2018年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）

2018年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（ ） A．k＞e3

B．k≥e3

C．k＞e4

D．k≥e4

2．i为虚数单位，若A．1

B．﹣1 C．7

2

b∈R）（a，与（2﹣i）互为共轭复数，则a﹣b=（ ）

D．﹣7

），f（x）＜0，则（ ）

3．已知f（x）=sinx﹣x，命题p：?x∈（0，A．p是假命题，￢p：：?x∈（0，B．p是假命题，￢p：：?x∈（0，C．P是真命题，￢p：：?x∈（0，D．p是真命题，￢p：：?x∈（0，

），f（x）≥0 ），f（x）≥0 ），f（x）≥0 ），f（x）≥0

﹣a10的值为（ ）

4．在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=60，则2aA．6

B．8

C．12 D．13

5．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的n=5，x=2，则输出V的值为（ ）

A．15 B．31 C．63 D．127

6．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方

形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（ ）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 7．若不等式组

表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2

表示的区域为

Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（ ） A．114 B．10 C．150 D．50

8．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足为（ ） A．﹣

B．﹣2 C．

D．2

=

+

，则

?的值

9．高考结束后高三的8名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一班的乘坐方式共有（ ） A．18种

B．24种

﹣

C．48种

D．36种

10．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双

曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A．（1，）

B．（1，2） C．（，+∞） D．（2，+∞）

＜φ＜π）的部分图象的

11．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，

纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为2 ，则f（﹣1）=（ ）

A．﹣2 B．2 C．﹣ D．

12．已知函数f（x）=，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，

x2，则x1?x2的取值范围是（ ） A．[4﹣2ln2，+∞）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13．设a=系数为 ．

14．已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若

?

=0，则k= ．

（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a

﹣

）6的展开式中含x2项的

B．（

，+∞） C．（﹣∞，4﹣2ln2]

D．（﹣∞，

）

15．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{xn}满足xn+1=xn﹣

，设an=ln

，若a1=，xn＞2，则数列{an}的通项公式an= ．16．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．

（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列； （Ⅱ）若C=

，△ABC的面积为4

，求c．

18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：

甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 天数 38 20 39 40 40 20 41 10 42 10 乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 天数 38 10 39 20 40 20 41 40 42 10 （Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；

（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：

（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； （ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．

19．D，E分别是B1C1、BC的中点，如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=

．

（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；

（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．

20．已知椭圆E： +

=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线

重合，椭圆E的离心率为

l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且（Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）求△OAB面积的最大值． 21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．

?为定值．

（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）设g（x）=f（x）+

，若g（x）有极大值点x1，求证：

＞a．

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原

点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ． （Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； （Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|． （Ⅰ）解不等式f（x）＞5； （Ⅱ）若关于x的方程

=a的解集为空集，求实数a的取值范围．

+

的值．

2018年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（ ） A．k＞e3

B．k≥e3

C．k＞e4

D．k≥e4

【考点】元素与集合关系的判断．

【分析】首先确定集合A，由此得到lnk＞4，由此求得k的取值范围． 【解答】解：∵集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素， ∴A={2，3，4，…}， ∴lnk＞4， ∴k＞e4． 故选：C．

2．i为虚数单位，若A．1

B．﹣1 C．7

2

b∈R）（a，与（2﹣i）互为共轭复数，则a﹣b=（ ）

D．﹣7

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求． 【解答】解：∵又

=

，（2﹣i）2=4﹣4i﹣1=3﹣4i，

（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，

∴b=3，a=﹣4， 则a﹣b=﹣7． 故选：D．

3．已知f（x）=sinx﹣x，命题p：?x∈（0，

），f（x）＜0，则（ ）

A．p是假命题，￢p：：?x∈（0，B．p是假命题，￢p：：?x∈（0，C．P是真命题，￢p：：?x∈（0，D．p是真命题，￢p：：?x∈（0，【考点】命题的否定．

），f（x）≥0 ），f（x）≥0 ），f（x）≥0 ），f（x）≥0

【分析】直接利用特称命题 否定是全称命题写出结果． 【解答】解：f（x）=sinx﹣x，x∈（0，（0，

）上是减函数，

），f′（x）=cosx﹣1＜0，∴f（x）是

∵f（0）=0， ∴f（x）＜0， ∴命题p：?x∈（0，￢p：?x∈（0，故选：C．

4．在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=60，则2aA．6

B．8

C．12 D．13

﹣a10的值为（ ）

），f（x）＜0是真命题，

），f（x）≥0，

【考点】等差数列的通项公式．

【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求解． 【解答】解：在等差数列{an}中， ∵a1+3a8+a15=60，

