现代数字信号处理6章(new1)

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Chapter 6 小波分析（Wavelet Analysis）

小波分析在数学中占有独特的地位。而在信号处理领域中，如计算机视觉和图象处理中的多分辩率技术、语言和图象压缩中的子带编码技术等，很好地运用了“小波”这种特殊的数学工具。

本章主要从信号处理工程应用角度对小波分析的基本理论、基本概念和主要方法进行扼要介绍。重点是讨论小波变换的概念和性质、算法及其实现，以及在信号处理中的典型应用。其中涉及到的数学理论，大多只引用重要结论，而不与推导、证明。

先介绍几个数学概念（符号） ⒈ Z：整数集 the set of integers ⒉ R：实数集 the set of real numbers

⒊ L2(R)：表示定义在实轴上的可测的平方可积函数空间 the vector space of measurable square-integrable ⒋ g(u),f(u)

g(u)f(u)du：g(u)和f(u)的内积

g(u),f(u) L2R　　f(u)：f(u)的复共轭

⒌ ||f||

2

|f(u)|2du 在L2(R),f(u)的范数

⒍ f(u)*g(u)

f(u)g(t u)du f*g(t) [f(u)*g(u)](t)

⒎ f(w) f(t)e jwtdt，j 1,j i

2

令L(R)表示定义在实轴上的可测的平方可积函数空间，该空间中的任何函数f(t)是可

测的且满足

|f(t)|2dt

这样的函数可用来表示能量有限的连续时间信号or模拟信号。

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§6.1 窗口付里叶变换（Windowed Fourier Transform WFT）

or 短时付里叶变换（Short-Time Fourier Transform STFT）

众所周知，付里叶变换揭示了时间函数与频谱函数间的内在联系，反映信号在“整个”时间范围内的“全部”频谱成分。

信号的局部发生变化，会影响到信号的整个频谱。例如一个低频信号如果在某一时刻t0

增加一个冲激，那么它的频谱立刻变成宽带频谱。

但这个宽带频谱只能辨别信号中存在着冲激，但却无从确定这个冲激发生的时间位置。说明付里叶分析没有时间定位或时间局域化的能力。但付里叶分析有很强的频域定位or频率局域化能力。

那么，为了获得关于时间定位的信息，可以用一个适当宽度的窗函数从信号中取出一段来作付里叶分析。于是得到信号在这段时间内的局部频谱。

如果再让窗函数沿时间轴不断移动，便能够不断地对信号逐段进行频谱分析。这就是窗口付里叶变换，or 短时付里叶变换的基本思想。

令L2(R)表示定义在实轴上的可测的平方可积函数空间，即该空间中任何函数f(t)是可测的，且满足：

|f(t)|2dt

这样的函数，可用来表示能量有限的连续时间信号or模拟信号。

模拟信号f(t) L(R)，以W(t)作为窗函数的短时付里叶变换定义为：

2

(WFTWf)( ,b)

f(t)W(t b)e j tdt

Note：①ω和b分别表示频率和时移；

②下标W说明同一信号对不同窗函数的WFT不同； ③对于某个确定的b值，WFT给出信号在局部时间范围[b 信息；

④W(t)是实函数。

11

Dt,b Dt]内的频谱22

Dt是W(t)的有效宽度，b是W(t)的中心

令W ,b(t) W(t b)e

j t

(WFTWf)( ,b)

f(t)W ,b(t)dt f,w ,b

( )表示 设W ,b(t)的付里叶换用W ,b

( ) W ,b(t) W ,b

IFT

FT

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W ,b( ) W(t b)ej te j tdt

( )e j( )b W

( )是W(t)的付里叶变换，而其中心为0，有效宽度为D。 其中，W

( )的中心为 ，有效宽度仍为D 。 W ,b

由Parseval恒等式：

(WFT f)( ,b)

