高三总复习振动和波之重点难点分析

教学素材/高三总复习

振动和波

重难点分析

一．回复力的分析和简谐运动的判定

1.回复力是以力的效果命名的力，它是一个“效果力”类同于向心力，要与“真实力”相区别，它有时等于某一个力，有时是几个力的合力，有时是某个力是分力。

例如，水平方向的弹簧振子M，如图2.7-3所示, 如果水平面是光滑的，则振动的回复力就是弹簧的弹力。若在M上放一粗糙的物体A，则A振动的回复力为M对A的静摩擦力。

例如，竖直方向的弹簧振子，如图2.7-4所示，振动的回复力是重力和弹力的合力。 又如，单摆在摆动过程中，回复力是重力的切向分力Gx ，如图2.7-5所示。

2.简谐运动是一个理想化的振动模型，任何实际的复杂的振动都可以分解成若干个简谐运动来进行分析研究，所以掌握简谐运动规律是研究振动的入门钥匙。

根据简谐运动的定义可以证明以下振动均为简谐运动：

图2.7-3、图2.7-4的振动、图2.7-5的单摆在摆角不超过5°情况下的振动； 比重计在水面的振动；两端开口的U型管里的水银柱的振动等。 示例1 试证明单摆在摆角不超过5°情况下的振动是简谐运动。

分析指导 因为简谐运动的定义是回复力大小与位移成正比，方向与位移相反的振动，所以只要证明此振动的回复力满足此条件，即证明它是属于简谐运动。

证明：如图2.7-6所示

摆球所受的回复力为F?Gx= mgsin?≈mg5°,故sinθ≈

令K=

mgLxLxL。（因θ≤

）。

又考虑到χ是位移，它的方向与F相反，故应写成

F??Kx所以单摆在θ≤5°的情况下的振动是简谐运动。

清华同方教育技术研究院

教学素材/高三总复习

示例2 如图2.7-7为一粗细均匀的两端开口的U型管，平衡时两边水银面等高，若在一端吹口气儿，水银即开始来回振动，试证明水银的振动也是简谐运动。

分析指导 此题的分析对象不像上题那么明确，上题的分析对象是摆球，这里我们可以任意取一小块水银，例如取最靠下的一薄片水银M，它的竖直截面积为S，则它左右两边的压力p左·S和p右·S的差就成了它振动的回复力，我们只要证明这个差值的大小和方向满足F??Kx，也就证明了水银作的是简谐运动。

证明： 液片M受到的回复力为 F = (p右－p左)S=?而液片M的位移大小 x?12hghs （1）

（2） ·x

（2）式代入（1）式： F=2?令 K = 2?ghs

gs则 F = Kx （3）

（3）式中的x仅仅是位移大小，考虑到位移x的方向与回复力F方向相反（此时x向右，F向左），故（3）式应写成： F = －Kx （4）

从（4）式可见水银在振动过程中受到的回复力大小与位移成正比，方向与位移相反，属于简谐运动。

二．单摆周期公式的由来与修正

1.周期公式由来

单摆的周期公式的由来是 T=2?LgmK (1)

因为简谐运动的周期公式为 T=2? (2)

mgL而单摆在摆角不超过5°的情况下属于简谐运动，并且回复系数K=

m，将K值代入（2）

式得到 T=2?这就是(1)式的由来。所以；

mgL=2?Lg

① 此公式只有在摆角不超过5°的情况才能使用。

② 根据此公式可知单摆的振动周期与摆长的平方根成正比，与重力加速度的平方根成

清华同方教育技术研究院

教学素材/高三总复习

反比，而与摆球质量无关，与振幅大小无关。

示例3 一个装满砂子的轻质漏斗与细线组成一单摆，在摆动过程中，单摆不断漏出部分砂粒，其摆动周期将

（A）不变； （B）变小； （C）变大。 分析指导 单摆的周期公式为 T =2?Lg,g不变，

若L变则T变，这里的摆长L是悬挂点到砂摆质心间的距离，而砂粒逐渐池漏过程中，砂摆质心在逐渐下降，故摆长L在变大。

解 根据 T =2?∴ T变大，应选（C）

若漏斗质量不能忽略，而砂粒又全部漏出，又将如何?

