疯狂专练二十四 模拟训练四（理）-教师版

疯狂专练24

模拟训练四

一、选择题

1．[2018·衡水中学]设集合A?xy?log2?2?x?，B?xx2?3x?2?0，则eAB?（ ） A．???,1? 【答案】B

【解析】A?xy?log2?2?x???xx?2?，B?xx2?3x?2?0??x1?x?2?， 则eAB??xx?1?，故选B．

2．[2018·衡水中学]在复平面内，复数位于（ ） A．第一象限 【答案】D

2?3i?2i2?3i?z??x?yi??i?x?yi?x??y?1?i?2?2i， 【解析】设z?x?yi?x,y?R?，

3?2i3?2i????B．???,1? C．?2,??? D．?2,???

????2?3i?z对应的点的坐标为?2,?2?，则z在复平面内对应的点 3?2iB．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

∴x?2，y??1，∴z在复平面内对应的点位于第四象限，故选D．

3．[2018·衡水中学]已知△ABC中，sinA?2sinBcosC?0，则tanA的最大值是（ ） A．3 3B．23 3C．3 D．43 3【答案】A

【解析】∵sinA?2sinBcosC?0，?sin?B?C??2sinBcosC?0，

∴3sinBcosC?cosBsinC?0，cosC?0，cosB?0，化为3tanB??tanC．可得B为锐角，C为钝角． ∴tanA??tan?B?C???tanB?tanC2tanB??1?tanBtanC1?3tan2B21?3tanBtanB?223?3， 3当且仅当tanB?33时取等号．∴tanA的最大值是，故选A． 33n4．[2018·衡水中学]设A???x,y?0?x?m,0?y?1?，s为?e?1?的展开式的第一项（e为自然对数的底数），

m?ns，若任取?a,b??A，则满足ab?1的概率是（ ） 2A．

e2B．

eC．

e?2 eD．

e?1 e【答案】C

1

nnn【解析】由题意，s?C0ne?e，∴m?s?e，

则A???x,y?0?x?m,0?y?1????x,y?0?x?e,0?y?1?， 画出A???x,y?0?x?e,0?y?1?表示的平面区域，

任取?a,b??A，则满足ab?1的平面区域为图中阴影部分，如图所示：

计算阴影部分的面积为S阴影?S阴影S矩形?e?11?e1?dx??x?lnx?1?e?1?lne?ln1?e?2， ??x??所求的概率为P??e?2，故选C． e5．[2018·衡水中学]函数y?x4lgxx的图象大致是（ ）

A． B．

C．【答案】D 【解析】函数y? D．

x4lgxx是偶函数，排除B．

当x?10时，y?1000，对应点在x轴上方，排除A，

1当x?0时，y?x3lgx，y??3x2lgx?x2lge可知x?是函数的一个极值点，排除C．

e故选D．

6．[2018·衡水中学]已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的体积为24π?48，则该几何体的

2

表面积为（ ）

A．24π?48 C．48π?48 【答案】D

【解析】该几何体是一个棱锥与四分之一的圆锥的组合体，

B．24π?90?641 D．24π?66?641

1?112?其几何体的体积为V??π?3r???3r?3r??4r?24π?48，r?2，

3?42?所以S?111111?12?8??6?6??π?6?10?π?62??62?100?18 222242?66?24π?641，故选D．

7．[2018·衡水中学]已知aA．a?b?c 【答案】A

【解析】由题易知：a1?1717117?17，b?log1617，c?log1716，则a，b，c的大小关系为（ ）

C．b?a?c

D．c?b?a

B．a?c?b

?1，b?log1617?11?1??1?log1617??,1?，c?log1716?log1716??0,?， 22?2??2?∴a?b?c，故选A．

8．[2018·衡水中学]执行如下程序框图，则输出结果为（ ）

A．20200 【答案】C

3

B．?5268.5 C．5050 D．?5151

【解析】由题意得：S?S???1??k2，

k则输出的S??1?22?32?42?52?S?3?7?11??199??982?992?1002

50?202?5050，故选C． 2x2y29．[2018·衡水中学]如图，设椭圆E:2?2?1?a?b?0?的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限

ab上的点，直线BO交椭圆E于点C，若直线BF平分线段AC于M，则椭圆E的离心率是（ ）

1A．

22B．

31C．

31D．

4【答案】C

【解析】如图，设AC中点为M，连接OM，

则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且c1c11?可得e??．故答案为，故选C． a?c2a33OFFA?OMAB?1， 2即

10．[2018·衡水中学]设函数f?x?为定义域为R的奇函数，且f?x??f?2?x?，当x??0,1?时，f?x??sinx，?59?则函数g?x??cos?πx??f?x?在区间??,?上的所有零点的和为（ ）

?22?A．6 【答案】A

B．7 C．13 D．14

【解析】由题意，函数f??x???f?x?，f?x??f?2?x?，则?f??x??f?2?x?，可得f?x?4??f?x?， 即函数的周期为4，且y?f?x?的图象关于直线x?1对称．

4

?59?g?x??cos?πx??f?x?在区间??,?上的零点，即方程cos?πx??f?x?的零点，分别画y?cos?πx?与

?22?y?f?x?的函数图象，两个函数的图象都关于直线x?1对称，?方程cos?πx??f?x?的零点关于直线x?1对

称，由图象可知交点个数为6个，可得所有零点的和为6，故选A． 11．[2018·衡水中学]已知函数f?x??2?sinx，其中f'?x?为函数f?x?的导数，求x2019?1f?2018??f??2018??f'?2019??f'??2019??（ ） A．2 【答案】A

