闵行区2016年高三数学文科一模试卷（含答案）

闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试

数 学 试 卷（文科）

（满分150分，时间120分钟）

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．

2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有23道试题．

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．若复数z满足iz?3?i（i为虚数单位），则|z|? . 2．若全集U?R，函数y?x的值域为集合A，则eUA? . 3．方程4?2?6?0的解为 . 4．函数f?x??5．不等式

xx12cos(??x)sinx的最小正周期T= .

sin(??x)cosx11?的解集为 . x26．若一圆锥的底面半径为3，体积是12?，则该圆锥的侧面积等于 .

??????????????7．已知△ABC中，AB?4i?3j，AC??3i?4j，其中i、j是基本单位向量，则△ABC的面积为 .

8．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有 种.

S3S2S??5，则limn? . 2n??32nx?110．若函数f(x)?2，且f(x)在[m,??)上单调递增，则实数m的最小值等于 .

9．若Sn是等差数列?an?的前n项和，且

x2y2?1(a?1)上运动，F1、F2是椭圆?的左、右11．若点P、Q均在椭圆?:2?2aa?1?????????????焦点，则PF1?PF2?2PQ的最大值为 .

???x?4?cosx， 012．已知函数f(x)??，若实数a、b、c互不相等，且满足2? x?4??x?5，f(a)?f(b)?f(c)，则a?b?c的取值范围是 .

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13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为则

bd和（a,b,c,d?N*）,cab?d是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道??3.14159???，若令a?c314916???，则第一次用“调日法”后得是?的更为精确的过剩近似值，即101553116???，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得?的近似分数为 . 1051n14．数列?an?的前n项和为Sn，若对任意n?N*，都有Sn?(?1)an?n?n?3，则

2数列?a2n?1?的前n项和为 .

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答

题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．若a,b?R，且ab?0，则“a?b”是“

ba??2等号成立”的（ ）. ab(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件 16．设f(x)?2?5x?10x2?10x3?5x4?x5，则其反函数的解析式为（ ）.

(A) y?1?5x?1 (B) y?1?5x?1 (C) y??1?5x?1 (D) y??1?5x?1 17．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足范围是（ ）.

(A)?0,a?b?cc?，则角A的ba?b?c???? (B) ???????? (C) 0,,????????????? (D) ?,?????? ?18．函数f(x)的定义域为??1,1?，图像如图1所示；函数g(x)的定义域为??1,2?，图像如图2所示.A?xf(g(x))?0,B?xg(f(x))?0,则A?B中元素的个数为（ ）.

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

y 1 x y 1 1 -1 图1

图2

????-1 O -1 O 1 2 x 高三年级质量调研考试文科数学试卷 第2页共11页

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）

C1

如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1?底面ABC，

A1

?，D为棱AA1中点，??证明异面直线B1C1与CD所成角为，并求三棱柱

?B1

AA1?AB?2，BC?1,?BAC?D

C A

B

ABC?A1B1C1的体积．

20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．

如图，点A、B分别是角?、?的终边与单位圆的交点，0????????． 2y B 23（1）若?=?，cos??????，求sin2?的值；

34（2）证明：cos(???)?cos?cos??sin?sin?．

A O x

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路l1、l2，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数y?a图像的一段，点M到l1、点Nl2的距离分别为8千米和1千米，x到l2的距离为10千米，点P到l2的距离为2千米.以l1、l2分别为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy. （1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域； （2）求直线AB的方程，并求出公路AB的长度（结果精确到1米）. O y A M l2 大海 P N l1 B x 高三年级质量调研考试文科数学试卷 第3页共11页

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2) (3)小题满分各6分．

已知椭圆?的中心在坐标原点，且经过点(1,3)，它的一个焦点与抛物线2斜率为k的直线l交抛物线?于A、B两点，交椭圆?于C、D?:y2?4x的焦点重合，两点．

（1）求椭圆?的方程；

（2）直线l经过点F?1,0?，设点P(?1,k)，且△PAB的面积为43，求k的值； （3）若直线l过点M?0,?1?，设直线OC，OD的斜率分别为k1,k2，且

121,,成k1kk2等差数列，求直线l的方程.

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．

已知数列?an?的各项均为整数，其前n项和为Sn．规定：若数列?an?满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r?1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列

?an?为“r关联数列”．

（1）若数列?an?为“6关联数列”，求数列?an?的通项公式；

（2）在（1）的条件下，求出Sn，并证明：对任意n?N，anSn?a6S6；

（3）若数列?an?为“6关联数列”，当n?6时,在an与an?1之间插入n个数，使这n?2个数组成一个公差为dn的等差数列，求dn，并探究在数列{dn}中是否存在三项dm，

*dk，dp（其中m,k,p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，

说明理由.

