高数复习题 11-12上（含答案）

高等数学（一）复习参考

参考书目：《高等数学》第六版 上册 同济大学数学系编 高教出版社

考试涉及范围：

第一章 函数与极限

极限的计算（包括两个重要极限的运用）；无穷小的比较；连续性的判断、间断点的类型；利用零点定理或介值定理证明方程存在根． 第二章 导数与微分

导数：求导法则、隐函数导数、高阶导数、参数方程导数（求一阶导数和二阶导数）；微分． 第三章 微分中值定理与导数的应用

中值定理证明等式或不等式；洛必达法则求极限；函数的单调性与单调区间；利用单调性证明不等式；曲线的凹凸性与拐点；函数的极值与最值． 第四章 不定积分

不定积分的计算：换元积分、分部积分； 第五章 定积分

定积分的性质；定积分的计算：换元积分、分部积分；无穷限反常积分与敛散型． 第六章 定积分的应用 平面图形的面积与体积．

第七章 微分方程

特解与通解的概念及求解：可分离变量的微分方程；齐次方程；一阶线性微分方程 ；可降阶的高阶微分方程；二阶常系数齐次微分方程．

考试题型：

一、选择题（每小题3分，共5小题，共15分） 二、填空题（每小题3分，共6小题，共18分） 三、计算题（每小题7分，共5小题，共35分）

考点：求极限；隐函数与参数方程求导；不定积分计算；定积分计算；微分方程． 四、应用题（第一小题11分，第二小题7分，共18分） 考点：面积；体积；最值．

五、证明题（每小题7分，共2小题，共14分） 考点：证明不等式；证明等式．

注意：以下内容不考：

泰勒公式；曲率；函数图形的描绘；方程的近似解；反常积分的审敛法；极坐标的问题；弧长的计算；定积分在物理上的应用；二阶常系数非齐次微分方程． 《祝考试顺利！》

高等数学（一）复习题目参考

一、选择题 1．函数y?x?1lnx?16?x的定义域为（ ）

2A．(0,1)∪(1,4] B．(0,4] C．(0,4) D．(0,1)∪(1,4) 2．下列函数中表示相同函数的是（ ） A．f(x)?xln(1?x)x2与g(x)?ln(1?x)|x|

B．f(x)?lnx2与g(x)?2ln|x|

C．f(x)?ln[x(x?1)]与g(x)?ln(x?1)?lnx D．f(x)?x(x?1)与g(x)?xx?1

3．下列函数中是有界函数的是（ ）

A．y?xsinx B．y?ex C．y?sin(x2?2x?3) D．y?ln4．y?ex?1?2的反函数是（ ）

A．y?ln(x?1) B．y?ln(x?2) C．y?ln(x?1)?2 D．y?ln(x?2)?1 5．下列函数中是奇函数的是（ ） A.y?x?sinxB.

y?11x?12

e?x?e2xC．

y?ln(x?1)2 D.y?ln(x?1?x)

26．limex=

x?0A.0 B.?? C．?? D．不存在 7．下列等式中，正确的是( )

1A.limex??x?? B．lim(1?x)x?0x?e

C．limxsinx??1x?1 D．limf(x)?f(a)

x?a8．下列各极限正确的是（ ）

1xsin)x1x?1 C．lim(1?x??A.lim(1?x???e B.lim1xx?01x)1?x?e D．limtanx?sinxsin3x?0x?0

?x?a?9．已知lim??x???x?x?e，则a=（ ）

2A.2 B.1 C．?2 D．?1

2x?x?lim?1???（ ） x?03??10．

A.? B.1 C．e11．当x?0时，若A.

