2015-2016学年广东省广州市、深圳市高三(上)12月联考数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年广东省广州市、深圳市高三（上）12月联考数学试卷

（理科）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U=R，集合

A．（2，3） B．（2，4） C．（3，4]

2．在复平面内，复数

D．（2，4]

（ UB）=（ ）

（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（ ） A．18 B．24 C．60 D．90

4．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“

”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知双曲线物线y=4A．

﹣

2

﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛

x的准线上，则双曲线的方程为（ ） =1

B．

﹣

=1

C．

﹣=1 D．﹣=1

6．要得到函数A．向左平移C．向左平移

个单位长度

的图象，只需将函数

B．向右平移

个单位长度

的图象（ ）

个单位长度 D．向右平移个单位长度

7．在公差不为零的等差数列{an}中，2a3﹣a7+2a11=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则log2（b6b8）的值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．1

8．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，复旦大学，中国科技大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数共有（ ）种． A．240 B．180 C．150 D．540

9．若等边△ABC的边长为A．﹣2 B．2

C．

，平面内一点M满足 D．

，则

=（ ）

2

10．若x、y满足，目标函数z=x﹣ky的最大值为9，则实数k的值是（ ）

A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1

11．已知三边长分别为3、4、5的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P﹣ABC的体积为（ ） A．5 B．10 C．20 D．30

12．过曲线C1：

﹣

2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x+y=a的切线，设切点为M，

222

延长F1M交曲线C3：y=2px（p＞0）于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|=|MN|，则曲线C1的离心率为（ ） A．

B．

﹣1

C．

+1

D．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知平面向量，的夹角为120°，||=2，||=2

，则

14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3cosA=﹣，则a的值为

15．设数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项和，若为 ．

，S5=5，则a7的值

，b﹣c=2，

与的夹角是．

16．定义在R上的函数f（x）=ax+bx+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），若方程3a（f（x））2

+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是 ．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（共5大题，每题12分）

17．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=70，且a1，a2，a6成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式；

n

（2）设bn=2 an，求数列{bn}的前n项和Tn．

18．某商场根据市场调研，决定从3种服装商品、2种家电商品和4种日用商品中选出3种商品进行促销活动．

（Ⅰ）求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；

（Ⅱ）被选中的促销商品在现价的基础上提高60元进行销售，同时提供3次抽奖的机会，第一次和第二次中奖均可获得奖金40元，第三次中奖可获得奖金30元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，顾客所得奖金总数为X元，求随机变量X的分布列和数学期望．

19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，点E是PC的中点． （1）求证：侧面PAC⊥平面PBC； （2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且

，求二面角C﹣AB﹣E的大小．

32

20．已知椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的动点，△PF1F2的面积最大值为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3x﹣4y+5=0相切． （1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l过定点（1，0）且与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点，直线AM与直线BM分别与y轴交于P，Q两点，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

21．已知函数f（x）=x+3|x﹣a|（a∈R）．

（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）； （Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围．

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.【选修4-1：几何证明选讲】

22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．

2

3

（1）求证：O、B、D、E四点共圆； （2）求证：2DE=DM AC+DM AB．

2

【选修4-4：坐标系与参数方程】

23．（2015 大连二模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为线C2的参数方程为

（1）求C1和C2的极坐标方程； （2）已知射线l1：θ=α（0＜α＜

），将l1逆时针旋转

得到l2：θ=α+

，且l1与C1交于O，P

（α为参数），曲

（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP| |OQ|取最大值时点P的极坐标．

【选修4-5：不等式选讲】 24．（2015 邯郸一模）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|+|x﹣a|． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜4的解集； （Ⅱ）设函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最小值．

2015-2016学年广东省广州市、深圳市高三（上）12月联考数

学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U=R，集合

（ UB）=（ ）

A．（2，3） B．（2，4） C．（3，4] D．（2，4] 【考点】交、并、补集的混合运算．

【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．

【分析】求出A中x的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，根据全集U=R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可． 【解答】解：∵

