中考数学一轮复习讲义（第4章图形认识初步）

第四章 图形认识初步

本章小结

小结1 本章内容概览

本章的主要内容是多姿多彩的图形，直线、射线、线段以及角等有关的概念及其性质．其课标要求是：

(1)理解线段、直线和射线的区别与联系，会比较线段的大小，并进行计算． (2)理解角的概念，会比较角的大小，会进行角的度数的计算． (3)了解互余、互补的概念，理解它们的性质． 小结2 本章重点、难点：

本章的重点是线段和角的概念及其相关的性质；难点是对平面图形的概念及其相关性质的理解．

小结3 本章学法点津

1．要通过直观感知，具体操作、确认等实践活动，区分图形，探索出图形的特征和性质，培养空间想象能力．

2．要注意多观察、多分析实物，勤动手操作、勤动脑联想，同时又要注意对图形语言的理解和符号语言的运用．

3．要淡化概念识记、不能机械地套用公式模式，达到“在做中学，在学中做”． 4．要注重“简单说理”推理能力的培养，养成言之有据的良好习惯．

知识网络结构图

重点题型总结及应用

题型一 计算几何图形的数量

1．数直线条数

例1 已知n(n≥2)个点P1，P2，P3，?，Pn在同一平面上，且其中没有任何三点在同一直线上．设Sn表示过这n个点中的任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S2=1，S3＝3，S4＝6，S6＝10，?，由此推断，Sn＝ . 答案：

n(n?1)2

点拨

经过第一个点可以引出(n－1)条直线，经过第二个点可以新引出(n－2)条直线，经过第三个点可以新引出(n－3)条直线，?，所以n个点一共可以引出Sn＝ (n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋?＋1＝

n(n?1)2条直线．

2．数线段条数

例2 如图4—4—1所示，C、D为线段AB上的任意两点，那

么图中共有多少条线段?

解：按照从左到右的顺序去数线段条数，以A为一个端点的线段有3条：AC、AD、AB；以C为一个端点的新线段有2条：CD、CB；以D为一个端点的新线段有1条：DB．所以共有线段3＋2＋1＝6(条)．

点拨

线段的条数与线段上固定点(包括线段两个端点)的个数有密切联系，线段上有n 个点(包括线段两个端点)时，共有线段

n(n?1)2条．

例3 小明在看书时发现这样一个问题：在一次聚会中，共有6人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手呢?小明通过认真思考得出了答案．为了解决一般问题，小明设计了下列图表进行探究： 参加人数 握手示 意图

握手次数

1

2＋1=3

3＋2＋1=6

4＋3＋2＋1=10

?

2

3

4

5

?

请你根据上面图表归纳出参加人数与握手次数之间关系的一般结论． 分析：本题研究的是握手次数问题，但可以将此问题转化成研究平面上的点构成线段的条数问题．这里把每个人看作一个点，根据图表中的信息，通过探究推理可得到问题的答案． 解：若有6人参加，则共握手15次．

结论：若有n(n≥2，且n为整数)人参加，则共握手(n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋?＋4＋3＋2＋1＝

n(n?1)2 (次)．

点拨

解决此类问题的关键是将实际问题抽象转化为平面图形的具体计数问题。再进行探究． 3．数直线分平面的块数

例4 豆腐是我们生活中的常见食品，常被分割成长方体或正方体的小块出售．现请你用刀切豆腐，每次切三刀，能将豆腐切成多少块?

分析：这三刀可以随意切，不要拘泥于规范、常见切法．从不同的角度下手，得到的小块豆腐的块数可能不同．

解：如图4—4—2所示，能将豆腐切成4块、6块、7块或8块．

点拨

在截一个几何体之前应充分想象截面可能的形状，然后实际操作，在比较想象结果与实际结果的差异的过程中，可以丰富我们的几何直觉，积累数学活动经验，同时培养我们的空间观察能力．

题型二 两角互补、互余定义及其性质的应用

例5 一个角的补角是这个角的4倍，求这个角的度数．

解：设这个角是x°，则它的补角是(180－x)°．

由题意，得180－x＝4 x，解得x＝36．所以这个角是36°． 点拨

本题主要考查补角定义的应用，数学中利用方程、转化思想，可将“形”的问题转化为“数”的问题研究，从而简捷解决问题．

例6 如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是( )

A．30° B．60° C．90° D．150°

解析：本题是对余角、补角的综合考查，先根据这个角的补角是120°，求出这个角是60°，再求出它的余角是30°． 答案：A

例7 根据补角的定义和余角的定义可知，10°的角的补角是170°，余角是80°；15°的角的补角是165°，余角是75°；32°的角的补角是148°，余角是58°．?. 观察以上各组数据，你能得出怎样的结论?请用任意角α代替题中的10°、15°、32°的角来说明你的结论．