122?6 D．e?23

ax?1?1与x是同阶无穷小，则a=（ ）

B.1 C．2 D．3

12．当x?0时，下列无穷小量中与x等价的是（ ） A.x?100x2 B.2x?x2 C．x2?2sinx D．x 13．当x?0时，x?ln(1?x)是x2的（ ）

A. 低阶无穷小 B．高阶无穷小 C．等价无穷小 D．同阶但非等价无穷小 14．当x?0时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量？（ ）

2A. x2 B．1?cosx C．1?x?1 D．x?tanx

15．设f(x)?sinxx，则函数f(x)（ ）

A.在x?0处左极限不存在 B．有跳跃间断点x?0 C．在x?0处右极限不存在 D．有可去间断点x?0

116．函数 设f(x)?ex?11，则x?0是f(x)的（ ）

ex?1A.可去间断点 B.跳跃间断点 C．第二类间断点 D．连续点 17．x?1是函数f(x)?x?1x?3x?222的（ ）

A.可去间断点 B.跳跃间断点 C．无穷间断点 D．振荡间断点 18．函数y?x2x(x?1)在(??,??)上的间断点情形是（ ）

A.有一个间断点 B. 有一个可去间断点和一个不可去间断点 C．没有间断点 D．有两个不可去间断点

19．函数f(x)在点x0可导是f(x)在点x0处可微的（ ）条件；函数f(x)在点x0连续是f(x)在点x0处可导的（ ）条件；函数f(x)在点x0可导是f(x)在点x0处

连续的（ ）条件．

A．充分 B.必要 C．充要 D．既不充分也不必要

20．设函数y?f(x)在x处成立关系式 ?y?dy?o(?x),下列结论中错误的是（ ） A．y?f(x)在x处可微 B.y?f(x)在x处可导 C．y?f(x)在x处连续 D．以上都不对

1??xsin21．函数f(x)??x??0x?0x?0，f(x)在x?0处（ ）

A.不连续； B．连续但不可导；

C．可导，但导数在该点不连续； D．导函数在该点连续 ?x222．若函数f(x)???ax?bx?1x?1 在x?1处连续且可导，则（ ）

A．a?2,b??1 B.a?1,b?0 C．a??2,b?3 D．a??1,b?2 23．曲线y?x2?2x上切线平行于x轴的点是（ ） A．(1,?1) B.(1,1) C．(2,0) D．(0,2)

24．曲线y?x2?6x?2在点(1,?3)处的切线与y轴交点的坐标是（ ） A．(0,1) B.(0,2) C．(0,?3) D．(0,?1) 25．设f(x)?2x10?3x?2x?1，则f6(10)(?1)?（ ）

A．10! B.20! C．?2?10! D．2?10! 26．设f(x)?sinx，则f?[f(x)]?（ ）

A．sin(sinx) B.cos(sinx) C．sin(cosx) D．cosx?cos(sinx) 27．d(3?x?ln3)?（ ） A．3ln3?3x?x2x2x313 B.(3ln3?3x?x2x213)dx

C．3ln3?3x D．(3ln3?3x)dx 28．函数 在给定区间上满足罗尔定理条件．

?x3?1?A．f(x)??x?1??3?2?x?1x?1?xf(x)? [?2,1] B. ???1

?1?x?1x?1 [?1,1]

C．f(x)?1?3x2 [?1,1] D．f(x)?cosx [0,?] 29．在[0,+?）内，若f?(x)?0,f??(x)?0,则 曲线y?f(x)在[0,+?）内是（ ） A．单调下降，凸的 B. 单调上升，凸的 C．单调上升，凹的 D．单调下降，凹的

30．在开区间(a,b)内恒有f?(x)?0，f??(x)?0，则在(a,b)内曲线y?f(x)是（ ） A．单调上升，凹的 B. 单调下降，凹的 C．单调上升，凸的 D．单调下降，凸的

