2006年高三数学第三轮总复习分类讨论押题针对训练

2006届高考数学总复习资料

2006年高三数学第三轮总复习分类讨论押题针对训练

复习目标:

1．掌握分类讨论必须遵循的原则 2．能够合理，正确地求解有关问题 命题分析:

分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.这次的一模考试中，尤其是西城与海淀都设置了解答题来考察学生对分类讨论问题的掌握情况.

重点题型分析: 例1．解关于x的不等式:x?a?(a?a)x(a?R)

2

解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a)<0 （下面按两个根的大小关系分类）

222

（1）当a>a?a-a<0即 0

222

（2）当a0即a<0或a>1时，不等式的解为:x?(a, a)

2222

（3）当a=a?a-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x<0或(x-1)<0 不等式的解为 x??.

2

综上，当 0

2

当a<0或a>1时，x?(a,a) 当a=0或a=1时，x??.

评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.

2

例2．解关于x的不等式 ax+2ax+1>0(a?R) 解:此题应按a是否为0来分类.

（1）当a=0时，不等式为1>0, 解集为R. （2）a?0时分为a>0 与a<0两类

232??a?0?a?0?a?0??2???a?1时，方程ax2+2ax+1=0有两 ①?????0?4a?4a?0?a(a?1)?0根

a(a?1)?2a?4a2?4a?a?a2?a x1,2?. ???1?2aaaa(a?1)a(a?1) 则原不等式的解为(??,?1?)?(?1?,??).

aa??a?0?a?0?a?0??2???0?a?1时， ②?????0?4a?4a?0?0?a?1 方程ax+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为（-?，+?）.

2

??a?0?a?0?a?0??2???a?1时， ③ ?????0?4a?4a?0?a?0或a?1 方程ax+2ax+1=0只有一根为x=-1，则原不等式的解为(-?,-1)∪(-1,+?).

2

??a?0?a?0?a?0??2???a?0时， ④?????0?4a?4a?0?a?0或a?1 方程ax+2ax+1=0有两根，x1,2?2

?2a?a(a?1)a(a?1) ??1?2aa 此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为:

a(a?1)a(a?1),?1?). aa??a?0?a?0?a?0??2???a?? ⑤?????0?4a?4a?0?0?a?1 (?1?综上:

当0≤a<1时，解集为（-?，+?）. 当a>1时，解集为(??,?1?a(a?1)a(a?1))?(?1?,??). aa 当a=1时，解集为(-?,-1)∪(-1,+?). 当a<0时，解集为(?1?2

a(a?1)a(a?1),?1?). aa例3．解关于x的不等式ax-2≥2x-ax(a∈R)(西城2003’一模 理科）

2

解:原不等式可化为? ax+(a-2)x-2≥0, (1)a=0时，x≤-1，即x∈(-∞,-1]. (2)a?0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0. ① a>0时， 不等式化为(x?2)(x?1)?0， a?a?02? 当?2，即a>0时，不等式解为(??,?1]?[,??).

a???1?a?a?0? 当?2，此时a不存在.

???1?a2② a<0时，不等式化为(x?)(x?1)?0，

a?a?02? 当?2，即-2

a???1?a?a?02? 当?2，即a<-2时，不等式解为[?1,].

a???1?a?a?0? 当?2，即a=-2时，不等式解为x=-1.

???1?a综上:

a=0时，x∈(-∞,-1).

a>0时，x∈(??,?1]?[,??).

2a2a2 a<-2时，x∈[?1,].

a -2

a=-2时，x∈{x|x=-1}.

评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的基本原则为: 0

1:能不分则不分； 0

2:若不分则无法确定任何一个结果； 0

3:若分的话，则按谁碍事就分谁.

22

例4．已知函数f(x)=cosx+asinx-a+2a+5.有最大值2，求实数a的取值. 解:f(x)=1-sinx+asinx-a+2a+5??(sinx?2

2

a232)?a?2a?6. 24 令sinx=t, t∈[-1,1]. 则f(t)??(t?(1)当

a232)?a?2a?6(t∈[-1,1]). 24a?1即a>2时，t=1，ymax??a3?3a?5?2 23?213?21 解方程得:a?（舍）. 或a?22aa32(2)当?1??1时，即-2≤a≤2时，t?,ymax??a?2a?6?2,

2244 解方程为:a??或a=4（舍）.

