高考大一轮总复习8.3空间点、直线、平面之间的位置关系

§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系

考纲展示? 1.理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理．

3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．

考点1 平面的基本性质及应用

条直线的平面的个数为( )

A．1 C．6 答案：B

平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

(2)公理2：过________的三点，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

(4)公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条________直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条________直线有且只有一个平面． 答案：(1)两点 (2)不在一条直线上 (3)一个 (4)相交 平行

1

(1)[教材习题改编]直线a，b，c两两平行，但不共面，经过其中两

B．3 D．0

(2)[教材习题改编]两两相交的三条直线最多可确定________个平面．

答案：3

判断点共线、线共点问题：直接法(直接运用公理或定理)． (1)如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠11

FAB＝90°，BC＝2AD，BE＝2FA，G，H 分别为FA，FD的中点．

①四边形BCHG的形状是________；

②点C，D，E，F，G中，能共面的四点是________． 答案：①平行四边形 ②C，D，E，F 解析：①∵G，H分别为FA，FD的中点， 11

∴GH綊2AD.又BC綊2AD，所以GH綊BC， 所以四边形BCHG为平行四边形．

1

②由BE＝2FA，G为FA的中点知，BE＝FG， 所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG. 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，所以EF与CH共面． 又D∈FH，所以C，D，E，F四点共面．

(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC与BD交于点M，则点O与直线C1M的关系是________．

答案：点O在直线C1M上

解析：如图所示，因为A1C?平面A1ACC1，O∈A1C，所以O∈平面A1ACC1，而O是平面BDC1与直线A1C的交点，所以O∈平面BDC1，所以点O在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上．因为AC∩BD＝M，所以M∈平面BDC1.又M∈平面A1ACC1，所以平面BDC1∩平面A1ACC1＝C1M，所以O∈C1M.

[典题1] (1)以下四个命题中，正确命题的个数是( ) ①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． A．0 C．2 [答案] B

B．1 D．3

[解析]

2

①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体如图，显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故只有①正确．

(2)已知空间四边形ABCD(如图所示)， E，F分别是AB，AD的中∴GH∥BD，∴EF∥GH， ∴E，F，G，H四点共面．

②易知FH与直线AC不平行，但共面， ∴设FH∩AC＝M，

点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝13BC，

求证：①E，F，G，H四点共面； ②三直线FH，EG，AC共点． [证明] ①连接EF，GH，

∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴EF∥BD.

又∵CG＝11

3BC，CH＝3DC，

CH＝1

3DC.

∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.

又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG， ∴FH，EG，AC共点．

[点石成金] 共面、共线、共点问题的证明

(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将

所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．

(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．

(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

考点2 空间两直线的位置关系

(1)[教材习题改编]已知直线a与b平行，直线c与b相交，则直线a与c的位置关系是________．

3

答案：相交或异面

解析：当直线c在直线a与b确定的平面内时，a与c相交；当直线c与直线a，b确定的平面相交时，a与c异面．

(2)[教材习题改编]如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，PQ是异面直线A1D与AQ的公垂线，则直线PQ与BD1的位置关系为________．(填下列关于异面直线的说法正确的是________． ①若a?α，b?β，则a与b是异面直线； ②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面； ③若a，b不同在平面α内，则a与b异面； ④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面． 序号)

①平行；②异面；③相交但不垂直；④垂直．

答案：①

解析：∵A1D∥B1C，PQ⊥A1D，∴PQ⊥B1C. 又∵PQ⊥AC，∴PQ⊥平面AB1C. ∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥BD1， 同理B1C⊥BD1，∴BD1⊥平面AB1C， ∴PQ∥BD1.

两条直线关系判断误区：异面直线概念、理解不透．

答案：④

解析：①②③中的两直线可能平行、相交或异面，由异面直线的定义可知④正确．

[考情聚焦] 空间两条直线位置关系的判断是每年高考常考内容，并且常作为某一选项来考查，其中异面直线及平行关系是考查的重点．

主要有以下几个命题角度： 角度一

两直线位置关系的判定

[典题2] (1)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论： ①若a⊥b，a⊥c，则b∥c； ②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c； ③若a∥b，b⊥c，则a⊥c. 其中正确的个数为( )

A．0 B．1

4

C．2 [答案] B

D．3

[解析] 解法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错误，③显然成立．

解法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错误，③正确．

(2) [2017·浙江余姚模拟]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )

∵CC1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴CC1⊥BD，

∴MN与CC1垂直，故A正确； ∵AC⊥BD，MN∥BD， ∴MN与AC垂直，故B正确； ∵A1B1与BD异面，MN∥BD，

∴MN与A1B1不可能平行，故D错误．故选D.

