《二次函数的图象和性质——22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质》

《二次函数y=ax2的图象和性质》教学

设计

一、教学目标

1．了解二次函数的图象是一条抛物线；会画二次函数y =ax 2的图象． 2．掌握二次函数y =ax 2的性质，并会灵活应用．

二、教学重点及难点

重点：

1．探索二次函数2

ax y =的性质；

2．能运用二次函数2ax y =的图象和性质解决简单的实际问题． 难点：

1．用描点法画出二次函数y =ax 2的图象；

2．探索二次函数y =ax 2的性质． 三、教学用具

多媒体课件，三角板或直尺。

四、相关资源

《一次函数图象与性质研究过程》动画，《函数y =x 2的图象画法》动画，《函数y =0.5x 2，y =2x 2的图象》图片，《函数222122

y x y x y x =-=-=-，，的图象》图片。 五、教学过程

【温故知新】

1．同学们可以回想一下，一次函数的性质是如何研究的？

师生活动：教师用多媒体出示问题，学生集体回答．

小结：先画出一次函数的图象，然后观察、分析、归纳得到一次函数的性质．

2．我们能否类比研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质呢？如果可以，应先研究什么？

师生活动：学生独立思考，回答问题．教师重点关注：学生能否联想到研究一次函数性质的方法——从特殊到一般的，分类的思想．

小结：可以用研究一次函数性质的方法来研究二次函数的性质，应先研究二次函数的图象．

3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么？

师生活动：教师先出示第一个问题，学生一起回答，然后抛出第二个问题，引出本节课的课题．

设计意图：通过设置疑问：二次函数的图象是什么？激发学生的探究欲望，为下面的探究开个好头．

【合作探究】

1．画二次函数2

y x =的图象．

师生活动：师生一起完成画图，教师先出示表格，先由学生说出x 对应的y 值，再描点、连线．教师强调在连线时，注意要用平滑的曲线连线，不能直接用线段把点与点之间连接．

解：（1）列表：在x 的取值范围内列出函数的对应值表：

（2）描点：在直角坐标系中描点，用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．

（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数2

y x =的图象，如图所示．

2．思考：观察这个函数的图象，它有什么特征？请把你的发现说出来．

师生活动：让学生观察师生所画的图象，小组交流，思考、讨论．小组代表汇报讨论结果，教师聆听，给出抛物线、顶点的概念．并说明：二次函数2

x y =的图象是一条抛物线，实际上，二次函数的图象都是抛物线．

结论：图象有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大．

抛物线：像2

y x =这样的曲线通常叫做抛物线．

顶点：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．

设计意图：通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中，注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习2

y ax =的图象奠定基础．

【例题分析】

例 在同一直角坐标系中，画出函数2

2122

y x y x =

=，的图象． 师生活动：学生尝试自己动手画图，教师巡查，关注学生列表所取的值是否正确，连线是否用平滑曲线．

解：列两个表：

分别描点画图：

设计意图：在合作探究画图的基础上，学生独立完成作图，通过列表、描点、连线再一次印证这节课的知识目标．

【探讨性质】 1．思考：（1）函数2

2122

y x y x ==，的图象与2y x =的图象相比，有什么共同点和不同点？

在同一个坐标系中画出三个函数的图象． 师生活动：学生讨论后回答，教师点拨． 小结：

相同点：开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点． 不同点：a 越大，抛物线的开口越小．

（2）当a ＞0时，二次函数2

y ax =的图象有什么特点？

师生活动：一名学生回答，其他学生订正，学生不知道的地方教师补充．

归纳：一般地，当a ＞0时，抛物线2y ax =的开口向上，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小．

2．探究：（1）在同一直角坐标系中，画出函数222122y x y x y x =-=-

=-，，的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点． 师生活动：教师利用多媒体出示函数222122y x y x y x =-=-

=-，，的图象，学生观察图象，交流、讨论并回答问题．

结论：

（1）相同点：开口向下，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点． 不同点：a 越小，抛物线的开口越小．

（2）当a ＜0时，二次函数2y ax =的图象有什么特点？

师生活动：一名学生回答，其他学生订正，学生不知道的地方教师补充．

结论：一般地，当a ＜0时，抛物线2y ax =的开口向下，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小．

3．通过思考和探讨，你能总结出二次函数2y ax =的性质吗？

师生活动：师生一起总结二次函数2y ax =的性质．

归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线2y ax =，|a |越大，抛物线的开口越小．

从二次函数2y ax =的图象可以看出：如果a ＞0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；如果a ＜0，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．

设计意图：让学生从“形”直观地了解性质，从“式”来加以分析、解释性质，最终归纳出2y ax =的图象和性质．

【练习巩固】

1．抛物线213

y x =不具有的性质是（ ）． A ．对称轴是y 轴

B ．开口向上

C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小

D ．有最高点

2．如图，四个二次函数的图象中，分别对应的关系式是：①y =ax 2；②y =bx 2；③y =cx 2；④y =dx 2，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（ ）．

A ．a ＞b ＞c ＞d

B ．a ＞b ＞d ＞c

C ．b ＞a ＞c ＞d

D ．b ＞a ＞d ＞c

3．（1）抛物线y =－5x 2，当x = 时，y 有最 值，是 ．

（2）当m = 时，函数y =m m

x m --2)1(是二次函数，且图象开口向上． 4．已知抛物线212

y x =-上的两点1122()()x y x y ，，，，其中120x x ＜＜，则1y 与2y 的大小关系是 ．

5．求下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：

（1）213y x =；（2）214

y x =-；（3）23y x =；（4）24y x =-． 设计意图：考查了二次函数2y ax =的图象和性质的理解和掌握．

参考答案

1．D 2．A 3．（1）0 大 0 （2）2 4．12y y ＜

5．解：（1）在函数213y x =中，因为13＞0， 所以抛物线213

y x =的开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0）． （2）在函数214y x =-中，因为14

-＜0， 所以抛物线214

y x =-的开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0）． （3）在函数23y x =中，因为3＞0，

所以抛物线23y x =的开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0）．

（4）在函数2

4y x =-中，因为－4＜0，

所以抛物线24y x =-的开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0）．

设计意图：考查对二次函数2y ax =的性质的理解和掌握． 六、课堂小结

1．二次函数作图的三个步骤

①列表；②描点；③连线．

2．二次函数2

y ax =的性质

一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点．当a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线2y ax =，|a |越大，抛物线的开口越小．

从二次函数2y ax =的图象可以看出：如果a ＞0，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；如果a ＜0，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．

设计意图：梳理本节课的主要知识点，让学生明确重点、难点． 七、板书设计

22.1 二次函数的图象和性质

——22.1.2 二次函数y =ax 2的图象和性质

1．画二次函数y =ax 2图象步骤

2．二次函数y =ax 2的图象

3．二次函数y =ax 2的性质

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