3a2

(3)当??1 即a<-2时， t=-1时，ymax=-a+a+5=2

21?13?1?132

即 a-a-3=0 ∴ a?, ∵ a<-2, ∴ a?全都舍去.

223?214或a??时，能使函数f(x)的最大值为2. 综上，当a?23例5．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明:

log0.5Sn?log0.5Sn?2?log0.5Sn?1.

2证

明

:

（

1

）

当

q=1

时

，

Sn=na1

从

而

2Sn?Sn?2?Sn)2a12??a12?0 ?1?na1?(n?2)a1?(n?1a1(1?qn)（2）当q≠1时，Sn?， 从而

1?q2 Sn?Sn?2?Sn?1?22a1(1?qn)(1?qn?2)?a1(1?qn?1)2(1?q)222n??a1q?0.

由（1）（2）得:Sn?Sn?2?Sn?1.

x ∵ 函数y?log0.5为单调递减函数.∴

log0.5Sn?log0.5Sn?2?log0.5Sn?1.

2例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率. 分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.

(x?1)2(y?3)2??1，解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为2abbcb2?a25a2一条渐近线的斜率为?2， ∴ b=2.∴ e????5.

aaa5 （2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为此时e?a?2，b5. 25. 2 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于5或评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.

例7．解关于x的不等式 5解:原不等式 ?5

a(1?x)?1x?2a(1?x)?1x?2?1.

?50

?a(1?x)(1?a)x?a?2?1?0??0?(x?2)[(1?a)x?(2?a)]?0

x?2x?2

?1?a?0?1?a?0?1?a?0?? ?(1)?或(2)?或(3)?2?a2?a)?0)?0?(x?2)(1?2)?0?(x?2)(x??(x?2)(x?1?a1?a?? 由(1) a=1时，x-2>0, 即 x∈(2,+∞). 由(2)a<1时，

2?a?0，下面分为三种情况. 1?a?a?1?a?12?a?). ①?2?a 即a<1时，解为(2,??1?aa?0?2???1?a?a?1?a?1? ②?2?a???a?0时，解为?.

?2?a?0??1?a?a?1

?a?12?a?

,2). ③ ?2?a ? ? 即0

?1?a

2?a 由（3）a>1时，的符号不确定，也分为3种情况.

1?a?a?1?a?1? ①?2?a ? a不存在. ???2?a?0?1?a??a?1?a?12?a?)?(2,??). ② ?2?a???当a>1时，原不等式的解为:(??,1?a?2?a?0?1?a?综上:

a=1时，x∈(2,+∞). a<1时，x∈(2, a=0时，x??.

2?a) 1?a2?a,2) 1?a2?a)?(2,??). a>1时，x∈(??,1?a 0

1:明确讨论的对象，确定对象的全体； 0

2:确定分类标准，正确分类，不重不漏； 0

3:逐步进行讨论，获得结段性结记； 0

4:归纳总结，综合结记. 课后练习:

1．解不等式logx(5x2?8x?3)?2 2．解不等式|log1x|?|log1(3?x)|?1

233．已知关于x的不等式

ax?5?0的解集为M. 2x?a（1）当a=4时，求集合M:

（2）若3?M，求实数a的取值范围.

2

4．在x0y平面上给定曲线y=2x, 设点A坐标为(a,0), a?R，求曲线上点到点A距离的最小值d，并写成d=f(a)的函数表达式.

参考答案:

1325392.[，]

44（，）?（，??）1.

32（??，2）?（，2）3. (1) M为 53??2a?1当a?1时4. d?f(a)??.

?当a?1时?|a| (2)a?(??,)?(9,??)

54

2006年高三数学第三轮总复习函数押题针对训练

复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。

复习难点：树立数形结合的思想，函数方程的思想解决有关问题。 主要内容：

（一）基本问题 1.定义域 2.对应法则 3.值域 4.图象问题 5.单调性 6.奇偶性（对称性） 7.周期性 8.反函数 9.函数值比大小 10.分段函数 11. 函数方程及不等式 （二）基本问题中的易错点及基本方法 1．集合与映射

<1>认清集合中的代表元素

<2>有关集合运算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的区别。还应注意空集的情形，验算端点。

