j c 可以表示为：

∏≠=--=

p

i

k k k i p i i c ,11

)

(λλλ (1.22)

证明：由于假设矩阵F 具有相异的特征根，因此对角化的非奇异矩阵可以由特征向量构造。令向量i t 为：

]1,,,[21'=--i p i p i i t λλλ ，p i ,,2,1 =

其中i λ是矩阵F 的第i 个特征根。

经过运算可以得到：

i i i t t F λ=

由此可知i t 是矩阵F 的对应特征根i λ的特征向量，利用每个i t 做列就可以得到矩阵T 。将矩阵p I T T =-1的第一列表示出来：

????????????????????=???????????????????

?????????????????????----------0000111111,1312111112

11

3323

1

2222111211

p p p p p p p p p p p p p p p t t t t t λλλλλλλλλλλλ 可以求解上述线性方程的解为：

)

())((11312111p t λλλλλλ---= ， )

())((12321211p t λλλλλλ---=

)())((112111----=p p p p t λλλλλλ

注意到：11i i i t t c =，p i ,,2,1 =，带入上述表达式即可得到结论。 END

例1.6 求解二阶差分方程：t t t t w y y y ++=--212.06.0

解：该方程的特征方程为：

02.06.02=--λλ

特征根为：

()84.0)2.0(4)6.0(6.02121=++=λ，()

24.0)2.0(4)6.0(6.02

122-=+-=λ 778.0)(2111=-=λλλc ，222.0)(1222=-=λλλc 此方程的动态乘子为：

j j j j t

j t j c c w y L )24.0(222.0)84.0(788.02211-+=+=??=+λλ， ,1,0=j 在上述乘子的作用过程中，绝对值教大的特征根决定了乘子的收敛或者发散过程。一般情形下，如果1λ是绝对值最大的特征根，则有：

11

)1(lim c w y j t j t j =??+∞→λ (1.23) 则动态乘子的收敛或者发散是以指数速度进行。

当一些特征根出现复数的时候，差分方程解的性质出现了新的变化，扰动反应函数将出现一定的周期性质。为此，我们讨论二阶差分方程的情形。

当04221<+φφ时，特征方程具有共扼复根，可以表示为：

bi a +=1λ，bi a -=2λ，

2/1φ=a ，2/1221)4)(2/1(φφ--=b

利用复数的三角函数或者指数表示法，可以将其写作：

)][exp(]sin [cos 1θθθλi R i R =+=，22b a R +=，a b /tan =θ

这时动态乘子可以表示为：

)][sin()()][cos()(21212211j R c c j R c c c c w y L j j j j t

j t j θθλλ-++=+=??=+ 对于实系统的扰动分析，上述反应乘子应该是实数。由于1c 和2c 也是共扼复数，因此有：

βαi c +=1，βαi c -=2

则有：

)][sin(2)][cos(2j R j R w y L j j t

j t j θβθα-=??=+ (1.24) 如果1=R ，即复数处于单位圆上，则上述动态乘子出现周期性变化，并且影响不会消失；如果1R ，即复数处于单位圆外，则上述动态乘子按照周期方式进行扩散，其作用将逐渐增强。

例1.7 求解二阶差分方程：t t t t w y y y +-=--218.05.0

解：该方程的特征方程为：

08.05.02=+-λλ

特征根为：

()i 86.025.0)8.0(4)5.0(5.02

121+=-+=λ， ()

i 86.025.0)8.0(4)5.0(5.02122-=--=λ 上述共扼复数的模为：

9.0)86.0()25.0(22=+=R

因为1

由此可知动态乘子的周期为：

9.42=θπ

由此可知动态乘子的时间轨迹上，大于4.9个时间阶段便出现一次高峰。

1.2.2 具有相异特征根的二阶线性差分方程的通解

针对具体的二阶线性差分方程，可以讨论解的性质与参数21,φφ之间的关系。

a. 当04221<+φφ时，参数取值处于抛物线2214φφ-=的下方。这时特征方程具有复特征根，且复数的模为：

2221212224/)4()2/(φφφφ-=+-=+=b a R

因此，当102<-<φ时，此时解系统是震荡收敛的；当12=-φ是震荡维持的；当12>-φ时是震荡发散的。

b. 当特征根为实数时，我们分析最大特征根和最小特征的性质。此时04221>+φφ，且

()()2211222111421421φφφλφφφλ+-=>++=()142

122111>++=φφφλ 当且仅当1112<<<-λλ时解及其动态反应乘子是稳定的。下面我们判断非稳定情形。如果：

()