【解析】由题意易得f?x?? f??x??2，∴函数f?x?的图象关于点?0,1?中心对称， ∴f?2018??f??2018??2，由f?x?? f??x??2可得f?x??1?f??x??1?0，

∴y?f?x??1为奇函数，∴y?f?x??1的导函数为偶函数，即y?f'?x?为偶函数，其图象关于y轴对称，∴

B．2019

C．2018

D．0

f'?2019??f'??2019??0，

∴f?2018??f??2018??f'?2019??f'??2019??2，故选A．

12．[2018·衡水中学]已知直线l:y?ax?1?a?a?R?，若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于a，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”，下面给出的四条曲线方程：

①y??2x?1；②?x?1???y?1??1；③x2?3y2?4；④y2?4x．

22其中直线l的“绝对曲线”的条数为（ ） A．1 【答案】C

【解析】由y?ax?1?a?a?x?1??1，可知直线l过点A?1,1?．

对于①，y??2x?1，图象是顶点为?1,0?的倒V型，而直线l过顶点A?1,1?．所以直线l不会与曲线y??2x?1有两个交点，不是直线l的“绝对曲线”；

对于②，?x?1???y?1??1是以A为圆心，半径为1的圆，

22B．2 C．3 D．4

所以直线l与圆总有两个交点，且距离为直径2，所以存在a??2，使得圆?x?1???y?1??1与直线l有两个

22不同的交点，且以这两个交点为端点的线段的长度恰好等于a．所以圆?x?1???y?1??1是直线l的“绝对曲

22线”；

5

对于③，将y?ax?1?a代入x2?3y2?4，得3a2?1x2?6a?1?a?x?3?1?a??4?0．

6a?1?a?3a2?1??2x1?x2??，x1x2?3?1?a??43a2?12．

若直线l被椭圆截得的线段长度是a，

22??6a?1?a??223?1?a??4?a6a?2???，化简得则a?a?1?????2?4??． 222????3a?1??a?13a?13a?1????2?2?a2?6a?2?令f?a??2??2?，f?1??0，f?3??0．

a?1?3a?1?2a2?6a?2?所以函数f?a?在?1,3?上存在零点，即方程2??2?有根．

a?1?3a?1?2而直线过椭圆上的定点?1,1?，当a??1,3?时满足直线与椭圆相交． 故曲线x2?3y2?4是直线的“绝对曲线”；

对于④，把直线y?ax?1?a代入y2?4x，得a2x2?2a?2a2?4x??1?a??0， 2a2?2a?4?a?1?．

∴x1?x2?，xx?12a2a22??2若直线l被椭圆截得的弦长是a， 则a?1?a2?2?x?x????122?4x1x2??1?a??2?2??2a2?2a?4?2a?1?????? ??42???a2a???化为a6?16a2?16a?16?0，

令f?a??a6?16a2?16a?16，而f?1???15?0，f?2??16?0．

∴函数f?a?在区间?1,2?内有零点，即方程f?a??0有实数根，当a??1,2?时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”．

综上可知：能满足题意的曲线有②③④．故选C．

二、填空题

6

?x?2y?2?0x?3y?4?13．[2018·衡水中学]已知实数x，y满足?2x?y?4?0，且m?，则实数m的取值范围_______．

x?1?y?x?1?【答案】?2,7?

【解析】如图，作出可行域：

m?x?3y?4y?1y?1，表示可行域上的动点与定点??1,?1?连线的斜率， ?1?3x?1x?1x?1显然最大值为kA?2，最小值为kB?故答案为?2,7?．

1y?1，∴m?1?3??2,7?，

x?13x2y214．[2018·衡水中学]双曲线2?2?1的左右焦点分别为F1、F2，P是双曲线右支上一点，I为△PF1F2的内

ab心，PI交x轴于Q点，若F1Q?PF2，且PI:IQ?2:1，则双曲线的离心率e的值为__________． 【答案】

3 2【解析】可设PF1?m，PF2?n，F1F2?2c， 由I为△PF1F2的内心，可得若F1Q?PF2?1m， 2PIm1??2，则QF1?m， QF1IQ21mQF1m2又PQ为?F1PF2的角平分线，可得，则n?4c?m， ??QF2n2c?1m2又m?n?2a，n?1m，解得m?4a，n?2a， 22a3c3?2，即c?a，则e??．

2c?2a2a2故答案为

3． 215．[2018·衡水中学]若平面向量e1，e2满足e1?3e1?e2?2，则e1在e2方向上投影的最大值是________．

7

【答案】?42 3??e1?22【解析】由e1?3e1?e2?2，可得?2，∴， 4?36?6e?ecos??e1222??9e1?6e1?e2?e2?4e1在e2方向上投影为e1cos??故最大值为?42． 3?32?e26e221?32?142， ???e2????232????6?e632??16．[2018·衡水中学]观察下列各式： 13?1； 23?3?5； 33?7?9?11； 43?13?15?17?19；

…

若m3m?N*按上述规律展开后，发现等式右边含有“2017”这个数，则m的值为__________． 【答案】45

【解析】由题意可得第n个式子的左边是n3，右边是n个连续奇数的和， 设第n个式子的第一个数为an，则有a2?a1?3?1?2，

??a3?a2?7?3?4，

，an?an?1?2?n?1?，

以上?n?1?个式子相加可得an?a1??n?1???2?2?n?1???2，

故an?n2?n?1，可得a45?1981，a46?2071， 故可知2017在第45个式子，故答案为45．

8

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