2017届江苏苏州市高三期中调研数学试卷

2017届江苏苏州市高三期中调研数学试卷

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

1．已知集合A??x|0?x?2?,B??x|?1?x?1?，则A?B?__________． 2．若命题p:?x?R，使x2?ax?1?0则：?p:____________．

3．函数y?1?x的定义域为___________． x?2????,?处的切线的斜率为___________． 22??4．曲线y?x?cosx在点?5．已知tan???4???，则tan?????__________． 34??6．已知等比数列?an?的各项均为正数，且满足：a1a9?4，则数列?log2an?的前9项之和为__________．

x7．已知函数f?x?是定义在R上的周期为2的奇函数，当0?x?1时，f?x??8，

则f???19???__________． ?3?228．在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a?b?2bc,sinC?3sinB，则A?________． 9．已知函数f?x????2x?1,x?0，若函数g?x??f?x??m有三个零点，则实数m2?x?x,x?0cos2??1???0?????，则函数y的最小值为___________．

sin2??2???的取值范围是__________． 10．若函数y?tan??11．已知函数f?x??sin??x???3?????0?，将函数y?f?x?的图象向右平移?个

23单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则?的最小值等于___________． 12．已知数列?an?满足：an?1?an?1?an?1?,a1?1，数列?bn?满足：bn?an?an?1，则数列?bn?的前10项的和S10?__________．

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13．设?ABC的三个内角A,B,C对应的边为a,b,c，若A,B,C依次成等差数列且

a2?c2?kb2，则实数k的取值范围是____________．

14．已知函数f?x??x?a?x?a?2，若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得

f?x2??f?x1?，则满足条件的实数a的取值范围是____________．

15．已知函数f?x??3???3x?x???R?．

（1）若f?x?为奇函数，求?的值和此时不等式f?x??1的解集； （2）若不等式f?x??6对x?0,2恒成立，求实数?的取值范围．

16．已知等比数列?an?的公比q?1，且满足：a2?a3?a4?28，且a3?2是a2,a4的等差中项.

（1）求数列?an?的通项公式；

（2）若bn?anlog1an,Sn?b1?b2???bn，求使Sn?n?2n?1?62成立的正整数n的

2??最小值．

17．已知函数f?x??2sin?x?（1）若0?x???????cosx． 3??2，求函数f?x?的值域；

（2）设?ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若A为锐角且

f?A??3,b?2,c?3，求cos?A?B?的值． 218．如图，有一块平行四边形绿地ABCD，经测量BC?2百米，CD?1百米，

?BCD?1200，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF（点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度），EF将绿地分成两部分，且右边面积是左边面积的3倍，设

EC?x百米，EF?y百米．

（1）当点F与点D重合时，试确定点E的位置； （2）试求x的值，使路EF的长度y最短．

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19．已知数列?an?的前n项和为An，对任意n?N*满足

An?1An1??，且a1?1，n?1n2*数列?bn?满足bn?2?2bn?1?bn?0n?N,b3?5，其前9项和为63．

??（1）求数列?an?和?bn?的通项公式； （2）令cn?bnan数列?cn?的前n项和为Tn，若对任意正整数n，都有Tn?2n?a，?，

anbn求实数a的取值范围；

（3）将数列?an?,?bn?的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新的数列：

a1,b1,b2,a2,a3,b3,b4,a4,a5,b5,b6，?，求这个新数列的前n项和Sn．

20

．

已

知

f?x??ax3?3x2?1?a?0?，定义

h?x?a??m??x????f??,?f??x,g?x??g,x????????f?x ．?f?xxggxx（1）求函数f?x?的极值；

（2）若g?x??xf??x?，且存在x?1,2使h?x??f?x?，求实数a的取值范围； （3）若g?x??lnx，试讨论函数h?x??x?0?的零点个数．

21．如图，AB是圆O的直径，弦BD,CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F．求证：AB2?BE?BD?AE?AC

??