142122111>++=

φφφλ 即： 1221124φφφλ->+=

求解可知，使得不等式11>λ成立的参数解为：

21>φ，或者，121φφ->

同理，使得不等式12-<λ成立的参数解为：

21-<φ，或者，121φφ+>

因此当特征方程具有相异实根的时候，稳定性要求参数落入抛物线上的三角形区域内。 c. 类似地可以说明，当特征方程具有相等实根的时候，即处于三角形内的抛物线上时，方程仍然具有稳定解，同时动态反应乘子也是收敛的。

1.2.3 具有重复特征根的p 阶线性差分方程的通解

在更为一般的情形下，矩阵F 可能具有重复的特征根，即具有重根。此时可以利用Jordan 标准型表示差分方程的解及其动态反应乘子。下面以二阶差分方程为例说明。

假设二阶差分方程具有重根，则可以将矩阵F 表示为：

101-??

????=T T F λλ 计算矩阵乘积得到：

110--??

????=T j T F j j j j λλλ 于是动态反应乘子可以表示为：

j j j t

j t j j k k f w y L λλ21)(11+==??=+ §1.3 长期和现值的计算

如果矩阵F 的所有特征根均落在单位圆内(即所有特征根的模小于1)，当时间间隔j 逐渐增大时，矩阵乘积j F 将趋于零矩阵。如果外生变量t w 和t y 的数据均是有界的，则可以利用t w 的所有历史数据表示差分方程的一个解：

++++=---332211t t t t t w w w w y ψψψ

其中)(11i i f =ψ，即矩阵j F 中的(1, 1)位置元素。可以在矩阵表示下，计算t w 的一个暂

时性变化形成的对t y 现值的影响。注意到利用向量求导得到：

j t j t F v ='

??+ξ 这样一来，现值影响乘子可以表示为：

10

0)(-∞=∞=+-=∑=??????∑'??F I F v p j j j j j t j t ββξβ 上述矩阵级数收敛的条件是F 所有特征根的模均小于1-β。此时，t w 的一个暂时性变

化形成的对t y 现值的影响是矩阵1)(--F I p β的(1, 1)元素，可以利用下述命题求出。

命题：如果F 所有特征根的模均小于1-β，则有： (1) t w 的一个暂时性变化形成的对t y 现值的影响乘子是： p p j j t j t y w βφβφβφβ----=???

???∑??∞=+ 221011 (2) t w 的一个暂时性变化形成的对t y 的持续影响乘子是：

p j t

j t w y φφφ----=∑

??∞=+ 21011

(3) 发生在t w 上的持续变化导致的累积影响乘子是：

p j t j t t j t t j t j w y w y w y φφφ----=

???

???????++??+??+++++∞→ 21111

lim 证明：我们首先证明：如果F 所有特征根的模均小于1-β，则矩阵1)(--F I p β存在。假设此时逆矩阵不存在，则有)(F I p β-的行列式为零，即

0||)(||1=--=--p p p I F F I βββ

上式说明1-β是F 的特征根，这与F 所有特征根的模均小于1-β的假设矛盾，因此可知逆矩阵1)(--F I p β存在。

下面我们求1)(--F I p β当中(1, 1)位置的元素。假设ij x 表示1)(--F I p β当中(i , j )位置的元素，则有：

?????

???????=????????????------??????????????-100

010001

100

001112

1212222111211

β

βφβφβφβφβp p pp p p p p x x x x x x x x x 仅仅考虑上述矩阵的第一行，则有：

[]

[]001100001112111211 =?

????

???????-------ββφβφβφβφβp p p x x x 对于上述矩阵通过右乘初等矩阵进行初等变换，例如对最后一列乘以β加到倒数第2

列，然后倒数第2列乘以β加到倒数第3列，依次类推，可以得到：

1)1(22111=----p p x βφβφβφ

从中可以求出11x ，即可以证明命题中的三个等式。

第二章 滞后算子及其性质

§2.1 基本概念

时间序列是以观测值发生的时期作为标记的数据集合。一般情况下，我们是从某个特定的时间开始采集数据，直到另一个固定的时间为止，我们可以将获得的数据表示为：

),,,(21T y y y

如果能够从更早的时间开始观测，或者观测到更晚的时期，那么上面的数据区间可以进一步扩充。相对而言，上述数据只是一个数据的片段，整个数据序列可以表示为：

+∞=-∞==t t t T y y y y }{),,,,,,(21

例2.1 (1) 时间趋势本身也可以构成一个时间序列，此时：t y t =；(2) 另一种特殊的时间序列是常数时间序列，即：c y t =，c 是常数，这种时间的取值不受时间的影响；(3) 在