∴a1+3（a1+7d）+a1+14d=5（a1+7d）=60， ∴a1+7d=12， 2a

﹣a10=2（a1+8d）﹣（a1+9d）=a1+7d=12．

故选：C．

5．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶

算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的n=5，x=2，则输出V的值为（ ）

A．15 B．31 C．63 D．127 【考点】程序框图．

【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：∵输入的x=2，n=5， 故v=1，

i=4，v=1×2+1=3 i=3，v=3×2+1=7 i=2，v=7×2+1=15 i=1，v=15×2+1=31 i=0，v=31×2+1=63

i=﹣1，跳出循环，输出v的值为63， 故选：C

6．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方

形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（ ）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．

【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r， 则10﹣r+10﹣r=10∴r=10﹣5故选：A．

表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2cm，

≈3cm．

7．若不等式组表示的区域为

Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（ ） A．114 B．10 C．150 D．50 【考点】几何概型；简单线性规划．

【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．

【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC=区域Γ表示以D（

）为圆心，以为半径的圆，

+

=

．

=

．

=

则区域Ω和Γ的公共面积为S′=∴芝麻落入区域Γ的概率为

∴落在区域Γ中芝麻数约为360×故选A．

=30π+20≈114．

8．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足为（ ） A．﹣

B．﹣2 C．

D．2

=

+

，则

?的值

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】如图所示，建立直角坐标系．利用向量坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．

【解答】解：如图所示，建立直角坐标系： B（0，

），A（，0），C（﹣，0）．

=（，

），

=（3，0） =

+=（2，）．=（，），

∴则

=（﹣1，?=﹣

），=（，﹣）

=﹣2．

故选：B．

9．高考结束后高三的8名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一班的乘坐方式共有（ ） A．18种

B．24种

C．48种

D．36种

【考点】排列、组合的实际应用．

【分析】分类讨论，第一类，同一班的2名同学在甲车上；第二类，同一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．

【解答】解：由题意，第一类，同一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21=4，故有3×4=12种．

第二类，同一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有3×4=12种，

根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式， 故选：B．

10．已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双

曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A．（1，）

B．（1，2） C．（，+∞） D．（2，+∞）

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】由右顶点M在以AB为直径的圆的外，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围． 【解答】解：由于双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：x=﹣c，

因此，设A（﹣c，y0），B（﹣c，﹣y0）， ∴

=1，解之得y0=

，得|AF|=

，

∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆外， ∴|MF|＞|AF|，即a+c＞

，

将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0 两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0， ∵e＞1，∴解之得1＜e＜2． 故选：B．

11．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为2

＜φ＜π）的部分图象的

，则f（﹣1）=（ ）

A．﹣2 B．2 C．﹣ D．

【考点】点、线、面间的距离计算；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据A、B两点之间的距离，求得T的值，可得ω的值，从而求得函数的解析式，从而求得f（﹣1）的值．

【解答】解：由函数的图象可得2sinφ=1，可得sinφ=，再根据

＜φ＜π，可

得φ=．

=2

，求得T=4，

再根据A、B两点之间的距离为再根据T=

=4，求得ω=

x+

．

∴f（x）=2sin（故选：D．

），f（﹣1）=2sin（﹣+）=，

12．已知函数f（x）=，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，

x2，则x1?x2的取值范围是（ ） A．[4﹣2ln2，+∞）

B．（

，+∞） C．（﹣∞，4﹣2ln2]

D．（﹣∞，

）

【考点】分段函数的应用．

【分析】由题意可知：当x≥1时，f（x）+1≥1，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1﹣＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则x1x2=et（2﹣2t），t＞，设g（t）=et（2﹣2t），t＞，求导，利用导数求得函数的单调性区间，即可求得x1x2的取值范围． 【解答】解：当x≥1时，f（x）=lnx≥0， ∴f（x）+1≥1，

∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），

当x＜1，f（x）=1﹣＞，f（x）+1＞， f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），

综上可知：F[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，

则f（x）+1=e﹣m，f（x）=e﹣m﹣1，有两个根x1，x2，（不妨设x1＜x2）， 当x≥1是，lnx2=e﹣m﹣1，当x＜1时，1﹣令t=e﹣m﹣1＞，则lnx2=t，x2=et，1﹣∴x1x2=et（2﹣2t），t＞，

=e﹣m﹣1，

=t，x1=2﹣2t，

设g（t）=et（2﹣2t），t＞， 求导g′（t）=﹣2tet，

t∈（，+∞），g′（t）＜0，函数g（t）单调递减， ∴g（t）＜g（）=

，

）， ），

∴g（x）的值域为（﹣∞，∴x1x2取值范围为（﹣∞，故选：D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13．设a=

（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a

﹣

）6的展开式中含x2项的

系数为 12 ．

【考点】二项式系数的性质．

【分析】根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决． 【解答】解：由于a=∴（﹣2

﹣

）6=（2

（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）|+

=﹣1﹣1=﹣2，

）6 的通项公式为 Tr+1=2rC6r?x3﹣r，

令3﹣r=2，求得r=1，故含x2项的系数为2C61=12． 故答案为：12

14．已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若

?

