二次函数典型题解题技巧

二次函数典型题解题技巧

（一）有关角

21、已知抛物线y?ax?bx?c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C(0，3)，过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D，抛物线的顶点为M，直线

y?x?5经过D、M两点.

（1） 求此抛物线的解析式；

（2）连接AM、AC、BC，试比较?MAB和?ACB的大小，并说明你的理由.

思路点拨：对于第（1）问，需要注意的是CD和x轴平行（过点C作x轴的平行线与抛物线交于点D）

对于第（2）问，比较角的大小

a、 如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小，那么他们之间的大小关系就

清楚了

b、 如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就

确定了

c、 如果稍难一点，这两个角转化成某个三角形的两个内角，根据大边对大角来判断角的大

小

d、 除了上述情况外，那只有可能两个角相等，那么证明角相等的方法我们学过什么呢，全

等三角形、相似三角形和简单三角函数，从这个题来看，很明显没有全等三角形，剩下的就是相似三角形和简单三角函数了，其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的，都是对应边的比相等

e、 可能还有人会问，这么想我不习惯，太复杂了，那么我再说一个最简单的方法，如何快

速的找出题目的结论问题，在本题中，需要用到的点只有M、C、A、B这四个点，而这四个点的坐标是很容易求出来的，那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，再用量角器去量这两个角大大小，你就能得出结论了，得出结论以后你再看d这一条 解：（1）∵CD∥x轴且点C（0，3），

∴设点D的坐标为(x，3) ． ∵直线y= x+5经过D点， ∴3= x+5．∴x=－2． 即点D(－2，3) ．

根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（－1，y）， 又∵直线y= x+5经过M点，

∴y =－1+5，y =4．即M（－1，4）． ∴设抛物线的解析式为y?a(x?1)?4．

∵点C（0，3）在抛物线上，∴a=－1．

即抛物线的解析式为y??x?2x?3．…………3分 （2）作BP⊥AC于点P，MN⊥AB于点N． 由（1）中抛物线y??x?2x?3可得

点A（－3，0），B（1，0），

∴AB=4，AO=CO=3，AC=32． ∴∠PAB＝45°． ∵∠ABP=45°，∴PA=PB=22． ∴PC=AC－PA=2．

222PB在Rt△BPC中，tan∠BCP=PC=2．

在Rt△ANM中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2．

MNtan∠NAM=AN=2．

∴∠BCP＝∠NAM． 即∠ACB＝∠MAB．

后记：对于几何题来说，因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角（圆分开再说），所以几何的证明无非就是线段之间的关系，角之间的关系，在二次函数综合题里，我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题，其次才是利用线段之间的关系来解题，除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单，因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很麻烦的，尤其是不知道某个点的确切坐标时，那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系的基本思路

2、如图，抛物线y?ax?bx?3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，且

2OB?OC?3OA．

（I）求抛物线的解析式；

（II）探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P,A,C为顶点的三角形为直角三角形？

若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由；

1y??x?13（III）直线交y轴于D点，E为抛物线顶点．若?DBC??，

?CBE??,求???的值．

思路点拨：（II）问题的关键是直角，已知的是AC边，那么AC边可能为直角边，可能为斜

边，当AC为斜边的时，可知P点是已AC为直径的圆与坐标轴的交点，且不能与A、C重合，明显只有O点；当AC为直角边时，又有两种情况，即A、C分别为直角顶点，这时候我们要知道无论是A或者C为直角顶点，总有一个锐角等于∠OCA（或Rt△PAC和Rt△OAC相似），利用这点就可以求出OP的长度了

（III）从题目的已知条件看，除了∠ABC=45°外没有知道其他角的度数，那么这两个角要

么全是特殊角（30°，45°，60°，90°），在这种情况下，他们的差才有可能不是特殊的角，很明显，这两个角不是特殊角，那只有一种可能（在没有学反三角函数的前提下），就是他们的差是特殊角，再联系到∠ABC=45°，可知，这两个角的差就是45°，那么我们需要证明的就是∠ABD=∠CBE，再想想上一题所说的，就明白是利用相似三角形来证明了，即证明△BCE是一个直角三角形且与△BAD相似

2解：（I）?抛物线y?ax?bx?3与y轴交C点?0,?3?，且OB?OC?3OA．

?A??1,0?,B(3,0)．

代入y?ax?bx?3，得

2?a?b?3?09a?3b?3?0??a?1b??2

?y?x2?2x?3

1AC?90?时,可证?P1AO∽?ACO （II）①当?P

?Rt?P1AO中，tan?P1AO?tan?ACO?11?P1(0,)3．3

②同理: 如图当?P2CA?90?时，P2(9,0) ③当?CP3A?90?时，P3(0,0)