随机分析中常用的一种时间序列是高斯白噪声过程，表示为：t t y ε=，+∞=-∞=t t t }{ε是一个独立

随机变量序列，每个随机变量都服从),0(2σN 分布。

时间序列之间也可以进行转换，类似于使用函数关系进行转换。它是将输入时间序列转换为输出时间序列。

例2.2 (1) 假设t x 是一个时间序列，假设转换关系为：t t x y β=，这种算子是将一个时间序列的每一个时期的值乘以常数转换为一个新的时间序列。(2) 假设t x 和t w 是两个时间序列，算子转换方式为：t t t w x y +=，此算子是将两个时间序列求和。

定义：如果算子运算是将一个时间序列的前一期值转化为当期值，则称此算子为滞后算子，记做L 。即对任意时间序列t x ，滞后算子满足：

1)(-≡t t x x L

类似地，可以定义高阶滞后算子，例如二阶滞后算子记为2L ，对任意时间序列t x ，二阶滞后算子满足：

22)]([)(-=≡t t t x x L L x L

一般地，对于任意正整数k ，有：

k t t k x x L -=)(

命题2.1 滞后算子运算满足线性性质：

(1) )()(t t x L x L ββ=

(2) )()()(t t t t w L x L w x L +=+

证明：(1) 利用滞后算子性质，可以得到：

)()(1t t t x L x x L βββ==-

(2) )()()(11t t t t t t w L x L w x w x L +=+=+--

由于滞后算子具有上述运算性质和乘法的交换性质，因此可以定义滞后算子多项式，它的作用是通过它对时间序列的作用获得一个新的时间序列，并且揭示这两个时间序列之间的关系。

显然，滞后算子作用到常数时间序列上，时间序列仍然保持常数，即：c c L =)(。 §2.2 一阶差分方程

利用滞后算子，可以将前面的一阶差分方程表示成为滞后算子形式：

t t t t t w y L w y y +=+=-φφ1

也可以表示为：

t t w y L =-)1(φ

在上述等式两边同时作用算子：)1(22t t L L L φφφ++++ ，可以得到：

t t t t t t w L L y L L L )1()1)(1(φφφφφ+++=-+++

计算得到：

t t t t t t w L L y L )1()1(11φφφ+++=-++

利用滞后算子性质得到：

0111w w w y y t t t t t φφφ+++++=--+

上述差分方程的解同利用叠代算法得到的解是一致的。

注意到算子作用后的等式：

t t t t t t y y y L L L 1)1)(1(+-=-+++φφφφ

如果时间序列t y 是有界的，即存在有限的常数M ，使得任意时间均有：M y t ≤||，并且1||<φ，则上式当中的尾项随着时间增加趋于零。从而有：

t t t t t y y L L L =-+++∞→)1)](1[(lim φφφ

如果利用“1”表示恒等算子，则有：

1)1)](1[(lim =-+++∞

→L L L t t t φφφ 记：

)]1[(lim )1(1t t t L L L φφφ+++=-∞

→- 因此得到了“逆算子”的表达式，这类似于以滞后算子为变量的函数展开式。 定义2.1：当1||<φ时，定义算子)1(L φ-的逆算子为1)1(--L φ，它满足：

(1) I L L L L =--=----)1()1()1)(1(11φφφφ

其中I 表示单位算子，即对任意时间序列t y ，有：t t y y I =)(

(2) 在形式上逆算子可以表示为：

∑=-∞

=-01)1(j j j L L φφ

这表示逆算子作为算子运算规则是：对于任意时间序列t y ，有：

∑=∑=-∞

=-∞=-001)()1(j j t j j t j j t y y L y L φφ

φ

当1||≥φ时，逆算子1)1(--L φ的定义以后讨论。

如果时间序列t y 是有界的，则一阶差分方程的解可以表示为：

∑=+++=∞=---0

22

1j j t j t t t t w w w w y φφφ 可以验算上述表达式确实满足一阶线性差分方程。但是解并惟一，例如对于任意实数0a ，下述形式的表达式均是方程的解。