1

,W f ,b

D[ 可见WFT给出信号的局部频率范围

11

D , D ]内的频谱信息。 22

因此，用时域窗Ww,b(t)在t b处宽为Dt的局部时间范围内考察信号，得到的信息也

( )在 处宽为Dw的局部频率范围内考察该信号的频谱来得到。 可以用频域窗W ,b

时域窗越窄，它对信号的时间定位能力越强。 时域窗越窄，它对信号的频率定位能力越强。

时间窗和频率窗的精度不可能同时很高，其分辨率分别用窗的宽度来描述，即Dt,Dw来度量，它们的值越小相应的分辨率越高。

在综合考虑时，用时—频平面上的分析窗口来描述，此分析窗口是一个宽为Dt高为Dw

的矩形。

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当窗函数选定后，在时—频平面上分析窗口处处相同。

我们还知道，时域窗越窄，它对信号的时间定位能力越强，常用能量密度W2(t)来度量

W(t)的有效宽度，并称为均方根宽度：

1 22

Dt t|W(t)|dt

E

2( )的二阶矩来度量W ( )的有效宽度 同理，用能量谱密度W

1 2 2

D |W( )|d

2 E

其中：

E

|W(t)|2dt

1

2

( )|2d |W

为窗函数W(t)的能量。

时域中，两个冲激只有当它们的间隔大于Dt时，才能用时域窗Ww,b(t)将它们区分开。

( )将它们的同理，两个正弦信号只有当它们的频率差大于Dw时，才能用频域窗Ww,b

谱线区分开。 不定性原理：

若函数W(t)当t趋于无穷时比

1衰减得还要快，即

limW(t) 0

t

则有：

Dt Dw

2

Gauss：Dt Dw

2

∵ 只有高斯函数有 W(t)

a

e

at2

只式中取等号。

( )即频域窗口不能同时任意窄；对由不定性定理：时域窗口W(t)和它的付里叶变换W

于给定的窗函数W(t)，其分析窗口的面积为恒定值。Gauss窗函数对应的分析窗口的面积最小。

因此，对于给定窗函数的WFT，其时间分辨率与频率分辨率之积是恒定的，它们不可能同时提高，只能以一种分辨率的降低换取另一种分辨率的提高。

窗函数W(t)应具有的性质： ⒈ 能量有限： 即 W(t) L(R)

2

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⒉ 为具有时间定位能力，它必须具有有限宽度，即

1 Dt t2|W(t)|2dt

E

(Dt )

⒊ 频域有限宽度 Dw

2

（频率定位）

另：由Dt tW(t) L(R) |t|

W(t) L2(R)

将Schwarz不等式用于乘积(1 |t|) 1(1 |t|)W(t)，则有

W(t) L (R)

这里L (R)表示可测的绝对可积函数空间( , )。

( )是一个连续函数。 由FT理论，W(t) L (R) W

同理，

( )| L2(R) W ( ) L (R)， W (t)是连续函数 由：D W|W

实际应用中，应用窄时域窗分析高频现象，而用宽时域窗观察低频现象。而在频域中正相反，即用宽窗分析高频，窄窗分析低频。但是窗口付里叶变换，对不同频率总是使用宽度相同的窗，即它不能按照不同频率自适应调整窗的宽度，这是它的最大缺点。

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§6.2 Continuous Wavelet Trans form （CWT）连续小波变换

亦称积分小波变换（Integral Wavelet Transform on） 定义： (CWT f)(a,b) |a|

t b f(t) dt

a

其中：称函数系 a,b(t) |a| 1/2

t b

，a R,a 0,b R为小波函数，简称小波。a

它是 (t)经过不同的时间R度，伸缩和不同的时间平移得到的。因此 (t)是小波原型，称为母小波（Mother Wavelet）or基本小波（Basic Wavelet）。

