五年级奥数测试卷-立体体积-答案

A

1． 一个木盒从外面量长10厘米，宽8厘米，高5厘米，木板厚1厘米．问①做这个木

盒最少需要1厘米厚的木板多少平方厘米？②这个木盒的容积是多少立方厘米？ 2．把19个边长为2厘米的正方体重叠起来，作成如下图那样的组合形体，求这个组合形体的表面积．

十-30

3．在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）．求挖洞后木块的表面积和体积．

十-31

4、一个长方体的长、宽、高分别是两位整数，并且一条长、一条宽、一条高的和为偶数（其中长最大、高最小）。长方体的体积是下面四个数之一：8735、6864、8967、7853。求这个长方体的长、宽、高分别是多少？

5、用棱长1厘米的正方体木块摆成下面形状。请同学们认真观察后，回答下面的问题：

十-32

（1）摆成后的形体共有多少棱长1厘米的正方体木块？ （2）表面积是多少平方厘米？

（3）如果这些小木块单独摆放，表面积要增加多少平方厘米？

6、一个长方体容器，长12厘米，宽10厘米，高20厘米，容器中盛满水。当这个容器底面的一条棱靠着桌面倾斜45度时，容器内剩下的水的体积最少是多少立方厘米？

20 12 10 45° 10 20 45° 12 十-33

7、有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一个穿透的孔°十字形孔，如右图中阴影部分所示。如果将其全部浸入黄漆后取出，晒干后，再切成棱长为1厘米的小正方体，这些小正方体中未被染上黄漆的表面积总和是多少平方厘米？

十-34

8、右图是一个边长为2厘米的正方体， 在正方体的上面的正中向下挖一个边 长为1厘米的正方体小洞；接着在小

洞的底面正中再向下挖一个边长为为

1厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长21厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是 平方厘米。（1989年数学奥林匹4克 预赛）

9、在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是_________。

10、有一个立方体，它的六个面被分别涂上了不同的颜色，并且在每个面上至少贴有一张纸条。用不同的方法来摆放这个立方体，并从不同的角度拍下照片。

（1）洗出照片后，把所拍摄的面的颜色种类不同的照片全部挑选出来，请问最多可以选出多少张照片？

（2）观察（1）中选出的照片，发现各张照片里的纸条数各不相同，问整个立方体最少贴有多少张纸条？（第五届日本数学奥林匹克竞赛试题）

11、如图十-36图1，用125个1cm×1cm×1cm的小立方体堆成一个5cm×5cm×5cm的大立方体。现在通过A、B、C三点的平面切断这个大立方体，请回答下面两个问题：

十-36

（1）切断面是什么形状？回答出名称。

（2）这个平面切到了多少个小立方体？（第五届日本数学奥林匹克竞赛试题） 注：如图2，以下三种情况只接触到了小立方体的顶点、边和面，不计入在内。

12、一个如图的正方体，已知相对面的两个数字之和是7。如果先向后翻15次，再向右翻30次，最后正方体上面的数字是（ ）.

十-37

B

1、有同样大小的立方体27个，把它们竖3个，横3个，高3个，紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体（见十-38图）。

如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方体，最多可以穿透几个小立方体？ （第七届日本数学奥林匹克竞赛试题）

2、如左下图，工地上堆放了180块砖，这个砖堆有两面靠墙。如果要把这个砖堆的表面涂满白色，那么，被涂上白色的砖共有 块。(北京市小学生第13届迎春杯决赛试题)

十-39

3、如下图，正方体六个面上分别写着?，?，?，?，?，?六个数字，且相对的两个面上的两个数的和都是?。把六个这样的正方体，顺次贴成右下图的形状，如果左后方正方体的

上面的面上的数字是?，左前方正方体上前面的面上的数字是?，且每两个贴合着的正方体中，两个贴面上的两个数的和都等于?。那么，最右方体的右面上?？?表示的数字就应该是?????????????????????。

1

？ 3

十-40

4、小玲有两种不同形状的纸板。如图一种是正方形的，一种是长方形的。正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2。她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒。正好将纸板用完，在小玲所做的纸盒中、竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？（第2届华杯少年数学邀请赛初赛试题）

5、在正方体的8个顶点处分别标上1，2，3，4，5，6，7，8，然后再把每条棱两端所标的两个数之和写在这条棱的中点，问各棱中点所写的数是否可能恰有五种不同数值？各棱中点所写的数是否可能恰有四种不同数值？如果可能，对照图a在图b的表中填上正确的数字；如果不可能，说明理由。（第5届华杯少年数学邀请赛初赛试题）

十-42

6、有一个立方体，边长是5，如果 它的左上方截去一个边长分别是5，

3，2的长方体（如图）。那么，它

的表面积减少的百分比是_________ 。 （1994小学数学奥林匹克试题）

十-43

7、已知在每个正方体的六个面上分别写着1、2、3、4、5、6这六个数，并且任意两个相对的面上所写的两个数的和都等于7。现在把五个这样的正方体一个挨一个地连接起来（如右图），在紧挨着的两个面上的两个数之和都等于8，那么图中打\？\的这个面上所写的数是_________ 。 （1996小学数学奥林匹克试题）

十-44

8、一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原来长方体的体积是_________立方厘米。（1997小学数学奥林匹克试题）

9、一个长方体，表面全涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体。如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数等于7，那么两面带红色的小正方体的个数等于________。（1998小学数学奥林匹克试题）