∑+=∞

=-00j j t j t t w a y φφ

上述差分方程的解中含有待定系数，这为判断解的性质留出一定的余地。 §2.3 二阶差分方程

我们考察二阶差分方程的滞后算子表达式：

t t t t w y y y ++=--2211φφ

将其利用滞后算子表示为：

t t w y L L =--)1(221φφ

对二阶滞后算子多项式进行因式分解，即寻求1λ和2λ使得：

])(1[)1)(1()1(2212121221L L L L L L λλλλλλφφ++-=--=--

显然1λ和2λ是差分方程对应的特征方程的根：

0212=--φλφλ

当特征根1λ和2λ落在单位圆内的时候(这也是差分方程的稳定性条件)，滞后算子多项式分解为：

++++=--331

2211111)1(L L L L λλλλ， ++++=--3322222121)1(L L L L λλλλ

这时二阶差分方程解可以表示为：

t t w L L y 1211)1()1(----=λλ

注意到算子分式也可以进行分项分式分解(如此分解需要证明，参见Sargent ，1987，p. 184)：

???

? ??----=--)1()1()(1)1)(1(122112121L L L L λλλλλλλλ 将上述表达式带入到二阶差分方程解中：

()

++++++=+++++++-=???? ??----=--222221112211212222221121221121)()()(11)

(1)1()1()(1t t t t t t w c c w c c w c c w L L L L w L L y λλλλλλλλλλλλλλλλ 其中：2111λλλ-=c ，1

222λλλ-=c 利用上述公式，可以得到外生扰动的动态反应乘子为：

j j t

j t c c w y 2211λλ+=??+， ,1,0=j 上述利用滞后算子运算得到的乘数与以前所得完全一致。

例2.3 对于二阶差分方程而言，其特征方程是：

0212=--φλφλ

得到特征根为：

)4(212111φφφλ++=，)4(2

12112φφφλ+-=

上述方程的稳定性与滞后算子多项式的根落在单位圆内是一致的。

§2.4 p 阶差分方程

上述算子多项式的分解方法可以直接推广到p 阶差分方程情形。将p 阶差分方程表示成为滞后算子形式： t t p p w y L L L =----)1(221φφφ

将上式左端的算子多项式分解为：

)1()1)(1()1(21221L L L L L L p p p λλλφφφ---=----

这相当于寻求),,(1p λλ 使得下述代数多项式恒等：

)1()1)(1()1(21221z z z z z z p p p λλλφφφ---=----

定义1-=z λ，则可以将上述多项式表示成为：

)())(()(212211p p p p p λλλλλλφλφλφλ---=------

这意味着算子多项式的分解，就相当于求出差分方程特征方程的根。

如果差分方程的根相异，且全部落在单位圆内，则可以进行下述分式分解：

)

1()1()1()1()1)(1(1121121L c L c L c L L L p p p λλλλλλ-++-+-=--- 通过待定系数法，可以得到上述分式中的参数为：

112111

----+++=p

p p p p i i c λλλλ ，p j ,,2,1 =

显然有：

121=+++p c c c

利用上述算子多项式分解，可以得到差分方程的解为：

+++++++++++++=++++++++++++=-++-+-=----=--j p j p p j j p p p p p t

p p p t

t t p p t t t p p t w c c c w c c c w c c c w L L c w L L c w L L c w L c w L c w L c w L L L y )()()()1()1()1()1()1()1()

1(1221112211212222222221112211221λλλλλλλλλλλλλλλφφφ 通过上述方程通解，可以得到动态反应乘子为：

j p p j j t

j t c c c w y λλλ+++=??+ 2211， ,2,1=j 命题2.1 外生变量t w 对t y 现值的影响和外生变量t w 持续扰动对t y 的动态影响乘子是： p p

j j t j t y w βφβφβφβ----=??? ??∑??∞=+ 221011 p j t j t t j t t j t j w y w y w y φφφ----=???????

???++??+??+++++∞→ 21111lim 证明：将差分方程的解表示为：

+++=--33221t t t t w w w y ???，

其中：

][11j p p j j c c λλ?++= ， ,2,1=j

设：

++++=332210)(L L L L ?????

利用算子多项式表示：

t t w L y )(?=

t w 对t y 现值的影响可以表示为：

∑==∑??=??? ??∑??∞=∞=+∞=+00

0)(j j j j t j t j

j j t j t w y y w β??βββ 注意到：

11332210)]1()1[()(---=++++=L L L L L L p λλ?????