=0，则k= 8 ．

【考点】直线与抛物线的位置关系．

【分析】设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算（x1，y1﹣2）（x2，y2﹣2）=0，即可求得k的值．

【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立方程组

，整理得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，

则x1+x2==2+．x1x2=1．

∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4， ∵

?

=0，（x1，y1﹣2）（x2，y2﹣2）=0，即x1x2+y1y2﹣2（y1+y2）+4=0，解得：

k=8．

故答案为：1．

15．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{xn}满足xn+1=xn﹣

，设an=ln

，若a1=，xn＞2，则数列{an}的通项公式an= 2n﹣2

（n∈N*） ．

【考点】数列与函数的综合．

【分析】由题意可得f（x）=a（x﹣1）（x﹣2），求出导数，可得xn+1=

，

求得an+1=ln=2ln=2an，运用等比数列的通项公式即可得到所求．

【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2， 可得f（x）=a（x﹣1）（x﹣2）， f′（x）=a（2x﹣3）， 则xn+1=xn﹣由a1=，xn＞2， 则an+1=ln

=ln

=2ln

=2an，

=xn﹣

=

，

即有an=a1qn﹣1=?2n﹣1=2n﹣2． 故答案为：2n﹣2（n∈N*）．

16．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是 0＜m＜3+4

．

【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

【分析】利用导数求得f（x）=x3﹣3x+3+m（m＞0），在区间[0，2]上的最小值、最大值，由题意构造不等式解得范围．

【解答】解：f（x）=x3﹣3x+3+m，求导f′（x）=3x2﹣3由f′（x）=0得到x=1或者x=﹣1，

又x在[0，2]内，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，

则f（x）min=f（1）=m+1，f（x）max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．

∵在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是构成直角三角形，

∴（m+1）2+（m+1）2＜（m+5）2，即m2﹣6m﹣23＜0，解得3﹣4又已知m＞0，∴0＜m＜3+4故答案为：0＜m＜3+4

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．

（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列； （Ⅱ）若C=

，△ABC的面积为4

，求c．

．

．

＜m＜3+4

【考点】正弦定理．

【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinA+sinB=2sinC，从而可求a+b=2c，即a，c，b成等差数列；

c2=（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ab=16，进而利用余弦定理可得：（a+b）

2

﹣3ab，结合a+b=2c，即可解得c的值．

【解答】（本题满分为12分）

解：（Ⅰ）∵b（1+cosC）=c（2﹣cosB），

∴由正弦定理可得：sinB+sinBcosC=2sinC﹣sinCcosB，可得：sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC， ∴sinA+sinB=2sinC，

∴a+b=2c，即a，c，b成等差数列； （Ⅱ）∵C=∴ab=16，

∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab， ∵a+b=2c，

∴可得：c2=4c2﹣3×16，解得：c=4．

18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：

甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 天数 38 20 39 40 40 20 41 10 42 10 ，△ABC的面积为4

=absinC=

ab，

乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 天数 38 10 39 20 40 20 41 40 42 10 （Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；

（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：

（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； （ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．

记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，=【分析】（Ⅰ）可得P（M） ．

（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，可得当a=38时，X=38×5=190，以此类推可得：当a=39时，当a=40时，X的值．当a=41时，X=40×5+1×7，同理可得：当a=42时，X=214．所以X的所有可能取值为190，1195，200，207，214．可得X的分布列及其数学期望．

（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×

0.1+42×0.1=39.5．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．

【解答】解：（Ⅰ） 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M， 则P（M）=

=

．

（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a， 则当a=38时，X=38×5=190， 当a=39时，X=39×5=195， 当a=40时，X=40×5=200， 当a=41时，X=40×5+1×7=207， 当a=42时，X=40×5+2×7=214．

所以X的所有可能取值为190，195，200，207，214．故X的分布列为： X P 190 195 200 207 214 ∴E（X）=190×+195×+200×+207×+214×=．

