《概率论与数理统计》第4章第2节 20120528
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概率论与数理统计
引例. 设甲、乙两人射击成绩 X, Y 的分布律分别为:Xpk
9 8 10
Y
9 8 10
pk 0.1 0.4 0.5 试评价甲、乙两人射击水平高低 .
0.2
0.2
0.6
解: 由 E(X) = E(Y) 知两人水平基本相当,下面考察发挥稳定性.如何度量稳定性? 以甲为例:
X-E(X)有正有负!
[X-E(X)]2不是数值!
E{[X-E(X)]2}非负数值!
×
×
√1
计算得 E{[X-E(X)]2} > E{[Y-E(Y)]2}, 故甲的水平高于乙.第四章 随机变量的数字特征
概率论与数理统计
§4.2 方差一、方差的定义定义 设 X 是一个随机变量,若 E{[ X E ( X )]2 }存在,则称
之为 X 的 方差,记作 D(X) 或 Var(X) .称 D( X ) 为 X 的 标准差 或 均方差,记作σ(X) .
注:1. 方差的意义: X 的取值与其期望的偏离/分散程度;定义: 计算 X 函数的期望 E(g(X))例题 例题
2. 方差的计算: 公式: D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2E ( X ) D( X ) [ E ( X )]2 2
第四章 随机变量的数字特征
概率论与数理统计
例1. 设 X ~ U(a, b),求 D(X).(定义) D( X ) E{[ X E ( X )]2 } 解: 2
1 , f ( x) b a 0, b
a x b . 其他
a b 2 1 ] dx [ x E ( X )] f ( x )dx [ x a 2 b a 2 b (b a ) a b 3 . 1 1 [x ] 12 b a 3 2 a
(公式) D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2
b
x f ( x )dx (22
a b 2 ) 2(b a ) 122
x
a
1 dx ( a b )2 b a 2
.
返回3
第四章 随机变量的数字特征
概率论与数理统计
例2. 设 X ~ B(1, p),求 D(X). 解: 由X 0 1
pk 1 p2
有:
X2
0
1 p
p2
pk 1 p
D( X ) E ( X ) [ E ( X )] p p2
p(1 p).
第四章 随机变量的数字特征
概率论与数理统计
例3. 设 X ~ N(0, 1),求 D(X). 解: D( X ) E ( X 2
f ( x)
1 2
e
x 2
2
, x .
) [ E ( X )]1 2
22
x 2
e
x 2
dx 0
2
1 2 1
x e
2
x 2
2
dxx 22
2
xdex 22
(分部积分)
1 xe 2
e
x 2
2
dx
1 2
e
x 2
2
dx 1.
第四章 随机变量的数字特征
概率论与数理统计
二、方差的性质 (其中 C 为常数)1. D(X)≥0, D(C) = 0 2. D(CX) = C2D(X) , D(X+C) = D(X) 3. D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2E{ [X-E(X)][Y-E(Y)] }
= 2[ E(XY) - E(X)E(Y) ]D(X + Y) = D(X) + D(Y) (若 X, Y 相互独立) .
注: 若 X1, X2,……, Xn 相互独立,则性质1-3可总结为:D( ai X i b) ai D( X i ).2第四章 随机变量的数字特征 6
概率论与数理统计
例4. 填空:np(1-p) 1) X~B(n, p), 则 D(X) = _______ .
( 提示: X = X1+X2…+Xn, 其中 Xi ~B(1, p) 且 相互独立) σ2 2) X~N(μ, σ2), 则 D(X) = ______.( 提示: (X-μ)/σ ~N(0, 1) ) 3) 设 X
X E( X ) D( X )
0 1 , 则 E( X * ) = ___, D( X * ) = ___.标准化随机变量
第四章 随机变量的数字特征
概率论与数理统计
常见分布的数字特征 —— 要记!名称 记号 E(X) p D(X) p(1-p)
名称
记号
E(X)
D(X)
0-1 B(1, p) 分布 二项 分布 B( n, p)
2 均匀 a b (b-a) U(a,b) 分布 2 12
np
np(1-p)
指数 E ( ) 分布 正态 2 N ( , ) 分布
2
泊松 分布
( )
2
注意:仅凭随机变量的期望、方差不能确定分布!第四章 随机变量的数字特征 8
概率论与数理统计
二、方差的性质(续)4. D(X) = 0 P{ X = E(X) } = 1 .----- X以概率1取常数 E(X)
“D(X) = 0
X = E(X) ” ?—— 不正确!
例. 某人的表停了,他打开收音机听电台报时. 已知电台整点报时,他等待报时的时间(单位:分钟) T ~ U[0, 60]. 令 1, X 0, T 10, T 10.
试证:D(X) = 0 但 X≠E(X) .第四章 随机变量的数字特征 9
概率论与数理统计
三、切比雪夫不等式定理 E ( X ) , D ( X ) , 则对 0 , 有 P{| X | } 2 . 2
2
证:y
P {| X | }
| x |
f ( x )d x
f(x) x
( x )
2
| x |
2 ( x )
2
f ( x )dx
2
f ( x )dx
D( X )
2
2 . 2
注: 切比雪夫不等式给出在分布未知情况下事件概率的估计.例如, 取 3 , 有:P {| X | 3 } 0.8889. 而若 X ~ N ( , 2 ) , 则: P {| X | 3 } 0.9974.第四章 随机变量的数字特征 10
概率论与数理统计
例5. 设某批种子的良种率为1/6,任选600粒,试用切比雪夫不等式估计 这些种子中良种所占比例与 1/6 之差的绝对值不 超过 0.02 的概率.
解: 记 X = 600 粒种子中良种的数量,则 X ~ B(600, 1/6).E ( X ) 6 0 0 1 1 0 0 , D ( X ) 6 0 0 1 (1 1 ) 5 0 0 . 6 6 6 6 所考察概率为: { X 1 0 .0 2 } P 600 6
= P{
X 100 0 .0 2 } 600
= P { X 100 12}
(切比雪夫不等式) 1
D(X ) 122
0.4213.11
第四章 随机变量的数字特征
概率论与数理统计
小结:
§4.2 方差D( X ) E{[ X E ( X )] },2
* 方差的定义及计算: * 常见分布的方差 * 方差的性质:
D( X ) E ( X ) [ E ( X )] .2 2
* 若 X, Y 相互独立,则 D( ai X i b) ai 2 D( X i ) * D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} ;
* D(X) = 0
P{ X = E(X) } = 1 . 0 , P{ X E ( X ) }
* 切比雪夫不等式:
D( X )
2
.
注意:仅凭期望与方差不能确定随机变量的分布!第四章 随机变量的数字特征 12
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