全国自考线性代数（经管类）往年试题答案2009-2007 - 图文

、

全国2009年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

01?111．行列式

?101?11?101第二行第一列元素的代数余子式A21?（ B ）

?11?10A．?2

B．?1

C．1

D．2

1?11101A21???101???1?11??01??1．

1?10100?112．设A为2阶矩阵，若|3A|?3，则|2A|?（ C ） A．

12 B．1

C．43 D．2

|3A|?3，9|A|?3，|A|?1，|2A|?4|A|?433．

3．设n阶矩阵A、B、C满足ABC?E，则C?1?（ A ）

A．AB

B．BA

C．A?1B?1 D．B?1A?1

由(AB)C?E，得C?1?AB．

4．已知2阶矩阵A???ab??d??的行列式|A|??1，则(A*)?1?（ A ） ?c?A．???a?b??db??B．??d?b?

D．??ab???c?d?? ?

C．?????ca?? ???c?a?? ??d?? ?c?因为A?1?1A*，所以A*?1??(A*)?1?1???a?b?|A|??A?|A|??E，?|A|A??A????c?d??． ?5．向量组?1,?2,?,?s（s?2）的秩不为零的充分必要条件是（ B ） A．?1,?2,?,?s中没有线性相关的部分组 B．?1,?2,?,?s中至少有一个非零向量 C．?1,?2,?,?s全是非零向量

D．?1,?2,?,?s全是零向量 6．设A为m?n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax?0有非零解的充分必要条件是（ C ）

A．r(A)?n B．r(A)?m C．r(A)?n D．r(A)?m 7．已知3阶矩阵A的特征值为?1,0,1，则下列矩阵中可逆的是（ D ）

A．A

B．E?A

C．?E?A

D．2E?A

2E?A的特征值为3,2,1，|2E?A|?3?2?1?0，2E?A可逆．

8．下列矩阵中不是．．

初等矩阵的为（ D ） ?100??100??100??100?A．??010??

B．??010??

C．??020??

D．??110?? ??101?????101????001????101????100??E??010?第1行加到第3行得A，第1行的（?1）倍加到第3行得B，第2行乘以2得C，以上??001??

1

、

都是初等矩阵．而E的第1行分别加到第2、3两行得D，D不是初等矩阵．

9．4元二次型f(x1,x2,x3,x4)?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4的秩为（ B ） A．1

B．2 C．3 D．4

??0101?010?二次型的矩阵A??1010???1?101????0101???0?000?，秩为2． ???0??1010????0000???001?10．设矩阵??A??010?，则二次型xTAx的规范形为（ D ） ??100??A．z2222221?z2?z3

B．?z1?z222?z3

C．z21?z2?z3

D．z221?z2?z23

?x1?y1?y令?3?x?yT?x222222222，则xAx2?2x1x3?2y1?y2?2y3?z1?z2?z3． ??x3?y1?y3?0?1解法二：|?E?A|?0??10?(??1)2(??1)，存在正交矩阵P，使得

?10???100?PT?AP??010?，即xTAx的规范形为z2221?z2?z3． ??00?1??二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．已知行列式a1?b1a1?b1a．

2?b2a??4，则

a1b12?b2a2b?_________2a1?b1a1?b1a1?b1a2?b2a?2a1?2a1a1?b12a1?b1b12?b22a2a2?b2a2a2?b?2a2?b??2a12a2b??4，2a1b1a?2．

2b212．已知矩阵A?(1,2,?1),B?(2,?1,1)，且C?ATB，则C2?_________．

??1????2?11??C?ATB??2?(2,?1,1)??4?22?，所以 ???1?????21?1????2?11????2?11?????21?1?C2???4?22??4?22????42?2?． ???21?1?????21?1????2?11???1?解法二：注意到BAT?(2,?1,1)???2???1，所以

???1??

2

、

???21?1??C2?AT(BAT)B??ATB??C???42?2?． ??2?11???100???113．设矩阵?A??220?，则??1A???_________．

??333??2????100100????100100???100?(A,E)??220010???010?11/20?，?1??A???11/20?， ??333001????0010?1/21/3????0?1/21/3????200??1?1??A???2A?1???210?2??． ??0?12/3??14．已知矩阵方程XA?B，其中A???10??，B???1?1??1????10??，则X?_________． ?2?A?1?1|A|A????10??1???1?1?0??1????21??，X?BA???10????1????21??3??????10??． ?15．已知向量组?T?TT1?(1,2,3),2?(2,2,2),?3?(3,2,a)线性相关，则数a?_________．

123由222?2(1?a)?0，得a?1． 32a16．设?,0,0)T,?1,0)T1?(12?(0,，且?1??1??2,?2??2，则?1,?2的秩为_________．

?T1?(1,?1,0),?2?(0,1,0)T线性无关，秩为2．

??121?17．设3元方程组增广矩阵为?1??0a?101?，若方程组无解，则a的取值为_______． ??00a?10??当且仅当a??1时，a?1?0，r(A,b)?2，r(A)?1，方程组无解． 18．已知3阶矩阵A的特征值分别为1,2,3，则|E?A|?_________．

E?A特征值分别为2,3,4，|E?A|?2?3?4?24．

19．已知向量??(3,k,2)T与??(1,1,k)T正交，则数k?_________． 由(?,?)?0，即3?3k?0，得k??1．

20．已知f(x2221,x2,x3)?(1?a)x1?x2?(a?3)x3正定，则数a的取值范围是_________．

?1?a?0?a???3?0，1?，?3?a?1． ?a?a??3三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

x?1?11?121．计算行列式D?1x?11?11?1x?1?1的值．

1?11x?1

3

、

x?1?1x?1?1?111x?11?1?1?1x?1?xxxx?1x?1?1?111x?11?1?1?1x?1?x000?1x0010x0?100x?x．

4解：D?111?222．设矩阵A????1?1??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?E，求|B|． 2???1解：由BA?B?E，得B(A?E)?E，B?(A?E)?2A?E????1?1??1????2???00??1????1????1，其中

11?2，|B|?|A?E|?11?1?，|A?E|?1??1??12．

?x1?x2?a1?23．已知线性方程组?x2?x3?a2，（1）讨论常数a1,a2,a3满足什么条件时，方程组有解．

?x?x?a13?3（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）．

?1?解：（1）(A,b)??0??1??1???0?0??110?110?110T0?110?100?10a1??1??a2???0?0a3???a1a2a1?a2?11?10?11??a2? a1?a3??a1???，a1?a2?a3?0时，方程组有解． ?a3??010?1?10a1?a2??x1?a1?a2?x3?a1?a2???a2a2?x3，通解为?a2?，?x1????00x3???x3?TT?1?（2）(A,b)??0?0?a1??1??a2???0?00???T??1??????k?1?． ??1????24．设向量组?1?(1,4,1,0),?2?(2,1,?1,?3),?3?(1,0,?3,?1),?4?(0,2,?6,3)，求该向量组的秩及一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示． ?1??4解：(?1,?2,?3,?4)??1??0??1??0??0??0?2?3?3?211?1?4?1221?1?310?3?10??1??2??0??0?6?????03??2?3001?1?3?52?7?3?31?4?4?10??1??2??0??0?6?????03??2?3001?1112?3?3?70??3? ?3?3??1?1?4?40??3? ??6?2??0??1??3??0??0?6?????06??0??1??3??0??0?9?????0?15???1??0??0??0?2?3001?1100??1??3??0??03?????00??2?3000010?3??1??6??0??03?????00??421000010?3??1???2??0??03?????00??010000101???2?， ?3?0??向量组的秩为3，?1,?2,?3是一个极大线性无关组，???1?2?2?3?3．