2．关于定义域

<1>复合函数的定义域，限制条件要找全。 <2>应用问题实际意义。

<3>求值域，研究函数性质（周期性，单调性，奇偶性）时要首先考察定义域。 <4>方程，不等式问题先确定定义域。 3．关于对应法则

注：<1>分段函数，不同区间上对应法则不同 <2>联系函数性质求解析式 4．值域问题

基本方法：<1>化为基本函数——换元（新元范围）。化为二次函数，三角函数，??并结合函数单调性，结合函数图象，求值域。

<2>均值不等式：——形如和，积，及f(x)?xb?形式。注意识别及应用条件。 ax<3>几何背景：——解析几何如斜率，曲线间位置关系等等。 易错点：<1>考察定义域

<2>均值不等式使用条件 5．函数的奇偶性，单调性，周期性。 关注问题：<1>判定时，先考察定义域。

<2>用定义证明单调性时，最好是证哪个区间上的单调性，在哪个区间上任取x1及x2。 <3>求复合函数单调区间问题，内、外层函数单调区间及定义域，有时需分类讨论。 <4>由周期性及奇偶性（对称性）求函数解析式。

<5>“奇偶性”+“关于直线x=k”对称，求出函数周期。 6．比大小问题

基本方法：<1>粗分。如以“0”，“1”，“-1”等为分界点。 <2>搭桥 <3>结合单调性，数形结合 <4>比差、比商 <5>利用函数图象的凸凹性。 7．函数的图象 <1>基本函数图象

<2>图象变换 ①平移 ②对称（取绝对值） ③放缩 易错点：复合变换时，有两种变换顺序不能交换。如下： 取绝对值（对称）与平移 例：由y?x图象，经过如何变换可得下列函数图象？

<1> y?|x|?1 <2>y?|x?1| 分析：<1> y?x?x?1x?|x|x?????y?x?1?????y?|x|?1.

平移对称 <2> y?评述：要由y?x?|x|x?x?1x?????y?|x|?????y?|x?1|.

对称x得到y?|x|?1只能按上述顺序变换，两顺序不能交换。

平移与关于y=x对称变换

-1

例：y=f(x+3)的反函数与y=f(x+3)是否相同？

??f(x?3)的反函数。 分析：①y?f(x)????y?f(x?3)????平移对称x?x?3(x,y)?(y,x)??y?f ②y?f(x)??????对称(x,y)?(y,x)?x?3?1(x)?x?????f?1(x?3).

平移 ∴两个函数不是同一个函数（也可以用具体函数去验证。） （三）本周例题：

例1．判断函数f(x)?(1?tgx?tg)?sinx的奇偶性及周期性。

x2??x?k???x?2k?????2?2??分析：<1>定义域：??(k?Z)

x?k???x?k????2??2? ∴ f(x)定义域关于原点对称，如图： 又f(x)?(1?tgx?1?cosx)sinx?tgx sinx ∴ f(-x)=-f(x),

∴ f(x)周期?的奇函数。

评述：研究性质时关注定义域。

例2．<1>设f(x)定义在R上的偶函数，且f(x?3)??1，又当x∈[-3,-2]时，f(x)f(x)=2x，求f(113.5)的值。

<2>已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

1 f(x)1?f(x)， ∴ f(x)周期T=6， ∴ f(x?6)??f(x?3)解：<1>∵ f(x?3)?? ∴ f(113.5)=f(6?19-0.5)=f(-0.5). 当x∈(-1,0)时，x+3∈(2,3).

∵ x∈(2,3)时，f(x)=f(-x)=2x.

∴ f(x+3)=-2(x+3).

11, ?f(x?3)2(x?3)111 ∴ f(?)??.

1252?(??3)2 ∴ f(x)?? <2>（法1）（从解析式入手） ∵ x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1), ∴ 2-x∈(0,1), ∵ T=2.

∵ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. ∴ f(x)=3-x, x∈(1,2).

小结：由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。 （法2）（图象） f(x)=f(x+2)

如图：x∈(0,1), f(x)=x+1. x∈(-1,0)→f(x)=-x+1.

x∈(1,2)→f(x)=-(x-2)+1=3-x. 注：从图象入手也可解决，且较直观。

2

例3．<1>若x∈(1,2)时，不等式(x-1)

2

<2>已知二次函数f(x)=x+ax+5对任意t都有f(t)=f(-4-t)，且在闭区间Z[m,0]上有最大值5，最小值1，求m的取值范围。

2

分析：<1>设 y1=(x-1), y2=logax

x∈(1,2)，即x∈(1,2）时，曲线y1在y2的下方，如图： ∴ a=2时，x∈(1,2)也成立，∴a∈(1,2]. 小结：①数形结合 ②变化的观点

③注意边界点，a=2，x取不到2， ∴仍成立。 <2>∵f(t)=f(-4-t), ∴ f(-2+t)=f(-2-t)

2

∴ f(x)图象关于x=-2对称， ∴ a=4, ∴ f(x)=x+4x+5.