因此有：

122111]1[)]1()1[()(------=--=p p p βφβφβφβλβλβ?

长期乘数相当于1=β的情形，从而得到公式所示的公式。

上述命题结论是利用滞后算子多项式推导的，其结论同利用差分方程矩阵表示所得到的结论是一致的。

§2.5 初始条件和无界序列

假设给定下述线性差分方程：

t p t p t t t w y y y y ++++=---φφφ 2211

一般情况下，求解p 阶差分方程的特解，需要p 个初值：p y y y ---,,,21 ，也需要外生

变量的一个输入序列：t w w w ,,,10 ，这样一来根据差分方程结构，便可以确定t y 的时间路径。但是，在一些常见的经济或者金融时间序列当中，无法给定具体的初值或者完整的外生输入变量，那么这时差分方程解的性质如何？

例2.4 假设变量t P 表示股票价格，t D 表示股票派发的红利。如果一个投资者在时刻t 买入股票，然后在时刻1+t 卖出股票，则他将获得实际红利收入t t P D /1+和价格收益t t t P P P /)(1-+，因此投资者的收益率为：

t t t t t t P D P P P r //)(111++++-=

在简单的股票市场模型当中，假设收益率是常数，则上述方程可以转化为股票价格的差分方程模型：

t t t D P r P -+=-1)1(

如果知道红利序列},,,{21t D D D 和股票价格的初值0P ，则可以得到股票价格路径为： t t t t t D D r D r P r P --+-+-+=-- 22110)1()1()1(

但是如果仅仅知道红利序列，而不知道股票价格初值，则可能有很多价格轨迹满足价格的差分方程。为了说明这个问题，进一步假设红利为常数，则有：

)

/()]/([)1()

1(1)1(1)1(]

1)1()1[()1(00210r D r D P r D r r P r r r D P r P t t t t t t t +-+=+-+--+=+++++-+=-- (1) 如果初始时期股票价格等于红利贴现，即r D P /0=，则有：

r D P t /=， ,2,1,0=t

此时股票价格保持常数，股价等于红利除以收益率。这种股票价格被称为在收益率是常数情形的股价基础成分。

(2) 假设初始股价超过了r D /，即r D P /0>，这时股票价格出现了扩散现象，这与资产定价理论相符。因为为了保持资产收益率不变，股票的价格就会出现持续上升，同时假设红利是固定的，红利带来的实际收益减少将被股价的加速增长所弥补，这样就出现了股票价格膨胀的现象，即出现股票价格泡沫。

(3) 为了消除股价当中的投资泡沫，一种方法是对股票价格路径给予有界性限制。例如，假设对于所有时期的股票价格满足：

P P t ≤， ,2,1,0=t

这样一来，满足上述约束的股票价格路径便是常数的市场基础价格。

上面假设了常数红利，现在假设红利序列是有界的。将股价表示为：

][1111++++=t t t D P r

P 进行向前叠代运算有： 11111111111+-+-++??????+++??

????++??????++??????+=t T t T T t T T t T t D r D r D r P r P 如果价格序列}{t P 满足约束条件：

011lim =??

????++∞→T t T T P r 在假设}{t D 和}{t P 均是有界序列，则得到股票价格水平满足：

∑??????+=∞=+011j j t j

t D r P 这是红利随时间变化时股票价格的市场基础成分。

需要注意的是，对于上述情形的市场基础成分，需要投资者对于未来红利具有完全预期。当引入预期红利时，上述表达式仍然适用，这时可以修改为：

∑??

????+=∞=+0)(11j j t t j

t D E r P 利用红利预期的股价公式，可以确定价格初值0P ： ∑??????+=∞=0011j j j

D r P 如此初值是否满足一般的股价模型，我们可以代入到具有初值的确定解中验证： t t t t t D D r D r P r P --+-+-+=-- 22110)1()1()1(

将0P 代入上式后得到：

∑??????+=∞=+011j j t j

t D r P 这正是在边界条件下所推导的向前预期解，由此可见该解与初值选择是吻合的。 例2.5 我们继续利用滞后算子方法讨论股票价格路径的性质。利用算子表示为：

t t D P L r -=+-])1(1[

在上述表达式中，滞后算子多项式的特征根小于1，无法采用逆算子的一般表达式，为此我们需要采取新的定义。

定义滞后算子L 的逆算子为1-L ，具有性质：

(1) I L L L L ==--11

(2) 11)(+-=t t y y L

这样一来，滞后算子乘积就具有幂乘的性质：

对于任意正整数i 和j ，有：j i j i L L L --=

对方程(2.12)两端乘以算子多项式：

??

