备战2012年高考压轴题（圆锥曲线与导数）

备战2013年高考压轴题集(圆锥曲线部分)

1．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M?1,2?，它们在x轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点.

（Ⅰ）求这三条曲线的方程；

（Ⅱ）已知动直线l过点P?3,0?，交抛物线于A,B两点，是否存在垂直于x轴的直线l?被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l?的方程；若不存在，说明理由.

2.（本小题满分12分）将圆O: x?y?4上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线C. (1) 求C的方程;

(2) 设O为坐标原点, 过点F(3, 0)的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的中点,延长线段ON交C于点E.

求证: OE?2ON的充要条件是|AB| ?3.

3.（12分）E、F是椭圆x?2y?4的左、右焦点，l是椭圆的右准线，点P?l，过点

22

22E的直线交椭圆于A、B两点.

（1） 当AE?AF时，求?AEF的面积； （2） 当AB?3时，求AF?BF的大小； （3） 求?EPF的最大值.

BEOFyAPMx1

4.(本小题满分14分)

x2y2设双曲线2?2=1( a > 0, b > 0 )的右顶

ab点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.

(1) 证明：无论P点在什么位置，总有|OP|2 = |OQ·OR| ( O为坐标原点)；

????????

(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；

5. (本小题满分14分)

已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (1) 求证：| ac | ? 4;

(2) 求证：在(–1，+∞）上f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.

2

x(x ? –1)的图象上，且有t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ? 0 ). x?1

6. （本小题满分13分）

x2y2设M是椭圆C:??1上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对

124称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．

7. （本小题满分12分）

过抛物线x?4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，PA?PB?0. （1）求点P的轨迹方程；

（2）已知点F（0，1），是否存在实数?使得FA?FB??(FP)2?0？若存在，求出?的值，若不存在，请说明理由.

8. （本小题满分14分）

设函数f(x)?21?x?lnx在[1,??)上是增函数. ax1a?ba?b?ln?. a?bbb（1） 求正实数a的取值范围； （2） 设b?0,a?1，求证：

3

9.(本小题满分12分)

如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，?C?90?，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD?3DC，!ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．

(1) 求双曲线E的方程；

(2) 若一过点P(m,0)（m为非零常数）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的

????????两点M、N，且MP??PN?????????????，问在x轴上是否存在定点G，使BC?(GM??GN)？

若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．

yABODCx

10. （本小题满分13分）

x2y2 如图，已知双曲线C：2?2?1(a?0，b?0)的右准

ab线l1与一条渐近线l2交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.

?? （I）求证：OM?MF；

? （II）若|MF|?1且双曲线C的离心率e?C的方程；

（III）在（II）的条件下，直线l3过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、

6，求双曲线2??Q且P在A、Q之间，满足AP??AQ，试判断?的范围，并用代数方法给出证明.

4

11. （本小题满分14分）

y2x2 设双曲线2??1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2.

3a （I）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；

（II）若A、B分别为l1、l2上的点，且2|AB|?5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；

??（III）过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，且OP·OQ?0.

若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

12. （本小题满分12分）

x2y2设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直

ab线分别交椭圆和x轴正半轴于P，Q两点，且P分向量AQ所成的比为8∶5．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若过A,Q,F三点的圆恰好与直线l：x?3y?3?0相切，求椭圆方程．

5

13. （本小题满分12分）

垂直于x轴的直线交双曲线x?2y?2于M、N不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A1M与A2N交于点P（x0，y0）

22（Ⅰ）证明：x0?2y0为定值;

22（Ⅱ）过P作斜率为?

14. （本小题满分12分）

x0的直线l，原点到直线l的距离为d，求d的最小值. 2y0如图，P是抛物线C：y=C交于另一点Q.

12

x上一点，直线l过点P且与抛物线2（Ⅰ）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求

6

|ST||ST|?的取值范围. |SP||SQ|

15. （本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）

已知a?R，函数f(x)?x2|x?a|.

(Ⅰ)当a?2时，求使f(x)?x成立的x的集合； 2]上的最小值. (Ⅱ)求函数y?f(x)在区间[1，

16. （本小题满分14分）

x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q

ab是椭圆外的动点，满足|F1Q|?2a.点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足PT?TF2?0,|TF2|?0.

（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明|F1P|?a? （Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；

（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，

2 使△F1MF2的面积S=b.若存在，求∠F1MF2

cx； a 的正切值；若不存在，请说明理由.

7

17. 本小题满分12分）

函数y?f(x)在区间（0，+∞）内可导，导函数f?(x)是减函数，且f?(x)?0. 设

x0?(0,??),y?kx?m是曲线y?f(x)在点（x0,f(x0)）得的切线方程，并设函数

g(x)?kx?m.

（Ⅰ）用x0、f(x0)、f?(x0)表示m； （Ⅱ）证明：当x0?(0,??)时,g(x)?f(x)；

3 （Ⅲ）若关于x的不等式x?1?ax?b?x3在[0,??)上恒成立，其中a、b为实数，

222 求b的取值范围及a与b所满足的关系.