???1?22．已知二阶矩阵M有特征值??8及对应的一个特征向量e1???，并且矩阵M将

?1?点??1,3?变换为?0,8?． （1）求矩形M；

（2）求曲线x?3y?2?0在M的作用下的新曲线方程．

?x?rcos??2C23．已知平面直角坐标系xOy中，圆的参数方程为?（?为参数，

?y?rsin??2试卷第3页，总4页

r?0）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极

坐标方程为2?sin?????????1?0． 4?（1）求圆C的圆心的极坐标；

（2）当圆C与直线l有公共点时，求r的取值范围．

24．已知a,b,c,都d是正实数，且a?b?c?d?1，求证：

a2b2c2d21????． 1?a1?b1?c1?d525．某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A、B、C三个测试项目，假定张某通过项目A的概率为

1，通过项目B、C的概率均为a?0?a?1?，且这三个2测试项目能否通过相互独立．

（1）用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数，求X的概率分布和数学期望； E?X?（用a表示）

（2）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a的取值范围． 26．在如图所示的四棱锥

S?ABCD中，SA?底面

AB,C?D上的一个动点.

0?D?AB9?0A,BC?BSEB，?为线段?SA,?C0?a?AB?3ADaa

（1）证明 ：DE和SC不可能垂直；

（2）当点E为线段BS的三等分点（靠近B）时，求二面角S?CD?E的余弦值．

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参考答案

1．?x|0?x?1?

【解析】

试题分析：由题意A?B?{x|0?x?1}． 考点：集合的交集运算． 2．?x?R，使x2?ax?1?0 【解析】

试题分析：命题p:?x?R，使x2?ax?1?0的否定为：?x?R，使x2?ax?1?0． 考点：命题的否定．

【名师点睛】1．弄清命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题否定的前提． 2．全称(存在性)命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全称(存在性)命题的否定是将其全称量词改为存在量词(存在量词改为全称量词)，并把结论否定． 3．??2,1 【解析】 试题分析：

?1?x?0??2?x?1，故定义域为(?2,1]． x?2考点：函数的定义域． 4．2 【解析】

试题分析：y'?1?sinx，x?考点：导数的几何意义． 5．7 【解析】

?2

时，y'?1?sin?2?2，即切线斜率为2．

4??1?4?3试题分析：tan(??)??7．

?441?tan?tan1?43tan??tan考点：两角和与差的正切公式．

6．9 【解析】

2试题分析：∵a1a9?a5?4，∴a5?2，

?∴log2a1?log2a2???log2a9?log2(a1a2?a9)?log2a5?9log2a5?9，

考点：等比数列的性质．

【名师点睛】1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．

2．等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．

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9

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7．－2 【解析】

11911试题分析：由题意f(?)?f(?)??f()??83??2．

333考点：函数的奇偶性与周期性． 8．

? 3【解析】

试题分析：由sinC?3sinB及正弦定理得正弦定理得c?3b，代入a2?b2?2bc得

a?7b，则

?b2?c2?a2b2?9b2?7b21cosA???，A?．

32bc2b?3b2考点：正弦定理，余弦定理．

【名师点睛】1．选用正弦定理或余弦定理的原则

在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．

2．(1)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．

(2)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用． 9．??,0?

4【解析】

试题分析：函数g(x)?f(x)?m有三个零点，即函数y?f(x)的图象与直线y?m有三个交点，作出函数y?f(x)的图象和直线y?m，有三个交点，则必有??1???1?m?0． 4

考点：函数的零点． 10．3 【解析】

试题分析：∵??(0,?2)，∴tan??0．

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cos2??12cos2?11当且仅y?tan???tan???tan???2tan???2，

sin2?2sin?cos?tan?tan?当tan??1时取等号．因此y的最小值为2. 考点：二倍角公式，基本不等式．

11．3 【解析】

试题分析：平移后得g(x)?sin[?(x?2???2??)?]?sin(?x??)，由题意3333?2???2k?,k?Z，???3k(k?Z且k＜0），最小值为3． 3考点：三角函数图象平移变换．

【名师点睛】1．本题写出平移后函数的解析式，利用诱导公式求出φ． 2．变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx

?φ?＋φ＝ω?x＋?确定平移单位．

?ω?