2

∴ f(x)=(x+2)+1, 动区间：[m,0], ∵ x∈[m,0], [f(x)]max=5, [f(x)]min=1, ∴ m∈[-4,0].

小结：函数问题，充分利用数形结合的思想，并应用运动变化的观点研究问题。如二次函数问题中常见问题，定函数动区间及动函数和定区间，但两类问题若涉及函数最值，必然要考虑函数的单调区间，而二次函数的单调性研究关键在于其图象对称轴的位置。以发展的眼光看，还可解决一类动直线定曲线相关问题。

例4．已知函数f(x)?logax?5,(a?0且a?1). x?5 (I)判定f(x)在x∈(-∞,-5)上的单调性，并证明。

(II)设g(x)=1+loga(x-3)，若方程f(x)=g(x)有实根，求a的取值范围。 分析：(I)任取x1

又 (x1-5)(x2+5)>0 且(x1+5)(x2-5)>0 0?(x1?5)(x2?5)?1,

(x1?5)(x2?5) ∴ 当a>1时，f(x1)-f(x2)<0, ∴ f(x)单调递增， 当00,∴f(x)单调递减。

(II)若f(x)=g(x)有实根，即：logax?5?1?loga(x?3)。 x?5?x?5?0? ∴ ?x?5?x?5.

??x?3?0x?5?a(x?3)有大于5的实根。 ∴ 即方程：

x?5x?5(x?5) （法1）a? （∵ x>5） ?(x?3)(x?5)(x?5?2)(x?5?10)

?x?5?2(x?5)?12(x?5)?20 ∴ a?(0,1(x?5)?20?12(x?5)?112?220?3?5 163?5]. 16x?5?a(x?3)(1)有大于5的实根， （法2）（实根分布）

x?5 方程(1)化为：ax+(2a-1)x-15a+5=0.

2

∵ a>0, ∴Δ=64a-24a+1≥0.

2

???5 ①有一根大于5 ???.

f(5)?0?????0?3?5?a?(0,]. ②两根均大于?f(5)?016?1?2a??5?2a 小结：实根分布即利用二次函数图象及不等式组解决问题。用此数形结合方法解决问题时，具体步骤为：①二次函数图象开口方向。②图象对称轴的位置。③图象与x轴交点。④端点函数值的符号。此题(2)中，也可以用韦达定理解决。

小结：

函数部分是高考考察重点内容，应当对其予以充分的重视，并配备必要例题，理顺基本方法体系。

练习：

已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1,若m,n∈[-1,1]，m+n≠0时,有

f(m)?f(n)?0。

m?n<1>用定义证明f(x)在[-1，1]上是增函数。

2

<2>若f(x)≤t-2at+1对所有x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围。 参考答案：

(2)|t|≥2或t=0.

2006年高三数学第三轮总复习排列与组合押题针对训练

授课内容：复习排列与组合

考试内容：两个原理；排列、排列数公式；组合、组合数公式。

考试要求：1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。

2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。

试题安排：一般情况下，排列组合为一道以选择或填空题的形式出现的应用题。有时还另有一道排列、组合与其他内容的综合题（大都与集合、立体几何、不等式证明等相综合）。

重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。 难点：不重不漏。

知识要点及典型例题分析： 1．加法原理和乘法原理

两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式；分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。

例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

（2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。 解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。

（2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。

（3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×6=63（种）。

例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？

分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。”

因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=53（种）。

2．排列数与组合数的两个公式

排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。

连乘积的形式 阶乘形式

n!

(n?m)!n!mn(n?1)(n?2)??(n?m?1)? Cn=

m(m?1)??3?2?1m!(n?m)! Pn=n(n-1)(n-2)??(n-m+1) =

m

例3．求证：Pn+mPn=Pn+1 证明：左边=

mm-1m

n!n!?m

(n?m)!(n?m?1)!

证法二（利用化“1”的技巧）

sec??tg??(sec2??tg2?)左边=

sec??tg??1=

?sec??tg??(1?sec??tg?)=sec?+tg?=1?sin?=右边。

sec??tg??1cos?证法三（利用同角关系及比例的性质）

22

由公式 sec?-tg?=1

?(sec?-tg?)(sec?+tg?)=1

1sec??tg??=.

sec??tg?1sec??tg??11?sin?=sec?+tg?=.