4

、

?12??5?，B???23???T25．设矩阵A???4?A?20?T?，存在?1?(1,2),???1?T2?(?1,1)T，使得A?1?5?1,

?1???2；存在?1?(3,1),?2?(0,1)，使得B?1?5?1,B?2???2．试求可逆矩阵P，使得PAP?B．

解：由题意，A的特征值为5,?1，对应的线性无关特征向量为?1,?2；B的特征值为5,?1，对应的线性无关特征向量为?1,?2．

令P(????1?1?0?1?1,?2)?1??，则P?1?51是可逆矩阵，使得P1AP1???2?0?1??； ???令P?30?0?2?(?1,?2)???11??，则P?1?52是可逆矩阵，使得P2BP2???????0?1?． ?由上可得P?1?1?1?1?1?1?11AP1?P2BP2，从而(P2P1)A(P1P2)?B，即(P1P2)A(P1P2)?B，令

?1P?PP?112???1?1??1????10?????30????2/3?1???21????11??1??1?3??21?????13??????1/31?，则P是可逆矩阵，使得P?1AP?B． ?26．已知f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3，求正交变换x?Py，将二次型化为标准形．

?11?解：原二次型的矩阵为?0?A??101?． ??110????1?1??2?1?11?1?1|?E?A|??1??1???2??1?(??2)1??1 ?1?1???2?1?1?1?100?(??2)1??10?(??1)2(??2)，

10??1A的特征值为?1??2??1，?3?2．

对于?1??2?2，解齐次方程组(?E?A)x?0：

???1?1?1?1??1??E?A????11??x1??x2?x3??1????1?1?1???000? ，??x?????2?x2，取1?1?，

2????0?， ???1?1?1????000????x??3?x0?3???1?????1?先正交化：????1???1???1??1??1?，?2??2?(?2,?1)?????1/2???0?1?1??1/2?||?21??????． ?0??1||??1?2???0????1????1/2???1再单位化：p1???/6??1?||??/2?，p11??1?2??2???1/6?． 1||??||?0??2||????2/6???对于?3?2，解齐次方程组(?E?A)x?0：

??1?1???2???10?1???x1?x3?1???1/3??E?A???12?1???01?1? ，??x2?x3，取?3????1?，单位化为 p13??3??1/3????1?12????000????x3?x?||?3||?3?1????1/3?． ??

5

、

??1/2?令P??1/2??0?四、证明题(本题6分)

?1/?1/2/6661/1/1/3??2223?，则P是正交矩阵，经过正交变换x?Py后，原二次型化为标准形 ?y1?y2?2y3． ?3??27．设向量组?1,?2,?3线性无关，且??k1?1?k2?2?k3?3．证明：若k1?0，则向量组?,?2,?3也线性无关． 证：设x1??x2?2?x3?3?0，即k1x1?1?(k2x1?x2)?2?(k3x1?x3)?3?0．

?0?k1x1??0． 由?1,?2,?3线性无关，可得?k2x1?x2??k3x1k1若k1?0，则方程组的系数行列式k2k3

?x3?00010?k1?0，只有x1?x2?x3?0，所以?,?2,?3线性无关． 016

、

2009年7月自考线性代数试题答案

课程代码：02198

7

8

、

9

、

10

、

、

全国2009年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

0?1011?1中元素a21的代数余子式A21?（ C ） 01．3阶行列式|aij|?A．?2

A21???111?1

10

?1．

B．?1 C．1 D．2

?a112．设A???a?21a12??a21?a11?，B???a22?a11??a22?a12??0?，P1????1a12??1??1?，P2???10???0??，则（ A ） 1??A．P1P2A?B

?0P1P2A???1?1??1???0???1

0??1??B．P2P1A?B ?a11??a?21a12??1????a22???1

C．AP1P2?B

D．AP2P1?B a22?a12???B． ?a12?1??a11???0???a21a12??a21?a11????a22?a11???13．设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC?E，则BA．A?1?（ D ）

C?1

?1B．CB?1?1A?1

?1

?CA．

C．AC D．CA

由ABC?E，得CA?1?E，B?0?4．设3阶矩阵A??0?0?1000??21?，则A的秩为（ B ） 0??A．0

A2

100 B．1

100

0??0??1???0?0???0

000C．2 D．3

?0???0?0?0??0??1??0?0???01??20?，A的秩为1． 0??5．设?1,?2,?3,?4是一个4维向量组，若已知?4可以表为?1,?2,?3的线性组合，且表示法惟一，则向量组?1,?2,?3,?4的秩为（ C ）

A．1

B．2

C．3

D．4

?1,?2,?3是?1,?2,?3,?4的极大无关组，?1,?2,?3,?4的秩为3．

6．设向量组?1,?2,?3,?4线性相关，则向量组中（ A ） A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合

7．设?1,?2,?3是齐次线性方程组Ax?0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ B ） A．?1,?2,?1??2 C．?1,?2,?1??2

B．?1??2,?2??3,?3??1 D．?1??2,?2??3,?3??1

只有?1??2,?2??3,?3??1线性无关，可以作为基础解系．

?28．若2阶矩阵A相似于B???2?0??，E为2阶单位矩阵，则与E?A相似的是（ C ） ?3???1A．??1?0?? 4??

??1B．??1?0?? ?4??

??1C．???2?0?? 4??

??1D．???2?0?? ?4??11

、

B与A相似，则P?1AP?B，P?1(E?A)P?E?B，即E?B????10????24??与E?A相似． ??00?9．设实对称矩阵A??2?0?42?元二次型f(xT?，则31,x2,x3)?xAx的规范形为（ D ） ??02?1??A．z2?z2222212?z3

B．z1?z2?z3

C．z221?z2

D．z221?z2

2x2222222221?4x2?4x2x3?x3?2x1?(4x2?4x2x23?x3)?2x1?(2x2?x3)，规范形为z1?z2．

10．若3阶实对称矩阵A?(aij)是正定矩阵，则A的正惯性指数为（ D ） A．0 B．1 C．2

D．3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

a112a123a13a11a12a1311．已知3阶行列式2a214a226a23?6，则a21a22a23?_______________．

3a316a329a33a31a32a33a112a123a13a112a123a13a11a12a132a214a226a23?2?3?a212a223a23?2?3?2?3?a21a22a23?6，

3a316a329a33a312a323a33a31a32a33a11a12a13a121a22a23?6．

a31a32a3312．设3阶行列式D3的第2列元素分别为1,?2,3，对应的代数余子式分别为?3,2,1，则D3?_______________．D3?a21A21?a22A22?a23A23?1?(?3)?(?2)?2?3?1??4．

13．设A???12??0??，则A2?2A?E?_______________． ??1?A2?2A?E?(A?E)2???02?2???2?2???1?1??0???????1?1??????1???1?． ?14．设A为2阶矩阵，将A的第2列的（?2）倍加到第1列得到B???12???34??，则A?_____． ?将B的第2列的2倍加到第1列可得A???52???114??． ??01?15．设3阶矩阵?0?A??022?，则A?1?_______________． ??333????001100????333001????330?301??(A,E)??022010???022010???020?210? ??333001????001100????001100????660?602????6000?32????1000?1/21/3????020?210???020?210???010?11/20?， ??001100????001100????001100??