高三年级质量调研考试文科数学试卷 第4页共11页

闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试数学试

卷

参考答案和评分标准

一、（第1题至第14题）

1．2； 2．(??,0)； 3．x?log23； 4．?； 5．(0,2)； 6．???； 7．

25； 8．10； 9．5； 10．1； 11．2a； 22211?311??n. ； 14．理??,?、文?n733?4?44? 23)、文(8， 10)； 13．12．理(8，二、（第15题至第18题） 15．A； 16．C； 17．B； 18．C. 三、（第19题至第23题）19. （本题满分12分）

??BCD或[证明]?在三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱AA1?底面ABC，BC//B1C1，

它的补角即为异面直线B1C1与CD所成角，??????????2分 由AB?2，BC?1,?BAC???以及正弦定理得sin?ACB??，??ACB?即??BC?AC，????4分

又?BC?AA1，?BC?面ACC1A1，????6分

?BC?CD??????8分

?．???????? 10分 21三棱柱ABC?A1B1C1的体积为V?S△ABC?AA1??3?1?2?3． ?????12

2所以异面直线B1C1与CD所成角的为分

20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．

[解]（1）方法一:?cos??????分

212，?cos(2??2?)?2cos(???)?1=? ?3393?13?2?)??， ?????????????6??=?，即cos(429分

高三年级质量调研考试文科数学试卷 第5页共11页

?sin2??分

1． ?????????????8923222，?=?，即?cos??sin??， ?????3

43223方法二:?cos??????分

?sin??cos??822，两边平方得，1?sin2?? ???????????6分

931?sin2??． ?????????????8分

9（2）[证明]由题意得，OA?(cos?,sin?)，OB?(cos?,sin?) ?OA?OB=cos?cos??sin?sin? 又因为OA与OB夹角为???，OA?OB?1

?OA?OB=OA?OBcos(???)?cos(???) ?????????12分 综上cos(???)?cos?cos??sin?sin?成立． ???????????14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．

[解]（1）由题意得M(1,8)，则a?8，故曲线段MPN的函数关系式为y?分

又得N(10,)，所以定义域为?1,10?. ?????????????6

分

??????10分

8，?4x458?y??k(x?p)?88p?（2）（理科）P(p,)，设AB:y??k(x?p)由?得 pp?y?8?x?kpx2?(8?kp2)x?8p?0，??(8?kp2)2?32kp2?(kp2?8)2?0, ????8分 ?kp2?8?0,?k??分 得A(0,888ABy???(x?p)， ???10，得直线方程为22ppp16)、B(2p,0)，故点P为AB线段的中点， p高三年级质量调研考试文科数学试卷 第6页共11页

16p2?8由2p??2??0即p2?8?0 ????????????pp12分 得p?22时，OA?OB，所以，当22?p?10时，经点A至P路程最近. ??14分 （文科）由（1）知P(2,4)，设直线AB方程为y?4?k(x?2)， 由?y?4?k(x?2)?8?y??x?得kx2?2(2?k)x?8?0,??4(2?k)2?32k?4(k?2)2?0?8分 ?k?2?0，?k??2，所以直线AB方程为y??2x?8， ?????? 10分 得A(0,8)、B(4,0)， ????????????????????12分 所以AB?64?1?6米. ???14分 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2) (3)小题满分各6分． 4?5．答: 公路AB的长度为8.944千8.千9米449?1??1xy?[解]（1）设椭圆的方程为2?2?1?a?b?0?，由题设得?a24b2，?2分

ab?a2?b2?1?22?a2?4x2y2??2??1 ??????????4分 ，?椭圆?的方程是

43?b?3?y?k(x?1),（2）设直线l:y?k(x?1)，由?得k2x2?2(k2?2)x?k2?0 2?y?4x,l与抛物线?有两个交点，k?0，??16(k2?1)?0，

4(k4?4k2?4)?4k44(k2?1)2则AB? ???????????6?1?k?22kk分

P(?1,k)到l的距离d?分

3kk?12，又S△PAB14(k2?1)3k??43 8?43,??222kk?1高三年级质量调研考试文科数学试卷 第7页共11页

4k2?3k2?3，故k??3． ?????????10分

（3）(理科)?C?x1,y1?,D?x2,y2?，点C关于y轴的对称点为Q(?x1,y1)， 则直线CD:y?y1?分

直线QD:y?y1?分

2222233x12y12x2y2x2y1?x12y22222?y?(4?x)y?(4?x) ??1??1，又，，?mn?112222444343x2?x1y2?y1x(y?y)xy?xy(x?x1)，设x?0得m?y1?121?211212

x2?x1x2?x1x2?x1y2?y1x(y?y)xy?xy(x?x1)，设x?0得n?y1?121?2112?14

x2?x1x2?x1x2?x13232x2?(4?x12)?x12?(4?x2)xy?xy44?mn???3．?????????16分 22x?xx2?x1222122212122?y?kx?1,?22(文科) 设直线l:y?kx?1，由?x2y2消去y得?4k?3?x?8kx?8?0，