（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为 38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5． 所以甲公司送餐员日平均工资为70+4×39.5=228元． 由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为192.2元． 因为192.2＜228，故推荐小明去甲公司应聘．

19．D，E分别是B1C1、BC的中点，如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=

．

（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；

（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）先证AE⊥平面A1BC，再证A1D∥AE即可‘’

（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．

【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2， ∴A1D∥AE，AE⊥BC，AE=BE=∵A1A=4，A1E=∴A1E2+AE2=

．

，∴AE⊥A1E，

，

∵A1E∩BC=E，∴AE⊥平面A1BC， ∵A1D∥AE，∴A1D⊥平面A1BC．

解：（Ⅱ）如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系． 易知A1（0，0，A（0，

），B（

，0，0），C（﹣，

），B1（

，0，0），

，

），

，0），D（0，﹣，﹣

设平面A1BD的法向量为=（x，y，z）， 由

，可取

．

设平面B1BD的法向量为=（x，y，z）， 由cos＜

＞=

，可取．

又∵该二面角为钝角，

∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．

20．已知椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线

?

为定值．

重合，椭圆E的离心率为

l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且（Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）求△OAB面积的最大值．

【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．

【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2﹣c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由y2|=

即可求得最值

【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），

∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，

?

为定值，解得m，|AB|=

，△OAB面积s=

整|y1﹣

，点O到直线AB的距离d=

又椭圆E的离心率为，得a=

，于是有b2=a2﹣c2=1． ．

故椭圆Γ的标准方程为：

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m， 由

整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0

，

，

==

（

=t2+1

）

y1y2+

（

tm﹣t．

）（

y1+y2

）

+m2

﹣

要使?为定值，则，解得m=1或m=（舍）

当m=1时，|AB|=

|y1﹣y2|=

，

点O到直线AB的距离d=，

△OAB面积s==．

∴当t=0，△OAB面积的最大值为

，

21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．

（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）设g（x）=f（x）+

，若g（x）有极大值点x1，求证：

＞a．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为x=a的范围即可；

在（0，+∞）上有解，求出

（Ⅱ）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞ax12，令h（x）=﹣

﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．

【解答】（Ⅰ）解：因为f′（x）=﹣2a，x＞0， 因为函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线， 所以f′（x）=﹣在（0，+∞）上有解， 即﹣2a=﹣在（0，+∞）上有解， 也即x=所以

在（0，+∞）上有解， ＞0，得a＞，

故所求实数a的取值范围是（，+∞）；

（Ⅱ）证明：因为g（x）=f（x）+x2=x2+lnx﹣2ax， 因为g′（x）=

，

①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，

②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2， 因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2， 又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1， 所以g′（x1）=x12﹣2ax1+

=0，则a=

，

要证明 +

＞a，只需要证明x1lnx1+1＞ax12，

因为x1lnx1+1﹣ax12=x1lnx1﹣

+1=﹣

﹣x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，

令h（x）=﹣x3﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），

所以h′（x）=﹣x2﹣+lnx，记P（x）=﹣x2﹣+lnx，x∈（0，1），

则P′（x）=﹣3x+=当0＜x＜

，

＜x＜1时，p′（x）＜0， ＜0，所以h′（x）＜0，

时，p′（x）＞0，当

）=﹣1+ln

所以p（x）max=p（

所以h（x）在（0，1）上单调递减， 所以h（x）＞h（1）=0，原题得证．

[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]

22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原

点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ． （Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； （Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．

+

的值．

（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，

得，结合根与系数的关系进行解答．

【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线l的普

通方程为x+y﹣7=0．

又由ρ=6sinθ得圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=9； （Ⅱ）把直线l的参数方程

（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，

得，

设t1，t2是上述方程的两实数根， 所以t1+t2=4

，t1t2=7，

∴t1＞0，t2＞0， 所以

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|． （Ⅰ）解不等式f（x）＞5； （Ⅱ）若关于x的方程

=a的解集为空集，求实数a的取值范围．

+

=

．

【考点】绝对值不等式的解法．

【分析】（Ⅰ）分类讨论求得原不等式解集．

（Ⅱ）由分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，求出

的取值范围．再根据关于x的方程

=a的解集为空集，

求得实数a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5， x≥2时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2； ﹣＜x＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解，

x≤﹣时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣， 故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；

（Ⅱ）f（x）=|x﹣2|+|2x+1|=，

故f（x）的最小值是，所以函数f（x）的值域为[，+∞）， 从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣，+∞）， 进而

的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．

=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，

根据已知关于x的方程

0]．

2018年4月15日

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/r3x5.html