π3

3．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π

22来求出相应的x，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的

确定． 12．

10 11【解析】

试题分析：由an?1?an?1?an?1?得：1111因此数列{}是等差数列，所以??1，?n，

an?1ananan111??n(n?1)nn?1 ?，

所

以

即

an?1n1，

bn?anan?1?1212?bS1??1?0b??b(?11)??(1023)1?101(?1?)1?110?. 1111考点：等差数列的通项公式，裂项相消法求和. 13．?1,2 【解析】

?a2?c2a?c?b?2accosB?ac?试题分析：∵A,B,C依次成等差数列，∴B?，，32?222a2?c2kb22?b?0，?b2?0，k?2，又a2?c2?b2?2accosB?0,k?1，所以22答案第3页，总17页

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1?k?2。

考点：等差数列的性质，余弦定理，基本不变式．

【名师点睛】本题是数列与解三角形的综合应用，解题时由等差数列的性质求出角B，再由余弦定理把B的值转化为边的关系，结合基本不等式建立k的不等关系式，从而得出k的范围．利用基本不等式建立参数的不等关系是我们在求范围时常用的方法，也是重要的方法之一． 14．a?0 【解析】

试题分析：由题意函数f(x)无最小值，f(x)?x?a?2a2a1，令???(x?a)2(x?a)2x?a1?t，则t?0，f(x)?y??2at2?t，a?0时，函数为y?t，符合题意，a?0时，x?a?2a?0，即a?0，综上有a的取值范围是a?0．

考点：函数的最值．

【名师点睛】本题考查学生对含有存在题词与全称题词的命题的正确理解，“对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f?x2??f?x1?”，说明函数f(x)对定义域内的任一函数值，总有比它小的值出现，因此函数在定义域内无最小值，这样总是转化为研究函数的最值问题．对于分式函数f(x)?讨论．

x?a，分子是一次的，分母是二次的，可用换元法转化为二次函数2(x?a)?1?5???15．（1）???1，解集为?x|x?log3（2）???27． ?；

2????【解析】

试题分析：（1）函数为奇函数，根据奇函数的定义f(?x)?f(x)?0恒成立可求得参数?的值，也可由f(0)?0求出?，然后再检验即可（本题中f(0)存在），解不等式f(x)?1只要把3作为整体（可用换元法），利用一元二次不等式的解法求得，注意3?0；（2）不等式f?x??6即为3x???3?x?6，也即??6?3x?(3x)2，因此只要求得6?3x?(3x)2在

xxx?[0,2]的最小值即可．

试题解析：解：（1）函数f?x??3???3的定义域为R，

x?x∵f?x?为奇函数，∴f??x??f?x??0对?x?R恒成立， 即3?x???3x?3x???3?x????1??3x?3?x??0对?x?R恒成立，

∴???1

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此时f?x??3?3xx?x?1，即?3x??3x?1?0，

2解得3?1?51?5x或3?（舍去） 22?1?5???∴解集为?x|x?log3?，

2????（2）由f?x??6得3x???3?x?6，即3?x?3x?6，

令t?3?1,9，原问题等价于t?x???t?6对t??1,9?恒成立，

亦即???t2?6t对t?1,9恒成立， 令g?t???t?6t,t?1,9，

2????∵g?t?在1,3上单调递增，在3,9上单调递减． ∴当t?9时，g?t?有最小值g?9???27，∴???27 考点：指数函数的性质． 16．（1）an?2n；（2）6． 【解析】

