（全国卷）2014届高考数学（文）仿真模拟卷2 Word版含解析

仿真模拟(二)

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【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合S＝{1,2}，集合T＝{a}，?表示空集，如果S∪T＝S，那么a的值是( ) A．? C．2

B．1 D．1或2

2．如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为( )

maA. nma2C．

n

naB．

mna2D． m

3．一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为( )

A．2 1C．

2

B．3 1D． 3

4．已知a，b是平面向量，若a⊥(a－2b)，b⊥(b－2a)，则a与b的夹角是( ) πA. 62πC．

3

πB．

35πD． 6

5．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于( )

4πA. 316πC．

3

8πB．

332πD． 3

6．已知常数a，b，c都是实数，f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′(x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－115，则a的值是( )

81A．－

22C．2

1B．

3D．5

7．已知i是虚数单位，复数z的共轭复数是z，如果|z|＋z＝8－4i，那么z等于( ) A．－3－4i C．4＋3i

B．－3＋4i D．3＋4i

8．已知⊙P的半径等于6，圆心是抛物线y2＝8x的焦点，经过点M(1，－2)的直线l将⊙P分成两段弧，当优弧与劣弧之差最大时，直线l的方程为( )

A．x＋2y＋3＝0 C．2x＋y＝0

B．x－2y－5＝0 D．2x－y－5＝0

9．在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，若an＋2＝2an＋1－an＋2，则an等于( ) 126A.n3－n＋ 555C．n2－2n＋2

B．n3－5n2＋9n－4 D．2n2－5n＋4

f?x2?－f?x1?10．已知f(x)是定义域为实数集R的偶函数，?x1≥0，?x2≥0，若x1≠x2，则x2－x1

1?31

＜0.如果f?＝，4f(logx)＞3，那么x的取值范围为( ) ?3?48

1

0，? A.??2?

1?C．??2，1?∪(2，＋∞)

1?

B．??2，2? 11

0，?∪?，2? D．??8??2?

11．已知函数①f(x)＝x2；②f(x)＝ex；③f(x)＝ln x；④f(x)＝cos x．其中对于f(x)定义域内的任意一个x1都存在唯一的x2，使f(x1)f(x2)＝1成立的函数是( )

A．①

B．②

C．②③ D．③④

12．若数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an＋T＝an成立，则称数列a－1，an＞1，??n

{an}为周期数列，周期为T.已知数列{an}满足a1＝m(m＞0)，an＋1＝?1则下

??an，0＜an≤1，列结论中错误的是( )

4

A．若m＝，则a5＝3

5

B．若a3＝2，则m可以取3个不同的值

D．?m∈Q且m≥2，使得数列{an}

C．若m＝2，则数列{an}是周期为3的数列 是周期数列

第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分，第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选考题，考生根据要求作答.

题 号 得 分 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷 二 17 18 19 20 21 22 总 分 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．如果执行下列程序框图，那么输出的S＝________.

14．一次射击训练，某小组的成绩只有7环、8环、9环三种情况，且该小组的平均成绩为8.15环，设该小组成绩为7环的有x人，成绩为8环、9环的人数情况见下表：

环数(环) 人数(人) 那么x＝________.

c

15．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a2＝b2＋c2－bc，＝b1

＋3，则tan B的值等于________． 2

x22→→

16．已知F1，F2是双曲线2－y＝1的两个焦点，点P在此双曲线上，PF1·PF2＝0，如

a

8 7 9 8

果点P到x轴的距离等于5，那么该双曲线的离心率等于________． 5

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

ππ

ωx＋?＋sin?ωx－?＋3cos ωx(其中ω＞0)，17．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin?3?3???π

且函数f(x)的图象的两条相邻的对称轴间的距离为. 2

(1)求ω的值；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数yπ

0，?上的最大值和最小值． ＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间??2?