≥0，即（x﹣2）（x﹣4）≤0，且x≠2，解得2＜x≤4，

∴A=（2，4]，

2

∵x﹣7x+12≤0，即（x﹣3）（x﹣4）≤0，解得3≤x≤4， ∴B=[3，4]，

∴ UB（﹣∞，3）∪（4，+∞）， ∴A∩ UB（2，3）， 故选：A．

【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

2．在复平面内，复数

（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【专题】计算题． 【分析】将复数z=【解答】解：∵z=

的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案． =

=

=1+i，

∴=1﹣i．

∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限， 故选D．

【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数z=题．

3．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（ ）

的分母实数化是关键，属于基础

A．18 B．24 C．60 D．90

【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式． 【专题】计算题．

2

【分析】由等比中项的定义可得a4=a3a7，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出a1和d，进而求出s10．

【解答】解：∵a4是a3与a7的等比中项，

2

∴a4=a3a7，

2

即（a1+3d）=（a1+2d）（a1+6d）， 整理得2a1+3d=0，① 又∵

，

整理得2a1+7d=8，②

由①②联立，解得d=2，a1=﹣3， ∴

，

故选：C．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式和等比中项的定义，比较简单．

4．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“

”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质． 【专题】简易逻辑．

【分析】根据不等式的性质，我们先判断“0＜ab＜1” “结合充要条件的定义即可得到答案． 【解答】解：若“0＜ab＜1” 当a，b均小于0时，即“0＜ab＜1” “若“

”

”为假命题

”与“

” “0＜ab＜1”的真假，然后

当a＜0时，ab＞1 即“

” “0＜ab＜1”为假命题

”的既不充分也不必要条件

综上“0＜ab＜1”是“

故选D．

【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，其中根据不等式的性质判断“0＜ab＜1” “

”与“” “0＜ab＜1”的真假，是解答本题的关键．

5．已知双曲线物线y=4A．

﹣

2

﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛

x的准线上，则双曲线的方程为（ ） =1

B．

﹣

=1

C．﹣=1 D．﹣=1

【考点】双曲线的标准方程．

【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程． 【解答】解：由题意， =

2

，

，双曲线的一个焦点在抛物线y=4

2

∵抛物线y=4x的准线方程为x=﹣∴c=， 222

∴a+b=c=7， ∴a=2，b=， ∴双曲线的方程为

．

x的准线上，

故选：D．

【点评】本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

6．要得到函数A．向左平移C．向左平移

个单位长度

的图象，只需将函数

B．向右平移

个单位长度

的图象（ ）

个单位长度 D．向右平移个单位长度

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【专题】计算题；三角函数的图像与性质． 【分析】把

化为

的图象向左平移

【解答】解：故把

=

的图象向左平移

的图象，

，故把

个单位，即得函数y=cos2x的图象．

，

个单位，即得函数

即得到函数的图象．

故选 C．

【点评】本题考查诱导公式，以及y=Asin（ωx+ ）图象的变换，把两个函数化为同名函数是解题的关键．

7．在公差不为零的等差数列{an}中，2a3﹣a7+2a11=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则log2（b6b8）的值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．1 【考点】等差数列的性质．

【专题】计算题；等差数列与等比数列．

2

【分析】根据数列{an}为等差数列可知2a7=a3+a11，代入2a3﹣a7+2a11=0中可求得a7，再根据{bn}

22

是等比数列可知b6b8=b7=a7代入log2（b6b8）即可得到答案． 【解答】解：∵数列{an}为等差数列， ∴2a7=a3+a11，

2

∵2a3﹣a7+2a11=0，

2

∴4a7﹣a7=0 ∵a7≠0 ∴a7=4

∵数列{bn}是等比数列，

22

∴b6b8=b7=a7=16

∴log2（b6b8）=log216=4 故选：B

【点评】本题主要考查了等比中项和等差中项的性质．属基础题．

8．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，复旦大学，中国科技大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法数共有（ ）种． A．240 B．180 C．150 D．540 【考点】排列、组合及简单计数问题． 【专题】排列组合．