试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项a1和公比q表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出bn的表达式后，要求其前n项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值．

试题解析：（1）∵a3?2是a2,a4的等差中项，∴2?a3?2??a2?a4， 代入a2?a3?a4?28，可得a3?8，

?????a?32?a1q2?8?a1?2?1∴a2?a4?20，∴?，解之得?或?1， 2?q?2?q??a1q?a1q?20?2∵q?1，∴??a1?2，∴数列?an?的通项公式为an?2n

?q?222（2）∵bn?anlog1an?2nlog12n??n?2n，

2n∴Sn??1?2?2?2???n?2，．．．．．．．．．．．．．．．①

??答案第5页，总17页

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2S???1?22?2?23???n?2n?n?2n?1?，．．．．．．．．．．．．．②

②—①得Sn?2?22?23??2n?n?2n?1?2?1?2n?1?2?n?2n?1?2n?1?2?n?2n?1

∵Sn?n?2n?1?62，∴2n?1?2?62，∴n?1?6,n?5， ∴使Sn?n?2n?1?62成立的正整数n的最小值为6 考点：等比数列的通项公式，错位相减法．

?3?5717．（1）?0,1?；（2）． ?214??【解析】

试题分析：（1）由函数形式知，用两角和的正弦公式展开，用二倍角公式降幂，再用两角和的正弦公式化函数为一个三角函数，求出正弦号后面整个角的取值范围，结合正弦函数可得值域；（2）由（1）的解析式可求得角A??3，由余弦定理可求得边a，由正弦定理可求得

sinB，利用两角差的余弦公式可得cos(A?B)．

试题解析：（1）f?x??sinx?3cosxcosx?sinxcosx?3cosx

2??133??3? ?sin2x?cos2x??sin?2x???2223?2?由0?x??2得，

?3?2x??3?4?3??? ，??sin?2x???1． 323??∴0?sin?2x??????3?330,1?，即函数的值域为fx??1?????． ?2?3?22?（2）由f?A??sin?2A?又由0?A???????33?得sin2A??????0， ?3?3?22??3?4???，∴2A???,A?． 333?2，∴

?3?2A?在?ABC中，由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA?7，得a?7，

由正弦定理

abbsinA21??，得sinB?， sinAsinBa7∵b?a，∴B?A，∴cosB?27， 7答案第6页，总17页

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∴cos?A?B??cosAcosB?sinAsinB?12732157 ????272714考点：两角和与差的正弦公式，二倍角公式，正弦定理与余弦定理． 18．（1）E是BC的中点；（2）当x?13（百米）时，路EF最短为（百米）． 42【解析】

试题分析：（1）只要利用面积公式求面积可得，先求得平行四边形ABCD的面积，然后求得?CEF的面积（用x表示），利用它们的面积关系可得x值，知E是BC中点；（2）为了求EF的长y，要分类，分F在边CD上和在DA上，前者利用面积求得CF?1，由余弦x定理求得y，由基本不等式得最小值，后者同样利用面积关系求得DF?1?x，在梯形

ECDF中求腰长EF（可分类CE?DF和CE?DF），由二次函数性质得最小值比较后

得结论．

试题解析：（1）平行四边形ABCD的面积为S?ABCD?2?点D重合时，S?CFE?1?1?2sin1200?3，当点F与213CE?CD?sin1200?x， 24∵S?CFE?133S?ABCD，∴，∴E是BC的中点． x?,x?1（百米）4441113CE?CF?sin1200?S?ABCD?，∴ CF=，

x244（2）①当点F在CD上时，∵S?CFE?在三角形CDE中，EF2?CE2?CF2?2CE?CF?cos1200， ∴y?x2?1?1?3，当且仅当x?1时取等号． x2此时E在BC中点处且F与D重合，符合题意； ②当点F在DA上时， ∵S梯形CEFD??x?FD??2313?S?ABCD?，∴DF?1?x， 244I．当CE?DF时，过E作EG//CD交DA于G，

在?EGF中，EG?1,GF?1?2x,?EGF?60，由余弦定理得y?II．当CE?DF，过E作EG//CD交DA于G，

在?EGF中，EG?1,GF?2x?1,?EGF?120，由余弦定理得y?004x2?2x?1；

4x2?2x?1；

答案第7页，总17页

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1?3?由I、II可得y?4x?2x?1?4?x???