18．(本小题满分12分)某高校组织自主招生考试，其有2 000名学生报名参加了笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195,205)，第二组[205,215)，……，第八组[265,275)．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

(1)从这2 000名学生中，任取1人，求这个人的分数在255～265之间的概率约是多少？ (2)求这2 000名学生的平均分数；

(3)若计划按成绩取1 000名学生进入面试环节，试估计应将分数线定为多少？

19．(本小题满分12分)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，BA＝BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示．点E、F分别为棱PC，CD的中点．

(1)求证：平面OEF∥平面APD； (2)求证：CD⊥平面POF；

(3)在棱PC上是否存在一点M，使得M到P，O，C，F四点距离相等？请说明理由．

20．(本小题满分12分)已知f(x)＝x2－2x－ln(x＋1)2. (1)求f(x)的单调递增区间；

1

－，2?上只有一个零点，求实数a的取值范围． (2)若函数F(x)＝f(x)－x2＋3x＋a在??2?

x2y2

21．(本小题满分12分)过椭圆Γ：2＋2＝1(a＞b＞0)右焦点F2的直线交椭圆于A，B

ab两点，F1为其左焦点，已知△AF1B的周长为8，椭圆的离心率为

(1)求椭圆Γ的方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，→→

且OP⊥OQ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

3. 2

请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，EA是⊙O的切线，CB的延长线与EA相交于点E，AB＝AD.

求证：AB2＝BE·CD.

23．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

?x＝3＋5cos θ，?已知曲线C的参数方程为?(θ是参数)，P是曲线C与y轴正半轴的交

??y＝5sin θ

点．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点P与曲线C只有一个公共点的直线l的极坐标方程．

24． (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲

已知x≥－13，关于x的不等式|x－3|－|2x＋10|＋x＋15－2|a＋13|≥0的解集不是空集，求实数a的取值范围．

详解答案 一、选择题

1．D 依题意得T?S，因此a＝1或a＝2，故选D.

m2ma2

2．C 由几何概率的意义可知，图形Ω面积的估计值为×a＝，故选C.

nnS6－S3

3．A 记题中的等比数列的公比为q.依题意有S6＝9S3，∴S6－S3＝8S3，∴＝8，

S3

即q3＝8，得q＝2，故选A.

??a－2b?＝0，?a·?4．B 记向量a，b的夹角为θ.依题意得即|a|2＝|b|2＝2a·b＝2|b|2cos θ，?b·?b－2a?＝0，?

1ππ

cos θ＝，θ＝，即向量a，b的夹角为θ＝，故选B.

233

1416π

5．C 依题意得，该几何体是一个半球，其体积等于×π×23＝，故选C.

2336．C 依题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集是[－2,3]，于是有3a＞0，－2＋3＝－2bc3a

，－2×3＝，解得b＝－，c＝－18a，函数f(x)在x＝3处取得极小值，于是有f(3)＝3a3a281

27a＋9b＋3c－34＝－115，－a＝－81，a＝2，故选C.

2

?a2＋b2＋a＝8，

7．D 依题意，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则有a＋b＋a－bi＝8－4i，?

?b＝4，

22

由此解得a＝3，b＝4，z＝3＋4i，故选D.

8．A 依题意得，要使两弧之差最大，注意到这两弧的和一定，因此就要使其中的一弧长最小，此时所求直线必与MP垂直，又点P(2,0)，因此直线MP的斜率等于2，因此所1

求的直线方程是y＋2＝－(x－1)，即x＋2y＋3＝0，故选A.

2

9．C 依题意得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，因此数列{an＋1－an}是以1为首项，2为公差的等差数列，an＋1－an＝1＋2(n－1)＝2n－1，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…?n－1??1＋2n－3?＋(an－an－1)＝1＋1＋3＋…＋(2n－3)＝1＋＝(n－1)2＋1＝n2－2n＋2，又a1

2＝1＝12－2×1＋2，因此an＝n2－2n＋2，故选C.

11

10．B 依题意得，函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，不等式4f(logx)＞3等价于f(log

881?31111111

x)>，f(|logx|)＞f?，|logx|＜，即－＜logx＜，由此解得＜x＜2，故选B. ?3?48833832

11．B 对①，当x1＝0时，x2不存在；对②，任意的x1，存在唯一一个x2(x2＝－x1)使π

得f(x1)f(x2)＝1成立；对③，当x1＝1时，x2不存在；对④，当x1＝时，x2不存在．

2

451

12．D 对于A，当a1＝m＝时，a2＝，a3＝a2－1＝，a4＝4，a5＝3，因此选项A正

544

????m＞1，

确．对于B，当a3＝2时，若a2＞1，则a3＝a2－1＝2，a2＝3，?或?1

?m－1＝3??＝3，

0＜m≤1，

?m

?m＞1，

111?

