考研数学一概率统计86-10年真题

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.

(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.

X的数学期望为(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为则1?x2?2x?1f(x)?e,____________,X的方差为____________.

?

十一、（本题满分6分）

设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为

fX(x)?10?x?10其它,Yf(y)?e?yy?00y?0,

求Z?2X?Y的概率密度函数.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19/27则事件A在一次试验中出现的概率是____________.

(2)若在区(0,1)间内任取两个数,则事件”两数之和小于6/5”的概率为____________. (3)设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知

?(x)??x??1e2??u22du,?(2.5)?0.9938,

则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.

十一、（本题满分6分） 设随机变量密度函数

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知随机事件A的概率P(A)?0.5,随机事件B的概率P(B)?0.6及条件概率

的概率密度函数

XfX(x)?fY(y).1,2?(1?x)3为求随机变量Y?1?X的概率

P(B|A)?0.8,则和事件A?B的概率P(A?B)=____________.

(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________.

2x(1,6)?(3)若随机变量在上服从均匀分布,则方程??x?1?0有实根的概率是_______十

一、（本题满分6分）

设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标准差(均方差)为准正态分布.试求随机变量Z?2X?Y?3的概率密度函数.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知随机变量X的概率密度函数

2的正态分布,而Y服从标

f(x)?1?xe,???x???2

则X的概率分布函数F(x)=____________.

(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概率P(AB)=____________.

(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布,

2ke?2P{X?k}?,k?0,1,2,?,k!E(Z)即则随机变量Z?3X?2的数学期望=____________. 十一、（本题满分6分） 设二维随机变量(X,Y)在区域

D:0?x?1,y?x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度

函数及随机变量Z?2X?1的方差D(Z).

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)若随机变量X服从均值为2、方差为?2的正态分布,且P{2?X?4}?0.3,则P{X?0}=____________. (2)随机地向半圆0?y?2ax?x2(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与

区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为____________. 十一、（本题满分6分）

?4f(x,y)?(X,Y)的密度函数为

2e?(x?2y) x?0,y?00 其它设二维随机变量

求随机变量Z?X?2Y的分布函数.

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)已知P(A)?P(B)?P(C)?不发生的概率为____________.

(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望E{X?e?2X11,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?,则事件A、B、C全46}=____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X与Y独立,X服从正态分布N(?,?),Y服从[??,?]上的均匀分布,试求

Z?X?Y的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数?表示,其中

2?(x)?12??x??e?t22dt).

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.

(2)设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量Y?X2在(0,4)内的概率分布密度

fY(y)=____________.

十一、（本题满分6分）

设随机变量X的概率分布密度为f(x)?(1)求X的数学期望EX和方差DX.

(2)求X与X的协方差,并问X与X是否不相关?(3)问X与X是否相互独立?为什么? 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)?P(AB),且P(A)?p,则P(B)=____________. (2)设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布率,且X的分布率为

X 1?xe,???x???. 20 1 P 1 21 2则随机变量Z?max{X,Y}的分布率为____________. 十一、（本题满分6分）

设随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,3)和N(0,4),且X与Y的相关系数?xy??,设Z?2212XY?, 32(1)求Z的数学期望EZ和DZ方差. (2)求X与Z的相关系数?xz.

(3)问X与Y是否相互独立?为什么?

十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4, 则X2的数学期望E(X)=____________. (2)设X和Y为两个随机变量,且P{X?0,Y?0}?则P{max(X,Y)?0}?____________.

234,P{X?0}?P{Y?0}?, 77十一、（本题满分6分）

e?xx?0设随机变量X的概率密度为fX(x)?,求随机变量Y?eX的概率密度fY(y).

0x?0十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)

(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是____________.

(2)设?,?是两个相互独立且均服从正态分布N(0,(1)2)的随机变量,则随机变量

2???的数学期望E(???)=____________.

十一、（本题满分6分）

设?,?是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知?的分布率为

1P(??i)?,i?1,2,3.

3又设X?max(?,?),Y?min(?,?).