解：结论为：一个角的补角比这个角的余角大90°．

说明：设任意角是α(0＜α＜90°)，α的补角是180°－α，α的余角是90°－α，

则 (180°－α)－(90°－α)＝90°. 题型三 角的有关运算

例8 如图4—4—3所示，AB和CD都是直线，∠AOE＝90°，∠3°=∠FOD，∠1＝27°20′，求∠2、∠3的度数． 解：因为∠AOE＝90°，

所以∠2＝90°－∠1＝90°－27°20′＝62°40′． 又因为∠AOD＝180°－∠1＝152°40′，∠3＝∠FOD， 所以∠3＝

12∠AOD＝76°20′．

所以上2＝62°40′，∠3＝76°20′．

例9 如图4—4—4所示，OB、OC是∠AOD内任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC=β，用α、β表示∠AOD．

解：因为∠MON＝α，∠BOC=β，

所以∠BOM＋∠CON＝∠MON－∠BOC=α－β

又OM平分∠AOB，ON平分∠COD， 所以∠AOB＋∠COD＝2∠BOM＋2∠CON =2(∠BOM＋∠CON)＝2(α－β)，

所以∠AOD＝∠AOB＋∠COD＋∠BOC＝2(α－β)＋β=2α－β.

例10 (1)用度、分、秒表示54．12°． (2)32°44′24″等于多少度?

(3)计算：133°22′43″÷3．

解：(1)因为0．12°＝60′×0．12=7．2′，0.2′=60″×0．2=12″， 所以54．12°=54°7′12″． (2)因为24″=(

160160)′×24＝0．4′，44．4′=()°×44．4=0．74°，

所以32°44′24″=32.74°．

(3)133°22′43″÷3＝(132°＋82′)÷3＋43″÷3=44°＋82′÷3＋43″÷3 ＝44°＋(81′＋1′)÷3＋43″÷3=44°＋27′＋1′÷3＋43″÷3

=44°＋27′＋103″÷3≈44°＋27′＋3″=44°27′3″.

方法总结

角的有关运算是指角的单位换算和角的加、减、乘、除运算．角度制的单位是 60进制的，和计量时间的时、分、秒一样．加减时，要将度、分、秒分别相加、相减，分、秒逢60要进位，而相减不够时要借1作60；度、分、秒形式乘一个数时，要将度、分、秒分别乘这个数，分、秒逢60进位；度、分、秒形式除以一个数时，也是将度、分、秒分别除以这个数，不过要将高位的余数转化成低位，与原位上的数相加后再除以这个数．

题型四 钟表的时针与分针夹角问题

例11 15：25时钟面上时针和分针所构成的角是 度． 解析：起始时刻定为15：00(下午3点整时，时针和分针构成的角是90°)，终止时刻为15：25，从图4—4—5中可以看出分针从12转到5用了25分钟，

转了6°×25＝150°，时针转了0．5°×25＝12．5°，所以15：25时钟面上时针和分针所构成的角为150°－90°－ 12．5°＝47．5°． 答案：47．5

点拨

解决此类问题时要选择恰当的起始时刻，注意时针和分针同时在运动，并牢记时针每分钟转＝o．5

30?60=0.5，分针每分钟转

360?60＝6°．

题型五 图形的转化

例12 下列图形中不是正方体的平面展开图的是( )

解析：通过折叠验证四个选项，可得正确答案． 答案：C

点拨

立体图形的平面展开图是沿着立体图形的一些棱将它剪开，把立体图形展开成一个平面图形．一个正方体的平面展开图中，在同一直线上相邻的三个正方形中，首尾两个正方形是

正方体中相对的两个面．

例13 如图4—4—6所示，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中虚线剪开后，得到标号为P、Q、M、N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系填空：A与 对应；B与 对应；C与 对应；D与 对应．

解析：按照剪开的形状，找出对应的图形． 答案：M，P，Q，N 题型六 方位角

例14 如图4—4—7所示，我海军的两艘军舰(分别在A、B两处)同时发现了一艘敌舰，其中A舰发现它在北偏东15°的方向上，B舰发现它在东北方向上，试画出这艘敌舰的位置(用字母C表示)．

解：如图4—4—8所示，分别以点A、点B为中心建立方位图，表示东北方向的射线 BE与表示北偏东15°方向的射线AD的交点C即为这艘敌舰的位置．

点拨

利用角度来描述方位，以正北、正南的方向为基准，先确定是北还是南，然后确定东、西方向，最后确定偏东(或西)的角度，注意东北方向是北偏东45°．

思想方法归纳

1．分类讨论思想

分类讨论，就是对问题所给对象的条件、结论、图形等不能进行统一研究时，就需要将研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．注意分类时要做到按同一标准且不重不漏．

例1 已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，求线段AC的长． 解：本题分两种情况：

如图4—4—9所示，当点C在线段AB的延长线上时， AC＝AB＋BC＝8＋3＝11(crn)；

如图4—4—10所示，当点C在线段AB上时， AC=AB－BC＝8—3＝5(cm)．

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