ch1-§5 数学建模教学插件12： 线性代数方法建模： 量纲分析模型（多项式模型）、1（8页）（已修改）

§5 量纲分析法来构造模型

一、基本概念：

在表达一个物理量时，总是用数和量这两个概念在一起来度量该物理量的某种属性，因此，许多物理量都是有量纲的，例如：

质量的量纲是：克（g）；千克（kg） 速度的量纲是：厘米/秒；公里/时 热量的量纲是：卡

def：量纲：在对物理对象进行分析时用来表示物理特性的量称之为量纲，例如：长度、密度、速度等。

用数学公式描述一个规律时，等号两端都必须保持量纲的一致。

def：量纲分析：在量纲一致的原则下，分析物理量之间关系的一种方法称为量纲分析。例如：用数学公式描述一个物理规律时等式两边必须保持量纲的一致，同时也保持单位的一致。

def：量纲分析法：用量纲分析法来建立数学模型的一种方法。

def：基本量纲：在物理学或力学中有一些物理量的量纲是基本的，其他物理量的量纲可以由这些基本量纲推导出来，这些基本的量纲叫基本量纲，例如：

力学中基本量纲为：m（质量），l（长度），t（时间），分别记成：[M]，[L]，[T]，其他量纲可由此推出来。例如：速度 [V]?[LT[f]?[M]?[a]?[M][LT?2?1]；加速度 [a]?[LT?2]，力

]?[MLT?2].

m1m2r2有些物理常数也有量纲，例如：万有引力定律 f?K也可推出来：

[MLT?2 中的引力常数K的量纲

]?[K][mL]?[K]?[M?12?2LT3?2]?[M][L][T]000?13?2

def ：无量纲常数?，记为[?]?1, ( ?[?]?LMT) 二、量纲分析法建模的例子：

先从实例讨论出发，再给出一般方法。 例1：单摆运动模型：

已知：质量为m的小球，系在长为l的线

的一端，重力F?mg作用下作简谐运动， l 求：单摆运动关于周期t的模型。

解： 1：将可能与t有关的物理量m, l, g用关系式

1

t??(l, m, g) （1）

表示出来。

2．用量纲分析法来确定?

假定（1）的形式表示为

t??l1m??2g?3 （2）

其中?：无量纲比例系数，?i (i?1,2,3)为待定常数。 则（2）的量纲表达式为：?都用基本量纲表示：

[T]?[L]1[M]2[LT?[L]?1??3?2???2?3][M][T]?2?3

由等式两边量纲一致的原则可知：

??1??3?0???2?0 ??2??13?有唯一解： ?1?12, ?2?0, ?3??12 （3）

将（3）代入（2）有： t??此与力学定律得到结果是一致的。

lg 说明：1）为什么（1）式要以（2）特殊形式出现，而不出现三角函数、指数函数、对数函数?，这是因为：如果某些物理量如x1, x2, ?出现如下形式的函数关系：

sin(x11x22), esin(x1x2), e?1?2??x11x22??, ?，则x11x22必须是无量纲的。（因为是三角函数角度数），因而, ?都是无量纲的，则不能用量纲分析方法得到模型形式（或者说：这

??x11x22??些无量纲的量都包括在无量纲比例系数?中去了）（因而量纲分析法无法得到无量纲量的具

体形式）。

2）一般说来，单摆作简谐摆动应考虑小球偏离平衡位置的初始角度?，但因他是无量纲量，所以它的影响可反映在系数?内，即为?(?)，用更精确方法知道，?(?)是以?为参量的第一类椭圆积分，当?很小时，其值近似等于2?。

例2： 利用量纲分析法：从万有引力定律中推出开普勒第三定律，即，行星运行周期T的平方与其椭圆轨道长半轴的三次方成正比，即：T?kl，或T232?l

3已知：设行星运动周期t，椭圆轨道长半轴为l，太阳行量的质量为m，万有引力常数K.