10、一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是________厘米。（1998小学数学奥林匹克试题） 11、如图，用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体，要使大正方体的对角线（正方体八个顶点中距离最远的两个顶点的连线）穿过的小正方体都是黑色的，其余小正方体都是白色的，并保证大正方体每条边上有偶数个小正方体。当堆积完成后，白色正方体的体积占总体积的93.75%，那么一共用了多少个黑色的小正方体？

十-45

12、一个长6分米、宽4分米、高2分米的木箱，用三根铁丝捆起来（如下图），打结处要用1分米铁丝。这三根铁丝总长至少为____分米。

十-46

解答

A 1、①256平方厘米 ②144立方厘米 2、216平方厘米

3、表面积：120平方厘米 体积：58立方厘米

4、解：长、宽、高的和为偶数，不可能分别为\奇、奇、奇\，其中至少有一个偶数，其积必为偶数，即6864。在6864的几种分解中，48×13×11符合题意。 5、分析：上图形状属于阶梯状，有前后两排，第一阶有2块：

S2 S2 S4 2 一阶 1 2厘米 S3 S1

第二阶有4块，也就是一个阶梯比一个阶梯多2块，这样共有： （1）共有2?4?6?8?10?30块。

（2）①各部分的面积标在上图中，SS表示每个梯面的面积。

S2?2?1?2平方厘米（摆第一层二个梯面及梯的前面），则10个梯面的面积总和为2?10?20平方厘米（1） ②S1表示阶梯的前后面积：

S1??1?2?3?4?5??2?30平方厘米（前后两个面） ③S3表示的是图形的底面，则长为5，宽为2。 S3?5?2?10（平方厘米）

④S4表示图形的侧面，侧面高为5，宽为2，则： S4?5?2?10平方厘米

S总?20?30?10?10?70平方厘米

（3）一个正方体有六个面则单独摆放的总面积为 ?1?1?6??30?180平方厘米

表面积增加180?70?110平方厘米

6、分析：容器中盛满了水，一旦这容器倾斜时，容器内的水要往外流掉，流出的水越多，剩下的水就越少。题目中只告诉“容器底面的一条棱靠着桌面倾斜”，并没有规定是哪一条棱，所以要分两种情况思考。

第一种情况：当长12厘米的这条棱靠着桌面倾斜（如上左图）流掉的水的体积是：底面是直角三角形，（它的底和底边上的高都是10厘米），高是12厘米的柱体，可根据公式求V?Sh。

第二种情况：当宽是10厘米的这条棱靠着桌面倾斜（如上右图）流掉水的体积是底面是直角三角形（它的底和底边上的高都是12厘米），高是10厘米的体积，同样可求出体积。

解：当长是12厘米的这条棱靠着书边倾斜时，流掉的水的体积是： ?10?10?2??12?600（立方厘米）

剩下的水的体积是：

12?10?20?600?1800（立方厘米）（第一种）

当长10厘米的这条棱靠着桌面倾斜时，流掉的水的体积是：

?12?12?2??10?720（立方厘米） 12?10?20?720?1680（立方厘米）

?1680立方厘米?1800立方厘米

答：容器内剩下的水的体积最小是1680立方厘米。 7、240平方厘米． 8、29.25平方厘米 9、374

10、（1） 1面的6种,2面的12种,3面的8种,即共6+12+8=26(张)

（2）∵单独拍的1种，拍2面的2种，拍3面的4种，共计9种拍摄方法。

∴26张上的字条合计为： 1+2+3+?+26=351， ∴351÷9=39。

即最低需要39张纸条。

11、（1）正六边形。 （2）55个。 12、2

B

1、解 首先从简单的想起，研究铁丝穿透1个小立方体时，应从哪面穿入，哪面穿出。然后考虑铁丝扎进8个小立方体搭成的较大立方体，最多可以穿透几个小立方体。最后再考虑扎进27个小立方体搭成的大立方体时，最多可以穿透几个小立方体。

（1）铁丝穿透1个小立方体可有三种不同情况。（如图1所示）其中A、B两种是穿过相对两面，A种平行于棱的方向穿过，B种斜着穿过；C种则是穿过相邻两面。再进一步分析，若增加7个小立方体，搭成较大立方体时，这个小立方体相对两面中只能有一个面与其它小立方体相邻，也就是说只能考虑铁丝在一个方向上继续穿透其它小立方体。而这个小立方体相邻的两面可以分别与其它小立方体相邻，铁丝可以沿两个方向继续穿透其它小立方体。因此，C种情况是我们解答本题需要深入考虑的。（为了便于分析，将这个小立方体编为①号。）

（2）考虑铁丝扎进较大立方体时最多可以穿透几个小立方体。如图2所示，铁丝沿斜上方向可继续穿透②号小立方体，沿斜下方向可继续穿透③号、④号小立方体。因此，共可穿透4个小立方体。

（3）考虑铁丝扎进27个小立方体搭成的大立方体时，最多可以穿透几个小立方体。如图3所示，铁丝沿斜上方向可继续穿透⑤号立方体，沿斜下方向可以继续穿透⑥号、⑦号小立方体。因此，最多可以穿透7个小立方体。

[说明与探讨] 本题意在考察空间观念和画图能力。若直接考虑，难度比较大。所以应采取从简单处人手，逐步深入分析的方法来解答。通过上述分析，不难发现这样一条规律（如下表所示）：

2、116 3、1 4、1：2

5、只有当c=8，x＝1时，以上六条棱中点处的数才能恰有五个不同的数值，否则就多于五种不同数值。 6、8％ 7、3 8、396 9、36个 10、52 11、225 12、43分米

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