(1)写出二维随机变量的分布率: XY 1 2 3 (2)求随机变量X的数学期望E(X). 1 2 3 九、（本题满分7分）

从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是.设X为途中遇到红灯的次数,求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望. 十、（本题满分5分）

25(??1)x?0?x?1设总体X的概率密度为f(x)?其中???1是未知参数X1,X2,..Xn是来自

其它0总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求?的估计量. (5)设平面区域D由曲线y?

12及直线y?0,x?1,x?e所围成,二维随机变量(X,Y)在区域x

D上服从均匀分布,则(X,Y)关于X的边缘概率密度在x?2处的值为_____________.

(5)设A,B是两个随机事件,且0?P(A)?1,P(B)?0,P(B|A)?P(B|A),则必有

(A)P(A|B)?P(A|B) (C)P(AB)?P(A)P(B) 十三、（本题满分6分）

设两个随机变量X,Y相互独立,且都服从均值为0、方差为的正态分布,求随机变量X?Y的方差. 十四、（本题满分4分）

(B)P(A|B)?P(A|B) (D)P(AB)?P(A)P(B)

12从正态总体N(3.4,6)中抽取容量为n的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大?

?(x)?附:标准正态分布表

z 1.28 1.645 2?z??1?t2edt2?1.96 0.975 2.33 0.990 2?(x) 0.900 0.950 十五、（本题满分4分）

设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附:t分布表 0.95 0.975 P{t(n)?tp(n

?p35 36 1.6896 1.6883 2.0301 2.0281 5)设A,B是两个随机事件,且0?P(A)?1,P(B)?0,P(B|A)?P(B|A),则必有 (A)P(A|B)?P(A|B) (C)P(AB)?P(A)P(B)

(B)P(A|B)?P(A|B) (D)P(AB)?P(A)P(B)

(5)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则

1 21(C)P{X?Y?0}?

2(A)P{X?Y?0}?十二、(本题满分8分)

1 21(D)P{X?Y?1}?

2(B)P{X?Y?1}?

设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布率及关于X和关于Y的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X Y y1 y2 1 8 y3 P(X?xi)?pi? 1 x1 x2 P(Y?yi)?p?j 十三、(本题满分6分)

1 81 6

?6x?(??x) 0< x??设X的概率密度为f(x)???3,X1,X2,?,Xn是取自总体X的简单

??0 其它?.(2)求??的方差D(??). 随机样本(1)求?的矩估计量?(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生

A不发生的概率相等,则P(A)=_____________.

19(5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量??X?Y与??X?Y不相关的充分必要条件为

(A)E(X)?E(Y) (B)E(X)?[E(X)]?E(Y)?[E(Y)] (C)E(X)?E(Y) 十二、(本题满分8分)

某流水线上每个产品不合格的概率为,

222222

2

(D)E(X)?[E(X)]?E(Y)?[E(Y)]

222p(0?p?1)各产品合格与否相对独立,当出现1

个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望E(X)和方差D(X). 十三、(本题满分6分)

设某种元件的使用寿命X的概率密度为,知参数.又设

?2e?2(x??)x??f(x;?)??其中??0为未

x???0x1,x2,?,xn是X的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.

(5)D(X)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计

P{X?E(X)?2}? _____________.

(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y相关系数为

(A) -1

(B)0(C)

1 2(D)1

十一、(本题满分7分)

设某班车起点站上客人数X服从参数为?(??0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为p(0?p?1),且中途下车与否相互独立.Y为中途下车的人数,求:

(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率. (2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.

十二、(本题满分7分)

设X~N(?,?)抽取简单随机样本X1,X2,?,X2n(n?2),

n12n样本均值X?Xi,Y??(Xi?Xn?i?2X)2,求E(Y). ?2ni?1i?12(5)设随机变量X~N(?,?),且二次方程y?4y?X?0无实根的概率为0.5,则?=_____________.

(5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为fX(x)和fY(y),分布函数分别为FX(x)和FY(y),则

(A)fX(x)＋fY(y)必为密度函数 (B) fX(x)fY(y)必为密度函数 (C)FX(x)＋FY(y)必为某一随机变量的分布函数 (D) FX(x)FY(y)必为某一随机变量的分布函数.