由此解得m＝4或m＝；若0＜a2≤1，则a3＝＝2，a2＝，?13a22m－1＝?2?

0＜m≤1，??

或?11??m＝2，

313

由此解得m＝，因此m的可能值是，，4，选项B正确．对于C，当m＝2时，a1＝2，

232a2＝2－1，a3＝2＋1，a4＝2，a5＝2－1，a6＝2＋1，…，此时数列{an}是以3为周期的数列，因此选项C正确．综上所述，故选D.

二、填空题

13．解析： 依题意，执行题中的程序框图，最后输出的S＝2×(1＋2＋3＋…＋20)＝20×?1＋20?

2×＝420.

2

答案： 420

14．解析： 依题意得7x＋8×7＋9×8＝(x＋7＋8)×8.15，由此解得x＝5. 答案： 5

?1csin Csin?B＋60°

15．解析： 依题意得b2＋c2－a2＝2bccos A＝bc，cos A＝，A＝60°.＝＝2bsin Bsin B1311

＝＋·＝＋3， 22tan B2

1

因此tan B＝. 21

答案：

2

222

??|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，

16．解析： 依题意得?

?2a，?|PF1|－|PF2|＝±

(|PF1|2＋|PF2|2)－(|PF1|－|PF2|)2＝

115

2|PF1|·|PF2|＝4c2－4a2＝4b2，|PF1|·|PF2|＝2b2＝2.又S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝|F1F2|×，因

225|F1F2|5

此|F1F2|＝25，a＝?5?2－1＝2，该双曲线的离心率是＝. 2a2

答案：

5

2

三、解答题

πωx＋?. 17．解析： (1)f(x)＝sin ωx＋3cos ωx＝2sin?3??

π

∵函数f(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为，

22π

∴T＝＝π，

ω∴ω＝2.

π2x＋?， (2)由(1)得f(x)＝2sin?3??π

x＋?. ∴g(x)＝2sin??3?

πππ50，?，可得≤x＋≤π， 由x∈??2?336πππ

∴当x＋＝，即x＝时，

326π?π

g(x)取得最大值g?＝2sin ＝2； ?6?2π5ππ

当x＋＝，即x＝时，

362π?5πg(x)取得最小值g?＝2sin ＝1. ?2?6

18．解析： (1)设第i(i＝1,2，…，8)组的频率为fi，则由频率分布图知f7＝1－(0.004＋0.01＋0.01＋0.02＋0.02＋0.016＋0.008)×10＝0.12，

∴这个人的分数在255～265之间的概率约是0.12.

(2)这2 000名学生的平均分数为200×0.04＋210×0.1＋220×0.1＋230×0.2＋240×0.2＋250×0.16＋260×0.12＋270×0.08＝237.8.

(3)从第一组到第四组，频率为0.04＋0.1＋0.1＋0.2＝0.44，而0.5－0.44＝0.06，将第五组[235,245)，按以下比例分割：

0.063

＝，

0.2－0.067

∴中位数为235＋3＝238，∴应将分数线定为238分．

19．解析： (1)证明：因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，所以PO⊥平面ADC，所以PO⊥AC.

因为AB＝BC，所以O是AC的中点， 所以OE∥PA. 同理OF∥AD.

又OE∩OF＝O，PA∩AD＝A， 所以平面OEF∥平面PDA.

(2)证明：因为OF∥AD，AD⊥CD， 所以OF⊥CD.

又PO⊥平面ADC，CD?平面ADC， 所以PO⊥CD.

又OF∩PO＝O，所以CD⊥平面POF. (3)存在，事实上记点E为M即可． 因为CD⊥平面POF，PF?平面POF， 所以CD⊥PF.

1

又E为PC的中点，所以EF＝PC，

2

1

同理，在直角三角形POC中，EP＝EC＝OE＝PC，

2所以点E到四个点P，O，C，F的距离相等． 20．解析： (1)f(x)的定义域为{x|x≠－1}． ∵f(x)＝x2－2x－ln(x＋1)2， 2?x2－2?2

∴f′(x)＝2x－2－＝，

x＋1x＋1

??x≠－1，

解?得－2＜x＜－1或x＞2， ?f′?x?＞0?