4?4?22∴当x?13时，ymin?， 42此时E在BC的八等分点（靠近C）处且DF?3（百米），符合题意； 4∴由①②可知，当x?13（百米）时，路EF最短为（百米） 42考点：解三角形的实际应用．

123?n?n,n?2k?42?24?n?6n?319．（1）an?n,bn?n?2；（2）a?；（3）Sn??,n?4k?3,k?N*

34??n2?6n?5,n?4k?1?4?【解析】

试题分析：（1）由已知得数列{AnA}是等差数列，从而易得n，也即得An，利用nnan?An?An?1(n?2)求得an(n?2)，再求得a1?A1可得数列{an}通项，利用已知

由等差数列的基本量法可求得bn；（2）代入an,bnbn?2?2bn?1?bn?0可得{bn}是等差数列，得cn，变形后得cn?2?2?1??1??，从而易求得和Tn，于是有?nn?2?111??1?，只要求得的最大值即可得Tn?2n的最小值，Tn?2n?3?2???n?1n?2?n?1n?2?从而得a的范围，研究

11?的单调性可得；（3）根据新数列的构造方法，在求新数n?1n?2列的前n项和Sn时，对n分类：n?2k，n?4k?1和n?4k?1三类，可求解． 试题解析：（1）∵

An?1An11?A???，∴数列?n?是首项为1，公差为的等差数列， n?1n22?n?∴

n?n?1?An111?A1??n?1???n?，即An?n?N*?， ?n2222n?1??n?2?n?n?1?????n?122∴an?1?An?1?An?n?N?，

*答案第8页，总17页

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又a，∴a?*1?1n?nn?N?．

∵bn?2?2bn?1?bn?0，∴数列?bn?是等差数列， 设?b9?b3?b7?n?的前n项和为Bn，∵B9?2?63且b3?5， ∴b7?9，∴?bn?的公差为b7?b397?3??57?3?1,bn?n?2?n?N*? （2）由（1）知cbnann?2n1n?a?b???2?2??1???， nnnn?2?nn?2?∴T2n?2??1?111n?c1?c2???cn??3?2?4???11?n?n?2?? ?2n?2???1?12?1n?1?1?n?2???2n?3?2??1?n?1?1?n?2??，

∴T?1n?2n?3?2?1?n?1??n?2?? 设R?1n?3?2??n?1?1?n?2??，则R?11?4n?1?Rn?2??n?1?n?3????n?1??n?3??0，∴数列?Rn?为递增数列， ∴?R4n?min?R1?3， ∵对任意正整数n，都有T4n?2n?a恒成立，∴a?3． （3）数列?an?n?1?n?nn?的前n项和An?2，数列?b的前n项和B?5?n?n?2，

①当n?2k?k?N*?时，Sk?k?1?n?Ak?Bk?2?k?k?5?2?k2?3k； ②当

n?4k?1?k?N*?时

Sk??2n?A2k??B2k???k??k??12?k1?22?4k?2k?，

82特别地，当n?1时，S1?1也符合上式；

答案第9页，总17页

，

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*③当n?4k?1k?N时，Sn?A2k?1?B2k????2k?1?2k?2k?2k?5??4k2?4k．

22123?n?n,n?2k?42?2?n?6n?3综上：Sn??,n?4k?3,k?N*

4??n2?6n?5,n?4k?1?4?考点：等差数列的通项公式，数列的单调性，数列的求和． 20．（1）f?x?的极大值为1，极小值为1?