综上，坐标轴上存在三个点P，使得以点P,A,C为顶点的三角形为直角三角形，分别

1P1(0,)3P2(9,0)，P3(0,0)． 是

（III）

由y??1x?1,得D?0,1?2由y?x?2x?3，得顶点E?1,?4?． 3．

∴BC?32,CE?2,BE?25．

222?BC?CE?BE,??BCE为直角三角形．

CE1?tan???CB3．

OD1?Rt?DOB中tan?DBO??OB3．??DBO???． 又

??????????DBO??OBC?45?．

（二）线段最值问题

引子：初中阶段学过的有关线段最小值的有两点之间线段最短和垂线段最短，无论是两点之间选段最短还是垂线段最短，它们的本质就是要线段首尾相接，或者说线段要有公共端点，如果我们公共端点，我们要想办法把它们构造成有公共端点来解决；有关线段最大值的问题，学过的有三角形三边之间的关系，两边之差小于第三边，我们可以利用这个来求第三边的最大值，还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值

23、抛物线y?ax?bx?c?a?0?交x轴于A、B两点，交y轴于点C，已知抛物线的对称轴为直线x = -1，B(1,0)，C(0,-3).

2⑴ 求二次函数y?ax?bx?c?a?0?的解析式；

⑵ 在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点P到A、C两点距离之差最大？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

思路点拨：点P到A、C两点距离之差最大，即求|PA－PC|的最大值，因P点在对称轴上，有PA=PB，也就是求|PB－PC|，到了这儿，易知当P点是BC所在直线与对称轴的交点，易知最大值就是线段BC的长。 具体解题过程略

4、研究发现，二次函数y?ax2（a?0）图象上任何一点到定点（0，

1）和到定直线4a111y??的距离相等.我们把定点（0，）叫做抛物线y?ax2的焦点，定直线y??4a4a4a叫做抛物线y?ax2的准线.

12x图象的焦点坐标和准线方程； 412（2）等边三角形OAB的三个顶点都在二次函数y?x图象上，O为坐标原点，

4（1）写出函数y?求等边三角形的边长； （3）M为抛物线y?121x上的一个动点，F为抛物线y?x2的焦点，P（1，3） 44为定点，求MP+MF的最小值.

思路点拨：（2）因△OAB是等边三角形，易知AB平行于X轴，且∠AOB=60°，知OA、OB于y轴的夹角等于30°，利用这点容易求出三角形的边长

（3）由题目可知MF的长度等于M点到直线y=－1的距离，那么MP+MF就是P点到达抛物线上某一点再到y=－1上某一点的距离和，易知最小值就是过P点做y=－1的垂线段的长

解：（1）焦点坐标为（0，1）， 准线方程是y??1；

（2）设等边ΔOAB的边长为x，则AD=

13x，OD=x. 22故A点的坐标为（

13x，x）. 22把A点坐标代入函数y?12x，得 4311x??(x)2， 242解得x?0（舍去），或x?83. ∴ 等边三角形的边长为83.

（3）如图，过M作准线y??1的垂线，垂足为N，则MN=MF.过P作准线y??1的垂线PQ，垂足为Q，当M运动到PQ与抛物线交点位置时，MP+MF最小，最小值为PQ=4. 5、

思路点拨：（2）要求AE和AM的长，对于求线段的长度我们学过的是勾股定理，相似三角形和简单三角函数，从题目可知OA和OE的长以及E点到x轴的距离，我们作EG⊥x轴，垂足为G，那么容易求出OG的长，从而求出AE的长；要求AM的长，先做OK⊥AE，垂足为K，要求AM的长，首先我们利用已知的OA的长和∠EAO的函数值来求出AK和OK的长，利用OK的长和三角形OMN是等边三角形求出MK和NK的长，AM的长也就知道了

（3）这个是著名的费马点的问题，第2问给了我们提示，我们可以猜想当P点在什么位置时，PA+PB+PO才能取最小值，P点应该在线段AE上，至于具体的位置我们还不知道，我们就在线段AE上任取一点P，把PA、PB、PO连起来，要取最小值，那么这三条线段应该首尾相接，我们应该能想到它们首尾相接后的位置就是AE所在直线，这时P点应该和在△

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