【分析】每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，共有C5C3A3，当5名学生分成3，1，1时，共有C5A3，根据分类计数原理得到结果． 【解答】解：当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式， 当5名学生分成2，2，1时，共有C5C3A3=90种结果，

当5名学生分成3，1，1时，共有C5A3=60种结果， ∴根据分类计数原理知共有90+60=150种， 故选：C．

【点评】本题考查了分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题．

9．若等边△ABC的边长为A．﹣2 B．2

3

32

2

3

3

3

2

2

3

2

，平面内一点M满足 D．

，则=（ ）

C．

【考点】平面向量数量积的性质及其运算律． 【专题】计算题． 【分析】先用向量【解答】解：∵∴

表示出向量

=

∴

=

=

=

=

，再求内积即可得解

故选A

【点评】本题考查向量的加减运算、线性表示和向量的数量积，须特别注意向量的线性表示，求数量积时须注意两个向量的夹角．属简单题

10．若x、y满足，目标函数z=x﹣ky的最大值为9，则实数k的值是（ ）

A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【考点】简单线性规划．

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合确定目标函数的最优解，利用基本不等式即可得到结论．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 则A（1，3），B（5，2），C（1，1），

若k=0，则z=x，此时在B处函数取得最大值z=5，不满足条件． 若k＞0，则目标函数等价为y=

，此时直线斜率为

，

由图象可知当直线经过点B（5，2），直线截距最小，此时z最大为x﹣ky=9， 即5﹣2k=9，则2k=﹣4，解得k=﹣2，不满足条件． 若k＜0，则目标函数等价为y=

，此时直线斜率为

，

由图象可知当直线经过点B（5，2），直线截距最小，此时z最大为x﹣ky=9， 即5﹣2k=9，则2k=﹣4，解得k=﹣2，满足条件． 故选：B．

【点评】本题主要考查线性规划和基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．

11．已知三边长分别为3、4、5的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P﹣ABC的体积为（ ） A．5 B．10 C．20 D．30 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】空间位置关系与距离．

【分析】由题意可知△ABC为直角三角形，则其外接圆的圆心在AB的中点上，再由P到三个顶点的距离相等可得P在面ABC上的射影为球的球心，然后直接利用棱锥的体积公式求解． 【解答】解：如图，

在△ABC中，不妨设AB=5，AC=3，BC=4．

则∠ACB=90°，∴△ABC的外接圆的圆心为AB的中点， 即球的球心为AB的中点，

又P到△ABC的三个顶点的距离相等，

∴P在平面ABC上的射影到A、B、C的距离相等， ∴O为P在平面ABC上的射影，则OP⊥面ABC， 又P在球面上，∴OP为球的半径，∴OP=． ∴故选：A．

=

．

【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了空间想象能力和思维能力，正确作出图形对解答有很好的帮助作用，是基础题．

12．过曲线C1：

﹣

2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1作曲线C2：x+y=a的切线，设切点为M，

222

延长F1M交曲线C3：y=2px（p＞0）于点N，其中曲线C1与C3有一个共同的焦点，若|MF1|=|MN|，则曲线C1的离心率为（ ） A．

B．

﹣1

C．

+1

D．

【考点】双曲线的简单性质．

【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】双曲线的右焦点的坐标为（c，0），利用O为F1F2的中点，M为F1N的中点，可得OM为△NF1F2的中位线，从而可求|NF1|，再设N（x，y） 过点F作x轴的垂线，由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．

【解答】解：设双曲线的右焦点为F2，则F2的坐标为（c，0）

2

因为曲线C1与C3有一个共同的焦点，所以y=4cx

因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，所以OM为△NF1F2的中位线， 所以OM∥PF2，

因为|OM|=a，所以|NF2|=2a

又NF2⊥NF1，|FF2|=2c 所以|NF1|=2b 设N（x，y），则由抛物线的定义可得x+c=2a， ∴x=2a﹣c

过点F作x轴的垂线，点N到该垂线的距离为2a

222222

由勾股定理 y+4a=4b，即4c（2a﹣c）+4a=4（c﹣a）

2

得e﹣e﹣1=0， ∴e=

．

故选：D

【点评】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知平面向量，的夹角为120°，||=2，||=2