????+++++++-----)1(1221)1(1)1(1)1(11T T L r L r L r 整理得到：

[]T t T

t t t T T D r D r D r P L r ++--++++++=++)1(1)1(1)1(1)1(112 当0>r ，且红利序列是有界的，则上述极限为：

∑+=∞=+0)

1(1j j t j t D r P 根据上述运算，可以定义下述算子的逆算子：

??

????+++++??????+-=+- 22)1(1)1(11)1(1)1(11L r L r L r L r

§2.6 差分方程的求解方法

上面我们主要论述了差分方程的表示和外生扰动的动态乘子，下面我们给出差分方程的一般求解过程。

第一步：构造p 阶齐次差分方程，并且寻求齐次方程的p 个解：h ti

y ，p i ,2,1 = 第二步：构造p 阶非齐次差分方程的特解。

第三步：齐次方程p 个解的线性组合加上非齐次方程的一个特解，得到非齐次方程的通解。

第四步：根据给定的边界条件，确实通解当中的未知参数，得到非齐次方程的确定解。

2.6.1 齐次差分方程的通解和稳定性

p 阶齐次差分方程的形式是：

p t p t t t y y y y ---+++=φφφ 2211

命题2.1 (1) 如果h t y 是方程的解，则对任意常数A ，h t y A 也是解。

(2) 如果h t

y 1和h t y 2是方程的解，则对任意实数1A 和2A ，h t h t y A y A 2211+也是方程的解。 证明：留做练习。

对于p 阶齐次差分方程，我们尝试地检验解的形式是：t h t A y λ=，代入差分方程为： 012211=--------p p p p p φλφλφλφλ

由此可见，λ应该是上述特征方程的根。因此，如果差分方程具有相异实数根的时候，可以得到p 个解为：t i h t i y λ=，p i ,2,1 =，此时解的稳定性要求所有根落在单位圆内。

命题2.2 (1) 齐次方程所有特征根落在单位圆内的必要条件是：∑<=p

i i 11φ；(2) 齐次方程

所有特征根落在单位圆内的充分条件是：∑<=p

i i 11||φ；(3) 齐次方程至少具有一个单位根的充

要条件是：∑==p

i i 11φ

如果齐次方程的特征根出现重根，则应该寻求多项式与指数函数乘机形式的解。例如，

如果二阶齐次差分方程具有重根，则两个解应该分别是t h t y 11λ=，t h t t y 12λ=。

2.6.2 非齐次差分方程的特解

如何寻求非齐次线性差分方程的特解，需要根据非齐次项的具体性质判断。

(1) 指数形式的非齐次项

此时方程形式是：

rt t t d b y y ++=-110φφ

可以尝试特解形式为：rt p t d c c y 10+=，可以求解出特解为：

rt r r p t d d bd y )]/([)]1/([110φφφ-+-=

如果11=φ，尝试解的形式为：rt p t d c t c y 1+=；如果r d =1φ，可以选取其他形式的尝试解。

(2) 确定性时间趋势

此时方程形式是：

d p

i i t i t t b y y +∑+==-10φφ

此时尝试解的形式选为：

d d p t t c t c c y +++= 10

第三章 平稳ARMA 过程

一元ARMA 模型是描述时间序列动态性质的基本模型。通过介绍ARMA 模型，可以了解一些重要的时间序列的基本概念。

§3.1 预期、平稳性和遍历性

3.1.1 预期和随机过程

假设可以观察到一个样本容量为T 的随机变量t Y 的样本：

},,,{21T y y y

这意味着这些随机变量之间的是相互独立且同分布的。

例3.1 假设T 个随机变量的集合为：},,,{21T εεε ，),0(~2σεN i 且相互独立，我们称其为高斯白噪声过程产生的样本。

对于一个随机变量t Y 而言，它是t 时刻的随机变量，因此即使在t 时刻实验，它也可以具有不同的取值，假设进行多次试验，其方式可能是进行多次整个时间序列的试验，获得I 个时间序列：

