山东省济宁市2008-2009学年度第一学期高三质量检测数学试题（理

济宁市2008-2009学年度第一学期高三质量检测

数学试题（理科）

一、选择题：每小题5分，共60分．

1．已知命题p:?x?R,x?sinx，则p的否定形式为 A．?p:?x?R,x?sinx B．?p:?x?R,x?sinx C．?p:?x?R,x?sinx D．?p:?x?R,x?sinx

2．设A、B是非空数集，定义A*B?{x|x?A∪B且x?A∩B}，已知集合A?{x|y? 2x?x2}，B?{y|y?2x,x?0}，则A*B?

A．[0,1]∪(2,??) B．[0,1)∪(2,??) C．[0,1] D．[0,2]

?log2x(x?0)13．已知函数f(x)??x，则满足f(a)?的a的取值范围是

2(x?0)?2 A．(??,?1) B．(??,?1)∪(0,4．已知sin(2) C．(0,2) D．(??,?1)∪(0,2)

12??2?)的值等于 ，则cos(6331771 A． B． C．? D．?

3939??)?5．等比数列{an}中，公比q?1，且a1?a6?8,a3a4?12，则

?a6等于 a11 A．

11111 B． C． D．或

336266．m??1是直线mx?(2m?1)y?1?0和直线3x?my?3?0垂直的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2的根在区间(k,k?1)(k?Z)上，则k的值为 x A．?1 B．1 C．?1或1 D．?1或2

7．若方程ln(x?1)?8．设双曲线x?y?1的两条渐近线与直线x?222围成的三角形区域（包括边界）为E，2P(x,y)为该区域内的一动点，则目标函数z?x?2y的最小值为

A．

322 B．?2 C．0 D．? 229．已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,0????)，其导函数f?(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为

y21?)

241? B．f(x)?4sin(x?)

24 A．f(x)?2sin(x?C．f(x)?2sin(x??-3?2?22O-2xy=f '(x)?4)

3?) 4131210．函数f(x)?ax?ax?2ax?2a?1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围

32D．f(x)?4sin(x?12是 A．?63838163?a? B．??a?? C．??a?? D．??a?? 51651651651611．点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则AN?AM的最大值是

A．2 B．4 C．5 D．6 12．如果点P到点A(,0)、B(,3)及直线x??12121的距离都相等，那么满足条件的点P2的个数有

A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 二、填空题：每小题4分，共16分．

13．已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且S?ABCa2?b2?c2?，那么

4?C? ．

2214．过点M(1,2)的直线l将圆(x?2)?y?9分成两段弧，其中的劣弧最短时，直线l

的方程为 ． 15．已知2a?b?(?1,且a?c?3,|b|?4，则b与c的夹角为 ． 3),c?(1,3)，

16．给出下列命题：①函数y?f(x)的图象与函数y?f(x?2)?3的图象一定不会重合；

2②函数y?log1(?x?2x?3)的单调区间为(1,??)；

20③?(cosx?e)dx?1?e??x??；

④双曲线的渐近线方程是y??35x，则该双曲线的离心率是．

44其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）．

三、解答题：共90分． 17．（本小题满分12分）

数列{an}的前n项和记为Sn，a1?t，an?1?2Sn?1(n?N?)． （1）当t为何值时，数列{an}是等比数列？

（2）在（1）的条件下，若等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，且T3?15，又a1?b1,

a2?b2,a3?b3成等比数列，求Tn．

18．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?2cosxsin(x??3)?3． 2（1）求函数f(x)的最小正周期；

（2）在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数f(x)在一个周期内的图象． 19．（本小题满分12分） 设函数f(x)?cos(y21-?2O-1?2?x-2?3?2x)?2x(x?R)．

（1）判断函数f(x)的单调性；

（2）对于函数f(x)，若x1?x2?0，则f(x1)?f(x2)?f(?x1)?f(?x2)． 写出该命题的逆命题，判断这个逆命题的真假性，并加以证明．

20．（本小题满分12分）

已知某类学习任务的掌握程度y与学习时间t（单位时间）之间的关系为y?f(t)?

1?100%，这里我们称这一函数关系为“学习曲线”．已知这类学习任务中的某项?bt1?a?2任务有如下两组数据：t?4,y?50%;t?8,y?80%． （1）试确定该项学习任务的“学习曲线”的关系式f(t)； （2）若定义在区间[x1,x2]上的平均学习效率为??始的2个单位时间内平均学习效率最高． 21．（本小题满分12分）

y2?y1，问这项学习任务从哪一刻开

x2?x1x2y2?1(a?0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的一点，设椭圆C:2?a2且AF2?F1F2?0，坐标原点O到直线AF1的距离为（1）求椭圆C的方程；