31．设f(x)?f(?x),x?R，在(??,0]内f?(x)?0,f??(x)?0,则在[0,+?）内曲线

y?f(x)是（ ）

A．单调上升，凸的 B. 单调下降，凸的 C．单调上升，凹的 D．单调下降，凹的

32．设f(x)在x0点连续但不可导，则x0（ ）

A．必是最大值点 B. 必是最小值点 C．必是极值点 D．可能是极值点 33．函数f(x)?asinx?13sin3x在x??3处都取得极大值，则a=（ ）

A．?3 B. 3 C．?2 D．2

34．已知f(x)在(??,??)上有定义，且limf(x)?f(1)(x?1)2x?1?2，则f(1)必是（ ）

A．f(x)的最小值 B.f(x)的最大值 C．f(x)的极小值 D．f(x)的极大值 35．在区间(a,b)内，如果f?(x)?g?(x)，则必有（ ） A．f(x)?g(x) B. f(x)?g(x)?CC．

ddx(C为任意常数）

?f(x)dx?ddx?g(x)dx D．?baf(x)dx??bag(x)dx

36．下列等式，正确的是( ) A．?f(x)dx??f(x)dx?C B.

ddx?xaf(t)dt?f(t)

C．?df(x)?f(x) D．d?f(x)dx?f(x)

37．有关不定积分?sinxcosxdx的计算结果，不正确的是（ ）

A．?12cos2x?C B.

12sin2x?C C．?14cos2x?C D．?12cos2x?C

38．曲线y?sinx与x轴在?0,2??上围成的图形面积为（ ） A．0 B. 2 C．4 D．6

?39．?03?22cosxdx?（ ）

43?3??A．16 B.8 C．4 D．4

d40．dxA．e?x2?bxedt?（ ） 2?t B.e21?b?e?x2 C．?2xe?x2 D．2xe?x2

41．若?xf(x)dx?k?xf(2x)dx，则k?（ ）

00A．1 B.2 C．3 D．4

42．下列各式中正确的是（ ） A．?xdx?01012?10xdx B. ?xdx?1322??211xdx

3C．?ln(1?x)dx?ba?10xdx D．?edx?01x0(1?x)dx

43．下列说法，错误的是( ) A．定积分?f(x)dx在几何上表示由曲线y?f(x),直线x?a,x?b及x轴所围平面

图形的面积；

B.一物体以速度v(t)作直线运动，它在?t1,t2?这段时间内通过的路程可用定积分

?tt12v(t)dt来表示；

T2T1C．如果某国人口增长的速率为u(t),那么，定积分?该国人口增加的数量； D．定积分??fab2u(t)dt表示在?T1,T2? 这段时间内

(x)dx在几何上表示由曲线y?f(x),直线x?a,x?b及x轴所围的

平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积． 44．微分方程

dxdy?2xy?15?(y?1)2是（ ）

A．可分离变量的微分方程 B.齐次方程 C．一阶线性微分方程 D．贝努利方程 45．微分方程(x?y)dx?xydy?0是（ ）

22A．可分离变量的微分方程 B.齐次方程 C．一阶线性微分方程 D．贝努利方程 46．微分方程y???y?0的通解是（ ）

A．y?Ccosx B. y?Csinx

C．y?C1cosx?C2sinx D．y?ex(C1cosx?C2sinx) 47．微分方程y\?y'?2y?0的通解是( ) A．y?ex?e?x?2x B. y?c1e?c2e2xx?2x

C．y?c1e?c2e D．y?c1cosx?c2sin2x

二、填空题 1．y?3arcsinx?123的定义域是

(4x?1)(x?1)(2x?1)3015152．极限lim2x?x?33x???(x?1)= ，lim?

x??3．极限lim?1?3sinx?x? ，lim(1?2sinx)x?013cscxx?0? 4．极限lim?xsinx????2x?sin2x??= x?5．limcos2x?1sin2x?0x?

limtan3x?sinxx6．

x?0?

x0x?0?ex7．已知函数f(x)???a?x 在(??,??)内连续，则 a?

8．函数f(x)?x?1x?2x?x?2323的可去间断点是

9．设f(x)在x0点可导，且f?(x0)?4，则limf(x0?3?x)?f(x0?2?x)?xf(tx)?f(x)x?x?0?

10．设f(x)在x?0处可导，且f(0)?0，则lim11．f(x)?e12．设y?e?2x?

x?02?arctanx?ln2，则f?(x)?