a： 时间轴尺度伸缩系数。 a大 小尺度变换，相应小波 a,b(t)伸展较宽。反之，小a值对应的小波在时间轴上受到压缩。

b： 时间平移参数。不同b值的小波沿时间轴移动到不同位置。

t b

上的一横表复共轭运算。 a

12

2

即赋予CWT f(a,b)具有功率谱密度的量纲。还可见 (t)不同，|a|是归一化因子，对同一信号(CWT f)(a,b)不同。

且(CWT f)(a,b)可简化为

f(t)a,b(t)dt f, a,b 即信号f(t)关于 (t)的连

续小波变换 f(t)与小波 a,b(t)的内积。

它定量地提出了信号与小波函数系中，每个小波有关or接近的程度。相似程度越大，内积越大。

将小波看成L(R)空间的基函数系，那么连续小波变换，也就是信号在基函数系上的分

2

sin t，e解or投影。这种基函数系相当于一般付里叶变换的cos t，　

一个函数 (t) L(R)能够作为母小波的条件是：

j t

。

2

C

( )|2|

d

| |

( )是 (t)的付里叶变换。 这里，

( )是连续函数。 如果 (t)是一个合格的窗函数，那么

所以上面条件即意味着：

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(0) (t)dt 0

jwt

(t)edt

w 0

该式的物理意义是：

“小波”即由此得名。 (t)是一个振幅衰减很快的波，

若母小波 (t)是中心为t0，有效宽度为Dt的偶对称函数，那么小波 a,b(t)的中心为

at0 b，宽度为aDt，如下图：

基小波与小波

如果把小波 a,b(t)看成宽度随a改变，位置b变动的时城窗，那么连续小波变换可以被看成是连续变化的一组短时付里叶变换的汇集。

这些短时付里叶变换，对不同信号频率，使用了不同宽度的窗函数。具体说，高频用窄时城窗，低频用宽时域窗。小波变换具有的这一宝贵性质称为“变焦距”性质、“200m性质”。这和一般的付里叶变换不同，FT的基函数是cos ,sin 且无限长。小波变换可移动变宽（低频）变窄（高频时）。

再在频城中考虑小波变换（恒Q性质）， a,b(t)的付里叶变换：

( )

a,b(t)e j tdt |a|

1

2

(a ) e j b

a,b( )是中心若母小波的付里叶变换的中心频率为 0，宽度为Dw的带通函数，那么

0D

，宽度为

的带通函数。 a 为

母小波和小波的频率特性

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由Rarseval恒等式（帕思瓦尔）得

(CWT f)(a,b)

1 , a,b f2

(a )内的局部信息。 a,b( )或 所以，连续小波变换给出了信号频谱在频域窗

设w0 0,a为正实变量，那么，可以把

0

看成频率变量。 a

a,b( )的带宽与中心频率之比为相对带宽，即：

D

a D ，与尺度参数a 、 b无关——“恒Q性质”

a

0

把

0

看成频率变量后，“时间—尺度”平面等效于“时间—频率”平面。 a

所以，连续小波变换的“时间—频率”定位能力和分辨率也可以用“时间—尺度”平面上的矩形分析窗口来描述，该窗口的范围是：

D D11

[b at0 aDt,b at0 aDt] [0 ,0 ]

22a2aa2a

D

a,b( )的用效宽度）窗口宽为aDt（即 a,b(t)的有效宽度），高为 （即 ，面积为DtD ，

a

与a无关反取决于 (t)的选择。

所以，一旦选定母小波 (t)，分析窗口的面积也就确定。

分析窗口的宽度aDt决定了时间分辨率和时间定位能力，a越小（对应于越高的频率），时间分辨率越高。

所以，分析高频采用窄的分析窗口。

由于分析窗口面积恒定（ (t)一定），当窗口变窄时，窗口的高度相应的增加，即频城分辨率和频率定位能力要降低。

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§6.3 Inversion of CWT（连续小波变换的反演）（逆变换）

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为了由连续小波变换重建原信号，需要定的逆变换公式。

从正变换：(C,WT f)(a,b) f, a,b 可看成是一种从L2(R)空间到L2(R2)空间的映射：

M:f(t) f, a,b

可以证明，它是一种等距映射，即任何信号f(t) L2(R)映射前后其总能量不变，差别仅在于一个常数因子C

C f,f

其中：C

| f, a,b |2

dadb 2a

①

( )|2|

d

| |

——即母小波应满足的条件！

对更一般的情况，任何两个信号f(t),g(t) L2(R) 则有：

C (f,g)

f, a,b g, a,b

dadb a2

②

①和②式称为小波 a,b(t)的“恒等分辨”性质。实质上，它是内积不变or保内积性质。 在Hilbert空间L(R)中，保内积等价于保范数 ∴ ①式用范数符号可写为：

2

C ||f||2

这里|| ||表示范数

|| f, a,b ||2

dadb 2a

所以，可以把连续小波变换的模的平方看成信号能量在时间—尺度平面上的分布密度。 ②式隐含着：

~(t)dadb f, a,ba,b

a2

1 ~(t)dadb 成立！ or f(t) C (CWT f)(a,b) a,b

a2

f(t) C

1

这就是连续小波变换的逆变换公式。

逆变换的存在，说明连续小波变换是完备的，它保留了信号的全部信息。因此，能够用它完全刻画信号的特征，并用一种数值稳定的方法，由它重建原信号。

~(t)— dual of (t) 对偶 Note：

~(t)与(t) 成对偶关系 a,ba,b

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逆变换公式还表明，L2(R)空间中，任何函数或任何能量有限的信号f(t)，都可以用小波函数 a,b(t)的线性加权和以任意精度来逼近。其加权系数就是信号对 (t)的连续小波变换。