4

；（2）a?2；（3）当0?a?2时， h?x?a2

有两个零点；当a?2时，h?x?有一个零点；当a?2时，h?x?有无零点． 【解析】

试题分析：（1）求出导数f'(x)，求得f'(x)?0的解，讨论f'(x)的正负可得极值；（2）问题要进行转化，可转化为f?x??g?x?在x?1,2上有解，即ax3?3x2?1?3ax3?6x2在x?1,2上有解，即不等式2a?????13?在x??1,2?上有解，这样只要求得x3x113x2?1y?3??（3）要研究h(x)的零点，在定义域内，由?x??1,2??的最小值即可；

xxx3（1）f(x)的最小值是f?444?2?1??01??0时，f(x)的，当时无零点，当?1??222aaaa??4?0时，主要要研究2a最小值是f(1)?g(1)?0，可确定h(x)只有一个零点，当1?0?x?1时函数的零点，为此设??x??f?x??g?x??ax3?3x2?1?lnx?0?x?1?，求

得?'(x)?0，?(x)减函数，可得存在x0使得0?x?x0时，h(x)?f(x)，在一个零点，当x0?x?1时h(x)?g(x)无零点，最终可得零点个数为2． 试题解析：（1）∵函数f?x??ax?3x?1，

32∴f??x??3ax?6x?3x?ax?2?

3令f??x??0，得x1?0或x2?2，∵a?0，∴x1?x2，列表如下： a答案第10页，总17页

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x ???,0? ? ? 0 ?2??0,? ?a?? ? 2 a0 极小值 ?2?,???? a??f??x? 0 极大值 ? ? f?x? ∴f?x?的极大值为f?0??1，极小值为f?24?2?812 ???1?1??222a?a?aa（2）g?x??xf??x??3ax?6x，∵存在x?1,2，使h?x??f?x?，

∴f?x??g?x?在x?1,2上有解，即ax3?3x2?1?3ax3?6x2在x?1,2上有解， 即不等式2a???????13?在x??1,2?上有解， 3xx113x2?1?3x2?3x??1,2??，∵y???0对x??1,2?恒成立， 设y?3???34xxxx1313x?1?y??的最大值为4， 在上单调递减，∴当时，x?1,2??x3xx3x∴2a?4，即a?2．

∴y?（3）由（1）知，f?x?在?0,???上的最小值为f?①当1?4?2?， ?1??2aa??4?0，即a?2时，f?x??0在?0,???上恒成立， a2∴h?x??maxf?x?,g?x?在?0,???上无零点． ②当1?????4?0即a?2时，f?x?min?f?1??0，又g?1??0， a2∴h?x??maxf?x?,g?x?在?0,???上有一个零点，

4320?a?2?0，即时，设 ?x?fx?gx?ax?3x?1?lnx?0?x?1?，??????2a112∵???x??3ax?6x??6x?x?1???0，∴??x?在?0,1?上单调递减，

xx③当1?2?1??1?a2e?3又??1??a?2?0,????3?，∴存在唯一的使得??x0??0， x??00?,1?，2eeee????I．当0?x?x0时，∵??x??f?x??g?x????x0??0，∴h?x??f?x?且h?x?为减函数，

答案第11页，总17页

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又h?x0??f?x0??g?x0??lnx0?ln1?0,f?0??1?0，∴h?x?在?0,x0?上有一个零点； II．当x?x0时，∵??x??f?x??g?x????x0??0，∴h?x∵g?1??0，∴h?x?在?x0,???上有一零点；