，则【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【专题】平面向量及应用． 【分析】由题意求得的夹角是θ，

则由两个向量的数量积得定义求得（可得θ的值．

【解答】解：由题意可得∴|

与的夹角是．

和的值，可得||的值，再求出 （） =2．

设除

与

） =2 2 cosθ，从而得到 2 2 cosθ=2，解得cosθ 的值，

=2×2×cos120°=﹣2，又+

=2．

=++2=4，

|=2，∴（） =

设与的夹角是θ，则（） =|| ||=2 2 cosθ，

∴2 2 cosθ=2，解得cosθ=．

再由 0≤θ≤π，可得 θ=60°， 故答案为60°．

【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求两个向量的夹角的方法，属于中档题．

14．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为 【考点】余弦定理． 【专题】解三角形．

【分析】由cosA=﹣，A∈（0，π），可得sinA=

2

2

2

．利用S△ABC=

=，化

为bc=24，又b﹣c=2，解得b，c．由余弦定理可得：a=b+c﹣2bccosA即可得出． 【解答】解：∵A∈（0，π），∴sinA=∵S△ABC=

=

bc=

=

，化为bc=24，

．

又b﹣c=2，解得b=6，c=4．

由余弦定理可得：a=b+c﹣2bccosA=36+16﹣48×

2

2

2

=64．

解得a=8． 故答案为：8．

【点评】本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．设数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项和，若

，S5=5，则a7的值

为 9 ．

【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式． 【专题】等差数列与等比数列．

【分析】设出等差数列的公差，由题意列关于首项和公差的二元一次方程组，求出首项和公差，则a7的值可求．

【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由

，S5=5，

得，

整理得，解得．

所以a7=a1+6d=﹣3+6×2=9． 故答案为9．

【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了学生的计算能力，是基础题．

16．定义在R上的函数f（x）=ax+bx+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），若方程3a（f（x））

2

3

2

+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是

【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断． 【专题】导数的综合应用．

【分析】根据函数的单调区间求出a，b，c的关系，然后利用导数研究三次函数的极值，利用数形结合即可得到a的结论．

32

【解答】解：∵函数f（x）=ax+bx+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1）， ∴f'（x）＞0的解集为（﹣1，1），

2

即f'（x）=3ax+2bx+c＞0的解集为（﹣1，1），

2

∴a＜0，且x=﹣1和x=1是方程f'（x）=3ax+2bx+c=0的两个根， 即﹣1+1=

，

，

解得b=0，c=﹣3a．

3232

∴f（x）=ax+bx+cx=ax﹣3ax=ax（x﹣3），

22

则方程3a（f（x））+2bf（x）+c=0等价为3a（f（x））﹣3a=0，

2

即（f（x））=1，即f（x）=±1．

2

要使方程3a（f（x））+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1．各有3个不同的根，

3232

∵f（x）=ax+bx+cx=ax﹣3ax=ax（x﹣3），

22

∴f'（x）=3ax﹣3a=3a（x﹣1）， ∵a＜0，

∴当f'（x）＞0得﹣1＜x＜1，此时函数单调递增， 当f'（x）＜0得x＜﹣1或x＞1，此时函数单调递减， ∴当x=1时，函数取得极大值f（1）=﹣2a， 当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=2a，

2

∴要使使方程3a（f（x））+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1各有3个不同的根， 此时满足f极小（﹣1）＜1＜f极大（1），f极小（﹣1）＜﹣1＜f极大（1）， 即2a＜1＜﹣2a，且2a＜﹣1＜﹣2a，

即，且，

解得即a故答案为：a

且a

．

，

【点评】本题主要考查方程根的个数的应用，利用方程和函数之间的关系，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．利用导数研究函数的极值是解决本题的突破点．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（共5大题，每题12分）