12

、

?0????1?1??1/21/201/3??0?． 0??A?116．设向量组?1?(a,1,1)，?2?(1,?2,1)，?3?(1,1,?2)线性相关，则数a?___________．

a111?2111?2?a1?a1?2aT1?3310?0T1?a1?2a?33?6?3a?0，a??2．

17．已知x1?(1,0,?1)，x2?(3,4,5)是3元非齐次线性方程组Ax?b的两个解向量，则对应齐次线性方程组Ax?0有一个非零解向量??_______________．

??x2?x1?(2,4,6)（或它的非零倍数）．

18．设2阶实对称矩阵A的特征值为1,2，它们对应的特征向量分别为?1?(1,1)，?T2T?(1,k)，则数k?______________． T?1和?2属于不同的特征值，所以它们是正交的，即(?1,?2)?0，即1?k?0，k??1． 19．已知3阶矩阵A的特征值为0,?2,3，且矩阵B与A相似，则|B?E|?_______________．

B?E的特征值为1,?1,4，|B?E|?1?(?1)?4??4．

2220．二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)f(x1,x2,x3)?x1?2x1x2?2x222?(x2?x3)的矩阵A?_______________．

?1?2?2x2x3?x3，A???1?0?3?12?10???1?． 1??三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1x2?121．已知3阶行列式|aij|?x50中元素a12的代数余子式A12?8，求元素a21的代数余子式A21的值． 4?2?134??(?8?3)?5．

解：由A12??x504??4x?8，得x??2，所以A21????11???11??，B???，矩阵X满足AX?B?X，求X． 22．已知矩阵A????10??0?2????解：由AX?B?X，得(E?A)X?B，于是

X?(E?A)?1?2B???1??1??1??T?1??1??0?1?1?1????2??3??1T1???1???2???01?1??1????2??3?1T3???1/3????3???1/31??． 1??T23．求向量组?1?(1,1,1,3)，?2?(?1,?3,5,1)，?3?(3,2,?1,4)，?4?(?2,?6,10,2)的一个极大无关组，并将向量组中的其余向量用该极大无关组线性表出． ?1??1解：?1??3??1?35132?14?1?200?2??1???6??0??010????0?2??3?1?70?1?2643?1?4?5?1?200?2??1???4??0??012?????08??3?110?1?2003?1?7?7?1?2000010?2???4? ?0?0???2???4? ?0?0???1??0??0??0??2??1???4??0??00?????00???2??1???4??0??00?????00??13

、

?1??0??0??0??11000010?2??1??2??0??00????00???0100001040??2?， 0??0???0??1?2?2?0??3．

?1,?2,?3是一个极大线性无关组，??ax1?x2?x3?0?24．设3元齐次线性方程组?x1?ax2?x3?0，（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；

?x?x?ax?023?1（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解．

a1a11a?21a1111a1111a?1010a?1解：（1）|A|?111?a?2a21?(a?2)1a11?(a?2)0a0

a?2?(a?2)(a?1)，a??2或a?1时，方程组有非零解；

??2?（2）a??2时，A??1?1??1???0?0?1?30?2??1??3???0?00???1111101?211??1??1???1??2?2???0101?21?2??1??1???0?01???1?33?2??3? ?3???2??1???1???0?00???100?1??x1?x3?1??1????????1?，?x2?x3，基础解系为?1?，全部解为k?1?，k为任意实数；

?1??1??0???????x3?x3?1?a?1时，A??1?1?1??1??1???0?01???1??x1??x2?x3??1???1???1???1???????????0?，?x2?x2，基础解系为?1?，?0?，全部解为k1?1??k2?0?，k1,k2?0??1??0??1??0?x3??x3?????????为任意实数．

?2?25．设矩阵B??3?4?0101??3?，（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵?和可逆矩5??阵P，使P?1BP??．

??2解：（1）|?E?B|??3?420?1?3?(??1)??10??2?4?1??5??5?(??1)(?2?7??6)

?(??1)(??6)，特征值?1??2?1，?3?6．

对于?1??2?1，解齐次线性方程组(?E?B)x?0：

??1??E?B???3??4?000?1??1???3???0?0?4???000?x31??x1??0???1???????0?，?x2?x2，基础解系为p1??1?，p2??0?；

?0??1??0?x3??????x3?对于?3?6，解齐次线性方程组(?E?B)x?0：

14

、

1?x?x31?4?1/4??1/4?????3??3/4?，?x2?p?3/4，基础解系为x3??． 34?1??0????x3?x3????1012?4??E?B???3??4?050?1??1???3???0?01???0103阶矩阵B有3个线性无关的特征向量，所以B相似于对角阵； ?1???（2）令?0?0?0100??0??0?，P??1?06???21/4???13/4?，则P是可逆矩阵，使得PBP??． 1??226．设3元二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?x3?2x1x2?2x2x3，求正交变换x?Py，将二次型化为标准形．

?1?解：二次型的矩阵为A???1?0??12?10???1?． 1??01??1|?E?A|?101??1101???1011??11101??21??2111??21

??101???10??1??30??(??3)??1??1??(??1)(??3)，

特征值?1?0，?2?1，?3?3．

对于?1?0，解齐次线性方程组(?E?A)x?0：

??1??E?A??1?0?1?210??1??1???0?0?1???010?1/?1??x1?x3?1???????1?，?x2?x3，?1??1?，单位化为p1??1/??1???1/0?????x3?x3?3??3?； ?3??对于?2?1，解齐次线性方程组(?E?A)x?0：

?0??E?A??1?0?1?110??1??1???0?00???0101??x1??x3??0?，?x2?0，??x?x0?3??32??1/2???1??????； 0??0?，单位化为p2?????1??1/2?????对于?3?3，解齐次线性方程组(?E?A)x?0：

?2??E?A??1?0?1110??1??1???0?02???010x3?1??x1???2?，?x2??2x3，??0?x3??x3?3?1/6??1????????2?，单位化为p3???2/6?．

???1??1/6?????0100??0?，经正交变换x?Py后，原二次型化为3???1/?令P??1/??1/?2333?1/01/22226??0??T?2/6?，则P是正交矩阵，使得PAP??0??01/6???1/标准形f?0?y1?y2?3y3． 四、证明题（本题6分）

15

、

27．已知A是n阶矩阵，且满足方程A22?2A?0，证明A的特征值只能是0或?2．

证：设?是A的特征值，则满足方程??2??0，只能是??0或???2．

16

、

全国2009年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

?x?y?z?0?1．线性方程组?2x?5y?3z?10?4x?8y?2z?4?的解为（ A ）

A．x?2,y?0,z??2 C．x?0,y?2,z??2

?1??2?4?1?581?320??1??10???0?04????12??3??

010001

2??0?． ?2??

B．x??2,y?2,z?0 D．x?1,y?0,z??1

2．设矩阵A???4?A．???3?42?? 1??，则矩阵A的伴随矩阵A??（ D ）

B．???3??4?2??1??

C．???3?24?? 1??

D．???3??2?4??1??

3．设A为5?4矩阵，若秩（A）=4，则秩（5AT）为（ C ） A．2

B．3

C．4

D．5

4．设A,B分别为m?n和m?k矩阵，向量组（I）是由A的列向量构成的向量组，向量组（Ⅱ）是由(A,B)的列向量构成的向量组，则必有（ C ） A．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性无关 C．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性无关

（I）是（Ⅱ）的部分组，整体无关?部分无关．

B．若（I）线性无关，则（Ⅱ）线性相关 D．若（Ⅱ）线性无关，则（I）线性相关

5．设A为5阶方阵，若秩（A）=3，则齐次线性方程组Ax?0的基础解系中包含的解向量的个数是（ A ） A．2

B．3

C．4

D．5

未知量个数n?5，A的秩r?3，基础解系包含n?r?2个解向量． 6．设m?n矩阵A的秩为n?1，且?1,?2是齐次线性方程组Ax?0的两个不同的解，则Ax?0的通解为（ ）

17

、

A．k?1，k?R B．k?2，k?R C．k?1??2，k?R D．k(?1??2)，k?R

Ax?0的基础解系包含1个解向量． ?1,?2是不同的解，?1??2是非零解，可以作为基础解系，通解为k(?1??2)，k?R． 7．对非齐次线性方程组Am?nx?b，设秩（A）=r，则（ ） A．r=m时，方程组Ax?b有解

B．r=n时，方程组Ax?b有唯一解 C．m=n时，方程组Ax?b有唯一解

D．r

r=m时，r(A,b)?r(A)?m，Ax?b有解 ． ??1111?8．设矩阵A??0211???的线性无关的特征向量的个数是（ C ）

?0031?，则A???0003??A．1 B．2 C．3 D．4

特征值为?1?1，?2?2，?3??4?3． ??0?1?1?1??0?1?1?1?对于??0?1?1?1???0?2?1??1?1，?E?A??，基础解系含1个解向量； ?00?2?1???0????000?2???000?2????0000????1?1?1?1???1?1?1?对于??2，?E?A??00?1?1??1?0?1?1??2?，基础解系含1个解向量； ?00?1?1???0??1???000??000?1?????0000????2?1?1?1?对于?1?13??4?3，?E?A??0?1???，基础解系含1个解向量．?000?1? ???0000??9．设向量??(4,?1,2,?2)，则下列向量是单位向量的是（ B ） A．13?