（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P(?1,0)，较y轴于点M，若

1|OF1|． 3MQ?2QP，求直线l的方程．

22．（本小题满分14分）

已知函数f(x)?alnx?1． x（1）当a?0时，求函数f(x)的单调区间和极值；

（2）当a?0时，若?x?0，均有ax(2?lnx)?1，求实数a的取值范围； （3）若a?0，?x1,x2?(0,??)，且x1?x2，试比较f(大小．

x1?x2f(x1)?f(x2))与的22答案：

一、选择题：CABCC ACDBD DB 二、填空题：13．三、解答题：

17．解：（1）由an?1?2Sn?1，可得an?1?2Sn?1?1(n?2)，

两式相减得an?1?an?2an,即an?1?3an(n?2)，

∴当n?2时，{an}是等比数列， ???????????????????3分 要使n?1时，{an}是等比数列，则只需（2）设{bn}的公差为d，

由T3?15得b1?b2?b3?15，于是b2?5， ?????????????8分 故可设b1?5?d,b3?5?d， 又a1?1,a2?3,a3?9，

由题意可得(5?d?1)(5?d?9)?(5?3)2， 解得d1?2,d2??10，

∵等差数列{bn}的前n项和Tn有最大值，

∴d?0,d??10， ??????????????????????10分 ∴Tn?15n??； 14．x?2y?3?0； 15．60?； 16．③． 4a22t?1??3，从而t?1． ??6分 a1tn(n?1)?(?10)?20n?5n2． ????????????12分 218．解：（1）f(x)?2cosx?sin(x??3)?3 2??3?2cosx(sinxcos?cosxsin)?

3321333?2cosx(sinx?cosx)??sinxcosx?3cos2x?

2222?13?sin2x?cos2x?sin(2x?)， ???????????12分 223

∴T??． （2）列表：

?2x+

3

x

f(x)

0-?6?2?121??303?27?12-12?5?600??????????????????????10分

y17?12-?6-1O?12?3?25?6x??????????????????????12分

19．解：f(x)??sin(?3?2x)(?2)?2 ????????????????2分

?2[1?sin(?3?2x)]?0， ??????????????????4分

∴f(x)在R上是单调增函数． ??????????????????6分 （2）逆命题：对于函数f(x)?cos(?3?2x)?2x(x?R)，

若f(x1)?f(x2)?f(?x1)?f(?x2)，则x1?x2?0． ????????8分 这个逆命题正确，下面用反证法证之： 假设x1?x2?0，则x1??x2，x2??x1， 由于f(x)在R上是单调增函数，

∴f(x1)?f(?x2)，f(x2)?f(?x1)，????????????????10分 从而f(x1)?f(x2)?f(?x1)?f(?x2)，这与题设矛盾．

所以逆命题成立． ????????????????????????12分

1??0.5?4b??1?a?220．解：（1）由题意得?， ????????????????2分

1??0.8?8b??1?a?2?a?2?4b?1?整理得?1，解得a?4,b?0.5， ??????????????4分 ?4ba?2???41?100%． ?????????6分 ?0.5t1?4?2（2）设从第x个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率为?，则

所以“学习曲线”的关系式为y?11??0.5(x?2)?0.5x2?0.5x1?4?21?4?2??? ?????8分 (x?2)?x(1?2?2?0.5x)(1?4?2?0.5x)令u?2?0.5x，则??u1， ?1(1?2u)(1?4u)?8u?6u显然当

12?8u，即u?时，?最大， ???????????????10分 u4将u?2?0.5x代入u?2，得x?3， 4所以，在从第3个单位时间起的2个单位时间内的平均学习效率最高． ??12分 21．解：（1）由题设知F1(?a2?2,0),F2(a2?2,0)

由于AF2?F1F2?0，则有AF2?F1F2，所以点A的坐标为(a?2,?故AF1所在直线方程为y??(22)， a1?)， ????????????3分

aa2?2axa2?2所以坐标原点O到直线AF(a?2)， 1的距离为2a?1a2?21又|OF1|?a?2，所以?2a?132a2?2，解得a?2(a?2)，

x2y2??1．?????????????????5分 所求椭圆的方程为42（2）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?k(x?1)，则有M(0,k)，

设Q(x1,y1)，由于MQ?2QP，

∴(x1,y1?k)?2(?1?x1,?y1)，解得x1??2k,y1? ???????8分 332k(?)2()23?3?1， 又Q在椭圆C上，得

42解得k??4， ????????????????????????????10分

故直线l的方程为y?4(x?1)或y??4(x?1)，

即4x?y?4?0或4x?y?4?0． ?????????????????12分 22．解：由题意x?0,f?(x)?（1）当a?0时，

a1?， ?????????????????2分 xx2a111

?2?0，解得x?，函数f(x)的单调增区间是(,??)；

axxaa111由f?(x)?0得?2?0，解得x?，函数f(x)的单调增区间是(0,)

xxaa111∴当x?时，函数f(x)有极小值为f()?aln?a?a?alna．???6分

aaa由f?(x)?0得

（2）当a?0时，由于?x?0，均有ax(2?lnx)?1， 即?x?0，2a?alnx?1恒成立， x∴?x?0，2a?f(x)min， ????????????????????8分 由（1），函数f(x)极小值即为最小值， ∴2a?f(x)min?a?alna，解得0?a?1．????????????10分 ex1?x2f(x1)?f(x2)x1?x2?(x1?x2)2（3）f(， )??aln?22ax1x2x1x2(x1?x2)∵x1?0,x2?0且x1?x2,a?0， ∴x1?x2?2∴

x1x2，

x1?x2x?x2?1,aln1?0，?????????????????12分

2x1x22x1x2?(x1?x2)2x1?x2?(x1?x2)2又?0，∴aln??0， x1x2(x1?x2)ax1x2x1x2(x1?x2)∴f(x1?x2f(x1)?f(x2)x?x2f(x1)?f(x2))??0，即f(1)?．????14分 2222

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