1?sec??tg?cos?证法四（利用三角函数定义）

yyrx证sec?=, tg?=, sin?=, cos?=.

xrxr然后代入所证等式的两边，再证是等价命题。 其证明过程同学自己尝试一下。

评述：证明三角恒等式的实质，就是逐步消除等号两边结构差异的过程，而“消除差异”的理论依据除了必要三角公式以外，还需要有下列等式的性质：

(1)若A=B，B=C则A=C（传递性） (2)A=B?A-B=0

A(3)A=B?=1 (B?0)

BAC(4)=? AD=BC (BD?0)

BD(5)比例：一些性质，如等比定理：

aa?a2???ana1a2aaa若1=2=??=n，则1===??=n。 b1b2bnb1?b2???bnb1b2bn由等比定理有：

1．如果?是第二象限角，则限

2．在下列表示中正确的是（ ） A、终边在y轴上的角的集合是{?|?=2k?+

?所在的象限是（ ） 2A、第一象限 B、第一或第三象限 C、第二象限 D、第二或第四象

?2, k?Z}

B、终边在y=x的直线上的角的集合是{?|?=k?+C、与(-

?43, k?Z} , k?Z}

?3)的终边相同的角的集合是{?|?=k?-

?D、终边在y=-x的直线上的角的集合是{?|?=2k?-3．若?

?4, k?Z}

3logsin??, 则22等于（ ） 2A、sin(?-?) B、-sin? C、cos(?-?) D、-csc? 4．函数y=2sin(

x??)在[?，2?]上的最小值是（ ） 26A、2 B、1 C、-1 D、-2

5．已知函数y=cos(sinx)，下列结论中正确的是（ ） A、它的定义域是[-1，1] B、它是奇函数； C、它的值域是[0, 1] D、它是周期为?的函数 6．设0

?4，下列关系中正确的是（ ）

A、sin(sinx)

?3?4=，cos=-，则??[0, 2?]，终边在（ ）

5252A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

8．如果一弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ）

111?A、sin B、 C、 D、2sin

1226sin22k?16?+?) (k?Z), 结果是（ ） 726????A、tg B、ctg C、ctg D、-tg

77779．化简三角函数式tg(10．设??(0,

?2)，A??cos???sin?，B??sec??tg?的大小是（ ）

A、A>B B、A≥B C、A

答案: B B D C D A D C B C

正、余弦函数的有界性在解题中的作用

正、余弦函存在着有界性，即sinx?1，cosx?1，在一些数学问题中灵活地加以运用，沟通三角函数与数值间的关系，能大大简化解题过程。

例1．若实数x满足log2x?2sin??3，求x?2?x?32的值。 解：原方程可化为sin??3?log2x， 23?log2x?1， 2因为?1?sin??1，所以?1?所以1?log2x?5，所以2?x?32 所以x?2?x?32?x?2?32?x?30。

例2．在?ABC中，cos?A?B??sin?A?B??2，试判定三角形的形状。

解：因为cos?A?B??1，sin?A?B??1，又cos?A?B??sin?A?B??2， 所以cos?A?B??1，sin?A?B??1 而???A?B??，0?A?B??， 于是A?B?0，A?B?所以，A?B??2

?4。故?ABC为等腰直角三角形。

2例3．已知四边形ABCD中的角A、C满足cos求证：B?D?? 证明：由已知条件有cos2A?CAC3?sin2?sin2? 3324A?C1?2A?1?2C?3??1?cos???1?cos?? 32?3?2?3?4所以cos?由于cos2A?CA?C1?A?C??coscos??0 ?334?3?A?CA?CA?C1?1。从而cos2?cos??0 333422A?C1?A?C1???所以?cos???0，但?cos???0，

32?32???A?C1A?C1??0，cos?。 3232所以A?C??，故B?D??。

所以cos例4．已知函数f?x??ax?b，2a?6b?3，求证：对于任意x???1,1?，有

22f?x??2。

?2?22?证明：因为2a?6b?3，所以??3a????令

2?2b?2?1。

221cos? a?sin?，2b?cos?，则a?sin?，b?33231sin?x?cos??22?3x2?11?sin????????arctg? ??23x??所以f?x??3x2?13x2?1从而f?x?? sin??????22又x?1，故f?x??例5．证明：1?证明：设

23x?122?4?2 234sin??cos??2。

34sin??cos??k，则只须证明1?k?2。

因为k?sin??cos??2sin?cos?? ?1?sin2???sin??cos??2?2sin2?