十一、(本题满分7分)

设维随机变量X的概率密度为

22f(x)?1xcos 0?x?x220 其它对X独立地重复观察4次,用Y表示观察值大于的次数,求Y2的数学期望. 十二、(本题满分7分)

设总体X的概率分布为 X 0 P ?31 2 3 1?2? ?2 2?(1??) ?2 其中?(0???1)是未知参数,利用总体X的如下样本值 26x0?x?y?1,则

0其它求?的矩估计和最大似然估计值.31303123

(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)?P{X?Y?1}? .

(6)已知一批零件的长度X(单位:cm)服从正态分布N(?,1),从中随机地抽取16个零件,得到长度的平均值为40 (cm),则?的置信度为0.95的置信区间是 .

(注:标准正态分布函数值?(1.96)?0.975,?(1.645)?0.95.)

(6)设随机变量X~t(n)(n?1),Y?(A)Y~?(n) (C)Y~F(n,1)

21,则 X2

(B)Y~

?2(n?1)

(D)Y~F(1,n)

十一、(本题满分10分)

已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:

(1)乙箱中次品件数的数学期望.(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.

十二、(本题满分8分) x??2e?2(x??)设总体X的概率密度为 f(x)?x?00 其中??0是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn,记

??min(X,X,?,X).(1)求总体X的分布函数F(x). ?12n(2)求统计量??的分布函数F??(x).(3)如果用??作为?的估计量,讨论它是否具有无偏性. (6)设随机变量X服从参数为?的指数分布,则P{X?DX}= __________ .

(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的?(0???1),数u?满足P{X?u?}??,若P{X?x}??,则x等于

(A)u? (B)u21??2(C)u1??

2(D) u1??

1n(14)设随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布,且其方差为??0.令Y??Xi,则(A)

ni?12?2n?12n?22Cov(X1,Y)?(B)Cov(X1,Y)??2 (C)D(X1?Y)?? ?D(X1?Y)?nnn(22)(本题满分9分)

设A,B为随机事件,且P(A)?111,P(B|A)?,P(A|B)?,令 432?1,B发生,?1,A发生, Y??X??0,0,B不发生.A不发生;??求:(1)二维随机变量(X,Y)的相关系数?XY.

(23)(本题满分9分)

设总体X的分布函数为

的概率分布. (2)X和Y1??1??,x?1,F(x,?)??xx?1,??0,

其中未知参数??1,X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本,

求:(1)?的矩估计量.(2)?的最大似然估计量.

(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数,记为Y, 则P{Y?2}=____________.

(13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 X Y 0 0 0.4 1 a 1 0.1 b 已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立,则 (A)a?0.2,b?0.3 (C)a?0.3,b?0.2

(B)a?0.4,b?0.1

(D)a?0.1,b?0.4

(14)设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,S2为样本方差,则

(A)nX~N(0,1)

(B)nS~

(D)

2?2(n)

~F(1,n?1)

(n?1)X(C)~t(n?1)

S(n?1)X12?Xi?2n2i(22)(本题满分9分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

10?x?1,0?y?2x f(x,y)?0其它求:(1)(X,Y)的边缘概率密度

fX(x),fY(y).

(2)Z?2X?Y的概率密度fZ(z). (23)(本题满分9分)

设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,记

Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.

求:(1)Yi的方差DYi,i?1,2,?,n. (2)Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

(6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则

P?max{X,Y}?1?=.

(13)设A,B为随机事件,且P(B)?0,P(A|B)?1,则必有 (A)P(A?B)?P(A) (B)P(A?B)?P(B) (C)P(A?B)?P(A) (D)P(A?B)?P(B)

2(14)设随机变量X服从正态分布N(?1,?12),Y服从正态分布N(?2,?2),

且P{|X??1|?1}?P{|Y??2|?1},则

(A)?1??2 (C)?1??2

(B)?1??2 (D)?1??2

(22)(本题满分9分)

?1?2,?1?x?0??1随机变量x的概率密度为fx?x???,0?x?2令y?x2,F?x,y?为二维随机变量

?4?0,其它??(X,Y)的分布函数.

(1)求Y的概率密度fY?y?. (2)F???1?,4?. 2??(23)(本题满分9分)

设总体X0?x?1?的概率密度为F(X,0)?1??1?x?2,其中?是未知参数(0???1),

0其它X1,X2...,Xn为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值x1,x2...,xn中小于1的个数,求?的最大似然估计.