∴f(x)的单调递增区间是(－2，－1)和(2，＋∞)． (2)由已知得F(x)＝x－ln(x＋1)2＋a，且x≠－1， x－12∴F′(x)＝1－＝. x＋1x＋1

∴当x＜－1或x＞1时，F′(x)＞0； 当－1＜x＜1时，F′(x)＜0.

1

∴当－＜x＜1时，F′(x)＜0，此时，F(x)单调递减；

2当1＜x＜2时，F′(x)＞0，此时，F(x)单调递增． 11

－?＝－＋2ln 2＋a＞a，F(2)＝2－2ln 3＋a＜a， ∵F??2?21

－?＞F(2)． ∴F??2?1????－F≥0，1??2??－，2∴F(x)在?2?上只有一个零点??或F(1)＝0.

??F?2?＜01??F?－?≥0，1

由??2?得－2ln 2≤a＜2ln 3－2；

2

??F?2?＜0由F(1)＝0得a＝2ln 2－1.

1

∴实数a的取值范围为－2ln 2≤a＜2ln 3－2或a＝2ln 2－1.

2

4a＝8，???a＝2，

21．解析： (1)由已知得?c解得∴b2＝a2－c2＝1， ?3

?c＝3，??a＝2，

x22

故椭圆Γ的方程为＋y＝1.

4

(2)假设满足条件的圆存在，其方程为x2＋y2＝r2(0＜r＜1)． 当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋t， y＝kx＋t，??2由?x消去y整理得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0. 2

??4＋y＝1设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

4t2－48kt则x1＋x2＝－，xx＝.①

1＋4k2121＋4k2→→

∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0. 又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t， ∴x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0， 即(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0.②

?1＋k2??4t2－4?8k2t22

将①代入②得－22＋t＝0， 1＋4k1＋4k4

即t2＝(1＋k2)．

5

∵直线PQ与圆x2＋y2＝r2相切，

|t|

2＝1＋k

4?1＋k2?525

＝∈(0,1)， 251＋k

∴r＝

4

∴存在圆x2＋y2＝满足条件．

5

4

当直线PQ的斜率不存在时，也适合x2＋y2＝. 54

综上所述，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝满足条件．

522．证明： 连接AC，

∵EA是⊙O的切线，∴∠EAB＝∠ACB. ∵AB＝AD，∴∠ACD＝∠ACB， ∴∠ACD＝∠EAB.

∵⊙O是四边形ABCD的外接圆，∴∠D＝∠ABE， ∴△CDA∽△ABE， ∴

CDDA

＝，即AB·DA＝BE·CD. ABBE

∵AB＝AD，∴ AB2＝BE·CD.

??x＝3＋5cos θ，23．解析： 把曲线C的参数方程?(θ是参数)化为普通方程得(x－3)2

?y＝5sin θ?

＋y2＝25，

∴曲线C是圆心为P1(3,0)，半径等于5的圆． ∵P是曲线C与y轴正半轴的交点，∴P(0,4)． 根据已知得直线l是圆C经过点P的切线， 43

∵kPP1＝－，∴直线l的斜率k＝，

34∴直线l的方程为3x－4y＋16＝0，

∴直线l的极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ＋16＝0. 24．解析： 设f(x)＝|x－3|－|2x＋10|＋x＋15(x≥－13)， 2x＋28， －13≤x≤－5，??

则f(x)＝?－2x＋8， －5＜x≤3，

??2， x＞3，∴当－13≤x≤－5时，2≤f(x)≤18； 当－5＜x≤13时，2≤f(x)＜18； 当x＞3时，f(x)＝2.

∴f(x)＝|x－3|－|2x＋10|＋x＋15(x≥－13)的最大值为18.

∵关于x的不等式|x－3|－|2x＋10|＋x＋15－2|a＋13|≥0的解集不是空集的充要条件是f(x)≥2|a＋13|的解集不是空集，而f(x)≥2|a＋13|的解集不是空集的充要条件是f(x)的最大值≥2|a＋13|，即18≥2|a＋13|.

解18≥2|a＋13|得－22≤a≤－4，

∴实数a的取值范围为－22≤a≤－4.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r62g.html