17．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=70，且a1，a2，a6成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式；

n

（2）设bn=2 an，求数列{bn}的前n项和Tn． 【考点】数列的求和．

【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出数列的首项与公差，然后求数列{an}的通项公式；

n

（2）化简bn=2 an，利用错位相减法，直接求数列{bn}的前n项和Tn． 【解答】解：（1）设公差为d（d≠0），由S7=70，且a1，a2，a6

成等比数列得，

（d≠0）

解得a1=1，d=3，∴an=3n﹣2…．（6分） （2）由（1）

，

∴

相减得，

=

=（5﹣3n） 2∴

n+1

﹣10

…（12分）

【点评】本题考查干错事了的通项公式的求法，错位相减法的应用，考查数列求和方法的应用，基本知识与基本方法的考查．

18．某商场根据市场调研，决定从3种服装商品、2种家电商品和4种日用商品中选出3种商品进行促销活动．

（Ⅰ）求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；

（Ⅱ）被选中的促销商品在现价的基础上提高60元进行销售，同时提供3次抽奖的机会，第一次和第二次中奖均可获得奖金40元，第三次中奖可获得奖金30元，假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的，顾客所得奖金总数为X元，求随机变量X的分布列和数学期望． 【考点】离散型随机变量的期望与方差． 【专题】概率与统计． 【分析】（I）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A，利用间接法能求出选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率．

（Ⅱ）设顾客抽奖的中奖奖金总额为X，则X的可能取值为0，40，80，70，110分别求出P（X=0），P（X=30），P（X=40），P（X=80），P（X=70）P（X=110），由此能求出顾客中奖次数的数学期望EX．

【解答】解：（I）从3种服装商品、2种家电商品，4种日用商品中，选出3种商品，一共有同的选法，选出的3种商品中，没有日用商品的选法有

种．

种不

所以选出的3种商品至少有一种日用商品的概率为P=1﹣（Ⅱ）X可能取得值为0，30，40，70，80，110 P（X=0）=P（X=30）=P（X=40）=P（X=70）=P（X=80）=P（X=110）=

．

EX=

【点评】本题主要考查超几何分布的应用和随机变量的分布列期望，属中档题型，高考常考题型．

19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=CA=2，点E是PC的中点． （1）求证：侧面PAC⊥平面PBC； （2）若异面直线AE与PB所成的角为θ，且

，求二面角C﹣AB﹣E的大小．

【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法． 【专题】空间位置关系与距离；空间角． 【分析】（1）利用线面垂直的性质可得PB⊥AC，利用线面垂直的判定即可得出AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出BC的长度，进而利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角． 【解答】（1）证明：∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC； ∵∠BCA=90°，∴AC⊥BC；

又∵PB∩BC=B，∴AC⊥平面PBC； 又∵AC 平面PAC，∴面PAC⊥面PBC

（2）以C为原点，CA、CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设BC=m＞0， 则C（0，0，0），A（2，0，0），E（0，，1），B（0，m，0），P（0，m，2）． ∴由

，得

，

，由

，

=

． =

，

∴，解得m=．

则，．

设平面ABE的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，则y=，z=1，

∴=（1，，1）．

取平面ABC的一个法向量=（0，0，1）， ∴

=

=

=．∴

．

∴二面角C﹣AB﹣E的大小为60°．

【点评】本题综合考查了通过建立空间直角坐标系求异面直线的夹角、二面角，线面、面面垂直的判定与性质定理，需要较强的推理能力、计算能力和空间想象能力．

20．已知椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的动点，△PF1F2的面积最大值为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3x﹣4y+5=0相切． （1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l过定点（1，0）且与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点，直线AM与直线BM分别与y轴交于P，Q两点，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）利用直线与圆相切以及三角形的面积列出方程组求出b，c，a．即可解得椭圆C的方程．

（2）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点．当直线l斜率不存在时，直接求出定点坐标．当直线l斜率存在时，设y=k（x﹣1），（k≠0）．联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，通过直线AM的方程，直线BM的方程，转化已知条件为量积求解定点坐标．