+∞=-∞=t t t y }{)1(，+∞=-∞=t t t y }{)2(，…，+∞=-∞=t t I t y }{)(

将其中仅仅是t 时刻的观测值抽取出来，得到序列：},,,{)()2()1(I t t t y y y ，这个序列便是对随机变量t Y 在t 时刻的I 次观测值，也是一种简单随机子样。

定义3.1 假设随机变量t Y 是定义在相同概率空间},,

{P Ω上的随机变量，则称随机变

量集合},2,1,0,{ ±±=t Y t 为随机过程。

例3.2 假设随机变量t Y 的概率密度函数为：

]21exp[21)(22t t Y y y f t σσ

π= 此时称此时密度为该过程的无条件密度，此过程也称为高斯过程或者正态过程。 定义3.2 可以利用各阶矩描述随机过程的数值特征：

(1) 随机变量t Y 的数学期望定义为(假设积分收敛)：

?==+∞∞-t t Y t t t dy y f y Y E t )()(μ 此时它是随机样本的概率极限：

∑==∞→I i i t I t y I P Y E 1

)(1lim )( (2) 随机变量t Y 的方差定义为(假设积分收敛):

20)(t t t Y E μγ-=

例3.3 (1) 假设},,{21 εε是一个高斯白噪声过程，随机过程t Y 为常数加上高斯白噪声过程：t t Y εμ+=，则它的均值和方差分别为：

μεμμ=+==)()(t t t E Y E

2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E

(2) 随机过程t Y 为时间的线性趋势加上高斯白噪声过程：t t t Y εβ+=，则它的均值和方差分别为：

t E t Y E t t t βεβμ=+==)()(

2220)()(σεμγ==-=t t t t E Y E

3.1.2 随机过程的自协方差

将j 个时间间隔的随机变量构成一个随机向量),,(1'=--j t t t t Y Y Y X ，通过随机试验可以获得该随机向量的简单随机样本。假设函数),,,(1),,(1j t t t Y Y Y y y y f j t t t ---- 为随机向量t X 的

联合概率分布密度，则可以类似地定义：

定义3.3 随机过程t Y 的自协方差定义为：

)])([(j t j t t t t j Y Y E ----=μμγ

上述协方差可以利用联合概率分布密度求解。

3.1.3 平稳性

定义：假设随机过程t Y 的均值函数t μ和协方差函数t j γ与时间t 无关，则称此过程是协方差平稳过程，也称为弱平稳过程。此时对任意时间t 有：

μ=t EY

j j t t Y Y E γμμ=---)])([(

例3.4 (1) 假设随机过程t Y 为常数加上高斯白噪声过程：t t Y εμ+=，则它的均值和方差与时间无关，因此该过程是协方差平稳过程。

(2) 假设随机过程t Y 为时间的线性趋势加上高斯白噪声过程：t t t Y εβ+=，则它的均值为：t E t Y E t t t βεβμ=+==)()(，它依赖时间t ，因此它不是协方差平稳过程。

由于协方差平稳过程仅仅依赖时间间隔，因此有：

j j -=γγ

定义：假设随机过程t Y 满足条件：对于任意正整数值n j j j ,,,21 ，随机向量),,,(21n j t j t j t Y Y Y +++ 的联合概率分布只取决于时间间隔n j j j ,,,21 ，而不依赖时间t ，则称该过程是严格平稳过程，简称为严平稳过程。

如果一个随机过程是严平稳过程，而且具有有限的二阶矩，则该过程一定是协方差平稳过程，即宽平稳过程。但是，一个宽平稳过程却不一定是严平稳过程。

例 3.4 假设随机过程t Y 是具有高斯分布的高斯过程，如果该过程是宽平稳过程，则此过程一定是严平稳过程。

3.1.4 遍历性

遍历性是时间序列中非常重要的。对于时间序列而言，我们可以得到一个随着时间顺序

的样本观测值：),,,()1()1(2)1(1T y y y ，对此可以得到一个时间平均值：

∑==T t t y T y 1

)1(1 定义：假设时间序列t Y 是一个平稳过程，如果时间平均值按照概率收敛到总体平均值，则称该随机过程是关于均值遍历的。

遍历性是平稳时间序列非常重要的一个性质，如果一个平稳时间序列是遍历的，那么它在每个时点上的样本矩性质(均值和协方差等)就可以在不同时点上的样本中体现出来。这就是遍历性的含义。

