空间立体几何教学设计与反思

高中数学教学设计与反思

江西省龙南中学：张国辉

空间几何体的三视图及其表面积和体积

【教学目标】 一、知识目标

熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积。 二、能力目标

先介绍由空间三视图求其表面积和体积，然后引导学生讨论和探讨问题。

三、德育目标

1.通过空间几何体三视图的应用，培养学生的创新精神和探究能力。 2.通过研究性学习，培养学生的整体性思维。 【教学重点】

观察、实践、猜想和归纳的探究过程。 【教学难点】

如何引导学生进行合理的探究。

【教学方法】

电教法、讲述法、分析推理法、讲练法 【教学用具】 多媒体、实物投影仪 【教学过程】

［投影］本节课的教学目标

1.熟练掌握已知空间几何体的三视图如何求其表面积和体积。 【学习目标完成过程】 一、复习提问

1.如何求空间几何体的表面积和体积(例如：球、棱柱、棱台等)? 2.三视图与其几何体如何转化? 二、新课讲解 ［设置问题］

例1：(如下图1)，这是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算出它的表面积和体积(尺寸如图1，单位：cm,π取314，结果精确到1cm３)。

［提出问题］

1.空间几何体的表面积和体积分别是什么?

2.怎样运用柱体、锥体、台体、球体的表面积与体积的公式计算几何体的表面积和体积?

［学生思考、总结板书］

空间几何体的表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小；先将直观图的各个要素弄清楚，然后再代公式进行计算。

［承转过渡］

求空间几何体的表面积是将几何体的各个面的面积相加求得；求体积是将几何体各个部分的体积相加求得，那请同学们动脑筋想一想，假设没有给出几何体的直观图，只是给出一个几何体的三视图，我们怎样解决求该几何体的表面积和体积?在例1有没有给出几何体的直观图?

［学生讨论、总结板书］

例1没有直接给出几何体的直观图，只是给出实物几何体的三视图，要求该几何体的表面积和体积，应首先将该三视图转化为几何体的直观图，然后弄清给出直观图的各个要素，再代公式进行计算。

［设问］

请问例1的三视图转化为实物几何体是由那几个部分构成?怎样求出该几何体的表面积和体积?

［讨论、板书］

该实物几何体是由一个球体、一个四棱柱和一个四棱台构成；应先分别求出一个球体、一个四棱柱和一个四棱台的表面积和体积。

［分析解答、板书］

由三视图画出奖杯的草图可知，球的直径为4cm，则球的半径R为2cm，所以球的表面积和体积分别为：S球=4πR２＝4π·2２=16π(cm２)，V球=43πR３=43π·2３=323π(cm)３。

而四棱柱(长方体)的长为8cm，宽为4cm，高为20cm，所以四棱柱(长方体)的表面积和体积分别为：

S四棱柱=(8×4+4×20+8×20)×2=272×2=544cm２， V四棱柱=８×４×２０=640cm３ ［设问］

如何求出四棱台的表面积和体积? ［分析解答、板书］

（图2）从画出四棱台直观图(图2)来分析怎样求表面积和体积。由三视图所示，知道该四棱台的高为2cm，上底面为一个边长为12cm的正方形，下底面为边长为20cm的正方形。我们知道四棱台的表面积等于四棱台的四个侧面积与上、下底面面积的总和。所以关键的是求出四棱台四个侧面的面积，因为它的四个侧面的面积相等，所以主要求出其中一个侧面面积，问题就解决了。下面我们先求出四棱台ABCD面上的斜高，过点A做AE⊥CD,AO垂直底面于点O，连接OE，已知AO=2cm,则AE为四棱台ABCD面上的斜高：

∴AE=20-122２＋２２=25cm,所以四棱台的表面积和体积分别为： S四棱台=S四棱台侧+S上底+S下底=4×12+202×25+12×12+20×20 =(1285+544)cm２，

V四棱台=1312×12+12×12+20×20+20×２０×２ =23544+434cm３。 ［设问］

球体、四棱柱和四棱台的表面积和体积分别已求出来，是不是将它们的表面积和体积分别相加就是该奖杯的表面积和体积?

［分析解答、板书］

不是，求体积可以相加，而表面积不可以相加。

我们知道表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小；体积是几何体占空间的大小。所以分别将球体、四棱柱和四棱台的表面积相加不是奖杯的表面积。应将相加起来的和减去四棱柱的两个底面面积才是奖杯的表面积：

∴奖杯的表面积S=S球+S四棱柱＋S四棱台-２×S四棱柱底面 =16π+544+1285+544-2×(4×8) =16π+1024+1285 ≈1360cm２，

奖杯的体积V=V球+V四棱柱+V四棱台=323π+640+23434+544 ≈1052cm３。 ［学生活动］

请大家回想一下，在解答的过程中，容易出错的地方是什么?(让学生思考)

［总结归纳］

求组合几何体的表的时候容易出错。 ［拓广引申］

(探究1)如果题目改为问：如果该奖杯是由一个球体、一个四棱柱和一个四棱台组合而成，则在制造该奖杯需要多少材料?那在计算时还需不需要再减去四棱柱的两个底面面积?

［讨论板书］ 不需要。 ［拓广引申］

(探究2)如果将奖杯底部四棱台的各侧棱延长，使它们相交于一点S(如图3所示)，得到的正四棱锥S-ABCD的体积为多少?

［讨论、解答板书］

（图3）我们要计算正四棱锥S-ABCD的体积，因为已经知道该四棱锥的底面面积，所以只要求出该棱锥的高问题就解决了。

设四棱锥S-EFGH的高为h，则四棱锥S-ABCD的高为h+2，由面积比等于对应边的平方比得：

hh+2２=144400,∴hh+2=1220,

∴h=3cm，则四棱锥S-ABCD的高为5cm，所以四棱锥S-ABCD的体积为：V四棱锥=13×400×5=20003cm３。

注：求四棱锥的高还可以利用相似三角形对应边的比求得。

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