第四课时期望与方差

教学目标：

1．了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．

2

2．了解方差公式“D(aξ+b)=aDξ”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Dξ=np(1—p)”，并会应用上述公式计算教学重点：教学难点：授课类型：教学过程： 一、导入：

1．随机变量腊字母ξ、η2．离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随3．连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随4．离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不5

6．分布列的两个性质： （1）i≥0，i＝1，2， ； （2）P1 P2 1．

kkn kCpqn7

qpq 1 p8．几何分布： g(

9．数学期望： nn则称 E x1p1 x2p2 为ξ的数学期望，简称期望．

10．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 pn，则有p1 p2

11．平均数、均值：在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1 p2

pn

11

xn)

n，E (x1 x2 n，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值12．期望的一个性质：E(a b) aE b

13．若ξ B（n，p），则Eξ=np

二、教学理论：

1．方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2， ，xn， ，且取这些值的概率

p分别是p1，p2， ，n， ，那么，

2

D ＝(x1 E )2 p1＋(x2 E )2 p2＋ ＋(xn E ) pn＋

称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E 是随机变量ξ的期望． 2．标准差：D 的算术平方根D 叫做随机变量ξ的标准差，记作 ． 3．方差的性质：（1）D(a b) aD ；（2）D E (E )；

（3）若ξ～B(n，p)，则D np(1-p4．其它：

（1）随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；

（2）随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；

（3

三、巩固运用：

例1

222

求Dξn 1n2-1E D

212

解：（略）

1

2111 2 7 4777解：； 111

D 1 (1 4)2 (2 4)2 (7 4)2 4

D 1 777；1

111

E 2 3.7 3.8 4.3 4

777；

E 1 1

D 2=0．04， 2 D 2 0.2．

点评：本题中的 1和 2都以相等的概率取各个不同的值，但 1的取值较为分散， 2的取值较为集中．E 1 E 2 4，D 1 4，D 2 0.04，方差比较清楚地指出了 2比 1取值更集中．

1＝2， 2=0.02，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差例3． 甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2，

0.6，0.2；射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4，0.2，

解：

E 1 8 0.2 9 0.6 10 0.2 9

D 1 (8 9)2 0.2 (9 9)2 0.6+（10-9）2 0.2 0.4；

同理有E 2 9,D 2 0.由上可知，E 1 E 2，1

均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环地次数多些．

D D

点评：本题中， 1和 2所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情况不同．E 1 E 2=9，这时就通过

D 1=0．4和D 2=0．8来比较 1和 2的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况例4．A、B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：

解： Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44， Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44． 222

Dξ1=（0-0.44）×0.7+（1-0.44）×0.2+（2-0.44）

2

×0．06+（3-0.44）×0.04=0.6064，

222

Dξ2=（0-0.44）×0.8+（1-0.44）×0.06+（2-0.44）

2

×0.04+（3-0.44）×0.10=0.9264．

∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好．

四、练习： C班：

1．已知

~B n,p ,E 8,D 1.6，则n,p的值分别是（ ）

A．100和0.08； B．20和0.4； C．10和0.2； D．10和0.8 答案：1．D

2．有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ B（200，1%），从而可用公式：Eξ=np，Dξ=npq(这里q=1-p)解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ B（200，1%Eξ=np，Dξ=npq，这里n=200，p=1%，q=99%，所以，Eξ=200×1%=2，D

ξ=200×1%×99%=1．98

3．在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？

分析：这是同学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，

E 0

391111

5 25 100 0.2400505002000

答：一张彩票的合理价格是0．2元．

其中A、 B分别表示A、B两种钢筋的抗拉强度．在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较A、B分析： 两个随机变量 A和 B都以相同的概率0.1，0.2，0.4，0.1，0.2取5个不同的数值． A取较为集

中的数值110，120，125，130，135； B取较为分散的数值100，115，125，130，145．直观上看，猜想A种钢解：先比较 A与 B的期望值，因为

E A=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125， E B=100×0．1+115×0.2+125×0.4十130×0.1+145×0.2=125．

所以，它们的期望相同．再比较它们的方差．因为

2 2 2 2

D A=(110-125)×0.1+(120-125) ×0.2+(130-125)×0.1+(135-125)×0.2=50， D B=(100-125)×0.1+(110-125) ×0．2+(130-125)×0.1+(145-125)×0.2=165． 所以，D A<D B．因此，A2

2

2

2

A班：

1．一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．

分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题．本例采用不放回抽样，每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的．如果抽样采用放回抽样，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件．

解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3 当ξ=0时，即第一次取得正品，试验停止，则

93 124 P（ξ=0）=

当ξ=1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则

399

P（ξ=1）=121144

当ξ=2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止，则

3299

P（ξ=2）=121110220

32191

当ξ=3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止，则P（ξ=3）=1211109220

399130 1 2 3 44422022010所以，Eξ=

2．设事件A发生的概率为p，证明事件A在一次试验中发生次数ξ的方差不超过分析：这是一道纯数学问题．要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法，关键还是掌握随机变量的分布列．求出方差Dξ=P(1-P)后，我们知道Dξ是关于P(P≥0)的二次函数，这里可用配方法，也可用重要不等式证明：因为ξ所有可能取的值为0，1且P（ξ=0）=1-p，P(ξ=1)=p， 所以，Eξ=0×(1-p)+1×

p (1 p) 1

2 224 则 Dξ=（0-p）×(1-p)+(1-p)×p=p(1-p)

3．设 ～B(n、p)且E =12 D =4，求n、p

解：由二次分布的期望与方差性质可知E =np D = np（1－p）

2

n 18

np 122

p 3 ∴ np(1 p) 4 ∴

11

4．已知随机变量 服从二项分布即 ~B(6、3)求b (2；6，3)

12224

解：p( =2)=c6(3)(3)

五、教师总结：

（1）求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；④根据方差、标准差的定义求出

D 、 ．若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．

（2）对于两个随机变量 1和 2，在E 1和E 2相等或很接近时，比较D 1和

D 2

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