A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直 C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行 [答案] D

[解析] 如图，连接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；

[点石成金] 点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．

角度二 异面直线的判定

[典题3] (1)在下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)

5

① ②

[答案] 3

[解析] 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，

③ ④

[答案] ②④

[解析] 图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M?平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H?平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．

(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为________对．

[典题4] 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )

CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．

[点石成金] 异面直线的判定常用的是反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．

考点3 异面直线所成角

6

A.15 B.25 C.35 D.45 [答案] D

[解析] 连接BC1，易证BC1∥AD1，

则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1知，

AA1＝2，A1C1＝2，A1B＝BC1＝5， 故cos∠A5＋5－24

1BC1＝2×5×5

＝5.

则异面直线A4

1B与AD1所成角的余弦值为5.

[题点发散1] 将题干条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，问题不变．

解：因平面ABCD内有且仅有一点到A1的距离为1，则AA1＝1. 此时正四棱柱变为正方体ABCD－A1B1C1D1，

由图知A1B与AD1所成角为∠A1BC1，连接A1C1. 则△A1BC1为等边三边形， ∴∠A1BC1＝60°， ∴cos∠A11BC1＝2，

故异面直线AAD1

1B与1所成角的余弦值为2. [题点发散2] 将题干条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若异面直线A9AA11B与AD1所成角的余弦值为10”，试求AB的值．

解：设AA1AB＝t，则AA1＝tAB.

∵AB＝1，∴AA1＝t.

∵A1C1＝2，A1B＝t2＋1＝BC1， t2＋1＋t2∴cos∠A＋1－29

1BC1＝2×t2＋1×t2＋1＝10， ∴t＝3，即AA1AB＝3.

[题点发散3] 将题干条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，且平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，则是否存在过顶点A的

7

直线 l，使l与棱AB，AD，AA1所成角都相等．若存在，存在几条？若不存在，请说明理由．

解：由条件知，此时正四棱柱为正方体． 如图，连接对角线AC1，

已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD所成的角为60°，点M，N分别是BC，AD的中点，求直线AB和MN所成的角的大小．

显然AC1与棱AB，AD，AA1所成角都相等，联想正方体的其他体对角线．

如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因为BB1

∥AA1，BC∥AD，

所以体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等．

同理体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成角都相等，故过A作BD1，A1C，DB1的平行线都满足，故这样的直线可以作4条．

[点石成金] 用平移法求异面直线所成的角的三个步骤 (1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；

(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.

8

解：解法一：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，

则PM∥AB，且PM＝1CD，且PN＝1

2AB，PN∥2CD， 所以∠MPN(或其补角)为AB与CD所成的角． 则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°. 若∠MPN＝60°， 因为PM∥AB，

所以∠PMN(或其补角)是AB与MN所成的角． 又因为AB＝CD，所以PM＝PN， 则△PMN是等边三角形， 所以∠PMN＝60°，

即AB与MN所成的角为60°.

若∠MPN＝120°，

则易知△PMN是等腰三角形． 所以∠PMN＝30°，

即AB与MN所成的角为30°.

综上知，直线AB和MN所成的角为60°或30°.

解法二：由AB＝CD，可以把该三棱锥放在长方体AA1BB1－C1CD1D中进行考虑，如图，

[方法技巧] 1.要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．

2．要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．

3．判定空间两条直线是异面直线的方法

(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

4．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可

知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关．

[易错防范] 1.异面直线是“不同在任何一个平面内”的直线，不要理解成“不在同一个平面内”．

2．不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件． π??

?3．两条异面直线所成角的范围是0，2?. ??

4．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．

真题演练集训

1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点

由M，N分别是BC，AD的中点，所以MN∥AA1， 即∠BAA1(或其补角)为AB与MN所成的角． 连接A1B1交AB于O，所以A1B1∥CD， 即∠AOA1(或其补角)为AB与CD所成的角． 所以∠AOA1＝60°或120°.

由矩形AA1BB1的性质可得∠BAA1＝60°或30°. 所以直线AB和MN所成的角为60°或30°.

9

A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )

3A.2 3C.3 答案：A

解析：因为过点A的平面α与平面CB1D1平行，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，所以m∥B1D1∥BD，又A1B∥平面CB1D1，所以n∥A1B，则3

BD与A1B所成的角为所求角，所以m，n所成角的正弦值为2，故选A.

2．[2015·安徽卷]已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 答案：D

解析：可以结合图形逐项判断． A项，α，β可能相交，故错误；

B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；

10

C项，若m?α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；

D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正

2

B.2 1D.3 确，故选D.

