第二章 - 连续时间系统的时域分析

第二章 连续时间系统的时域分析

2.1用时域经典法求解微分方程

（一） 求齐次解rh?t?

d3d2d例 求解微分方程3r?t??72r?t??16r?t??12r?t??e?t?的

dtdtdt齐次解。

解 系统的特征方程为

?3?7?2?16??12?0???2????3??0特征根为 ?1??2（二重根） ，?2??3 与之相对应的齐次解为

2

?2t?3t rh?t???At?Ae?Ae?123（二） 求特解rp?t?

例 给定微分方程

de?t?d2drt?2rt?3rt??e?t? ????2??dtdtdt2t如果已知：（1）e?t??t；（2）e?t??e，分别求两种情况下方程的

特解。

解

（1） 将e?t??t2代入微分方程右端，得到t2?2t，为了使等式两

端平衡，试选特解函数式

rp?t??B1t2?B2t?B3

将特解代入微分方程，等式两端各对应幂次的系数应该相等，

于是可以解得

1210 B1?，B2?，B3??3927 所以特解为

1210rp?t??t2?t?

3927（2） 将e?t??et代入微分方程右端，得到2et，故假设特解为

rp?t??Bet

将特解代入微分方程，等式两端各对应幂次的系数应该相等，于是可以解得

1B?

3所以特解为

1rp?t??et

3

与几种典型激励对应的特解

2.2零输入响应与零状态响应

（一） 定义

自由响应（固有响应）：齐次解的函数特性仅依赖于系统本身，与激

励信号的函数形式无关，因而称为系统的自由响应。

强迫响应（受迫响应）：特解的函数完全由激励函数决定，因而称为

系统的强迫响应。

零输入响应：没有外加激励信号的作用，只由起始状态所产生的响应，

以rzi?t?表示。

零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号

所产生的响应。以rzs?t?表示。

（二） 例题 例 已知系统方程式

dr?t??3r?t??3e?t? dt3，激励信号e?t??u?t?，求系统的自由响应、强迫响应、2零输入响应、零状态响应以及完全响应。

若起始状态为r?0???解：由系统方程式可得系统的特征方程

??3?0

解得特征根为???3，故可设齐次解为rh?t??Ae?3t。

将激励信号代入微分方程式右端可得3u?t?，故可设特解为rp?t??B。 将特解代入微分方程可得：0?3B?3?B?1。 由此可得完全解为r?t??rh?t??rp?t??Ae?3t?1。 由方程式两端奇异函数平衡原理可知：

r?0???r?0????0?0?dr?t?30?33dt???3u?t?dt??0? dt20?22将r?0???31代入完全解中可以解得：A?。 22

1故而可得：完全解r?t??rh?t??rp?t??e?3t?1

21自由响应rh?t??e?3t

2强迫响应rp?t??1

当输入激励信号为零时，特解为零，则零输入响应为rzi?t??Ae?3t，由初始条件r?0???333可得：A?，所以零输入响应为rzi?t??e?3t。 222再求零状态响应，此时r?0???0，将其代入完全响应式r?t??Ae?3t?1中可以解

得A??1，故而零状态响应为rzs?t???e?3t?1。

2.3冲激响应与阶跃响应

（一） 定义

冲击响应：以单位冲激信号??t?作激励，系统产生的零状态响应称为

冲激响应，以h?t?表示。

阶跃响应：以单位阶跃信号u?t?作激励，系统产生的零状态响应称为阶跃响

应，以g?t?表示。

（二） 性质

由LTI系统的性质可知

tddh?t??g?t?而h?t??g?t???h???d?

0dtdt

已知描述系统的方程如下

dnr?t?dn?1r?t?dr?t?C0?C?????C?Cnr?t?1n?1nn?1dtdtdt

mm?1de?t?de?t?de?t??E0?E?????E?Eme?t?1m?1mm?1dtdtdt1. 在n>m的条件下，冲激响应h?t?函数式中将不包含??t?及其各阶导数项。 2. 在n=m的条件下，冲激响应h?t?函数式中将包含一个??t?项。 3. 在n

（三） 例题

例 已知某连续时间LTI系统的微分方程为

r??t??4r?t??3e??t??2e?t?

试求系统的冲激响应h?t?。

解：该系统微分方程所对应的特征方程为

??4?0

?4t解得其特征根为???4，又可知n=m，所以设h?t??Aeu?t??A2??t?。 1

对h?t?求导可得

h??t???4A1e?4tu?t??A1e?4t??t??A2???t???4A1eu?t??A1??t??A2???t??4t

将r??t??h??t?,r?t??h?t?,e??t?????t?,e?t????t?代入微分方程并化简可以得到

?A1?4A2???t??A2???t??3???t??2??t?

故解得A1??10，A2?3 所以h?t???10e?4tu?t??3??t?

注：根据定义，冲激信号??t?及其各阶导数在t>0时都等于零，??t?信号的加入，在t=0时刻引起了系统的能量储存，而在t?0?以后，系统的外加激励不复存在，只有由冲激引入的能量储存作用，这样就把冲激信号源转换为非零的起始条件，响应形式必然与零输入响应相同，相当于求齐次解。

2.4卷积及其性质

（一） 卷积定义

用卷积求零状态响应的一般表达式：

r?t??e?t??h?t???e???h?t???d?

????（二）卷积的性质

[1] 交换律

f1?t??f2?t??f2?t??f1?t?

[2] 分配律

f1?t????f2?t??f3?t????f1?t??f2?t??f1?t??f3?t?

[3] 结合律

??f1?t??f2?t????f3?t??f1?t????f2?t??f3?t???

[4] 微分性

df2?t?df1?t?d?f1?t??f2?t????f1?t??dt?dt?f2?t? dt?[5] 积分性

?f1????f2?????d??f1?t?????f2???d??f2?t?????f1???d? ????[6] 不变性

df1?t?t??f2???d??f1?t??f2?t? ??dtttt（二） 常用卷积公式 1) f?t????t??f?t? 2) f?t????t?t0??f?t?t0? 3) f?t?????t??f??t? 4) f?t??u?t?????f???d? 5) f?t????k??t??f?k??t? 6) f?t????k??t?t0??f?k??t?t0?

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