B．15?

C．19?

D．

125?

||?||?5，1||?||??15?．

18

、

210．二次型f(x1,x2)?5x12?3x2的规范形是（ D ）

2A．y12?y2

2B．?y12?y2

2C．?y12?y2

2D．y12?y2

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

102105?311．3阶行列式2312302105?3__1__．

2153?1． 12．设

?2?A?(3,1,0)，B???4??3?1??0?5??，则AB?(2,3)．

13．设A为3阶方阵，若|AT|?2，则|?3A|?__-54__．

|?3A|?(?3)|A|??27|A3T|??27?2??54． 14．已知向量??(3,5,7,9)，??(?1,5,2,0)，如果?????，则??(?4,0,?5,?9)．

??????(?1,5,2,0)?(3,5,7,9)?(?4,0,?5,?9)． ?a11?A??a21?a?31a12a22a32a13??a23?a33???a11x1?a12x2?a13x3?0?阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组?a21x1?a22x2?a23x3?0??a31x1?a32x2?a33x3?015．设为3

的解为x1?x2?x3?0．

|A|?0，Ax?0只有零解． ?1?Ax?b的增广矩阵为?0?0?0100022?14???1??2?6??16．设非齐次线性方程组，则该方程组的通解为(1,2,3,0)T?k(?2,1,?2,1)T．

?1?(A,b)??0?0?0100012?12???1??2?3???x1??x2，??x3?x?4?1?2x4?2?x4?3?2x4?x4，通解为(1,2,3,0)T?k(?2,1,?2,1)． T19

、

17．已知3阶方阵A的特征值为1,?3,9，则

13A?__-1__．

133A???1??|A|?1?1?(?3)?9??1． ?3?2718．已知向量??(1,2,?1)与向量??(0,1,y)正交，则y?__2__．

(?,?)?0，2?y?0，y?2． 19．二次型f(x?x221,x2,x3,x4)1?3x2?2x223?x4的正惯性指数为__3__． 20．若f(x21,x2,x3)?x21?4x2?4x23?2?x1x2?2x1x3?4x2x3为正定二次型，则?的取值应满足?2???1．??1??1??A???42D?1??，1?1?0；D24??2??(??2)(??2)?0， ???124??4??1??11??1D3??42?04??2??2?(??2)(2??)??2?2)2????2?1240??23??23?(?13 ??4(??2)(??1)?0，?(??2)(??2)?0??2???2?，?，?2???1． ?(??2)(??1)?0??2???1三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

533321．计算行列式D?35333353．

33355333113331333解：D?35332003353?1153311353?11?00020?11?8?88．

3335113350002?10?2?22．设

?1??1?A??0?1，?1?B??01?，又AX?B，求矩阵X．

??001/2????10??

20

、

?10100?0100?解：?1???11???110100??(A.E)??0?11010???0?11010???0?1001?2?

??001/2001????001002????001002????10011?2????10011?2????11?2????0?1001?2???0100?12?，A?1??0?12?，

??001002????001002????002???11?2?2??1????1????13??X?AB??0?12??01???2?1?．

??002????10????20????358???1021?23．设矩阵

?A??240?，?B??0259?，求矩阵AB的秩．

??001????0030??358解：|A|?240?352，A可逆，而B的秩为3，所以AB的秩为3．

00124??024．求向量组?1?(1,4,3,?2)，?2?(2,5,4,?1)，?3?(3,9,7,?3)的秩．

???43?2?43?2?解：?1???1???143?2????1???2???254?1???0?3?23???0?3?23?，?1,?2,?3的秩为2．????3???397?3????0?3?23????0000???x1?x2?x3?x4?025．求齐次线性方程组??x1?2x2?4x3?4x4?0的一个基础解系．

??2x1?3x2?5x3?5x4?0?111?111?111?解：

?1???1???1???10?2?2??A??1244???0133???0133???0133?，

??2355????0133????0000????0000???x1?2x3?2x4??2????2???x??3x?23?3x4，基础解系为???3??1??x?，?2???3??3?x3??1?0?．

?x???4?x4?0?????1??

21

、

26．设矩阵

?1?A??0?0?0210??1?2??，求可逆矩阵P，使P?1AP为对角矩阵．

解：A的特征多项式为

??1|?E?A|?00200?1?(??1)??2?1??2?1?1??2??2?(??1)(?2?4??3)

?(??1)(??3)，

特征值为?1??2?1，?3?3．

对于?1??2?1，解齐次方程组(?E?A)x?0：

?0??E?A??0?0?0?1?10??0???1???0?0?1???1001??0?0???x1?x1?，?x2??x3?x3?x3?，取

?1???p1??0??0???，p2?0??????1??1???．

对于?3?3，解齐次方程组(?E?A)x?0：

?2??E?A??0?0??1?令P??0?0?0?1101?10??1?1??0??1???1???0?01???0100??x1?0???1?，?x2?x3?0???x3?x3?0?????1?． ?1???0??0?3??，取p3?1?，则P是可逆矩阵，使P?1AP??0?0?010．

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．设向量组?1,?2,?3线性无关，?1??1??2，?2??2??3，?3??3??1，证明：向量组?1,?2,?3线性无关． 证：设k1?1?k2?2?k3?3?0，即

k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??1)?0，

(k1?k3)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?0，

22

、

?k3?0?k1??0因为?1,?2,?3线性无关，必有?k1?k2?k2?k3?0?，

1011011?1|A|?110?01?1??2?0，

01101111方程组只有零解：k1?k2?k3?0，所以?1,?2,?3线性无关．

23

、

全国2008年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A为3阶方阵，且?A．-9 113A?13，则|A|?（ A ）

C．-1

D．9

1

3B．-3

1?1??A?，???|A|?，|A|??9． 333?3?2．设A、B为n阶方阵，满足AA．A?B

2?B，则必有（ D ）

2B．A??B

1??1?，B=??1?1??? C．|A|?|B| D．|A|?|B|

22?13．已知矩阵A=??0?0??，则AB?BA?（ A ） 1??1?? ?1??A．???1??20?? ?1??

?1B．??0?

?1C．??0?0?? 1??

?0D．??0?0??． ?1??0?? 0??1??10?1??21??11??1?1?10??1????????=?????AB?BA???0?1??11??11??0?1???1?1???10?=??2?????????????4．设A是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的矩阵是（ D ） ?0A．??0?0?? 0??

?1B．??0?0?? 0??

?1C．??0?1?? 0??