求：运行周期t的关系式（模型）。

2

解：

1．设周期t，长半轴l，太阳行星质量m，万有引力常数K之间关系为：

?(l, t, m, k)?0 （1）

2．为使用量纲分析方法将（1）写成

l1t??2m?3K?4?? （无量纲常数，不是圆周率） （2）

3．对（2）式量纲分析得量纲表达式为：

[L]1[T]2[M]3[M????1LT3?2?4] ?[L][M][T] （3）

0004．据等式两边量纲一致的原则有：

对[L]: ?1?3?4?0??对[M]: ?3??4?0? （4） 对[T]: ?2?2?4?0??对（4）式的秩Rank?3，变量个数为4，所以基本解组为4?3?1个

不妨取为： ?1?3, ?2??2, ?3??1, ?4??1 （5） (其中, 任取?4为自由变量并令?4=1) 5．将（5）代入（2）得到模型为：

ltmk233?2?1?1?? （6）

即：t?l，即开普勒第三定律，而历史上由开普勒第三定律的观测数据出发，推出万有引力定律。

说明：（6）式中比例系数中仍有质量m，并没有推出开普勒第三定律中比例系数是绝对常数的结论：即：T?kl，但已得到比例关系：t?l

三、?定理

由例2可知利用量纲分析把4个有量纲的量表示为1个无量纲的量，得出量纲分析法的一般步骤：先给出两个定理。

Th1：（?定理）设有n个物理量x1, x2, ?, xn之间存在一个函数关系（与量纲单位选取无关的物理定律）

?(x1, x2, ?, xn)?0 （1）

2323其中：x1, x2, ?, xm (m?n)是有基本量纲的物理量，xm?1, xm?2, ?, xn可由这些基本量纲表示，则（1）式可以表示为n?m个无量纲量：?1, ?2, ?, ?n?m的关系，

?(?1, ?2, ?, ?n?m)?0

(因为由量纲的齐次原则,物理量x1, x2, ?, xm (m?n)可以用n?m线性无关的向量

3

表示出来)。 Th2：（Th1的推广） 设有

?(x1, x2, ?, xn)?0 （1）

其中有m是有基本量纲[x1], [x2], ?, [xm]，且xi (i?1,2,?n)的量纲可表示为：

m[xi]=?[xj]j=1?ij (i?1,2,?,n)

若矩阵 B?(?ij)n?m的秩为r（Rank(B)?r），则（1）可表示为：

?(?1, ?2, ?, ?n?r)?0

其中?s（s=1，2,..., n?r）是无量纲量，且可表示为：

n?s??i?1xi?i(s) (s?1, 2, ?, n?r) (即为模型)

??1(s)????2(s)?T?? ?i(s)是方程组 B??0 的基本解：?i(s)????????(s)?n?

Remark:Th1, Th2统称?定理，按照?定理，量纲分析方法的一般步骤：

四、量纲分析法建立数学模型的基本步骤：

1．将与问题有关的有量纲的物理量（变量和常数）记做x1, x2, ?, xn ，按照物理定义确定此问题的基本量纲并记成

[X1], [X2], ?, [Xm]

2．将所有物理量用基本量纲表示，即令：

n?i?1xii?? （1）

??i待定，?为无量纲量，将xi的量纲用基本量纲表示为：

m[xi]??[Xj?1j]ij (i?1,2,?,n; j?1,2,?,m ) （2）

??ij已知（利用已有的物理知识确定）

4

3．利用（2）得到（1）式的量纲表达式

nm

?i?1( ?[Xj]ij )j?1n??i?[?]

m即： 4．解线性方程组：

n?[xj?1j]i?1??ij?i?0 （3）

??i?1ij?i?0 (j?1,2,?,m) （4）

??11?1??21?2????n1?n?0???12?1??22?2????n2?n?0 ????????????????02m2nmn?1m1(?ij?i)m?n

ank4)(若方程组（4）：R??1???r，则有向量 ???????n??? 有个基本解，并记上述的n?r????n?r解为：

??1(s)?(s)??2????(s)??r?(s)??n???? s?1, 2, ?, n?r ??????(s)则得到x1, x2, ?, xn之间n?r个关系式：

n?i?1xi?i(s), n?, r （5） ??s (s?1, 2?其中?s为无量纲量。

5．写成模型的统一形式

?(?1, ?2, ?, ?s)?0

举例说明上述步骤：

例3 不可压缩粘性流体在管道内的稳定流动模型。 解：已知此问题涉及的物理量有：

5

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