(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p?0?p?1?,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为

(A)3p(1?p) (C)3p(1?p)

222

(B)6p(1?p) (D)6p(1?p)

222

(10)设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示

X,Y的概率密度,则在Y?y的条件下,X的条件概率密度fX|Y(x|y)为

(A)fX(x) (B)fY(y)

(C)fX(x)fY(y)

(D)

fX(x) fY(y)1的概率为2(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于________.

(23)(本题满分11分)

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

?2?x?y,0?x?1,0?y?1 f(x,y)??0,其他?(1)求P{X?2Y}.

(2)求Z?X?Y的概率密度.

(24)(本题满分11分) 设总体X的概率密度为

?1?2?,0?x????1f(x;?)??,??x?1

2(1??)??0,其他??X1,X2?,Xn是来自总体x的简单随机样本,X是样本均值

?. (1)求参数?的矩估计量?(2)判断4X2是否为?2的无偏估计量,并说明理由.

(7)设随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F?x?,则Z?max?X,Y?分布函数为 (A)F2?x?

2

(B) F?x?F?y?

(D) ??1?F?x?????1?F?y???

(C) 1???1?F?x???

(8)设随机变量X~N?0,1?,Y~N?1,4?且相关系数?XY?1,则 (A)P?Y??2X?1??1 (C)P?Y??2X?1??1

(B)P?Y?2X?1??1 (D)P?Y?2X?1??1

(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则PX?EX2?(22)(本题满分11分)

设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P?X?i??度为fY?y??????????????????????.

1?i??1,0,1?,Y的概率密3?10?y?1,记Z?X?Y,

?0其它(1)求P?Z???1?X?0?. 2?(2)求Z的概率密度. (23)(本题满分11分)

设X1,X2,?,Xn是总体为N(?,?)的简单随机样本.

21n121n222记X??Xi,S?,(X?X)T?X?S ?in?1i?1nni?1(1)证明T是?的无偏估计量.

(2)当??0,??1时 ,求DT.

(7)设随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7??态分布函数,则EX?

(A)0 (C)0.7

2?x?1??,其中??x?为标准正2??

(B)0.3 (D)1

(8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N?0,1?,Y的概率分布为

P?Y?0??P?Y?1??点个数为

(A)0 (C)2

1,记FZ?z?为随机变量Z?XY的分布函数,则函数FZ?z?的间断2

(B)1 (D)3

(14)设X1,X2,?,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本,X和S2分别为样本均值和样本方差.若X?kS2为np2的无偏估计量,则k?.

(22)(本题满分11分)

袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.

(1)求pX?1Z?0.

(2)求二维随机变量?X,Y?概率分布. (23)(本题满分11 分)

????2xe??x,x?0设总体X的概率密度为f(x)??,其中参数?(??0)未知,X1,X2,…

?0,其他Xn是来自总体X的简单随机样本.

(1)求参数?的矩估计量. (2)求参数?的最大似然估计量.

0 x?0(7)设随机变量X的分布函数F(x)?1 0?x?1,则P{X?1}= 21?e?x x?2

(B)1 (D)1?e?1

(A)0 (C)

1?1?e 2(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为[?1,3]上均匀分布的概率密度,

f(x)?为概率密度,则a,b应满足

(A)2a?3b?4 (C)a?b?1

af1(x)x?0(a?0,b?0)

bf2(x)x?0

(B)3a?2b?4 (D)a?b?2

(14)设随机变量X概率分布为P{X?k}?(22)(本题满分11分) 设二维随

C(k?0,1,2,?),则EX2=. k!(X?Y)的

概

率

密

度

为

机变量

f(x,y)?Ae?2x2?2xy?y2,???x??,???y??,求常数及A条件概率密度fY|X(y|x).

(23)(本题满分11 分) 设总体X的概率分布为

X 1 2 3 P 1?? ???2 ?2 其中??(0,1)未知,以Ni来表示来自总体X的简单随机样本(样本容量为n)中等于i的个数

(i?1,2,3),试求常数a1,a2,a3,使T??aiNi为?的无偏估计量,并求T的方差.

i?13

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