?1,???43M?0,?1?在椭圆内部，?l与椭圆恒有两个交点,设C?x1,y1?,D?x2,y2?，则

8k?x?x?,?121411x1x2x1y2?x2y1?124k2?3，由,,成等差数列得?? ????k1kk2kk1k2y1y2y1y2?xx??8.?124k2?3???x1(kx2?1)?x2(kx1?1)2kxx?(x1?x2) ???????12分 ?212(kx2?1)(kx1?1)kx1x2?k(x1?x2)?1?16k?8k24k?， ?????????14分 2222?8k?8k?4k?312k?3即k??22，?直线l的方程为y??x?1． ?????????16分 22

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．

[解]（1）??an?为“6关联数列”，??an?前6项为等差数列，从第5项起为等比数列

?a6?a1?5,a5?a1?4,且

a6a?5?2， 即1?2，解得a1??3 ?????2a5a1?4高三年级质量调研考试文科数学试卷 第8页共11页

分

?n?4,n?5?n?4,n?6?n?4,n?4（或an??n?5）． ????????4分 ?an??n?5??n?5?2,n?5?2,n?6?2,n?7?127?127?127?n?n,n?4?n?n,n?5?n?n,n?6（2）由（1）得Sn??2（或Sn??2） ??2222n?4??2n?4?7,n?6??2n?4?7,n?7?2?7,n?5???????????????6

分

?an?:?3,?2,?1,0,1,2,22,23,24,25,?，?Sn?:?3,?5,?6,?6,?5,?3,1,9,25,? ?anSn?:9,10,6,0,?5,?6,4,72,400,?，可见数列?anSn?的最小项为a6S6??6，

?1?n(n?4)(n?7),n?5证明：anSn??2，

n?5n?4??2(2?7),n?6列举法知当n?5时，(anSn)min?a5S5??5； ???????????????8分 当n?6时，anSn?2?(2n?5)2?7?2n?5(n?6)，设2n?5?t，则t??2,22,?,2m,??，

749anSn?2t2?7t?2(t?)2??2?22?7?2??6． ?????????10

48分

（3）（理科）?{an}为“r关联数列”，且a1??10,d?1,q?2

?ar?1?a1?(r?2)d?r?12,ar?r?11，?ar?2?r?13 ar?1??1221?n?11,n?12?n?n,n?12 ???????????12?an??n?12,Sn??222,n?13n?11???2?56,n?13?分

①当k?m?12时，由

1221121k?k?m2?m得(k?m)(k?m)?21(k?m) 2222高三年级质量调研考试文科数学试卷 第9页共11页

?m?12?m?11或?． k?m?21,k,m?12,m?k，??k?9k?10??k?11?56?2m?11?56得m?k，不存在 ???????14②当m?k?12时，由2分

③当k?12,m?12时，由

1221k?k?2m?11?56，2m?10?k2?21k?112 22当k?1时，2m?10?92,m?N*；当k?2时，2m?10?74,m?N*； 当k?3时，2m?10?58,m?N*；当k?4时，2m?10?44,m?N*； 当k?5时，2m?10?25,m?15?N*；当k?6时，2m?10?22,m?N*； 当k?7时，2m?10?14,m?N*；当k?8时，2m?10?23,m?13?N*； 当k?9时，2m?10?22,m?12舍去；当k?10时，2m?10?2,m?11舍去

当k?11时，2m?10?2,m?11舍去；当k?12时，2m?10?22,m?12舍去???16分

综上所述，?存在??m?15?m?13?m?12?m?11或?或?或?． ???????18分

?k?5?k?8?k?9?k?10（文科）由（1）可知，当n?6时，an?2n?5，因为：an?1?an?(n?2?1)dn，

2n?4?2n?52n?5． ???????????13分 ?(n?1)dn故：dn?n?1假设在数列{dn}中存在三项dm,dk,dp（其中m,k,p成等差数列）成等比数列，则：

?dk?分

2?2k?5?2m?52p?522k?102m?p?10??，（*） ?15?dmdp，即：???2m?1?p?1k?1m?1p?1????k?1????22因为m,k,p成等差数列，所以m?p?2k，（*）式可以化简为(k?1)?(m?1)(p?1)， 即：k2?mp，故k?m?p，这与题设矛盾．

高三年级质量调研考试文科数学试卷 第10页共11页

所以在数列{dn}中不存在三项dm,dk,dp（其中m,k,p成等差数列）成等比数列．?18分

（或：因为下标成等差数列的等差数列一定还是成等差数列，而又要求成等比数列，则

2n?5必为非零常数列，而dn?显然不是非零的常数，所以不存在．）

n?1

高三年级质量调研考试文科数学试卷 第11页共11页

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