2012年四川高考数学文科试题及答案(Word全解析版)-精品

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三．解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为

1

和p． 10

49

，求p的值； 50

（Ⅱ）求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率． （Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为

【解析】本题主要考查相对独立事件、独立重复事件、互斥事件等概念及相关运算，考查运用概率知识和方法解决实际问题的能力．

（Ⅰ）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么．

1491

，解得p ． P(C) 1 P(C) 1 p

105051111491

（或P(C) (1 )(1 p) (1 p) (1 )p 1 p ，解得p ．）

10101010505

（Ⅱ）设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D，

1197224321那么P(D) C3. (1 )2 (1 )3

1010101000250

243

答：系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．

250

18．(本小题满分12分)

xxx1 sincos ． 2222

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和值域； 已知函数f(x) cos2（Ⅱ

）若f( )

，求sin2 的值． 【解析】本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识、考查运算能力，考查化归与转化等数学思想．

（Ⅰ）f(x) cos2

xxx1111

x )． sincos (1 cosx)

sinx 42222222

． 所以函数f(x)的最小正周期是2

，值域为[（Ⅱ）由（Ⅰ

）知，f( )

3

) ，所以cos( ) ． 445

187

所以sin2 cos( 2 ) cos2( ) 1 2cos2( ) 1 ．

2442525

19．(本小题满分12分)

如图，在三棱锥P ABC中， APB 90 ， PAB 60 ，AB BC CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上．

（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成的角的大小； （Ⅱ）求二面角B AP C的大小．

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【解析】本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力．

连接OC，∠OPC为直线PC与平面ABC所成的角，设AB的中点为D，连接PD、CD．因为AB BC CA，所以CD AB，

因为 APB 90 ， PAB 60 ，所以 PAD为等边三角形

不妨设PA=2

，则OD 1,OP AB 4． 所

以CD

，OC ，在R t

PO9

ta OCDn

CO即直线PC与平面

ABC所成的角等于O中

C，

（．

（Ⅱ）过D作DE AP于E，连结CE．由已知可得CD 平面PAB．所以 CED为B AP C

CD 2，的平面角．由（Ⅰ

）知DE Rt

CDE中，tan CED ， DE二面角B AP C的大小为arctan2

（20．(本小题满分12分)

或．

已知数列{an}的前n项和为Sn，常数 0，且 a1an S1 Sn对一切正整数n都成立． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设a1 0， 100，当n为何值时，数列{lg

1

的前n项和最大？ an

【解析】本小题主要考查等比数列、等差数列、对数等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力，并考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想．

（Ⅰ）取n 1，得 a12 2S1 2a1，a1( a1 2) 0，

若a1 0，则Sn 0．当n 2时，an Sn Sn 1 0 0 0，所以an 0． 若a1 0，则a1

2

．当n 2时，2an

2

Sn，2an 1

2

两式相减得2an 2an 1 an， Sn 1，

n 1

所以an 2an 1(n 2)，从而数列{an}是等比数列，所以an a1 2

综上，当a1 0时，an 0；当a1 0时，an （Ⅱ）当a1 0， 100时，令bn lg

2

2

n 1

2n

．

2n

．

1100

，由（Ⅰ）有，bn lgn 2 nlg2． an2

所以数列{bn}是单调递减的等差数列（公差为 lg2）．

100100100100

b1 b2 b6 lg6 lg lg1 0，当n 7时，bn b7 lg7 lg lg1 0，

2642128

1

故数列{lg}的前6项和最大．

an

21．(本小题满分12分)

如图，动点M与两定点A( 1,0)、B(1,0)构成 MAB，且直线MA、MB的斜率之积为4，设动点M的轨迹为C．

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线y x m(m 0)与y轴交于点P，与轨迹C

相交于点

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Q、R，且|PQ| |PR|，求

|PR|

的取值范围． |PQ|

【解析】本小题主要考查直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考查思维能力、运算能力，考查函数、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性．

（Ⅰ）设M的坐标为(x,y)，当x 1时，直线MA的斜率不存在；当x 1时，直线MB的斜率不存在，于是x 1．此时，MA的斜率为

由题意，有

yy

，MB的斜率为． x 1x 1

yy

4，化简可得，4x2 y2 4 0． x 1x 1

故动点M的轨迹为C的方程为4x2 y2 4 0（x 1）．

y x m,（Ⅱ）联立 2消去y，可得3x2 2mx m2 4 0．（*） 2

4x y 4 0

对于方程（*），其判别式 ( 2m)2 12( m2 4) 16m2 48 0， 而当－1或1为方程（*）的根时，m的值为－1或1． 结合题设（m 0）可知，m 0且m 1．

设Q、R的坐标分别为(xQ,yQ)、(xR,yR)，则xQ、xR为方程（*）的两根． 因为|PQ| |PR|，所以|xQ|

|xR|，xQ

xR

|PR||xR| 1 所以，

|PQ||xQ|

1

2，所以1 1

3，且1

5， 3

所以1

|PR||xR||PR||xR|5

3，且 ． |PQ||xQ||PQ||xQ|3

|PR|55

的取值范围是(1,) (,3)． |PQ|33

综上所述，

22．(本小题满分14分)

an

已知a为正实数，n为自然数，抛物线y x 与x轴正半轴相交于点A，设f(n)为该

2

抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．

2

（Ⅰ）用a和n表示f(n)； （Ⅱ）求对所有n都有

f(n) 1n

成立的a的最小值；

f(n) 1n 1

111f(1) f(n 1)

与6 的

f(1) f(2)f(2) f(4)f(n) f(2n)f(0) f(1)

（Ⅲ）当0 a 1时，比较大小，并说明理由．

【解析】本小题主要考查导数的运用、不等式、数列等基础知识，考查思维能力、运算能力、

分析和解决问题的能力和创新意识，考查函数、化归与转化、特殊与一般等数学思想方法．

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an

x ．由y' 2x知，点A处的切线

（Ⅰ）令 x

0，得x A2

2

x．令x 0，得y an，∴f(n) an． 方程为y f(n) 1n

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(n) an，则成立的充要条件是an 2n 1，

f(n) 1n 1

即知，an 2n 1对于所有的n成立，特别地，取n=1得到a 3．

1

当a 3，n≥1时，an 3n (1 2)n 1 Cn 2 2n 1．当n=0时，an 2n 1．

故a 3时，

f(n) 1n

对所有n都成立．

f(n) 1n 1

所以满足条件的a的最小值为3． （Ⅲ）由（Ⅰ）知f(k) ak． 下面证明：

111f(1) f(n 1)

6 ．

f(1) f(2)f(2) f(4)f(n) f(2n)f(0) f(1)

首先证明：当0 x 1时，

1

6x， x x2

2

设函数g(x) 6x(x2 x) 1，0 x 1，则g (x) 18x(x )．

3当0 x

22

时，g (x) 0；当 x 1时，g (x) 0． 33

21

故g(x)在(0,1)上的最小值g(x)min g() 0，

39所以当0 x 1时，g(x) 0，即得

1

6x． x x2

1

6ak，从而 k2k

a a

由0 a 1知0 ak 1(k N*)，因此

111

f(1) f(2)f(2) f(4)f(n) f(2n)

111

a a2a2 a4an a2n

a an 1f(1) f(n 1)2n

6(a a a) 6 6 ．

1 af(0) f(1)

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