也说明，小波是L2(R)空间的一个基底，小波变换是信号在这基底上的投影。 前面讲的窗口付里叶变换看成是信号在某基底上的投影，但它的基函数与小波有很大区别。

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§6.4 Discrimination of scale & Translation Parameters（尺度和明移参数离散比）

连续小波变换会有很多冗余信息，这就允许对尺度和时移参数进行取样，从而只用时间—尺度平面上一些适当选取的离散点上的小波变换值来描述信号，并由它以恢复信号。

尺度和时移参数离散化后计算的小波变换，称为小波级数系数。

尺度参数离散化的一种很自然的方法是对其按某个常数a0的整数幂进行取样，即取，一般不失一般性取a0 1。 a a0j，j为整数（j z）

对于远小于1的a值，j为绝对值很大的负整数，小波沿时间轴被高度压缩，但其付里叶变换沿频率轴展宽。

对于运大于1的a值，j为很大的z整数，小波沿时时间轴被展得很宽，而其付里叶变换沿频率轴被压缩。

所以，可以说，大尺度对应于“低频”小波，小尺度对应“高频”小波，a 1orj 0对应于母小波。

设母小波中心频率为 0，带宽为Dw，那么尺度为a a0j的小波中心频率为

0

a

0

aj

j

a j 0，带宽为a0Dw。

列表：（a0 2）

j2j

0

a

2

14 1122 02D

00

12

24

2 j 0 4 02 jD

4D

0

D

0

2D 2

0

4D 4

由图可以看出，对任何确定的时移参数b，当j取所有整数时，小波变换保留了信号在b时刻一个小邻域（其宽度由有效宽度决定）内的全部频谱信息。

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设母小波 (t)中心为0， 有效宽度为Dt，那么尺度为a a0j的小波的有效宽度为

a0jDt，中心等于时移参数b。

为了使它们经时移产生的小波集能覆盖整个时间轴，时移参数的取样步长应适应尺度的不同。具体来讲：

小尺度参数小波时移步长应当短，大尺度参数小波的时移步长应当长，表示为

b kb0a0j，不失一般性可取b0 1，

b ka0j（j,k z）

相应的小波函数集为：

xj,k(t)　 2jk2j(t) 2 j/2 (2 jt k) f(t)

j

C

k

j,k

j,k(t)

小波级数系数Cj,k (WT f)(2j,k2j) f, j,k

这实际上把一个能量有限的一维信号f L(R)映射成了定义在二维序列

2

{Cj,k} (j,k z)的离散取样点，则Cjk离散化后应满足：

⒈ 频域全覆盖； ⒉ 时域全覆盖；

⒊ f(t) WT 一一对应，且由WT可以稳定地重构f(t)。

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§6.5 Orthonormal Bases of Wavelets（规范正交小波基）

需要利用全部小波才能重构信号，这时的小波框架成为L2(R)的一个规范正交基，即：

j .k (t) j k (t)dt

j j 和k k 1 其它 0

~。因此，任何信号f(t) L2(R)可以规范正交小波基与它的对偶相同，即 j,k j,k

由小波系数Cj,k f, j,k 对 j,k(t)的加权和未准确重构。

f(t)

j

C

k

j,k

j,k(t)

2

存在着一些时域和频域局域化性质非常好的母小波，它们产生的小波构成L(R)的规范正交基。

历史上第一个规范正交小波基是Harr在1910年提出来的，Harr基的母小波表示为：

1

1 0 t 2

1

1,1(t) 1 t 1

2

0 其它

可以证明，由它产生的小波：

j,k(t) 2 j/2 (2 jt k)(j,k z)

构成L(R)一个规范正交基。

1930年，LiHlewood和Paley构造了另一种规范正交小波基

2

LP(t) ( t) 1(sin2 t sin t)

(2 ) 1/2, | |

其付里叶变换 LP

( ) 0 其它

具有良好的频域局域化性质。

但当t 时， LP(t)的振幅按|t|速度衰减 所以时域局域化性质差。 它们构造的小波

1

i,k(t) 2 j/2 (2 jt k)

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满足条件：

|| j,k|| 1和 |(f, jk)|2 ||f||2

j zk z

它是L2(R)的一个规范正交基。

到1986年，Mallat和Meyer发展的多分辨分析理论进而对各种规范小正交小波的构造给出了统一解释，并提供了构造其它规范正交小波基的工具。

小波分析，我们就简单介绍到这里，大家下去可看看有关书籍，进一步了解：小波框架的概念，多分辨率分析，规范正交小波基的构造及应用实例等。进而对小波分析有更深的理解。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r5ym.html