?1D．??0?1?? 1??5．设向量?1?(a1,b1,c1),?2?(a2,b2,c2)，?1?(a1,b1,c1,d1),?2?(a2,b2,c2,d2)，下列命题中正确的是（ B ） A．若?1,?2线性相关，则必有?1,?2线性相关 B．若?1,?2线性无关，则必有?1,?2线性无关 C．若?1,?2线性相关，则必有?1,?2线性无关 D．若?1,?2线性无关，则必有?1,?2线性相关

?1??2?????6．已知?2?,?3?是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为（ A ）

??1??1?????A．(5,?3,?1)

?5B．??2??311?? 1??

?1C．??2?2?1?3?? 7??

?1?D．??1??5?223?1???2? 1???1???(5,?3,?1)?2??0，(5,?3,?1)??1????2????3??0． ?1???7．设m×n矩阵A的秩r(A)=n-3（n>3），?,?,?是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为（ D ） A．?,?,???

B．?,?,???

0?10C．???,???,??? D．?,???,?????

其中只有?,???,?????线性无关．

?1?8．已知矩阵A与对角矩阵D=?0?0?0??20?相似，则A?（ C ） ?1??24

、

A．A

B．D C．E

D．?E

存在P，使P?1AP?D，A?PDP?1，A2?PD2P?1?PEP?1?PP?1?E．

?001?9．设矩阵A=???010?，则A的特征值为（ D ） ??100??A．1，1，0

B．-1，1，1

C．1，1，1

D．1，-1，-1

?0?1|?E?A|?0??10?(??1)??1?(??1)(?2)?(??1)2(??1)．

?10??1??110．设A为n（n?2）阶矩阵，且A2?E，则必有（ C ）

A．A的行列式等于1

B．A的逆矩阵等于E C．A的秩等于n

D．A的特征值均为1

|A|2?1，|A|?0，A的秩等于n．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

a2111．已知行列式230?0，则数a =__3__．

1?11a21a?130230?230?a?13?3(a?3)?0，a?3．

1?111?112312．设方程组?x1?2x2?0?有非零解，则数k = __4__．

?2x1?kx2?0122k?k?4?0，k?4．

3?3?13．设矩阵A=??201??042???T?3??57?． ??11?3??，B=????357??，则AB??3????9?11?19????2?1??33?3??ATB??01?2???04???7???=?357?． ??1?3???35????9?11?19????1????0??2?14．已知向量组???0???1????1??1??,?2??,?的秩为2，则数t=__3__． ?0???53????2?????t?2??0????4????102?02??02??011???1?11??1??11????05t?2???0???05t?2??0???00t?3?，秩为2，则t?3． ??204?????000????000??

25

、

1215．设向量??(2,?1,,1)，则?的长度为__5/2__．

16．设向量组?1?(1,2,3)，?2?(4,5,6)，?3?(3,3,3)与向量组?1,?2,?3等价，则向量组?1,?2,?3的秩为__2__．

??123????123????123???456???0?3?6???0?3?6?，秩为2． ??333????0?3?6????000??17．已知3阶矩阵A的3个特征值为1,2,3，则|A?|?__36__．

|A?|?|A|n?1?|A|2?(1?2?3)2?36．

18．设3阶实对称矩阵A的特征值为?1??2?3,?3?0，则r(A)= __2__．

?300?A相似于???030?，r(A)=2． ??000???24?19．矩阵A=?1??22?1?对应的二次型f =x2221?2x2?3x3?4x1x2?8x1x3?2x2x3． ??4?13??20．设矩阵A=???20???01??，则二次型xTAx的规范形是y2?y212． ?xTAx??2x22221?x2?y1?y2，其中y1?x2，y2?2x1．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

123421．计算行列式D=10123?1?10的值．

120?512341222012000222200解：

13?1?10?13?1?4?6???1?4?6???1?3?5 120?512?1?72?1?72?3?9??2?3?5?3?9??2(27?15)??24．

22．已知A=??14??0?1????12??，B=?2??11??3???，C=??1??，矩阵X满足AXB=C，求解X． ???0?解：(A,E)???1410????1410??1230?01?2????1201?????0611????3???0611??3??????0611?? ????101/3?2/3??2/3???061/61/6??，A?1???1/3???1/61/6??； ?(BE)???2010?010?101?????2????2010??101/20????1????2202????0212?????01??，B?1???1/2??11/2???1/2

0?1??． ?26

、

?1/3???1/6??2/3??1/6???3??0?1???1???1/2??1/2?0?1?2?=??11?12???4??1???3??0?1???1???1??1?0?? 2??X?A?1CB?1=

1?6??12?36??0???1??1?T0?1?=2??12?12??3?12??1?=??0???1/4T1??． 0??TT23．求向量??(3,?1,2)在基?1?(1,1,2)，?2?(?1,3,1)，?3?(1,1,1)下的坐标，并将?用此基线性表示． 解：设??x1?1?x2?2?x3?3，即(3,?1,2)?x1?x2?x3?3?1??，x?3x?x??1A??1?123?2???2x1?x2?x3?2T?x1(1,1,2)T?x2(?1,3,1)T?x3(1,1,1)，得

T?131?1101111013??1???1???0?02???3??1???1???0?01????143?11010?10013??1???4???0?0?4???2??1???1???0?01???010?11300110?13???1? ?4???1???0?0??11010?13??1???1???0?0?1???1???1?， 1??x1?1，x2??1，x3?1．

?在基?1,?2,?3下的坐标是(1,?1,1)，???1??2??3．

24．设向量组?1,?2,?3线性无关，令?1???1??3，?2?2?2?2?3，?3?2?1?5?2?3?3，试确定向量组?1,?2,?3的线性相关性．

解：设k1?1?k2?2?k3?3?0，即

k1(??1??3)?k2(2?2?2?3)?k3(2?1?5?22?3?3)?0，

(?k1?2k3)?1?(2k2?5k3)??(k1?2k2?3k3)?3?0，

?2k3?0??k1?2k2?5k3?0， 由?1,?2,?3线性无关，得???k1?2k2?3k3?0?10102?220?22?25?5?3?5?031?225?5?0，有非零解，?1,?2,?3线性相关．

?x1?x2??x3??2?25．已知线性方程组?x1??x2?x3??2，

???x1?x2?x3???3（1）讨论?为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解．

（2）在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（用一个特解和导出组的基础解系表示）．

?1?解：(A,b)??1????1???0?0?11?11?1?2??1???2???0?0??3????21?1??1??2??11????0? 3??3???2?1??(1??)(??2)??10??0?． 3(??1)??（1）???2时无解，???2且??1时惟一解，??1时有无穷多个解．

27

、

?1?（2）??1时，(A,b)??0?0???2???1???1???????0?k1?k0????． 1?2??0??0??1????????1?26．已知矩阵A=?1?1?1111???11?，求正交矩阵P和对角矩阵?，使PAP??． 1???1?1?1100100?2??x1??2?x2?x3??0?，?x2?x2，通解为

?0?x3??x3???1解：|?E?A|??1?11?(??3)11??3???3?1?1?11?(??3)11?1?1?1??1?1000??1?1??1?1

??1??3??1??1?0??(??3)，特征值?1??2?0，?3?3．

2?对于?1??2?0，解齐次线性方程组(?E?A)x?0：

??1??E?A???1??1??1?1?1?1??1???1???0?0?1???1001??x1??x2?x3??1?????0?，?x2?x2，基础解系为?1??1?，??0??x?0?x3????3??1?????0?，正交化：令?1???2?1??1??1?????1?，?2???0???2??1???1???1/2??????(?2,?1)11??1??1????0?1??1/2，单位化：令??????12|?1||?1|?1?2?0??1?????????1???1/2????1??1???1/2?，