2sin2?

2因为0?sin2??1，所以1?k?从而1?k?2。故1?342?2?22，

cos??2。

34sin??例6．复数z1，z2，z3的幅角分别为?、?、?，z1?1，z2?k，z3?2?k，且z1?z2?z3?0，问k为何值时，cos?????分别取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值。

解；因为z1?cos??isin?，z2?k?cos??isin??，z3??2?k??cos??isin??， 因为z1?z2?z3?0，

所以?cos??kcos???2?k?cos???i?sin??ksin???2?k?sin???0。 因而cos???kcos???2?k?cos?，sin???ksin???2?k?sin?。 两式平方相加得1?k2??k?2??2k?k?2?cos?????

2由题设知k?0，k?2，

2?k?2??k2?13所以cos????????（＊） ?1?22k?k?2?2?k?1??2因为cos??????1，所以?2?32?k?1??22?0，

解之得

13?k?。 221。 2由（＊）知，当k?1时，?cos??????min??又由（＊）及

1313?k?知，当k?、时，?cos??????min??1。

2222例7．设a为无理数，求证：函数f?x??cosx?cosax不可能是周期函数。

证明：假设f?x?是周期函数，则存在常数T?0，使对于任意的x，

cos?x?T??cosa?x?T???cosx?cosax都成立。

令x?0得，cosT?cosaT??cos0?cos0?2 因为cosT?1，cosaT?1，所以cosT?cosaT?1 从而T?2K?，aT?2L?K,L为整数 所以a???aTL?。 TKL为有理数，但a为无理数，这是不可能的，故命题成立。 K此时K，L为整数，则

1．（2002年全国）在(0,2?)内，使sinx>cosx成立的x取值范围为（ ）。

?5?,)?(?,) B、(,?)

4424?5??5?3?) D、(,?)?(,) C、(,44442 A、(解：在(?????5?,)内，sinx>cosx，在[,?]内sinx>cosx；在(?,)内，sinx>cosx；综4224上，∴ 应选C。

2．（2001年全国） tg3000?ctg4050的值为（ ）。

A、1?3 B、1?3 C、?1?3 D、?1?3 解：tg3000?ctg4050

?tg(3600?600)?ctg(3600?450) ??tg60?ctg4500

??3?1∴ 应选B。

3．（1998年全国）已知点P(sin?-cos?,tg?)在第一象限，则在[0，2?]内?的取值范围是（ ）

5???5?) B、(,)?(?,)

244424?3?5?3???4?)?(,) D、(,)?(,?) C、(,2442423?sin??cos??0?sin??cos???解：由题设，有?tg??0 ???3?

??(0,)?(?,)?0???2??22?? A、(?3?,)?(?, 在[0，2?）的范围内，在同一坐标系中作出y=sinx和y=cosx的图像，可在??(?5?4,4)时，sin?>cos?。

∴??(??5?,)?(?,) 424

应选B。 4．（1998年全国）sin600?的值是（ ）。 A、

1133 B、? C、 D、? 2222解：sin600?=sin(360?+240?)=sin240?

=sin(180?+60?)=-sin60? =? ∴应选D。

3 22006年考前必练数学创新试题 数列经典题选析

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.

一、等差数列与等比数列

例1．A＝{递增等比数列的公比}，B＝{递减等比数列的公比}，求A∩B． 解：设q∈A，则可知q>0（否则数列为摆动数列）．

nn－1n－1

由an＋1－an＝a1·q－a1·q＝a1·q(q－1)>0，得 当a1＞0时，那么q＞1；当a1＜0时，则0＜q＜1． 从而可知 A＝{q | 01}．

nn－1n－1

若q∈A，同样可知q>0．由an＋1－an＝a1·q－a1·q＝a1·q(q－1)＜0，得 当a1＞0时，那么0＜q＜1；当a1＜0时，则q＞1． 亦可知 B＝{q | 01}． 故知A∩B＝{q | 01}．

说明：貌似无法求解的问题，通过数列的基本量，很快就找到了问题的突破口！

22n－1

例2．求数列1，(1＋2)，(1＋2＋2)，??，(1＋2＋2＋??＋2)，??前n项的和．

分析：要求得数列的和，当务之急是要求得数列的通项，并从中发现一定规律．而通项又是一等比数列的和．设数列的通项为an，则an＝1＋2＋2＋??＋2－1．从而该数列前n项的和