18. (本小题满分14分) 已知动圆过定点???pp?,0?，且与直线x??相切，其中

22?NByMAx?p?F?,0??2?p?0.

（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；

（II）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线

oOA和OB的倾斜角分别为?和?，当?,?变化且???为定值?(0????)时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.

x??p28

19. （本小题满分12分）

x2已知椭圆C1的方程为?y2?1，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，

4而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C2的方程；

（Ⅱ）若直线l:y?kx?2与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2

的两个交点A和B满足OA?OB?6（其中O为原点），求k的取值范围.

20. （本小题满分14分）

如图，设抛物线C:y?x的焦点为F，动点P在直线l:x?y?2?0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求△APB的重心G的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB.

9

2

21. （本小题满分12分）

设A、B是椭圆3x?y??上的两点，点N（1，3）是线段AB的中点，线段AB的

22垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.

（Ⅰ）确定?的取值范围，并求直线AB的方程；

（Ⅱ）试判断是否存在这样的?，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）

22. 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F1PF2最大值．

10

23. 已知函数f?x?和g?x?的图象关于原点对称，且f?x??x2?2x． (Ⅰ)求函数g?x?的解析式； (Ⅱ)解不等式g?x??f?x??x?1；

(Ⅲ)若h?x??g?x???f?x??1在??1,1?上是增函数，求实数?的取值范围．

x2y2??1xOy224. 如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆4的顶点，过坐标原点

的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接

AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k （1）当直线PA平分线段MN，求k的值； （2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d； （3）对任意k>0，求证：PA⊥PB

25.设???，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线y?x上运动，点Q满足BQ??QA，

经过Q点与Mx轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QM??MP,求点P的轨迹方程。

11

?

x2G:?y2?122x?y?1的切线I交椭圆G于A，B两点. 426. 已知椭圆.过点（m,0）作圆

（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率； （II）将

AB表示为m的函数，并求

AB的最大值.

27.已知直线l：y=x+m，m∈R。

（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程； （II）若直线l关于x轴对称的直线为l?，问直线l?与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。

2222(x?5)?y?4,(x?5)?y?4中的一个内切，另一个外切。 28. 设圆C与两圆

（1）求C的圆心轨迹L的方程;

3545,),F(5,0)MP?FP55（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时

(点P的坐标．

12

x2y23C1:2?2?1(a?b?0)2C:y?x?b截ab2229. 如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线

得的线段长等于C1的长半轴长。

（Ⅰ）求C1，C2的方程；

（Ⅱ）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E． （i）证明：MD⊥ME;

S117?S,SS32?请说明理

（ii）记△MAB,△MDE的面积分别是12．问：是否存在直线l,使得2由。

13

30. 如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．

e?（I）设

12，求BC与AD的比值；

（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．

14

y2C:x??1231. 已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2????????????的直线l与C交于A、B两点，点P满足OA?OB?OP?0.

2（Ⅰ）证明：点P在C上；

（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．

15

32. 在平面直角坐标系xOy中， 已知点A（0，-1），B点在直线y??3上，M点满足

????????????????????????MB//OA，MA?AB?MB?BA，M点的轨迹为曲线C．

（I）求C的方程；

（II）P为C上动点，l为C在点P处的切线，求O点到l距离的最小值．

16

x2y2??1?x,y??x,y?l233. 已知动直线与椭圆C: 3交于P11、Q22两不同点，且△OPQ6S的面积?OPQ=2,其中O为坐标原点.

2222x?xy?y1212（Ⅰ）证明和均为定值;

（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM|?|PQ|的最大值；

（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得

S?ODE?S?ODG?S?OEG?62?若存在，判断△DEG

的形状；若不存在，请说明理由.

17

22x?y?25上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，34. 如图，设P是圆

MD?且

4PD5

（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

4（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为5的直线被C所截线段的长度

18

35. 已知平面上的线段l及点P，在l上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离，记作d(P,l)。

（1）求点P(1,1)到线段l:x?y?3?0(3?x?5)的距离d(P,l)； （2）设l是长为2的线段，求点集D?{P|d(P,l)?1}所表示图形的面积； （3）写出到两条线段

l1,l2距离相等的点的集合??{P|d(P,l1)?d(P,l2)}，其中

l1?AB,l2?CD，

A,B,C,D是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②

6分，③8分；若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分。y A(1,3),B(1,0),C(?1,3),D(?1,0)。

A-11B119 xO-1

② A(1,3),B(1,0),C(?1,3),D(?1,?2)。

B,③ A(0,1)

(0,C0),(D0,0)。,

36. 椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D

两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．

322（I）当|CD | = 时，求直线l的方程；

????????（II）当点P异于A、B两点时，求证：OP?OQ为定值。

20

F,F37. 在平面直角坐标系xOy中，点P(a,b)(a?b?0)为动点，12分别为椭圆

x2y2?2?12FPFab的左右焦点．已知△12为等腰三角形．

（Ⅰ）求椭圆的离心率e；

??????????PFPFA,B22（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，M是直线上的点，满足AM?BM??2，