?2?????00?????2?1|?2|?2???1/2???1/6????2???1/2????1/6?；

?6????2/6?1?????12?1?1??2???1????2??22???010?14?2?1??2???2???0?04???010?13?3?1??2???3???0?03????130?1???3? 0???1?????1?，单位化：令?1???对于?3?3，解齐次线性方程组(?E?A)x?0：

?2??E?A???1??1??2???0?0??110?1??2???1???0?00????2??1???1???0?00????1??x1?x3???1?，?x2?x3，基础解系为??0???x3?x33?3?1|?3|?3?1??1/1?????1???1/3?????1??1/3??3?． ?3??28

、

??1/2?1/6??1/6令P??1/2??02/6?四、证明题（本题6分）

1/1/1/3??0??3?，???0??03???0000???10?，则P是正交矩阵，使PAP??． 3??27．设?为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，?1,?2,?,?r是其导出组Ax=0的一个基础解系．证明?,?1,?2,?,?r线性无关． 证：设k??k1?1?k2?2???kr?r?0，则

A(k??k1?1?k2?2???kr?r)?0，

kA??k1A?1?k2A?2???krA?r?0， kb?k10?k20???kr0?0， kb?0，

由b?0，得

k?0---------------------------------（1）

从而

k1?1?k2?2???kr?r?0，

由?1,?2,?,?r线性无关，得

k1?k2???kr?0--------------（2）

由（1）（2）可知?,?1,?2,?,?r线性无关．

29

、

全国自考2008年7月线性代数（经管类）试卷答案

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A=[?1,?2,?3]，其中?i（i=1, 2, 3）为A的列向量，且|A|=2，则|B|=|[?1?3?2,?2,?3]|=（A.-2 B.0 C.2 D.6

?x1?x2?0?2.若方程组?kx1?x2?0有非零解，则k=（ A ）

A.-1 B.0 C.1 D.2

3.设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（ C ） A.|AB|=|A| |B|

B. (AB)-1=B-1A-1

C. (A+B)-1=A-1+B-1 D. (AB)T=BTAT

4.设A为三阶矩阵，且|A|=2，则|（A*）-1|=（ D ）

1A.4 B.1

C.2 D.4

5.已知向量组A：?1,?2,?3,?4中?2,?3,?4线性相关，那么（ B ） A. ?1,?2,?3,?4线性无关 B.

?1,?2,?3,?4线性相关

C.

?1可由?2,?3,?4线性表示 D.

?3,?4线性无关

6.向量组?1,?2,??s的秩为r，且r

A.

?1,?2,??s线性无关

C ）30

、

B. ?1,?2,??s中任意r个向量线性无关 C. ?1,?2,??s中任意r+1个向量线性相关 D.

?1,?2,??s中任意r-1个向量线性无关

7.若A与B相似，则（ D ） A.A，B都和同一对角矩阵相似 B.A，B有相同的特征向量

C.A-λE=B-λE D.|A|=|B|

8.设?1，?2是Ax=b的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ B ） A. η+?1是Ax=0的解 B. η+（?1-?2）是Ax=0的解

C.

?1+?2是Ax=b的解 D.

?1-?2是Ax=b的解

9.下列向量中与?=（1，1，-1）正交的向量是（ D ） A. ?1=（1，1，1） B. ?2=（-1，1，1） C.

?3=（1，-1，1） D.

?4=（0，1，1）

??11??10.设A=?1?2??，则二次型f(x1，x2)=xTAx是（ B ）

A.正定 B.负定 C.半正定

D.不定

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设A为三阶方阵且|A|=3，则|2A|=__24_________. 12.已知?=（1，2，3），则|?T?|=____0_______.

?120??6?40????030???020??13.设A=??002??，则A*=

??003??

14.设A为4×5的矩阵，且秩（A）=2，则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是______3_____. 15.设有向量?1=（1，0，-2），

?2=（3，0，7），?3=（2，0，6）. 则?1,?2,?3的秩是_____2______.

31

、

??(1,0,0)?k1(?1,1,0)?k2(1,0,1)?1TTT16.方程x1+x2-x3=1的通解是

A?13(A?E)17.设A满足3E+A-A2=0，则

18.设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3. 则|A+E|=_24__________.

19. 设α与β的内积（α，β）=2，‖β‖=2，则内积（2α+β，-β）=___-8________.

?3??1???1?1021??2?2??20.矩阵A=所对应的二次型是

3x1?2x3?2x1x2?2x1x3?4x2x322

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1300020000000100200010000001000200121．计算6阶行列式0?2?1A=?5??3?=18

1???2?22．已知

?1?4，B=?2???3??2?5，C=??2??2X???1，X满足AX+B=C，求X. ?8??3?

23．求向量组?1=（1，2，1，3），

?1?2??1?组. ?34?1?5?61??1???30????4??0???7??04900=（4，-1，-5，-6），?3=（1，-3，-4，-7）的秩和其一个极大线性无关

1??5?0??0? 秩为2，极大无关组为?1，?2

24．当a, b

x3?1?x1?x2??x2?x3?1??2x?3x?(a?2)x?b?323为何值时，方程组?1T 有无穷多解？并求出其通解.

T a??1,b?0时有无穷多解。通解是??(0,1,0)?k(?2,1,1)

?3?7A=??1??11?25．已知，求其特征值与特征向量.

T 特征值??4,??10，??4的特征向量k(1,?1),??10的特征向量k(1,?7)

32

T、

n?2?1?An?1?1?31?n3??26.设

A=??12??，求An.

2??1?3n1?n3?? 四、证明题（本大题共1小题，6分）

27．设?为Ax=0的非零解，?为Ax=b(b?0)的解，证明?与?线性无关.

k1α?k2β?0A(k1α?k2β)?A0?0?k1Aα?k2Aβ?0?k2bk2b?0?k2?0证明： k1α?k2β?0?k1α?0?k1?0 所以?与?线性无关。

33

34

、

、

35

、

全国2008年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A为三阶方阵且|A|??2则|3ATA|?（ D ） A．-108

B．-12

C．12 D．108

|3ATA|?33|A|2?27?(?2)2?108． ?3x1?kx2?x3?02．如果方程组??4x2?x3?0有非零解，则k=（ B ）

??4x2?kx3?0A．-2

B．-1 C．1 D．2

3k?104?1?34?1)?0，k??1． 044k?12(k?1k3．设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（ D ） A．AB?BA

B．(A?B)?1?A?1?B?1 C．|A?B|?|A|?|B|

D．(A?B)T?AT?BT

4．设A为四阶矩阵，且|A|?2，则|A?|?（ C ） A．2

B．4

C．8 D．12

|A?|?|A|n?1?|A|3?23?8． 5．设?可由向量?1?(1,0,0)，?2?(0,0,1)线性表示，则下列向量中?只能是（ B ） A．(2,1,1)

B．(?3,0,2)

C．(1,1,0)

D．(0,?1,0)

??k1?1?k2?2?(k1,0,k2)． 6．向量组?1,?2,?,?s的秩不为s（s?2）的充分必要条件是（ C ） A．?1,?2,?,?s全是非零向量

36

、

B．?1,?2,?,?s全是零向量

C．?1,?2,?,?s中至少有一个向量可由其它向量线性表出 D．?1,?2,?,?s中至少有一个零向量

?1,?2,?,?s的秩不为s??1,?2,?,?s线性相关． 7．设A为m?n矩阵，方程AX=0仅有零解的充分必要条件是（ C ） A．A的行向量组线性无关 B．A的行向量组线性相关 C．A的列向量组线性无关

D．A的列向量组线性相关

AX=0仅有零解?r(A)?n?A的列向量组线性无关． 8．设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误．．的是（ D ） A．|A|?|B|

B．秩(A)=秩(B) C．存在可逆阵P，使P?1AP?B

D．?E?A??E?B

?100?9．与矩阵A=??010??相似的是（ A ）

??002???100??110??100??101?A．??020??