从而h?x??maxf?x?,g?x?在?x0,???上有两个零点，

综上所述，当0?a?2时， h?x?有两个零点；当a?2时，h?x?有一个零点；当a?2时，

gx??且h?x?为增函数， ????h?x?有无零点．

考点：导数与极值，最值，函数的零点，导数的综合应用．

【名师点睛】本题考查导数的综合应用，利用导数求极值、最值，研究函数的单调性，研究函数的零点．其中涉及到常见的转化与化归思想的应用．在第（3）小题研究函数零点时，

4?0，即0?a?2时，由于（1）的讨论已知函数f(x)的单调性：2a22在(0,)上递减，在(,??)上递增，对x?(0,1)上零点的讨论不必另设函数?(x)，增加

aa第（3）小类中，当1?难度与麻烦，此时g(x)?lnx?0，因此由h(x)的定义，知f(x)的零点一定是h(x)的零点，反之h(x)的零点也一定是f(x)的零点，这样可以很容易得出结论． 21．证明见解析． 【解析】

试题分析：从证明形式看要利用圆中的比例线段，证明A,D,E,F四点共圆有

BA?BF?BD?BE，证明E,F,C,B四点共圆或相似三角形可得AE?AC?AF?AB，代

入待证式右边可得结论．

试题解析：证明：连接AD，∵AB为圆的直径，∴AD?BD， 又EF?AB，则A,D,E,F四点共圆， ∴BD?BE?BA?BF 又?ABC??AEF， ∴

ABAC?，即AB?AF?AE?AC， AEAF2∴BE?BD?AE?AC?BA?BF?AB?AF?AB??BF?AF??AB． 考点：四点共圆，相似三角形的判断，切割线定理． 22．（1）M??【解析】

答案第12页，总17页

?62?；（2）x?2y?4?0 ??44?本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

试题分析：（1）设M???ab??ab??1??1??ab???1??0?，由及??8???列出方程组???????????cd??1??1??cd??3??8??cd?可解得M；（2）设原曲线上任一点P?x,y?在M作用上对应点P??x?,y??，由

?x???62??x??y????44??y?，建立关系可求得新方程． ??????试题解析：（1）设M???ab??ab??1??1??ab???1??0?，由及??8???中， ???????????cd??1??1??cd??3??8??cd??a?b?8?a?6?c?d?8?b?2?62???得?，解得?，∴M???．

44?a?3b?0c?4????????c?3d?8?d?4（2）设原曲线上任一点P?x,y?在M作用上对应点P??x?,y??，

2x??y??x???x???62??x??x??6x?2y?8则????，即，解之得， ????y??????2x?3yy44y?4x?4y????????y??8?代入x?3y?2?0，得x??2y??4?0，

即曲线x?3y?2?0在M的作用下的新曲线方程为x?2y?4?0 考点：特征值与特征向量，矩阵变换． 23．（1）?22,????4?（2）r??；

52 2【解析】 试题分析：（1）把圆的参数方程消去参数?得普通方程，从而得圆心的直角坐标，再由公式

?2?x2?y2，cos??x?,sin??y?求得?,?得极坐标；（2）把直线的极坐标方程化为直

角坐标方程，由圆心到直线距离不大于半径列出不等式可得r的范围． 试题解析：（1）由C:??x?rcos??2222得?x?2???y?2??r，

?y?rsin??2∴曲线C是以?2,2?为圆心，r为半径的圆， ∴圆心的极坐标为?22,?????． 4?答案第13页，总17页

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（2）由l:2?sin?????????1?0得l:x?y?1?0， 4?从而圆心?2，2?到直线l的距离为d?2?2?12?52， 2∵圆C与直线l有公共点，∴d?r，即r?52． 2考点：极坐标与直角坐标的互化．直线与圆的位置关系． 24．证明见解析． 【解析】 试题分析：把不等式

的左边写成

?a2b2c2d2????1?a???1?b???1?c???1?d????1?a?1?b?1?c?1?d?形式，利用柯西不等式即

??证．

?a2b2c2d2?试题解析：证明：∵???1?a???1?b???1?c???1?d????1?a?1?b?1?c?1?d?

??abcd????1?a??1?b??1?c??1?d??