?2x2sinx3，则y??

13．曲线y?x3?1上点?2,9?处的切线方程是 14．设f(x)?(x?10)6，则f???(0)? 15．设f?x?二阶可导，y?f(lnx)，则y''? dy16．已知方程y?2x?9(x?1)?y?10?0确定了y?y(x)，则

dx33?

x?117．已知y?lnsinx，则dy? 18．已知y?ln(x?19．已知y?ln3a?x)，则dy?

2221?cosx，则dy? 20．设y?(1?sinx)x，则dyx?0?

? 21．设函数y?y(x)由方程2xy?x?y确定，则dyx?022．设f(x)?x3?x在[0,3]上满足罗尔定理的条件，则由此确定的中值?? 23．对函数

y?px?qx?r2在[?1,3]上应用拉格朗日中值定理时所得的中值??

24．函数y?x?arctanx的单调递增区间是

325．函数f(x)?(x?1)(x?1)的单调递增区间是 ，单调减少区间

是 ，凹区间是

26．曲线y?2x?3x?12的拐点是 ，曲线y?xe?x的拐点为 27．函数y?2x?6x?18x?7在?1,4?上的最大值M?

323228．函数y?3x?9x?1的极大值是 ?22secx??2??1?x29．??x2??2?tanx?30．?3??dx?21?x? 33??dx?22?x? )dx=

31．?(2x1?x2?11?x232．?ee2xx?1dx=

33．①由定积分的几何可得，?②由奇偶性知，?13?33?39-xdx? 2xcosx4?x2dx?

34．?x2exdx?

0?1?35．若f(x)??1?2x?x2?1??1?f(x)??1?x2?xex?xx3x?1x?1 ，则?f(x)dx= 020?x?1x?136．设37．

ddx，则?3?1f(x?1)dx?

?11?t42dt?

38．???11x4dx=

39．曲线y?1?x2与直线y?1?x所围平面图形的面积为= 40．由曲线y?f(x)(f(x)＞0)，直线x?a,x?b及y??1所围平面图形绕直线

y??1旋转一周所得旋转体的体积是 41．微分方程y???2y??3y?0的通解是 42．微分方程xdydx?ylnyx?0的通解是

?x43．微分方程cosydx?(1?e)sinydy?0满足初始条件y(0)??4的特解是

三、计算题 1．求极限：

3?2sinx???lim1?； lim?x?sin?3????x??x??x?xx???① ②

2xx?1?2?x?③lim??x??3?x??；

3

④lim(x?12x2?1?1?1??1?1)； ⑤lim??x； ⑥lim???? x?1x?0xx?1e?1??lnxx?1?；?1

⑦lim(1?x)tanx?1?x2； ⑧lim?x0(tanu?sinu)duxx4x?0； lim12?(t?sint)dt0xx?0x???4 ；

2?lim⑨

x?0x0t(t?sint)dt?x032 ⑩lim；

x?0t3dt?0sinx0?tantdtlimx?0??0x0et2dt???2arcsintdtx．

；

te2tdt2．已知极限limln(2?x)x?ax?b222x?1??12，求常数a，b的值．

3．求f(x)?4．y?esinxx?x?2x?2x?2x?323的间断点，并判断间断点的类型．

?3cos(3x?1)?arctanx?sin，求y?

5．y?(1?lnx)x，求y?