B．??010??

C．??110??

D．??020??

??001????002????002????001??有相同特征值的同阶对称矩阵一定（正交）相似． 10．设有二次型f(x21,x2,x3)?x21?x2?x23，则f(x1,x2,x3)（ C ） A．正定 B．负定 C．不定 D．半正定

当x1?1,x2?0,x3?0时，f?0；当x1?0,x2?1,x3?0时f?0．总之，f有正有负． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．若

k112?0，则k=

1．

2

37

、

k1112?2k?1?0，k?2． ?32??326?12．设

A=??01??，B=?102??，则

AB=?010??．

??14???010?????142???32?26?AB=?1??102??3?0??10??． ?14?010?=?????0???142???200??1/200?13．设

A=??010??，则A?1???010??．

??022????0?11/2???200100??200100??1001/200???010010?????010010?????010010??． ??022001????0020?21????0010?11/2??14．设A为3?3矩阵，且方程组Ax=0的基础解系含有两个解向量，则秩(A)= __1__．

秩(A)=n?r?3?2?1． 15．已知A有一个特征值?2，则B?A2?2E必有一个特征值__6__．

???2是A的特征值，则?2?2?(?2)2?2?6是B?A2?2E的特征值． 16．方程组x1?x2?x3?0的通解是k1(?1,1,0)T?k2(1,0,1)T．

?x1??x2?x?3???1????1???x2?x2，通解是k1?1??k2?0?． ??x3?x?3?0????1??17．向量组?1?(1,0,0)，?2?(1,1,0)，?3?(?5,2,0)的秩是__2__．

??100????100???110???010?，秩是2． ???520????000??

38

、

?200?18．矩阵A=??020??的全部特征向量是

??002??kT1(1,0,0)T?kT2(0,1,0)?k3(0,0,1)（k1,k2,k3不全为零）．

?00????0??x1?x1??1????0????0??1??2?3?2，?E?A??000?，??x2?x2，基础解系为?0?，?1?，?0?． ??000????x3?x?3?0????0????1??19．设三阶方阵A的特征值分别为?2,1,1，且B与A相似，则|2B|?__-16__．

?200|2B|?23010?8?(?2)??16． 001?121?20．矩阵A=??2?10?所对应的二次型是f(x2?1,x2,x3)?x21?x2?3x23?4x1x2?2x1x3． ??103??三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

120021．计算四阶行列式

0120的值．

001220011200120012001200解：

01201200012?00012?01200012?01200012??15．

20010?4010081000?15?321?22．设A=??111??，求A?1．

??101???321100??101001??101001?解：??111010?????111010?????01001?1??

??101001????321100????02?210?3??

39

、

?101001??202002??2001?21????01001?1?????01001?1?????01001?1??

??00?21?2?1????00?21?2?1????00?21?2?1???1001/2?11/2??1/2?11/2????01001?1??，

A?1=??01?1??．

??001?1/211/2?????1/211/2??

??110??110?23．设A=??002??，B=??022??，且A，B，X满足(E?B?1A)TBTX?E，求X，X?1．??002????003??解：由(E?B?1A)TBTX?E，得[B(E?B?1A)]TX?E，即(BE?BB?1A)TX?E，

?200?T?200??1/200?(B?A)TX?E，X?1?(B?A)T???020?????020??，X???01/20??．

??001????001????001??24．求向量组?1?(1,?1,2,4)，?2?(0,3,1,2)，?3?(3,0,7,14)，?4?(2,1,5,6)，?5?(1,?1,2,0) 的一个极大线性无关组．

??1?124???124???124??124??0312??1??0312??1??0312???1??0312??解：??30714?????0312?????0000?????0000??，

?2156??031?2??000?4??000?4???1?120????000?4????000?4????0000???1,?2,?4是一个极大线性无关组． ?x1?x2?x3?x4?x5?7?25．求非齐次方程组?3x?2x?12?x3?x4?3x5??2的通解．

?x2?2x3?2x4?6x5?23??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?12?111117??111117??解：A??3211?3?2???0?1?2?2?6?23???01226???23?0122623?

??54?33?112????0?1?8?2?6?23??

40

、

?111117??111117????0?1?2?2?6?23?????1?2?2?6?23????0000000??00?6000?

??00?6000????000000???111117??110117??100?1?5?16????0122623???23???0623?????01026102001000??00100???，

0?001000???000000????000000????000000???x1??16?x4?5x5??16???x?23?2x???1??5??24?6x?5?23???2?????6???x3?0，通解为????0??k?1?0???k?2?0??．

?x4?x4?0??1??0???x5?x??5?0???0????1???2?20?26．设A=???21?2??，求P使P?1AP为对角矩阵．

??0?20????220解：|?E?A|?2??12??(??1)(??2)?4(??2)?4???3?3?2?6??8

02??(?3?8)?3?(??2)?(??2)(?2?2??4)?3?(??2)

?(??2)(?2?5??4)?(??2)(??1)(??4)，

特征值?1??2，?2?1，?3?4．

对于?1??2，解齐次线性方程组(?E?A)x?0：

??420??10??????2???2?10????2?10??E?A??2?32???2?32???0?22???0?22?

??02?2????02?2????02?2????000?????2?10????20?1??x1?1???10?1/2??2x3???01?1???01?1???01?1?，??x2?x3，基础解系为??1/2??1??1?；??000????000????000?????x3?x3?1???

41

、

对于?2?1，解齐次线性方程组(?E?A)x?0：

??1??E?A??2?0?2020???1??2???1?01???2020???1??1???0?01???2220???1??1???0?01???2200???1??1???0?00???020?1??1?0??

?1???0?0?010?x1??x31???1?1/2?，?x2??x32?0??x3??x3?，基础解系为?2??1??????1/2??1???；

对于?3?4，解齐次线性方程组(?E?A)x?0：

?2??E?A??2?0??x1?2x3??x2??2x3??x3?x32320??2??2???0?04???2120??2??2???0?04???2100??1??2???0?00???1100??1??2???0?00???010?2??2?0??，

，基础解系为?3?2??????2??1???．

?1/2?令P??1?1??1?1/212???2?1??，则

??2?P是可逆矩阵，使P?1AP??0?0?0100??0?4??．

四、证明题（本大题6分）

27．设?1,?2,?3是齐次方程组Ax=0的基础解系，证明?1,?1??2,?1??2??3也是Ax =0的基础解系． 证：

（1）Ax=0的基础解系由3个线性无关的解向量组成．

（2）?1,?2,?3是Ax=0的解向量，则?1,?1??2,?1??2??3也是Ax=0的解向量． （3）设k1?1?k2(?1??2)?k3(?1??2??3)?0，则

(k1?k2?k3)?1?(k2?k3)?2?k3?3?0，

由?1,?2,?3线性无关，得

?k1?k2?k3?0?k2?k3?0??k3?0?111011?1?01，系数行列式00，只有零解k1?k2?k3?0，所以

?1,?1??2,?1??2??3线性无关．

42

、

由（1）（2）（3）可知，?1,?1??2,?1??2??3也是Ax =0的基础解系．

43

、

全国2007年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A是3阶方阵，且|A|=?12，则|A-1|=（ A ）

A．-2

B．?12

C．

12 D．2

2．设A为n阶方阵，?为实数，则|?A|?（ C ） A．?|A|

B．|?||A|

C．?n|A|

D．|?|n|A|

3．设A为n阶方阵，令方阵B=A+AT，则必有（ A ） A．BT=B

B．B=2A

C．BT??B

D．B=0

BT?(A?AT)T?AT?(AT)T?AT?A?A?AT?B． 4．矩阵A=???1?1????11?的伴随矩阵A*=（ D ）

?A．??1?1????1?1???11??11???1?1?