23n

Sn＝(2－1)＋(2－1)＋(2－1)＋?＋(2－1)

2·(1－2)n＋1

＝(2＋2＋2＋?＋2)－n＝ －n＝2－n－2．

1－2

2

3

n

n

2

n－1

1·(1－2)n＝ ＝2

1－2

n

说明：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?n2、等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq

?(q?1)?1?q?1?q3、 Sn??k?2n(n?1)

k?1nn14、Sn?12k?n(n?1)(2n?1) ?6k?1132 k?[n(n?1)]?2k?1n5、 Sn?常用的数列求和方法有：利用常用求和公式求和；错位相减法求和；反序相加法求和；

分组法求和；裂项法求和；合并法求和；利用数列的通项求和等等。

1

例3．已知等差数列{an}的公差d＝ ，S100＝145．设S奇＝a1＋a3＋a5＋??＋a99，S＇

2＝a3＋a6＋a9＋??＋a99，求S奇、S＇．

解：依题意，可得 S奇＋S偶＝145，

即S奇＋(S奇＋50d)＝145， 即2 S奇＋25＝145， 解得，S奇＝120．

(a1＋a100)100

又由S100＝145，得 ＝145，故得a1＋a100＝2.9

2S＇＝a3＋a6＋a9＋??＋a99 ＝

(a3＋a99)33(a2＋a100)33(0.5＋a1＋a100)33(0.5＋2.9)33

＝ ＝ ＝ ＝1.7·33＝2222

56.1．

说明：整体思想是求解数列问题的有效手段！

例4．在数列{an}中，a1＝b(b≠0)，前n项和Sn构成公比为q的等比数列。 （1）求证：数列{an}不是等比数列；

（2）设bn＝a1S1＋a2S2＋?＋anSn，|q|<1，求limbn。

n??解：（1）证明：由已知S1＝a1＝b ∵{Sn}成等比数列，且公比为q。

n－1n－2

∴Sn＝bq，∴Sn－1＝b·q(n≥2)。

n－1n－2n－2

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bq－bq＝b·(q－1)·q an＋1b(q－1)·q

故当q≠1时， ＝n－2 ＝q，

anb(q－1)·qa2b(q－1)

而 ＝ ＝q－1≠q，∴{an}不是等比数列。 a1b

当q＝1，n≥2时，an＝0，所以{an}也不是等比数列。 综上所述，{an}不是等比数列。

（2）∵|q|<1，由（1）知n≥2，a2，a3，a4，?，an构成公比为q的等比数列，∴a2S2，

2

a3S3，?，anSn是公比为q的等比数列。

2242n－4

∴bn＝b＋a2S2·(1＋q＋q＋?＋q) ∵S2＝bq，a2＝S2－S1＝bq－b

2

∴a2S2＝bq(q－1)

1－q

∴bn＝b＋bq(q－1)·2 1－q

2

2

2n－2

n－1

∵|q|<1 ∴limq

n??2n－2

＝0

2

2

2

1b

∴limbn＝b＋bq(q－1)· 2 ＝

1－q1＋qn??说明： 1＋q＋q＋?＋q的最后一项及这个式子的项数很容易求错，故解此类题时

要细心检验。数列的极限与数列前n项和以及其他任何有限多个项无关，它取决于n→∞时，数列变化的趋势。

二、数列应用题

例5． (2001年全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，1

并以此发展旅游产业. 根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 .本

5年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游1

业收入每年会比上年增加 。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总

4收入为bn万元. 写出an，bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 15

解：第1年投入800万元，第2年投入800×(1－ )万元??，

541n－1

第n年投入800×(1－ )万元

5

11n－14n所以总投入an＝800＋800(1－ )＋??＋800×(1－ )＝4000［1－( )］

5551

同理：第1年收入400万元，第2年收入400×(1＋ )万元，??，

41n－1

第n年收入400×(1＋ )万元

4

2

4

2n－4

bn＝400＋400×(1＋ )＋??＋400×(1＋ )n－1＝1600×［( )n－1］

5n4n(2)∴bn－an＞0，1600［( )－1］－4000×［1－( )］＞0

454n5n化简得，5×( )＋2×( )－7＞0

54

4n24n22

设x＝( )，5x－7x＋2＞0 ∴x＜ ，x＞1(舍) 即( )＜ ，n≥5.