?12?x6．设f(x)??2??ax?bx?2x?2，且f?(2)存在，求a，b的值．

7．设曲线方程为exy?2x?y?3，求此曲线在纵坐标为y?0的点处的切线方程与法线方程．

?ln(1?x),?1?x?08．设f(x)??，讨论f(x)在x?0处的连续性和可导性．

0?x?1?1?x?1?x,9．设e?ey?ey?x?xy?0确定了y?y(x)，求

dydx．

?2xtanx3?arctanx310．设11．y?arctan3?ln3，求dy．

x?etanx，求dy．

dydx2212．求由方程y?1?xe所确定的隐函数的二阶导数

y．

2?dy?x?ln1?t13．由参数方程?确定了y?y(x)，求．

dx??y?arctant2?dy?x?3t?2t14．已知? 求

ydx?e?sint?y?1?02．

t?015．求y?x?4x?6在[?3,10]上的最大值与最小值

16．求y?x?8x?2在[?3,3]上的最大、最小值．

17．求函数f(x)?2x?6x?18x?7在??2,4?上的最大值、最小值以及拐点．

324218．设函数f(x)?x3?ax2?bx在x?1处有极值?2，

①试确定系数a,b的值； ②求出y?f(x)的所有极值点和拐点． 19．计算不定积分 ①?(2?x2xx?12???12)dx； ②?? ③ ?tanx?dx；222?x?x(1?x)?3?x5?4xdx；

④?x2lnxdx； ⑤?tan3x?sec3xdx20．计算定积分： ①?1?1； ⑥?arctanxdx．

x?21?x2dx； ②?1?1x?34?x222dx；

③?1?11?x9?4x2dx2；

2④?1?13sinx?24?x2dx

??0⑤?xlnxdx；

1⑥?08?2y dy．

21．计算无穷限积分?22．求微分方程23．求微分方程

dydxdydx1(1?x)(1?x?x2)dx．

?y?e?yx?满足初始条件yx?0??2的特解． ?1的特解．

sinxx2满足初始条件yx??24．求微分方程xy??y?x?3x?2的通解．

四、应用题

1．设f(x)?x?x?f(x)dx?2?f(x)dx，求f(x)．

002212．求由曲线y?x与直线y?x?2所围平面图形的面积．

223．求抛物线y?2px及其在点??p?,p?处的法线所围成的图形的面积． ?2?4．求曲线y?lnx及其在点(e,1)处的切线与x轴所围平面图形的面积，并求由此图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．

5．设直线y?2x?3和抛物线y?x所围成的平面图形为W．

2

(1) 求W的面积；(2) 求W绕y轴旋转一周所成旋转体的体积． 6．平面图形D是由x轴、y轴、x?1以及y?ex围成，求： (1) D的面积； (2) 由D绕y轴旋转一周所得旋转体体积．

7．过曲线f(x)?x3上的点A(1,1)作切线lAB交x轴于点B，设该曲线与切线lAB及x轴所围成的平面图形为?．

(1) 求切线lAB的方程； (2) 求平面图形?的面积S； (3) 求?绕x轴旋转一周的旋转体的体积．

8．从一块半径为R的圆铁片上上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角?取多大时，做成的漏斗的容积最大？

9．一边靠墙用篱笆围成一矩形场地，现有36米长的篱笆，问能围成的最大场地面积是多少？ 10．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租定为1000元时，公寓会全部租出去．当月租金每增加50元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元的维修费，试问房租定为多少时可获得最大收入？

11．装饮料的易拉罐是用铝合金制造的，罐身（侧面和底部）用整块材料拉制而成，顶盖是另装上去的，为了安全，顶盖的厚度是罐身的厚度的三倍，假设要制造的易拉罐的容积为V，问如何确定易拉罐的底面半径和高才能使得用料的体积最省？

12．某厂为了销售一新款收音机x台，每台的价格（单位：元）为：p?800?x．而生产x台的总成本可以表示成C(x)?2000?10x，为使利润最大化，工厂必须生产并销售多少

台？

五、证明题

1．证明：①arctanx?arccotx???②当|x|≤1时，恒有arcsinx?arccosx?成立． 2；2'2．证明：若函数f(x)在(??,??)内满足关系式f(x)?f(x),且f(0)?1,则

f(x)?e．

x3．证明方程x?x?1?0只有一个正根． 4．证明不等式：

x①当x?1时，e?e?x； ②当0?x?5?2,时，sinx?2?x；

③当x>1时，(x2?1)lnx?(x?1)2； ④当x?0时，ln(1?x)?⑤当e＜a＜b＜e2时，ln2b?ln2a＞

4e2arctanx1?x；

(b?a)．

5．设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)?1,f(0)?e，试证至少存在一点

??(0,1)，使f?(?)??f(?)．

6．设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且f(0)?1，f(1)?0，求证在(0,1)内至少有一点?，使f'(?)??f(?)?．