B．??????11?

C．?????11?

D．??????1?1?

?5．下列矩阵中，是初等矩阵的为（ C ）

00??010?A．??101?1??0???

B．?????101?

C．?1?010??

D．??003??

?00? ???001????101????100??6．若向量组?1?(1,t?1,0)，?2?(1,2,0)，?3?(0,0,t2?1)线性相关，则实数t=（ B ） A．0

B．1

C．2 D．3

1t?10120?(t2?1)1t?1?(t2?1)(1?t)?0?t?1． 00t2?1127．设A是4×5矩阵，秩(A)=3，则（ D ） A．A中的4阶子式都不为0 B．A中存在不为0的4阶子式 C．A中的3阶子式都不为0

D．A中存在不为0的3阶子式

44

、

8．设3阶实对称矩阵A的特征值为?1??2?0，?3?2，则秩(A)=（ B ） A．0

B．1 C．2 D．3

?00?相似于?0?AD??000?，秩(A)= 秩(D)=1． ??002??9．设A为n阶正交矩阵，则行列式|A2|?（ C ） A．-2

B．-1

C．1

D．2

A为正交矩阵，则ATA?E，|A2|?|A|2?|AT||A|?|ATA|?1． 10．二次型f(x,y,z)?x2?y.2的正惯性指数p为（ B ） A．0

B．1

C．2

D．3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．设矩阵A=??12?T??，则行列式||??11?AA__1__．

?|AAT|?|A||AT|?|A|2?1211?(?1)2?1． 11112．行列式234中(3,2)元素的代数余子式A32?__-2__．

4916A32??1124??2． 13．设矩阵A=??1??，B=??1???，则ATB?__5__． ?2????2??ATB?(1,2)??1???2??5． ??14．已知?1?5?2?2?3??，其中?1?(3,4,?1)，?2?(1,0,3)，??(0,2,?5)，则??3??1,?1,11??2?．?

45

、

?3?12[(0,2,?5)?(3,4,?1)?5(1,0,3)]?111??(2,?2,11)??1,?1,?22?? ??1?15．矩阵A=?1?1???1??1?1?0???1??3???0?06???0??3?6??的行向量组的秩=__2__．

0???1??3???0?06???0??3?，秩=2． 0??3?2?(1,2,0)，?3?(3,0,0)是R的一组基，16．已知向量组?1?(1,1,1)，则向量??(8,7,3)在这组基下的坐标是(3,2,1)．

设??x1?1?x2?2?x3?3，即(8,7,3)?x1(1,1,1)?x2(1,2,0)?x3(3,0,0)，得 ?x1?x2?3x3?8?x1?3???7，解得?x2?2． ?x1?2x2???3?x3?1?x1?x1?x2?017．已知方程组???2x1?tx2?0存在非零解，则常数t=__2__．

1?2?1t?t?2?0，t?2． 18．已知3维向量??(1,3,?1)T，??(?1,2,4)T，则内积(?,?)?__1__．

?1?19．已知矩阵A=?0?1?0101??0?x??的一个特征值为0，则x=__1__．

101010?x|0E?A|?0，所以|A|?0，即01111x?x?1?0，x?1． 22?5x3?2x1x220．二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x2?2??2x1x3?8x2x3的矩阵是?1??1?134?1??4?5??．

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

46

、

21021．计算行列式D=121的值．

0122100?3?2解：

121?121???3?2?6?2)?4．

01201212??(22．设矩阵A=??21???，B=??13??XA=B的解X．

?53????20?，求矩阵方程?解：(A,E)???2110?????2110?110???06?2?????5301?60???2???102????01?52???2???01?52?

????103?1???1?3??????3?1???01?52?，A?1???3??52?，X?BA?1???1????125??????20?????5??2???6?2?．??12?13?23．设矩阵

A=???48?412?，问a为何值时，（1）秩(A)=1；（2）秩(A)=2．

??36?3a???2?13?2?13?2?13?解：?1???1???1??48?412???0000???000a?9?．

??36?3a????000a?9????0000??（1）a?9时，秩(A)=1；（2）a?9时，秩(A)=2．

??1??1?6??2?24．求向量组???1=?1?，????2=?3?，????3=?2?，???4=?4?的秩与一个极大线性无关组．??1????5????6????5????116?2?????116?2?解：?????116?2?????116?2???1324???0482???0241???0241?，??1565????06123????0241????0000??秩为2，?1,?2是一个极大线性无关组．

?x1?2x2?4x3?325．求线性方程组??2x2?2x3?3的通解． ??2x1?2x2?6x3?3

47

、

解：

?1?A??0?2?2224263??1??3???0?03???22?242?23??1??3???0?0?3???2204203??1??3???0?00???0202200??3?0??

?1???0?0?0102100??3/2?0???x1??2x3?3?，?x2??x32?x3??x3??1036100??0?1???0???2?????，通解为?3/2??k??1??0??1?????．

26．设矩阵

??4?A??1?3?，求可逆矩阵P及对角矩阵D，使得P?1AP?D．

??400?(??1)解：|?E?A|??1?3??3?6??4?110??1??3?(??2)(??1)2，

特征值?1??2，?2??3?1．

对于?1??2，解齐次线性方程组(?E?A)x?0：

?2??E?A???1??3?10?5?60??1??0???1?1?3???5520??1??0???0?01???50?30??3??0???0?01???15?300??3??1???0?00???0?305??1?0???1???0?0?0105/3???1/3?0?? ，

5?x??x31?3?1??x2?x33??x3?x3??，基础解系为 ?1??5/3?????1/3?； ?1???对于?2??3?1，解齐次线性方程组(?E?A)x?0：

?5??E?A???1??3???5/3?令P??1/3?1?10?2?6?2100??1??0???1?10???2220??1??0???0?00???0100??0?1??2000??0?0???x1??2x2?，?x2?x2?x??3，基础解系为 ?2x3??2?????1??0???，?3?0?????0?． ?1???0???2??0?，D??0?01???，则P是可逆矩阵，使P?1AP?D．

48

、

四、证明题（本大题6分）

27．设向量组?1,?2线性无关，证明向量组?1??1??2，?2??1??2也线性无关． 证：设k1?1?k2?2?0，即k1(?1??2)?k2(?1??2)?0，(k1?k2)?1?(k1?k2)?2?0．

由?1,?2线性无关，得??k1?k2?0?k1?k2?0，因为

111?1??2?0，方程组只有零解，所以?1,?2线性无关．

49

、

全国2007年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设行列式a1b11c1a=（ D ） 2b=1，

a，则a1b1?c12a2c=22a2b2?c2A．-3

B．-1

C．1

D．3

a1b1?c1a=a1b1+a1c12ba 2?c22b2ac=1+2=3．222．设A为3阶方阵，且已知|?2A|?2，则|A|?（ B ） A．-1

B．?14

C．

14 D．1

|?2A|?2，(?2)3|A|?2，|A|??14． 3．设矩阵A，B，C为同阶方阵，则(ABC)T?（ B ） A．ATBTCT

B．CTBTAT

C．CTATBT

D．ATCTBT

4．设A为2阶可逆矩阵，且已知(2A)?1???12???4?，则A=（ D ）

?3??1?1A．2??12??? B．

1??12??2???34??2??34?

C．2??1???34?

D．1??12???2??34?

??1(2A)?1???12?2??1??，2A???12??，A?1??1??34????34??2??34?． ?5．设向量组?1,?2,?,?s线性相关，则必可推出（ C ） A．?1,?2,?,?s中至少有一个向量为零向量 B．?1,?2,?,?s中至少有两个向量成比例

C．?1,?2,?,?s中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合 D．?1,?2,?,?s中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合

50

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r5jw.html