聚焦椭圆准线与对称轴的交点的性质

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焦椭聚圆线准对与轴称的交点的性质浙(江省杭师州范学院附属高级中学 31 003 0 ) 苏立 标我在教们研学究，中我们常常“钟情”于椭圆的焦中、点点等顶“点”性的质研究，而对圆椭线准

椭圆的切线的交点为 z(。, ,得切 )线方程为 y oq _。 y,

与称轴对交点性质的的讨论，却往往是教学研究的一“个盲点”,是一个“被遗忘的角落”聚集在，椭

一6

1又因，为切过点线 (一等，o ,)所 代人以切：± . e圆准线与对称轴交的点上有很多有趣性的，质耐线方程得： (等 C一 ￣)n 7 C o ×+ D。o一 1,即： 。z一 P(,± )故，线切率斜为 4一 - 2角分平线问题人寻味的性质蕴涵着椭圆丰富多彩几的何特征 .本文试图对椭圆准与线对称轴的交点性质作些一思考与总 .结 1定值问题性质 3:过椭圆+一 1( n>b>o)的左

一2 2

n。D性质1:设椭上圆 _+万 y1:( n>b>o ) 的左Ⅱ

焦点任意F一作条与两坐标轴不都直垂的A弦B ,若M为圆椭的准线左l对与称轴的点，交则FM恒为 AM B的内平分角线 .准线l与 X轴的交点为 M, 椭则圆顶点左到左点焦距的离与点到 M的距之离为椭比的圆离率.心证明：利椭用圆的第二定义易证明 .性质 2 过：椭圆准的线对称与轴的交点作圆椭的切线，则线切率斜等于该椭圆离心率或离心率的相反数.

证明一：过 A B分、别 l的垂作线 垂，足为 C、 .D根椭圆据第二的定义： 一，

一

’且口：

因为 A/C/F M // BD,所以 = 2

..2

证明：椭设圆方 为程 +=== (n> 6o> ), .,A

一F

2雕则其左准线对与称轴的点交为 (“一， _O),设所作柴米米米米米柴 米米米米米米米米米米米米米 米米米米米米米米 米米米米米米米米米米米米 米米米米米米

米 2( )认你为 甲、乙采的方用案哪，一方案使种己乘自上等

车可能的性大？为什么？ 评析:题充此体分了“现面对实际问时，题能主动地试着尝从数学的角度用所学知识和方运法求解决寻题的策问”理念略及数 来学源生于活又

解 (:1 )辆车开三来的先后顺序有 6种可能 (、上、中下)、(上、下、 )中、 (中、上、下)、(中、、下 )上、 (下、中、上 )、 (下、上、中). 应用生活于的念观 .背景新颖，构独特思富有，创意.第 ( 1题)是道基础题，用可列法举. ( 2 )题求第

2( )由不于知道任何信息，所以只能假 6定种顺序出现可的性能相同 .我来们研究各在种可能的性顺序 之下，甲、乙二人别分会 哪上一辆车汽： 于是不得难，出甲乘上、中、下：辆三车的概率都是1乙乘等上车概率却的并易事非正确 .解决此小题须对三辆汽车的顺序与舒适程度 一列表一排出，并确定出每一情形 乙中方法所乘车的适程度舒，而从使问题得获解决 . 总之， 2 00 5年中考试中题的概试率题贴近生，活关注现实 ,富有情 趣，人文气息浓，难度适中，

;由乙乘等上的概率是告，车乘等车中的概是率厶 U÷,下乘车等概的率是÷.所乙以取采方案的乘上坐车等可的性能大 .旨在促进学生全面和谐的发展综与合素的提升.质

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讯thpt:/ww/.cqwip.vcmo厘/BM D>= A MF一 BFM,故M恒为 F A MB 的内角平分线 . 质性： 4若M为椭圆+ 2 2 1(—> 6>口 o )的准左 z线与轴的交，椭点圆的左焦点为F,过si n_a .—-

磐丽I A C I一 L1, 所以 AM C一 1,切线 P A的方l程为： CX O Sl f + 1一， 解得点P的横坐标:为 P z一 .—,由一 - d/ d、:呐 -￣导.:

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,以z P一口所( 一一)一c,所 a

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P F以上x轴，所以在 Px上的射影轴过椭圆的左点 F焦.点 M任意作椭圆一的条弦 A,B则 M F分平A FB的外角.析分：只证要明：k F+ k F As 0即一 .可

性 6质：若 A为椭圆 +一 1

( n> 6> )o的左准与线称对轴交的点，圆椭左的焦点为，过 F证明：设直线 AB的方为程一是Y( z_ ), (中其一 a一 _ 2 q,)A( x, Y ,)B ( x。, Y。 ),将 直方线程代椭人圆方程得： n(。是。 b+。 ) z。 2 a一。是。x+ma。是。。一 n。 b2— 0,A作一线直 l椭交圆 P于、两Q,点Q关于 X的对称轴为点Q,直线则 QP椭过的左圆焦点 F .证明：设线直z过 A( ,0 )(其中 一一 与)椭圆于交(P x,。 Y ), Q(x。, y。 ),设 PQ交轴X于点 B, Q而 与Q关于 X轴对称，则Q 1 ( z X,一Y ),z

所以 z一

,

设一声 ,奋则 Y一 0一A (。y一o ),以所O -y一

。是 a。 。 n。一 b。 ( o—。 ),所以商一蔚，由 一一,则

①一

—所以是A F+是且 F一干广’+ —

二 ,X Y 21+ X 2Y +1 (c 1+Y2 ) X1 X+2c ( 1+ xX2+ )C。

由商： ,蔚则 z一 l。车十A 由，①②得：~× 又一+一 1,+ :, ②③

④⑤

又 X1 Y+X22 Yl— X1k ( x 2一 +)X k2( x— )l一,

k 2 zF z。一 ( z。+ )]一

( 1 )

外另 c (: y1+ Y 2) c一 E k( x 1一 )+ k(x 2一 )m- —

I c E (k z+。z ) 2 .一 . - 1-一 2 k b 2 o nn—一R十

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2k a 2 b一2口。是。+6。。。+是b。’’… a2代人…’ 、l —,。 X} 一。X一；a。 ( 1。 ),一因为： 。, ④一由⑤ 。得暑一害= —州. 剩叫- 0 0年 1∞0月上半月 (*):得是+M是一0邪，命题得证 .3定点问题车

,

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由⑥③可知懈一。 nz,所以 z一。,所以

质性5 过：椭圆 +一 1 n(>b> o)的左“点B - fN￣ (, O )A,因为一一 a2 _所点 B为以

一准

线 z与轴的X交点 M,作直线椭圆于交A、 B两点，过 A、B的椭的两圆切线条交点于P, P在则X 轴上射的影过椭的左圆焦点 F. 证：明设 A(a ocs a, b s i a ) nB, a(c o s￣, b i ns1 f) ,得易椭圆的线切 A P的方程为 +:一

点定( C一， O, )直线即PQ 过椭圆左的焦点 F .

以上主要围绕定着、角平值线分和点定问题进行讨论，这性些质涵盖了椭圆的切中线、焦点弦等重要直.另外，线上以椭圆的性同样质可以比类地迁移到双曲线与 物抛线中 去.

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