【解答】解：（1）由题意椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的动点，

△PF1F2的面积最大值为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线3x﹣4y+5=0相切．

恒成立．然后利用数

可得，解得b=1，c=，a=2．

所以椭圆C的方程是． …（4分）

（2）以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点． 当直线l斜率不存在时

以线段PQ为直径的圆的方程为：x+y=3，恒过定点当直线l斜率存在时 设y=k（x﹣1），（k≠0）．

2

2

2

2

2

2

．…（5分）

由得（1+4k）x﹣8kx+4k﹣4=0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=

．…（7分）

又因为点M是椭圆C的右顶点，所以点M（2，0）． 由题意可知直线AM的方程为：y=

（x﹣2），故点P）．

直线BM的方程为：，故点Q（）． …（8分）

若以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点N（x0，0）， 则等价于又因为

恒成立． …（9分）

，

，

所以恒成立．

又因为（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=

=，

y1y2

=

=

=

，

所以=

=

．解得x0=

．

故以线段PQ为直径的圆过X轴上的定点（）． …（12分） （或设x=my+1请酌情给分）

【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与圆的位置关系，恒过定点问题的求解方法，考查转化思想以及计算能力．向量在解析几何中的应用，注意直线的斜率是否存在，防止漏解．

21．已知函数f（x）=x+3|x﹣a|（a∈R）．

（Ⅰ）若f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值分别记为M（a），m（a），求M（a）﹣m（a）；

2

（Ⅱ）设b∈R，若[f（x）+b]≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，求3a+b的取值范围． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用． 【专题】导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）利用分段函数，结合[﹣1，1]，分类讨论，即可求M（a）﹣m（a）；

3

（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=

2

，h′（x）=，则

[f（x）+b]≤4对x∈[﹣1，1]恒成立，转化为﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立，分类讨论，即可求3a+b的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x+3|x﹣

a|=

3

，

∴f′（x）=，

①a≤﹣1时，∵﹣1≤x≤1，∴x≥a，f（x）在（﹣1，1）上是增函数， ∴M（a）=f（1）=4﹣3a，m（a）=f（﹣1）=﹣4﹣3a， ∴M（a）﹣m（a）=8；

3

②﹣1＜a＜1时，x∈（a，1），f（x）=x+3x﹣3a，在（a，1）上是增函数；x∈（﹣1，a），f（x）3

=x﹣3x+3a，在（﹣1，a）上是减函数，

3

∴M（a）=max{f（1），f（﹣1）}，m（a）=f（a）=a， ∵f（1）﹣f（﹣1）=﹣6a+2，

∴﹣1＜a≤时，M（a）﹣m（a）=﹣a﹣3a+4；

＜a＜1时，M（a）﹣m（a）=﹣a+3a+2；

③a≥1时，有x≤a，f（x）在（﹣1，1）上是减函数， ∴M（a）=f（﹣1）=2+3a，m（a）=f（1）=﹣2+3a， ∴M（a）﹣m（a）=4；

（Ⅱ）令h（x）=f（x）+b，则h（x）=

2

3

3

，h′（x）=，

∵[f（x）+b]≤4对x∈[﹣1，1]恒成立， ∴﹣2≤h（x）≤2对x∈[﹣1，1]恒成立， 由（Ⅰ）知，

①a≤﹣1时，h（x）在（﹣1，1）上是增函数，最大值h（1）=4﹣3a+b，最小值h（﹣1）=﹣4﹣3a+b，则﹣4﹣3a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2矛盾；

②﹣1＜a≤时，最小值h（a）=a+b，最大值h（1）=4﹣3a+b，∴a+b≥﹣2且4﹣3a+b≤2， 令t（a）=﹣2﹣a+3a，则t′（a）=3﹣3a＞0，t（a）在（0，）上是增函数，∴t（a）＞t（0）=﹣2，

∴﹣2≤3a+b≤0；

③＜a＜1时，最小值h（a）=a+b，最大值h（﹣1）=3a+b+2，则a+b≥﹣2且3a+b+2≤2，∴﹣＜3a+b≤0； ④a≥1时，最大值h（﹣1）=3a+b+2，最小值h（1）=3a+b﹣2，则3a+b﹣2≥﹣2且3a+b+2≤2，∴3a+b=0． 综上，3a+b的取值范围是﹣2≤3a+b≤0．

3

3

3

2

3

3

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