1?a1?b1?c1?d????a?b?c?d??1，

又?1?a???1?b???1?c???1?d??5，

22a2b2c2d21???? ∴

1?a1?b1?c1?d5考点：柯西不等式

25．（1）分布列见解析，期望为

4a?1?1?；（2）?0,? 2?2?【解析】

试题分析：（1）由于有三个项目，因此随机变量X的可能取值为0，1，2，3．分别计算概率可得分布列，由期望公式可计算出期望；（2）说明在概率分布表中P(X?1)不小于其他三个值，列出不等式组解之即可． 试题解析：（1）随机变量X的可能取值为0，1，2，3．

122?1?0P?X?0???1??C2?1?a???1?a?2?2?101?112P?X?1??C21?Ca1?a?1?a2?； ?1?a????????222?2?答案第14页，总17页

；

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1221211?1?221a?a， P?X?2??C2a?1?a???1??C2a??2a?a2?；P?X?3??C22222?2?从而X的分布列为 X 0 P 1 2 3 111222a2?1?a? ?1?a? ?2a?a? 2222X的数学期望为

111a24a?1222E?X??0??1?a??1??1?a??2??2a?a??3??，

22222（2）P?X?1??P?X?0??1??1?a2???1?a2???a?1?a?，

?2?11?2a22?P?X?1??P?X?2???1?a?2a?a? ??????2211?2a222P?X?1??P?X?3???1?a??a??， ???22??a?1?a??0?1?1?2a1??0和0?a?1，得0?a?，即a的取值范围是?由?． 0,??222???2?1?2a?0??2考点：随机变量概率分布列和数学期望． 26．（1）证明见解析；（2）【解析】

试题分析：由题意AB,AD,AS两两垂直，因此以它们为坐标轴建立空间直角坐标系，写出

2105． 21????????各点坐标，（1）假设DE和SC可能垂直，则有DE?SC?0，设E?x,0,ax??其中0?x?a，

计算出x，如满足条件，说明存在，如不满足条件说明不存在；（2）求出二面角的两个面SCD和ECD的法向量，由向量的夹角与二面角相等或互补的关系，计算法向量夹角余弦值可得结论．

试题解析：（1）∵SA?底面ABCD,?DAB?90，∴AB、AD、AS两两垂直， 以A为原点，AB、AD、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）．

0答案第15页，总17页

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则S?0,0,a?,C?a,a,0?,D?0,3a,0??a?0?，

∵SA?AB?a，且SA?AB，∴设E?x,0,a?x?其中0?x?a，

????????∴DE??x,?3a,a?x?,SC??a,a,?a?

????????SC?0， 假设DE和SC垂直，则DE?即ax?3a2?a2?ax?2ax?4a2?0，解得x?2a，

这与0?x?a矛盾，假设不成立，所以DE和SC不可能垂直 （2）∵E为线段BS的三等分点（靠近B），∴E?1??2a,0,a?，

3??3设平面SCD的一个法向量是n1??x1,y1,z1?，平面CDE的一个法向量是n2??x2,y2,z2?，

????????????????????CD?0?n1?????∵CD???a,2a,0?,SD??0,3a,?a?，∴???， n?SD?0??1即?????ax1?2ay1?0?x1?2y1，即?，取n1??2,1,3?

?3ay1?az1?0?z1?3y1????????????????2?CD?01??n2??????∵CD???a,2a,0?,DE??a,?3a,a?，∴???，

33????n2?DE?0?ax2?2ay2?0?????x2?2y2?即?2，即?，取n2??2,1,5?， 1z?5yax2?3ay2?az2?0?22?33?设二面角S?CD?E的平面角大小为?，由图可知?为锐角，

??????????n1?n24?1?152105?∴cos??cosn1,n2?????， ??2114?30n1?n2即二面角S?CD?E的余弦值为2105 21答案第16页，总17页

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考点：用向量法证明垂直、求二面角．

答案第17页，总17页

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