定理：如果一个协方差平稳过程，如果自协方差函数满足：

∞<∑∞

=0||j j γ 则随机过程是关于均值遍历的。

定义：假设时间序列t Y 是一个协方差平稳过程，如果样本协方差按照概率收敛到总体协方差，即

j P T j t j t t Y Y j T γμμ?→?∑---+=-1))((1

则称该过程是关于二阶矩遍历的。高阶矩遍历意味着过程不同时间上的统计性质更接近同一时点上的随机抽样性质。

例3.4 如果随机过程t Y 是高斯协方差平稳过程，则它是均值遍历过程，也是二阶矩遍历过程。

一般情况下，平稳性和遍历性之间没有必然联系，下面的例子可以说明这一点。 例3.5 假设随机过程t Y 的均值过程满足：

t i i t Y εμ+=)()(

其中均值满足：),0(~2)(λμN i ，t ε是)(i μ独立的白噪声过程。

因为

0)(][)()(=+==t i i t t E Y E εμμ

222)(0)(σλεμγ+=+=t i t E

2)()())((λεμεμγ=++=-j t i t i t j E ，0≠j

上式表明，该过程是协方差平稳过程，但是由于

t i P T t t i T t i t T Y T μμεμμ≠?→?∑+=∑-==)(1

)(1)()(1)(1 因此，该过程不是均值遍历过程。

§3.2 移动平均过程

3.2.1 一阶移动平均过程

假设}{t ε是白噪声过程，考虑下述随机过程：

1-++=t t t Y εθεμ

其中μ和θ是任意常数。由于这个随机过程依赖最近两个时间阶段的t ε的加权平均，因此称此过程为一阶移动平均过程，表示为)1(MA 。下面我们通过求解)1(MA 过程的均值函数和协方差函数来说明它是一个宽平稳过程。

求解均值函数为：

μεθεμμ=++==-)()(1t t t t E Y E

一阶自协方差为：

2

2121111)

()]

)([()]

)([(σθεθεθεεθεμμγ==++=--=-----t t t t t t t t E E Y Y E

对于更高阶的自协方差，则有：

)])([()])([(11=++=--=-----j t j t t t j t t jt E Y Y E εθεεθεμμγ

上述结果表明，)1(MA 过程是一个平稳随机过程。

注意到：

∞<++=∑∞=||)1(||2220σθσθγj j

因此，)1(MA 也是均值遍历过程。

定义：将协方差平稳过程的第j 个自相关系数表示为j ρ，则有：

0/γγρj j =

根据相关系数的定义：

000)()()

,(γγγγγρj j

j t t j t t j Y Var Y Var Y Y Cov ===--

根据Cauchy-Schwarz 不等式，可知所有自相关系数绝对值不会超过1。

对于MA(1)过程而言，它的自相关系数为：

1,0;1,121>==+=j j j ρθ

θρ 自相关系数也被称为自相关函数，它度量随着时间间隔的变化，随机过程不同时点之间的相关性。即使具有相同的自相关函数，所对应的随机过程性质可能也是不同的。

3.2.2 q 阶移动平均过程

推广MA(1)过程中的滞后阶数，可以得到下面表示为)(q MA 的q 阶移动平均过程： q t q t t t t Y ---+++++=εθεθεθεμ 2211

其中残差仍然是白噪声过程，系数可以是任意实数。

(1) )(q MA 过程的均值

直接计算均值函数为：

μεθεθεθεμ=+++++=---)(2211q t q t t t t E EY

(2) )(q MA 过程的自协方差

首先计算方差为：

2222212

22110)1()(σθθθεθεθεθεγq q t q t t t E ++++=++++=---

其次计算自协方差，当时间间隔q j ≤时：

2

111111)()]

)([(σθθθθθεθεθεεθεθεγj q q j j q j t q j t j t q t q t t j E -+-------+++=++++++=

当时间间隔q j >时，则有： 0

)]

)([(1111=++++++=-------q j t q j t j t q t q t t j E εθεθεεθεθεγ

对于)2(MA 过程而言，则有：

222210)1(σθθγ++=，

21211)(σθθθγ+=，

222σθγ=，

0=j γ，2>j 显然，对于任意阶数的移动平均过程，均是协方差平稳的。因此，移动平均过程的平稳性对于参数没有任何要求。

(3) )(q MA 过程的自相关函数

根据自相关函数(ACF 函数)的定义，可以得到)(q MA 过程的自相关函数为：

22

21121

11θθθθθρ+++= 2221221θθθρ++=

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