5555

说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知

识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：(1)事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；(2)文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；(3)数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。

例6．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%。从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。

141454

3

(1)设全县面积为1，2001年底绿化面积为a1＝ ，经过n年绿化总面积为an＋1

10

44

求证an＋1＝＋ an

255

(2)至少需要多少年(年取整数，lg2＝0.3010)的努力，才能使全县的绿化率达到60%？ (1)证明：由已知可得an确定后，an＋1表示如下：an＋1= an(1－4%)＋(1－an)16%

44

即an＋1=80% an +16%= an +

525

44

(2)解：由an＋1= an+可得：

525

4444244n4an＋1－ = (an－ )=( )(an－1－ )=?=( )(a1－ )

5555555

14n4314n4314n－1

故有an＋1＝－ ( )＋ ，若an＋1≥ ，则有－ ( )＋ ≥ 即 ≥( )

2555255525

两边同时取对数可得－lg2≥(n－1)(2lg2－lg5)＝(n－1)(3lg2－1)

lg2

故n≥ ＋1＞4，故使得上式成立的最小n∈N＋为5，

1－3lg2

故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.

三、归纳、猜想与证明

12

例7．已知数列{ an}满足Sn＋an＝ (n＋3n－2)，数列{ bn}满足b1＝a1，

2且bn＝an－an－1－1(n≥2).

(1)试猜想数列{ an}的通项公式，并证明你的结论;

112

解：（1）∵Sn＋an＝ (n＋3n－2)，S1＝a1，∴2a1＝ (1＋3×1－2)＝1，

22

1111712

∴a1＝ ＝1－ .当n＝2时，有 ＋2a2＝ (2＋3×2－2)＝4， ∴a2＝ ＝2－2

2222421

猜想，得数列{ an}的通项公式为an＝n－n 2(2)若cn＝b1＋b2＋?＋bn，求limcn的值.

n??17231

当n＝3时，有 ＋ ＋3a3＝8， ∴a3＝＝3－.3

2482用数学归纳法证明如下：

11

①当n＝1时，a1＝1－ ＝ ，等式成立.

221

②假设n＝k时，等式ak＝k－k 成立，那么

2

(k＋1)＋3(k＋1)－2k＋3k－2

n＝k＋1时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝[ －ak＋1]－[ －ak],

221

.∴2 ak＋1＝k＋2＋ak， 2 ak＋1＝k＋2＋(k－k )，

2

2

2

1

∴ak＋1＝(k＋1)－k＋1 ，即当n＝k＋1时，等式也成立.

21

综上①、②知，对一切自然数n都有an＝n－n 成立.

2

1111

(2)∵b1＝a1＝ ，bn＝an－an－1－1＝[n－n ]－[(n－1)－n－1 ]－1＝n .

22221n1n

∴cn＝b1＋b2＋?＋bn＝1－( )， ∴limcn＝lim[1－( )]＝1.

22n??n??

例8．已知数列{an}满足a1＝2，对于任意的n∈N，都有an＞0，且(n＋1) an2

＋an an＋1－n an＋12＝0.又知数列{bn}满足：bn＝2n－1＋1..

(Ⅰ)求数列{an}的通项an以及它的前n项和Sn； (Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Tn； (Ⅲ)猜想Sn和Tn的大小关系，并说明理由.

解：(n＋1) an2＋an an＋1－n an＋12＝0.是关于an和an＋1的二次齐次式，故可利用求根公式得到an与an＋1的更为明显的关系式，从而求出an ．

(Ⅰ)∵an＞0（n∈N），且(n＋1) an2＋an an＋1－n an＋12＝0， ∴ (n＋1)(

an2an

)＋()－n＝0． an＋1an＋1

∴

anann＝－1或＝ ． an＋1an＋1n＋1

ann

＝ ． an＋1n＋1

∵an＞0（n∈N），∴

ananan－1an－2a3a2nn－1n－232∴＝···??··＝ · · ·?· · ＝a1an－1an－2an－3a2a1n－1n－2n－321n．

又a1＝2,所以，an＝2n．

∴Sn＝a1＋a2＋a3＋??＋an＝2(1＋2＋3??＋n)＝n2＋n． (Ⅱ)∵bn＝2n－1＋1，

∴Tn＝b1＋b2＋b3 ＋??＋bn＝20＋21＋22＋??＋2n－1＋n＝2n＋n－1 (Ⅲ) Tn－Sn＝2n－n2－1． 当n＝1时，T1－S1 ＝0，∴T1＝S1；