示例4 一物体在某行星表面受到的万有引力是它在地球表面受到的万有引力的，在

41Lg,L变大

地球上走得很准的摆钟搬到此行星上后，此钟的分针走一圈所历时间实际上是

（A）

14小时 （B）

Lg12小时 （C）2小时 （D）4小时

分析指导 根据T=2?，L不变，g变了。

设地球上周期为T，星球上周期为T′，则

T?T=

gg?

设指针走一圈，钟摆摆动n0次，而每摆一次时间为T，则指针走一圈的时间等于nT， 因 g′=g

41故 T′=

gg?·T′=2T

而nT=1小时，所以nT′=2小时 2.周期公式的修正

（1）若单摆处在匀强电场中，摆球带电，此时单摆的周期公式需加以修正。

如果摆球所受的电场力是竖直向下的，此时回复力F为重力的切向分力与电场力的切向分力之和，即为 F=（mg+Eq）·sin?

式中 θ为摆角， E为匀强电场场强， q为摆球的带电量。

清华同方教育技术研究院

教学素材/高三总复习

所以 F=（mg+Eq）·

故 K＝

mg?EqLxL=

mg?EqL·x

m因 T=2?即 T =2?mK=2?Lmg?EqL

g?Eqm

这是单摆处在匀强电场中，摆球所受电场力竖直向下的情况周期公式的修正，这里g是重力加速度，

Eqm是电场力加速度，而“合加速度”g??g?Eqm。

若摆球所受的电场力方向是竖直向上的情况， 则上式应为 T=2?Lg?Eqm

若摆球所受电场力向上且大于重力， 则上式应为 T =2?LEqm?g

此时单摆将倒过来摆动了。

若摆球所受的电场力是水平方向的，此时重力加速度和电场力加速度如图2.7-11所示，而“合加力速度”g′为 g′=

?Eq?g???m??22

单摆周期应为 T=2?g2L?Eq?????m?2

（2）单摆处在加速运动的升降机里，周期公式的修正。

若升降机以a的加速度匀加速上升，摆球处于超重情况，它的“视重”为mg??m(g?g??ga),

+a,周期公式为

T=2?Lg?a

若升降机的加速度方向是向下的，则摆球处于“失重”状态，它的“视重”为mg??m（g?a）.周期公式应为

清华同方教育技术研究院

教学素材/高三总复习

Lg?aT=2?

若升降机的加速度方向向下，且a>g,则T=2?La?g此时单摆倒过来摆动了。

（3）单摆处在水平加速的车厢里，周期公式的修正。 如图2.7-12若车厢的加速度为a, 则摆球的“视重”为 mg??m单摆周期应为 T =2?g2g?aL?a22,

2(4)单摆处在沿斜面加速的车厢里，周期公式的修正。 若车厢沿斜面向下的加速度为a?gsina,如图2.7-13所示，

摆球“视重” mg??mgcosa

Lgcosa单摆周期应为 T=2?

示例5 一单摆摆球质量为m，电量为?q，在无电场时摆动周期为T1，在有一匀强电场时，场强方向竖直向下，场强大小为E，它的周期为T2,则下列选项中正确的

(A)若T1=T2，则Eq=mg； (B)若T1=

2T2,则Eq=mg；

(C)若Eq=2mg，则T1=2T2 (D)若Eq=3mg，则T1=2T2

Lg分析指导 无电场时 T1=2?,

L有电场时，由于电场力竖直和下，故 T2=2?g?Eqm

则可根据此二式的比，可以进行判断。

解 若T1=2T2 即

T1T2?2

故 2?T1T2g??gEqm,4g?g?Eqm

得 3mg?Eq 故选项（D）正确

清华同方教育技术研究院

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r4bf.html