求点M的轨迹方程．

21

223CCx?(y?4)?1的圆心为点M yx1238. 已知抛物线:＝，圆:

（Ⅰ）求点M到抛物线

c1的准线的距离；

c1上一点（异于原点）cc，过点P作圆2的两条切线，交抛物线1于

（Ⅱ）已知点P是抛物线

A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程

22

39. 如题（20）图，椭圆的中心为原点O，离心率 （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

e???，一条准线的方程为x???．

uuuruuuruuur （Ⅱ）设动点P满足：OP?OM??ON，其中M,N是椭圆上的点，直线OM与ON?PF??PF?F,F的斜率之积为?，问：是否存在两个定点??，使得为定值？若

?存在，求

F?,F?的坐标；若不存在，说明理由．

23

exf(x)?40. 设

1?ax，其中a为正实数 4（Ⅰ）当a?3时，求f(x)的极值点；

（Ⅱ）若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围。

24

x41. 已知函数f(x)?(x?k)2ek. (1)求f(x)的单调区间；

(2)若对?x?(0f(x)?1，??)，都有e，求k的取值范围。

25

42. 已知函数f?x???x?k?ex，（I）求

f?x?的单调区间；（II）求f?x?在区间

?0,1?上的最小值。

26

43. 设a?0,讨论函数

f(x)?lnx?a(1?a)x2?2(1?a)x的单调性．

27

322f()x?x?2ax?bx?agx()?x?3x?244. 设函数，，其中x?R，a、b为常数，已

知曲线y?f(x)与y?g(x)在点（2,0）处有相同的切线l。 (I) 求a、b的值，并写出切线l的方程；

x?x2xxx?g()x?mx(II)若方程f()有三个互不相同的实根0、、，其中1，且对任意的

x??x1,x2?

()?g()x?m(x?1)，fx恒成立，求实数m的取值范围。

28

f(x)?x?45. 设函数

1?alnx(a?R).x

(I)讨论f(x)的单调性；

x和x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k，

（II）若f(x)有两个极值点1问：是否存在a，使得k?2?a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

29

11f(x)??x3?x2?2ax3246.设.

2(,??)（1）若f(x)在3上存在单调递增区间，求a的取值范围；

16（2）当0?a?2时，f(x)在[1,4]上的最小值为3，求f(x)在该区间上的最大值.

?

30

2f(x)?lnx?ax?(2?a)x．47. 已知函数（I）讨论f(x)的单调性；

（II）设a?0，证明：当

0?x?111f(?x)?f(?x)a时，aa；

（III）若函数y?f(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：

f?（x0）＜0．

31

48. 设函数f(x)=x+ax2+blnx，曲线y=f(x)过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2．（I）求a，b的值；（II）证明：f(x)≤2x-2．

32

f(x)?49. 已知函数

alnxb?))的切线方程为x?1x，曲线y?f(x)在点(1,f(1处

x?2y?3?0。

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果当x?0，且x?1时，

f(x)?lnxk?x?1x，求k的取值范围。

33

50.设函数

f?x??x?ex?1??ax2

1（Ⅰ）若a=2，求f?x?的单调区间；

（Ⅱ）若当x≥0时f?x?≥0，求a的取值范围

34

51.已知函数

f(x)?x3?3ax2?(3?6a)x?12a?4(a?R) (Ⅰ)证明：曲线y?f(x)在x?0的切线过点(2,2)； （Ⅱ）若f(x)在x?x0处取得极小值，x0?(1,3),求a的取值范围。

35

52. 设函数f(x)定义在(0,??)上，f(1)?0，导函数（1）求g(x)的单调区间和最小值；

f?(x)?1x，g(x)?f(x)?f?(x)．

1g()（2）讨论g(x)与x的大小关系；

（3）是否存在

x0?0，使得

|g(x)?g(x0)|?1x对任意x?0成立？若存在，求出x0的取值

范围；若不存在，请说明理由．

36

53. 设f(x)?lnx，g(x)?f(x)?f?(x)．

（1）求g(x)的单调区间和最小值；

g(1x)（2）讨论g(x)与的大小关系；

1（3）求a的取值范围，使得g(a)?g(x)＜a对任意x＞0成立．

37

54. 已知函数f(x)?a?2x?b?3x，其中常数a,b满足a?b?0（1）若a?b?0，判断函数f(x)的单调性；

（2）若a?b?0，求f(x?1)?f(x)时的x的取值范围．

38

55. 已知函数f(x)?a?2x?b?3x，其中常数a,b满足a?b?0（1）若a?b?0，判断函数f(x)的单调性；

（2）若a?b?0，求f(x?1)?f(x)时的x的取值范围.

39

56. 已知函数f?x??xe?x?x?R?．

（Ⅰ）求函数

f?x?的单调区间和极值；

（Ⅱ）已知函数

y?g?x?的图象与函数

y?f?x?的图象关于

直线x?1 对称．证明当x?1时，f?x??g?x?．

（Ⅲ）如果

x1?x2，且f?x1??f?x2?，证明x1?x2?2．

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