7．设函数f(x)在[0,1]上可导，且2?2xf(x)dx?f(1)，证明在(0,1)内必有一点c，使

01f?(c)??1cf(c)．

8．设f(x)在[a,b]上可导，证明在(a,b)内必存在一点?，使

af(a)?bf(b)a?b??f(?)??f?(?)．

?9．若f?x?在?0,1?上连续，证明?2f(sinx)dx?0ba?20f(cosx)dx．

110．已知f(x)是连续函数，证明：?f(x)dx??b?a??f?a?(b?a)x?dx．

0

参考答案

（此答案仅供参考，不保证100%的正确性）

一、选择题

1．A 2．B 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．C 9．C 10．D 11．C 12．A 13．D 14．D 15．D 16．B 17．A 18．B 19．C BA 20．D 21．B 22．A 23．A 24．A 25．D 26．D 27．D 28．A 29．B 30．B 31．B 32．D 33．D 34．C 35．B 36．A 37．C 38．C 39．B 40．C 41．D 42．B 43．A 44．C 45．B 46．C 47．B

二、填空题

36x?1 9．1．2 1 3．2 5．2 7．1 8．20 10．?2 6．?t?1?f??0? ??1,3? 2．e e 4．

11．?2e?2x?2x1?x4 12．?4xe?2x214．120000 15．

1a?x2233f???lnx??xf??lnx?x3sinx?1e?2x2cosx3 13．y?12x?15

16．-1 17．cotxdx

18．dx 19．

2xsinx2231?cosx??dx 20．0 21．ln2-1

22．2 23．1 24．???,??? 25．??11???,??? ???,? ???,?1???0,???

2??2??26．?-?125??2,? ?2,2e? 27．-29 28．7 29．tanx?2arctanx?3arcsinx?C ?22?x?tanx?x?3arcsin30．ln292x2?C 31．ln?1?x2??arcsin4x?C 32．arctane?C

x33．? 0 34．e-2 35．ln3?221392b143 36．??3e 37．

4213x212?2x1?x8

1?x38． 39．

yx 40．???f?x??1?dx 41．y?C1ea?x?C2e323x

ln42．?Cx?1； 43．1?e?x?secy?22 或 ln1??ex??lncosy?ln2

三、计算题 1．求极限： ①2； ②e?6

3??lim?1??x??x??2x

；

?6x???3?3????lim?1??x???x??????????4分?e?6???????????5分③原题目有误：将底数中分子分母之间的符号该为相同的“+”或“-”

x?1x?1x?1?2?x?lim??x??3?x??3???（1型）?lim?x?????2??1?x?3??1?x?3?2??lim?1??x??x??3??lim?1??x??x??x?1332x?13?e3e?e?13；

x?1x?1?2?x?lim??x??3?x??3?1??3?x（1型）lim???x??3?x3?x????1??lim?1??x??3?x??3?elimx??3?x?1x?1?31?e3；

④lim(x?12x2?1?1x?1（P193 1（13） 略） )；

⑤lim?x?0?1?x?1?； ⑥ ?x2e?1?；

11??1lim???x?1?lnxx?1?解：原式?lime?1?xx(e?1)e?1?xxx2xxx?limx?1?lnx(x?1)lnx1?1x?1??????????1分x?0?lim?lim?lim?limx?1lnx?x??????????3分x?1xx?0e?12xx2x?12?lim?lim?12x?1xlnx?x?11lnx?1?1??????????4分

x?1x?0x?1x?0??????????????5分⑦lim(1?x)tanx?1?x2?limx?11?x?02?1?limsin??型??limx?1x?1?x?0??x??2cot?csc?2222?x2?2?；

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