3．[2014·辽宁卷]已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( )

A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n?α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α 答案：B

解析：解法一：若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A错；若m⊥α，n?α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥a或n?α，C错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n?α，D错．

解法二：如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.

A项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，但m与n是相交直线，故A错．B项中，m⊥α，n?α，∴m⊥n，这是线面垂直的性质，故B正确．C项中，若m为AA′，n为AB，满足m⊥α，m⊥n，但n?α，故C错．D项中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，m⊥n，但n∥α，故D错．

4. [2015·浙江卷]如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．

∵ M为AD的中点， ∴ MK∥AN，

∴ ∠KMC即为异面直线AN，CM所成的角．

∵ AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点， 由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝22， ∴ MK＝2.

在Rt△CKN中，CK＝

?2?2＋12＝3.

在△CKM中，由余弦定理，得 ?2?2＋?22?2－?3?27

cos∠KMC＝＝8. 2×2×22

课外拓展阅读 构造平面研究直线相交问题

7答案：8 解析：如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.

11

[典例1] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．

[思路分析]

交．

[答案] 无数 温馨提示

1．本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查难度一般都不会太大．

2．注意本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．

课时跟踪检测(四十一)

[高考基础题型得分练]

1．在下列命题中，不是公理的是( )

[解析] 解法一：如图所示，在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有一个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这三条异面直线都有交点，所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条．

解法二：在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，

设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．

由点P的任意性知，有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相

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A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

答案：A

解析：选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的． 2．[2017·江西七校联考]已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )

A．相交或平行 C．平行或异面 答案：D

B．相交或异面 D．相交、平行或异面

D．平行、相交或异面都有可能 答案：D

解析：当a，b，c共面时，a∥c；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交．

5．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面 答案：B

解析：若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1，l3有三种位置关系，可能平行、相交或异面，A不正确；

当l1∥l2∥l3或l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3可能共面，也可能不共面，C，D不正确；

当l1⊥l2，l2∥l3时，则有l1⊥l3，故选B.

6．[2017·广东深圳调研]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R

解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )

A．相交 C．平行 答案：A

解析：如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．

B．异面 D．垂直

4．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则直线a与c( ) A．一定平行 B．一定相交 C．一定是异面直线

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分别是AB，AD，B1C1的中点，那么正方体的过P，Q，R的截面图形是( )

A．三角形 C．五边形 答案：D

B．四边形 D．六边形

解析： 如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB延长线交于M，且QP反向延长线与CD延长线交于N，

答案：A

解析：

如图，过点B作直线BE∥CD，交DA的延长线于点E，连接PE. ∴∠PBE(或其补角)是异面直线CD与PB所成角．

连接MR交BB1于E，连接PE， 则PE，RE为截面与正方体的交线，

同理连接NG交DD1于F，连接QF，FG，则QF，FG为截面与正方体的交线，

∴截面为六边形PQFGRE.

7．[2017·黑龙江哈尔滨一模]如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为( )

∵△PAB和△PAD都是等边三角形， ∴∠PAD＝60°，DA＝PA＝AB＝PB＝AE， ∴∠PAE＝120°.

设PA＝AB＝PB＝AE＝a，则PE＝3a. 又∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°， ∴BE＝2a，∴在△PBE中，PB2＋BE2＝PE2，

∴∠PBE＝90°，即异面直线CD与PB所成角为90°.故选A. 8．如图所示，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，则a与b，c的位置关系是________．

A．90° C．60°

B．75° D．45°

答案：a∥b∥c

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解析：∵a∥b，a?α，b?α，∴b∥α. 又∵b?β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.

9．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．

①直线AM与CC1是相交直线； ②直线AM与BN是平行直线； ③直线BN与MB1是异面直线； ④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________．(写出全部正确结论的序号) 答案：③④

解析：A，M，C1三点共面，且在平面AD1C1B中，C?平面AD1C1B，C1?AM，因此直线AM与CC1是异面直线．同理AM与BN也

是异面直线，AM与DD1也是异面直线，①②错误，④正确；M，B，B1三点共面，且在平面MBB1中，N?平面MBB1，B?MB1，因此直线BN与MB1是异面直线，③正确．

11．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出五个命题： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；

③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交； ④若a?平面α，b?平面β，则a，b一定是异面直线； ⑤若a，b与c成等角，则a∥b.

正确的命题是________．(写出全部正确命题的序号) 答案：① 解析：显然①正确；

当a⊥b，b⊥c时，a与c可能相交、平行，也可能异面，故②不正

答案：4

解析：取CD的中点H，连接EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左右两侧面平行，则EF也与之平行，与其余四个平面相交．

10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

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